【从课本到奥数】小升初重点专题：比（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

【从课本到奥数】小升初重点专题：比-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．把一批书按2∶4∶5或3∶4∶6两种方案分给六年级3个班，都可以将这批书分完，这批书的本数可能是（    ）。 A．91 B．99 C．120 D．143 2．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？（    ） A．650米 B．700米 C．600米 D．750米 3．某学校学生报名参加科技兴趣小组，参加的同学是全校总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是3∶4，全校一共有（    ）人。 A．360 B．380 C．400 D．420 4．小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多，小方用的时间比小明多，小明和小方的速度之比是多少？（    ）。 A．37∶14 B．27∶20 C．24∶9 D．21∶4 5．甲、乙、丙三人同时从起点出发，匀速跑向100外的终点，并在到达终点后立刻以相同的速度匀速返回起点。甲第一个到达终点时，乙和丙分别距离终点20米和36米。问当丙到达终点时，乙距离起点多少米？（    ）。 A．60 B．64 C．75 D．80 6．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积的比是5∶1，另一个瓶中酒精与水的体积的比是4∶1，两瓶酒精混合后，酒精与水的体积的比是（    ）。 A．9∶2 B．11∶2 C．45∶11 D．49∶11 7．如图，正方形地中牡丹花占，三角形地中玫瑰花占，牡丹花种植面积与玫瑰花种植面积的比是（    ）。 A．4∶3 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶4 8．有一个长方形，长与宽之比为；另有一个直角三角形，两条直角边之比为。若这两个图形恰能拼成一个直角梯形，则该长方形与三角形的面积之比不可能是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 9．一杯糖水中糖占糖水的，如果加入20克糖后，糖与水的比是3∶17，原来有糖水( )克。 10．学校体育室排球与足球个数的比是9∶10，足球与篮球个数的比是5∶7。已知篮球与排球共有69个，篮球比排球多( )个。 11．小刚和小强两人早晨跑步，小刚比小强多跑了的路程，且小刚的速度比小强快，则小刚和小强两人跑步的时间比是( )。 12．如图中阴影部分的面积相当于三角形面积的，相当于长方形面积的，则空白部分甲和空白部分乙的面积比是( )。 13．分母相同的两个最简分数的和是，它们分子的比是4∶11，这两个数分别是( )和( )。 14．甲、乙两列火车同时从A地向相反方向行驶，分别开往B地和C地，已知A、B之间路程是A、C之间路程的。当甲车行驶60千米时，乙车行驶的路程与剩下路程之比是1∶3，这时两列火车离目的地的路程相等。A、C之间的路程是( )千米。 15．张师傅和王师傅合作加工一批零件10天可完成任务。两人合作5天后张师傅休假了，王师傅独自加工8天完成了任务。张师傅和王师傅的工作效率比是( )。 16．如图，小红和小丽两个小朋友在一块正方形地上玩游戏。小红在A点，小丽在C点，她们同时出发，在距离D点3.5米处的E点相遇。已知小红和小丽的速度比是，这个正方形的周长是( )米。 三、解答题 17．小明读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了12页，这时已读的页数与剩下的页数的比是8∶7，这本书共有多少页？ 18．某人骑自行车从小镇到县城，8点出发，计划9点到，骑了一段路后，自行车出了故障。下车就地修车10分钟，修车地点距中点还差2千米，他为了按时到县城，车速提高了，结果还是比预定时间晚2分钟到达县城，骑车人原来每小时行多少千米？ 19．如图，沿一个正方形的对角线将其分成两个三角形，M，N是这两个三角形中的内接正方形。求M，N的面积之比。 20．有A、B两地，从A到B包括一段上坡和一段下坡。甲、乙两人上坡速度一样，甲的上坡速度与下坡速度的比为2∶3，乙的上坡速度与下坡速度的比为3∶4。 （1）如果甲的下坡速度为5.4千米/时，乙的下坡速度是多少？ （2）如果甲从A到B的时间与乙从B到A的时间相同，那么从A到B的上坡与下坡路程之比为______。 21．甲、乙两款奶制品2022春节期间卖得很火，公司决定和某公司合作扩大业务，雀巢公司投资了6000万元人民币，另一家公司投资了4000万元人民币。如果第一个年，利润为550万元，以后每年比前一年多赚20万元。 （1）合伙人之间应该如何分配利润？ （2）合作后的第三年利润应该如何分配？第五年呢？ （3）照上面的利润计算，几年后两家公司就可以收回最初的投资？（利润总是按同样的比例分配） 22．一方有难，八方支援，近来西安疫情也是受到四面八方支援。秦晋之好。绵延千年，抗击疫情，让我们认识了真正的英雄。他们有“遥知百战胜，定扫鬼方还”的决绝，他们有“谓我不愧君，青鸟明丹心”的赤诚，他们有“驰驱一世豪杰，相与济时艰”的担当，山西省医护工作队720人，咸阳市医护工作队560人，星夜兼程，支援西安疫情防控。从山西省调出几人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《【从课本到奥数】小升初重点专题：比-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D B C D C A 1．D 【解析】如果按2∶4∶5的方案来分配，则书的总数可看作2＋4＋5＝11份；如果按3∶4∶6的方案来分配，则书的总数可看作3＋4＋6＝13份。又知这两种分配方案都可以将这批书分完，那么书的总数就是两种方案中份数的公倍数，题目里只有最小公倍数，则选择最小公倍数。 【详解】2＋4＋5＝11 3＋4＋6＝13 11×13＝143（本） 故选：D。 【点睛】因为比可以表示几个量的倍数关系，所以解答本题时，能够将连比中的每一项相加，以求得答案。 2．C 【解析】马跑4步的距离狗跑7步，也就是马跑1步的距离等于狗跑 步；狗跑5步的时间马跑3步，相同时间内狗和马跑的距离比是（5×1）∶（3×），据此解答。 【详解】由分析可知，相同时间内狗和马跑的距离比是（5×1）∶（3×）化简得：20∶21 30÷（21－20）×20 ＝30×20 ＝600（米） 狗再跑600米远，马可以追上它。 故选择：C。 【点睛】此题主要考查追及问题，找出狗和马之间的速度关系是解题关键。 3．D 【解析】把全校学生看作单位“1”，刚开始，参加的同学是全校总人数的，后来，参加的同学占全校的；因为前后两个分率的差对应的量恰好是后来参加的人数40人，所以可列式40÷（）。 【详解】40÷（） ＝40÷（） ＝40× ＝420（人）； 答：全校一共有420人。 故选：D。 【点睛】本题将分数除法的应用与比的应用相结合，体现了分数与比的联系与区别。在计算时，注意比与分数形式上的变化。 4．B 【解析】由题意可知，小明和小方路程比为6∶5，小明和小方所用的时间比是8∶9，利用路程与时间的关系，求出小明和小方的速度，再求出他们的比即可。 【详解】由题意可知，小明和小方路程比为6∶5，小明和小方所用的时间比是8∶9； 小明的速度：6÷8＝； 小方的速度：5÷9＝； 小明和小方的速度之比是∶＝27∶20； 故答案为：B。 【点睛】写出小明和小方路程比和时间比，进而求出他们的速度是解答本题的关键。 5．C 【分析】甲到达终点时，乙丙所走路程分别为80米和64米，两者之比为5∶4，所以丙到达终点时，丙所走路程为100米，依据比例乙所走路程为125，即乙已经返回了25米，距离起点75米。 【详解】100－20＝80（米） 100－36＝64（米） 则乙丙速度之比为：80∶64＝5∶4 那么当丙到达终点，跑了100米时，乙就跑了100×＝125（米），即乙又向回跑了125－100＝25（米）那么乙离起点为100－25＝75（米） 故答案为：C。 【点睛】“甲第一个到达终点时，乙和丙分别距离终点20米和36米”，由这个条件推理出乙丙的速度之比是本题的突破口，继而可以结合题意继续求得丙到终点时，乙跑的路程。 6．D 【分析】将一个酒精瓶容积看成单位“1”，则在一个瓶中，酒精占，水占；在另一个瓶中，同样酒精占，水占；于是在混合液中，酒精和水的体积之比是：（＋）∶（＋）。 【详解】（＋）∶（＋） ＝（＋）∶（＋） ＝∶ ＝49∶11 故选D。 【点睛】此题考查比的应用，解决此题的关键是求混合后的酒精和水分别是多少，注意一个酒精瓶容积看成单位“1”，把酒精和水的体积之比转化为占一个酒精瓶容积的几分之几。 7．C 【分析】根据题意，将假山在正方形和三角形的面积占比求出来，由于假山的面积是一定的，据此列式求出三角形面积和正方形面积的等量关系，从而将牡丹花在三角形的面积占比求出来，最终求出牡丹花种植面积与玫瑰花种植面积的比。 【详解】假山在正方形的占比：1－＝ 假山在三角形的占比：1－＝ 所以有，×正方形面积＝×三角形面积，即三角形面积＝×正方形面积。又因为，正方形地中牡丹花占，所以牡丹花面积等于三角形的面积。所以，牡丹花种植面积与玫瑰花种植面积的比为1∶＝3∶2。 故答案为：C 【点睛】本题考查了比的应用，能够根据假山在两块地中的面积占比，将三角形地和正方形地建立关系是解题的关键。 8．A 【分析】如图，长方形的宽＝直角三角形较长直角边，或长方形的长＝三角形较长直角边，或长方形的宽＝三角形较短直角边，或长方形的长＝三角形较短直角边，先统一比，将比的前后项当成长度，根据长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，求出每种情况长方形和三角形面积，写出面积比，化简，找到没有的选项即可。 【详解】，3∶2＝6∶4，6×4＝24，4×3÷2＝6，24∶6＝4∶1； ，3∶2＝12∶8，4∶3＝12∶9，12×8＝96，12×9÷2＝54，96∶54＝16∶9； ，3∶2＝9∶6，4∶3＝8∶6，9×6＝54，8×6÷2＝24，54∶24＝9∶4； ，3×2＝6，4×3÷2＝6，6∶6＝1。 长方形与三角形的面积之比不可能是9∶8。 故答案为：A 【点睛】关键是理解比的意义，掌握比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 9．340 【分析】根据题意，原来糖占糖水的，可知原来糖与水的比是1∶（10－1）＝1∶9，加入糖后，糖与水的比是3∶17，因为水的重量没变，份数应相同，所以1∶9＝17∶153，3∶17＝27∶153，20克糖对应的份数是：27－17＝10份，求出一份的数量，再乘原来的总份数（17＋153）即可 ；据此解答。 【详解】根据分析，1∶（10－1）＝1∶9＝17∶153 3∶17＝27∶153 20÷（27－17） ＝20÷10 ＝2（克） 2×（17＋153） ＝2×170 ＝340（克） 所以，原来有糖水340克。 【点睛】此题考查了比与分数的转换应用，关键能够结合条件找出出一份的数量再求原来的总数。 10．15 【分析】根据题意，排球与足球的个数比是9∶10，足球与篮球的个数比是5∶7，把足球与篮球的个数比变成10∶14，由此求得3种球的连比；又知篮球与排球共有69个，用69除以篮球、排球的份数和，求出一份数，再用一份数乘篮球、排球的份数差，即可求出篮球比排球多的个数。 【详解】排球与足球的个数比是9∶10； 足球与篮球的个数比是5∶7＝10∶14； 则排球、足球和篮球的比是9∶10∶14。 69÷（9＋14） ＝69÷23 ＝3（个） 篮球比排球多： 3×（14－9） ＝3×5 ＝15（个） 【点睛】求出三种球的数量的连比是解题的关键，再依据按比例分配的解题方法解答。 11．9∶8 【分析】根据“小刚比小强多跑了的路程”，把小强跑的路程看作“1”，则小刚跑的路程为（1＋）；根据“小刚的速度比小强快，”把小强的速度看作“1”，则小刚的速度是（1＋）；再根据时间＝路程÷速度，分别求出小刚与小强的跑步时间，写出对应比，化简即可。 【详解】小强的时间：1÷1＝1 小刚的时间： （1＋）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ 小刚和小强两人跑步的时间比是： ∶1 ＝（×8）∶（1×8） ＝9∶8 【点睛】找准单位“1”，再根据路程、速度与时间的关系分别求出小刚与小强的跑步时间是解题的关键。 12．6∶7 【分析】设阴影部分的面积是1，已知阴影部分的面积相当于三角形面积的，则三角形的面积是4；已知阴影部分的面积相当于相当于长方形面积的，则长方形的面积是；因为甲的面积＝三角形的面积－阴影部分的面积，乙的面积＝长方形的面积﹣阴影部分的面积，即可求出甲、乙的面积；最后用甲的面积比乙的面积即可求解。 【详解】设阴影部分的面积是1； 三角形的面积：1÷＝4 长方形的面积：1÷＝ 空白部分甲的面积∶空白部分乙的面积 ＝（4－1）∶（－1） ＝3∶ ＝（3×2）∶（×2） ＝6∶7 【点睛】根据分数除法的意义，求出三角形与长方形的面积是解题的关键。 13． 【分析】因为这两个分数是分母相同的最简分数，那么分子的比就是这两个分数的比，即4∶11；因此这两个分数共分成（4＋11）份，用除法求出1份是多少，再用乘法求出4份、11份是多少，即可求出这两个分数。 【详解】÷（4＋11） ＝÷15 ＝× ＝ ×4＝ ×11＝ 【点睛】此题主要考查了最简分数的认识，以及按比例分配方法知识的掌握与运用能力。 14．400 【分析】乙车行驶的路程与剩下路程之比是1∶3，则剩下的路程占AC之间路程的，已知A、B之间路程是A、C之间路程的，则60千米占AC之间路程的，据此求出AC之间路程。 【详解】（千米） 【点睛】本题考查分数除法、按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解题的计算方法。 15．3∶5 【分析】将工作总量看作单位“1”，两人合作5天完成工作总量的，用剩下的工作总量÷王师傅工作时间＝王师傅工作效率，两人效率和－王师傅工作效率＝张师傅工作效率，根据比的意义，写出两人效率比化简即可。 【详解】1－＝ ÷8＝ －＝ ∶＝3∶5 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，两数相除又叫两个数的比。 16．84 【分析】根据题意，已知小红和小丽的速度比是，设小红行了两条边长之和的，小丽行了两条边长之和的，在距离D点3.5米处的点相遇，小红比小丽多行了米，所对应的分率是，根据分数除法的意义，即可得出长和宽，再进一步解答即可。 【详解】 （米） （米） 【点睛】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答。 17．90页 【分析】本题将全书的页数看作单位“1”， 第一天读了全书的，第二天比第一天多读了12页，两天共读了全书的加12页；读了两天后，已读的页数与剩下的页数的比是8∶7，则已读的页数是全部的；根据“量率对应”，12页对应的分率是 － ，用除法即可求出答案。 【详解】 答：这本书共有90页。 【点睛】本题考查了比的应用、分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 18．12千米 【分析】已知车速提高了，把原来的车速看作单位“1”，则提速后的车速是原来的（1＋），根据比的意义得出提速后的速度与原来的速度比为（1＋）∶1＝5∶4； 把全程看作单位“1”，根据“时间＝路程÷速度”，可知提速后的时间为，原来的时间为；根据比的意义得出提速后的时间与原来的时间之比∶＝4∶5； 已知修车耽误了10分钟，只比预定时间晚2分钟到达县城，即实际比原来少用了10－2＝8分钟；因为提速后的时间与原来的时间比为4∶5，即提速后的时间占4份，原来的时间占5份，相差（5－4）份；用实际比原来少用的时间8分钟除以少的份数，求出一份数为8分钟，再用一份数乘原来的时间份数，求出行驶到故障点所用的时间为8×5＝40分钟； 原计划行驶全程需9时－8时＝1小时，即60分钟，那么行驶到故障点用的时间占全部时间的40÷60＝，也就是行驶到故障点的这段路程占全程的； 已知修车地点距中点即全程的还差2千米，那么2千米占全程的（－），把全程看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出全程； 再根据“速度＝路程÷时间”，用全程除以原来计划的时间，即可求出骑车人原来的速度。 【详解】提速后的速度与原来的速度比： （1＋）∶1 ＝∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝5∶4 提速后用的时间与原来用的时间之比： （1÷5）∶（1÷4） ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝4∶5 提速前行驶用的时间： （10－2）÷（5－4）×5 ＝8÷1×5 ＝40（分钟） 行驶到故障点的这段路程占全程的：40÷60＝ 全程： 2÷（－） ＝2÷（－） ＝2÷ ＝2×6 ＝12（千米） 原来每小时行： 12÷（9－8） ＝12÷1 ＝12（千米） 答：骑车人原来每小时行12千米。 【点睛】算出故障点距离起点的路程占全程的几分之几，再根据分数除法的意义求出全程是解题的关键。 19．8∶9 【分析】作辅助线如下： 以大正方形的面积为单位“1”，沿这个正方形的对角线将其分成两个三角形，这两个三角形的面积各占大正方形面积的。从图中可知：M占所在三角形面积的，用×＝即求出了M占大正方形的面积的，N占所在三角形面积的，用×＝即求出了N占大正方形的面积的；求出∶的最简整数比即可。 【详解】M：×＝ N：×＝ ∶ ＝（×36）∶（×36） ＝8∶9 M∶N＝8∶9 答：M和N的面积之比是8∶9。 【点睛】作辅助线明确M、N各占大正方形面积的几分之几是解此题的关键。 20．（1）4.8千米/时；（2）4∶3 【分析】（1）根据甲的上坡速度与下坡速度的比为2∶3，可以求出甲的上坡速度，因为甲、乙两人上坡速度一样，再根据乙的上坡速度与下坡速度的比为3∶4，可以求出乙的下坡速度； （2）假设上坡路程为x，下坡路程为y，则可以用式子分别表示出甲、乙的总时间，即甲的总时间为（）小时，乙从B到A的总时间为（）小时，因为他们的总时间相同，从而列出方程求出上坡与下坡的路程比。 【详解】（1）5.4÷3×2 ＝1.8×2 ＝3.6（千米/小时） 3.6÷3×4 ＝1.2×4 ＝4.8（千米/小时） 答：乙的下坡速度是4.8千米/小时。 （2）假设上坡路程为x，下坡路程为y。 ＝ 720x＋480y＝540x＋720y （720－540）x＝（720－480）y 180x＝240y x∶y＝240∶180＝4∶3 所以从A到B的上坡与下坡路程之比为4∶3 【点睛】本题主要考查的是按比分配应用题的解法，用具体数量除以它所对应的份数求出一份的数量，从而解决问题，还要明确甲上坡的路程就是乙下坡的路程，甲下坡的路程就是乙上坡的路程。 21．（1）3∶2 （2）第三年：雀巢354万元，另一家公司236万元； 第五年：雀巢378万元，另一家公司252万元。 （3）15年 【分析】（1）应按投资比进行分配； （2）分别算出第三年和第五年的利润，然后按比分配即可； （3）算出两家公司投资之和，算出几年后利润之和与投资之和相等即可。 【详解】（1）6000∶4000＝3∶2 答：雀巢公司和另一家公司应该按3∶2分配利润。 （2）550＋2×20 ＝550＋40 ＝590（万元） 590× ＝590× ＝354（万元） 590× ＝590× ＝236（万元） 答：第三年雀巢公司分配354万元，另一家公司分配236万元。 550＋4×20 ＝550＋80 ＝630（万元） 630× ＝630× ＝378（万元） 630× ＝630× ＝252（万元） 答：第五年雀巢公司分配378万元，另一家公司分配252万元。 （3）6000＋4000＝10000（万元） 第一年的利润：550万元 第二年的利润：550＋20＝570万元 第三年的利润：570＋20＝590万元 第四年的利润：590＋20＝610万元 第五年的利润：610＋20＝630万元 第六年的利润：630＋20＝650万元 … 第十五年的利润：810＋20＝830万元 550＋570＋590＋610＋630＋650＋……＋830＝10350万元 答：15年后两家公司就可以收回最初的投资。 【点睛】掌握比的应用是解决此题的关键。 22．208人 【分析】根据题意，设从山西省调出人到咸阳市医护工作队，使两工作队人数的比达到2∶3，即咸阳市医护工作队的人数是山西省的，由此得出等量关系：原来咸阳市医护工作队的人数＋调进的人数＝（原来山西省医护工作队的人数－调出的人数）×，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设从山西省调出人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3。 560＋＝（720－）× 560＋＝1080－1.5 ＋1.5＝1080－560 2.5＝520 ＝520÷2.5 ＝208 答：从山西省调出208人到咸阳市医护工作队，才能使两工作队人数的比达到2∶3。 【点睛】本题考查列方程解决问题，将比转化成分数，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $