【从课本到奥数】小升初重点专题：长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

【从课本到奥数】小升初重点专题：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．将一个正方体切去一部分，形成如图的几何体。那么它的展开图正确的是（    ）。 A．B．C． D． 2．人体为了保持每天摄入水量和排出水量的动态平衡，需要通过食物和饮水来获得1500～2500（    ）的水量。 A．毫升 B．立方分米 C．升 D．千克 3．长方体过同一顶点的三个面的面积分别是3、6、18，则这个长方体的体积是（    ）。 A．324 B．36 C．12 D．18 4．把11块相同的长方体砖如图所示拼成一个大长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．1368 B．1974 C．2014 D．2054 5．下面的大正方体是由棱长为1cm的小正方体积木拼成的。用这些小积木重新拼一个长方体（积木全部用完），那么这个长方体的高是（    ）cm。 A．4 B．6 C．8 D．12 6．一个横截面是正方形的长方体表面积是160cm2，它可以分割成两个同样的正方体，这两个正方体的表面积都是（    ）cm2。 A．80 B．96 C．100 D．120 7．下面是小雨比较土豆和胡萝卜的体积时做的实验，长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。观察他的实验过程，下面说法正确的是（ ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．一样大 D．无法确定 8．已知大长方体的棱长之和为60cm，长为8cm，底面面积为32cm2，如果把这个长方体从正面的中间挖去一个小正方体，小正方体棱长之和为12cm，那么（      ）． ①体积变小，表面积变大 ②体积变小，表面积变小 ③体积、表面积均不变 ④挖去小正方体后的体积是95cm3，表面积是140cm2 ⑤挖去小正方体后的体积是96cm3，表面积是140cm2 ⑥挖去小正方体后的体积是96cm3，表面积是136cm2 A．②④ B．③⑥ C．①④ D．①⑤ 二、填空题 9．一个长方体的长是4cm，宽是3cm，表面积是94cm2，它的体积是( )cm3。 10．一个长方体的表面积为52平方厘米，底面积为12平方厘米，宽为3厘米，高为( )厘米。 11．有一个长方体，长、宽、高都是整厘米数，相邻三个面的面积分别是56cm2、24cm2和21cm2，这个长方体的体积是( )cm3。 12．把长方体的高增加2cm就成正方体，且表面积会增加80cm2，原来长方体的体积是( )dm3。 13．一根铁丝正好可以围成一个棱长是8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3；若将这根铁丝改围成一个长10cm，宽8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2。 14．一根6m长的方钢，把它横截成三段时表面积增加80dm2，原来方钢的体积是( )m3。 15．如图1，长方体的展开图中，已知A、B、C三面面积之和是36cm2，且B面是一个边长2厘米的正方形。如果E面是长方体底面，那么( )面是长方体上面；这个长方体的体积是( )cm3。 16．仔细观察图表，找出规律并填空。（每个小正方体的棱长为1分米） 层数 1 2 3 4 … 小正方体的个数 1 3 6 ( ) … 露在外面的面积（平方分米） 5 12 21 ( ) … 三、解答题 17．做一个无盖的长方体铁桶，共用铁皮192平方分米。已知桶底是边长10分米的正方形，请问桶高几分米？ 18．一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 19．一个正方体的表面积是20平方厘米，将它切成8个一样大小的小正方体，每个小正方体的表面积是多少平方厘米？ 20．一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 21．一个密封的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计），长4分米、宽3分米、高8分米，里面水深5分米（如图1），现在以这个容器的右侧面为底，侧放在桌面上（如图2）。 （1）这时水深多少分米？ （2）容器（如图2）没有与水接触部分的面积是多少？ 22．丁丁将如图所示的长方体石块（a＞b＞c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v立方厘米/秒，直到注满水槽为止。石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图①~图③所示。在这三种情况下，水槽内的水深h（厘米）与注水时间（秒）的关系如图④~图⑥所示。根据图像完成下列问题： （1）请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的关系图像用线连起来。 （2）水槽的高＝（    ）厘米。 从三种放置方式的示意图和与之相对应的关系图像中找出这个长方体的长、宽、高，并求出它的体积。 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《【从课本到奥数】小升初重点专题：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D A C B C C 1．A 【分析】从图上观察，正方体切去的一部分是相邻的三个面。 【详解】正方体切去的一部分是相邻的三个面。 A．把它还原，三个有缺口的面正好能拼成原图。正确。 B．把它还原，有两个面缺口能拼成原图，有一个面不能拼成原图。错误。 C．把它还原，有两个面缺口能拼成原图，有一个面不能拼成原图。错误。 D．把它还原，有两个面缺口能拼成原图，有一个面不能拼成原图。错误。 故答案为：A 【点睛】用正方体模型照原样动手展开和拼成并观察。 2．A 【分析】根据生活经验及数据的大小，人体每天需要获得1500~2500毫升的水量。 【详解】1立方分米＝1升＝1000毫升，人体每天需要获得1500~2500毫升的水量。 故答案为：A 3．D 【分析】根据题意可知，长方体过同一顶点的三个面的面积分别等于长×宽、长×高、宽×高，据此可知，长×宽×高×长×宽×高＝3×6×18；因为长方体的体积＝长×宽×高，所以长方体体积的平方＝3×6×18，据此算出3×6×18，再推出哪两个相同数相乘，即可得出长方体的体积。 【详解】根据分析可知，长方体体积的平方＝3×6×18 3×6×18＝18×18 所以长方体体积为18。 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键是明确长方体的每个面面积和长方体体积之间的关系。 4．A 【分析】观察大长方体的正面，可知2a＝3b，观察大长方体的右面，可知a＝4h，将a＝4h代入2a＝3b，可得b＝h，根据长方体体积＝长×宽×高，确定h的值，将h的值分别代入a＝4h和b＝h，求出a和b的值，进而确定大长方体的长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出大长方体的表面积。 【详解】观察大长方体的正面和右面，可得2a＝3b、a＝4h。 将a＝4h代入2a＝3b 可得2×（4h）＝3b 解：3b＝8h 3b÷3＝8h÷3 b＝h 将a＝4h、b＝h代入 abh＝288 可得4h×h×h＝288 解：h3＝288 h3÷＝288÷ h3＝288× h3＝27＝33 因此h＝3 a＝4h＝4×3＝12（厘米） b＝h＝×3＝8（厘米） 大长方体的长：2a＝2×12＝24（厘米） 大长方体的宽：4h＝4×3＝12（厘米） 大长方体的高：b＋h＝8＋3＝11（厘米） 大长方体的表面积：（24×12＋24×11＋12×11）×2 ＝（288＋264＋132）×2 ＝684×2 ＝1368（平方厘米） 大长方体的表面积是1368平方厘米。 故答案为：A 【点睛】本题关键是理清每块砖长宽高之间的关系，进而求出大长方体的长宽高。 5．C 【分析】从图中可知，原来大正方体的棱长是4cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积，也是所有小积木的体积之和；用这些小积木重新拼成一个长方体，长方体的底面是一个长4cm、宽2cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方体的底面积；再根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算即可。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 64÷（4×2） ＝64÷8 ＝8（cm） 故答案为：C 【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”，灵活运用正方体、长方体的体积公式是解题的关键。 6．B 【分析】一个横截面是正方形的长方体，它可以分割成两个同样的正方体，说明前后上下四个面每个面的面积是横截面的2倍，则长方体的表面积是一个横截面面积的10倍，则每个横截面的面积是16平方厘米，一个小正方体有6个面积是16平方厘米的面，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 160÷10×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 故答案为：B。 【点睛】本题考查长方体、正方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的特征。 7．C 【分析】上升部分水的体积，就是放入的物体体积。放入土豆水面上升了（10.5－8）厘米，放入胡萝卜，水面上升了（13－10.5）厘米。哪个水面上升的高度大，放入的那个物体的体积就大。 【详解】10.5－8＝2.5（厘米） 13－10.5＝2.5（厘米） 土豆和胡萝卜让水面上升的高度一样，所以体积一样大。 故答案为：C 【点睛】上升部分水的体积，就是放入的物体体积。 8．C 【详解】长方体的底面面积为32cm2，则宽为32÷8=4cm，根据棱长为60可知，长+宽+高=60÷4=15，所以高为3cm．挖去小正方体后，体积变小，表面积变大，①正确，②③错误． 小正方体棱长之和为12cm，则小正方体棱长为12÷12=1cm 挖去小正方体后的体积是8×4×3-1×1×1=95（cm3） 挖去小正方体后的表面积是（8×4+8×3+3×4）×2+4×1×1=140（cm2） 因此④正确，⑤⑥错误． 故答案为C 9．60 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可以设长方体的高为cm，列出方程，求出长方体的高；再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】解：设长方体的高是cm。 （4×3＋4＋3）×2＝94 （12＋7）×2＝94 （12＋7）×2÷2＝94÷2 12＋7＝47 12＋7－12＝47－12 7＝35 7÷7＝35÷7 ＝5 长方体的体积是： 4×3×5 ＝12×5 ＝60（cm3） 【点睛】掌握长方体的表面积、体积计算公式，以及根据长方体的表面积公式列方程求出长方体的高是解题的关键。 10．2 【分析】长方体底面是长方形，根据长方形的长＝面积÷宽，求出长方体的长，长方体侧面展开是一个大长方形，大长方形的长＝长方体底面周长，大长方形的宽＝长方体的高，表面积－底面积×2＝前后左右4个面的面积和，再除以底面周长就是长方体的高。 【详解】12÷3＝4（厘米） （4＋3）×2 ＝7×2 ＝14（厘米） （52－12×2）÷14 ＝（52－24）÷14 ＝28÷14 ＝2（厘米） 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积的求法。 11．168 【分析】假设长宽高分别为a，b，h，可得：a×b＝56cm2，a×h＝24cm2，b×h＝21cm2；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”进行解答即可。 【详解】假设长宽高分别为a，b，h， 由分析知：a×b＝56cm2，a×h＝24cm2，b×h＝21cm2； a×b×（a×h）×（b×h）＝56×24×21 a2×b2×h2＝7×8×3×8×3×7 （a×b×h）2＝72×82×32 （a×b×h）2＝（7×8×3）2 a×b×h＝7×8×3 a×b×h＝168（cm3）即长方体的体积是168cm3。 【点睛】解答此题的关键是先分别设出长、宽、高，进而根据题意，根据长方体的体积计算方法列出式子，进行解答即可。 12．0.8 【分析】根据题意，长方体的高增加2cm就成正方体，说明长方体的长、宽相等；增加的表面积是4个侧面的面积之和，每个面都是长方形，长是原来长方体的长，宽是2厘米；先用增加的表面积除以4，求出一个侧面的面积，再除以2，即可求出正方体的棱长，即原来长方体的长、宽，再用正方体的棱长减去2cm得到原来长方体的高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出原来长方体的体积。注意单位的换算：1dm3＝1000cm3。 【详解】80÷4÷2 ＝20÷2 ＝10（cm） 10－2＝8（cm） 10×10×8 ＝100×8 ＝800（cm3） 800cm3＝0.8dm3 【点睛】明确长方体的高增加，表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 13． 512 376 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出正方体的体积； 根据题意，用一根铁丝围成正方体，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝的长度； 这根铁丝又围成了长方体，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，即可求出长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求出围成的长方体的表面积。 【详解】正方体的体积： 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 正方体的棱长总和： 8×12＝96（cm） 长方体的高： 96÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（cm） 长方体的表面积： （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（cm2） 【点睛】掌握正方体、长方体的棱长总和、体积公式以及长方体的表面积公式是解题的关键。 14．1.2 【分析】根据题意，把长方体方钢截成三段，要截2次；每截一次增加2个截面，截2次增加4个截面，表面积会增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原来方钢的体积。注意单位的换算：1m2＝100dm2。 【详解】80dm2＝0.8m2 0.8÷4＝0.2（m2） 0.2×6＝1.2（m3） 【点睛】掌握长方体切割的特点，明确表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 15． A 32 【分析】根据长方体的展开图的特征可知，如果E面是长方体底面，那么A面是长方体的上面。已知B面是边长2cm的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出B面的面积；再用A、B、C三面的面积之和减去B面的面积，即是A、C面的面积之和；因为A、C的面积相等，所以用A、C面的面积之和除以2，求出一个长方形的面积，再除以宽2厘米，即可求出长；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】如果E面是长方体底面，那么A面是长方体上面。 B面的面积：2×2＝4（cm2） A、C面的面积之和：36－4＝32（cm2） 长方体的长： 32÷2÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 长方体的体积： 8×2×2 ＝16×2 ＝32（cm3） 【点睛】掌握长方体展开图的特征，明确长方体有2个相对面是正方形时，另外4个面是完全一样的长方形，以及灵活运用长方体的体积计算公式是解题的关键。 16． 10 32 【分析】从层数上看，第一层，小正方体个数1个，第二层个数1＋2＝3（个），第三层个数1＋2＋3＝6（个），那么第四层有1＋2＋3＋4个小正方体； 从露出的面积来看，层数1时，1×1＋4×1＝5（平方分米），层数2时，2×2＋2×4＝12（平方分米），层数3时，3×3＋3×4＝21（平方分米），那么推断层数4时，4×4＋4×4平方分米。 【详解】1＋2＋3＋4＝10（个） 4×4＋4×4 ＝16＋16 ＝32（平方分米） 【点睛】本题考查了正方体的拼接，有一定观察和总结能力是解题的关键。 17．2.3分米 【分析】铁皮面积－底面积＝前后左右4个面的面积和，将前后左右4个面展开是长方形，长方形的宽就是长方体的高，长方体的长是长方体底面周长，用前后左右4个面的面积和÷底面周长＝长方体的高，据此分析。 【详解】（192－10×10）÷（10×4） ＝（192－100）÷40 ＝92÷40 ＝2.3（分米） 答：桶高2.3分米。 【点睛】关键是熟悉长方体特征，能想明白无盖长方体铁通展开的形状。 18．192立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4＝24（平方厘米） 24÷3＝8（厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。 【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。 19．5平方厘米 【分析】由正方体的特征可知，正方体有6个面，每个面都是完全一样的正方形，正方体的表面积是6个面的面积之和；如下图，把一个大正方体切成8个一样大小的小正方体，需要切3刀，每切一刀就增加2个大正方形的面；切3刀，增加6个大正方形的面积，这6个大正方形的面积等于原来正方体的表面积；由此得出切割后的8个小正方体的表面积之和是原来正方体表面积的2倍，再除以8，就是1个小正方体的表面积。 【详解】20×2÷8 ＝40÷8 ＝5（平方厘米） 答：每个小正方体的表面积是5平方厘米。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，以此为突破口解决问题。 20．396立方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。由题意可知：高减少5厘米，这时表面积比原来减少了120平方厘米。表面积减少的是高为5厘米的长方体的4个侧面的面积。先求出减少部分的1个侧面的面积，120÷4＝30（平方厘米）；根据长方形的面积公式S＝ab，求出原来长方体的底面边长就是6厘米。原来的高是6＋5＝11（厘米），再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的体积公式解答即可。 21．（1）2.5分米 （2）57平方分米 【分析】（1）由题意，长方体内水的体积为4×3×5＝60（立方分米），现以这个容器的右侧面为底，侧放在桌面上，这时是以8×3的面为底面，要求此时的水深，可列式为：4×3×5÷（3 ×8）＝2.5（分米）； （2）观察图2，此时没有与水接触的部分的面积可看作是一个无盖的长方体的表面积，其中长、宽、高分别为8、3、（4－2.5）；利用这些数据，结合长方体表面积公式，可求得没有与水接触部分的面积是多少。 【详解】（1）4×3×5÷（3×8） ＝60÷24 ＝2.5（分米） 答：这是水深2.5分米。 （2）4－2.5＝1.5（分米） 8×3＋（3×1.5＋8×1.5）×2 ＝24＋16.5×2 ＝24＋33 ＝57（平方分米） 答：没有与水接触部分的面积是57平方分米。 【点睛】（1）这一问属于体积的等积变形，要点是掌握其中不变的为水的体积； （2）这一问较为复杂，因为没有与水接触部分是5个面，且同属于一个长方体，所以可视作为一个无盖的长方体的表面积。 22．（1）见详解； （2）10；540立方厘米 【分析】（1）由于a＞b＞c，所以ab＞ac＞bc，所以①中这个长方体与水槽的接触面最大，刚开始注水时，水位上涨最快，后水位超过c厘米之后，水位上涨速度减缓；同理，③中这个长方体与水槽的接触面较小，刚开始注水时，水位上涨速度稍低于①，之后水位超过b厘米之后，水位上涨速度也减缓；②中长方体的高恰好等于水槽的高度，所以水位是匀速上涨的。据此连线即可。 （2）观察图片和水位的变化情况，发现水槽的高是10厘米，这个长方体的长宽高分别是10厘米、9厘米和6厘米，据此根据长方体的体积公式直接列式计算即可。 【详解】（1） （2）由图可知，水槽的高＝10厘米，长方体的长宽高分别是10厘米、9厘米和6厘米。 10×9×6＝540（立方厘米） 答：这个长方体的体积是540立方厘米。 【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体的体积等于长乘宽乘高。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $