专题04 四边形的存在性问题与最值问题13大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

专题04 四边形的存在性问题与最值问题 题型1 面积的存在性问题 题型7 菱形的存在性问题 题型2 等腰三角形的存在性问题 题型8 正方形的存在性问题 题型3 直角三角形的存在性问题 题型9 线段最值问题 题型4 全等三角形的存在性问题 题型10 两线段和的最值（轴对称） 题型5 平行四边形的存在性问题 题型11 两线段和的最值（平移） 题型6 矩形的存在性问题 题型12 最值中的旋转问题 题型13 最值大题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 面积的存在性问题（共4小题） 1．如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)不发生变化， 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）是，理由如下： 如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）四边形的面积不发生变化， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积， ∴不发生变化，    过点A作于点H， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴ 2．对于平面直角坐标系中的两点和，给出如下定义：若，是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与轴或轴垂直，则称该矩形为点，的“对角矩形”，下图为“对角矩形”的示意图．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)①当时，点，的“对角矩形”的面积的值为______； ②若点，的“对角矩形”的面积是8，则的值为______； (2)若点，的“对角矩形”是正方形，求直线的解析式． 【答案】(1)①6；②5或-3 (2)直线AC的解析式为y=-x+2或y=x 【分析】（1）①求出C（4，-1），根据 “对角矩形”的定义得到B（1，-1），求出AB、BC，再根据公式计算面积； ②求出AB=1-(-1)=2，BC=，利用面积公式得到，求出t即可； （2）根据正方形的性质得到AB=BC，列得方程，解得t=3或t=-1；利用待定系数法求出解析式． 【详解】（1）解：①当t=4时，C（4，-1）， ∵四边形ABCD为“对角矩形”，A（1，1）， ∴B（1，-1）， ∴AB=1+1=2，BC=4-1=3， ∴“对角矩形”的面积==6， 故答案为：6 ②∵点A的坐标为，点的坐标为． ∴AB=1-(-1)=2，BC=， ∵点A，的“对角矩形”的面积是8， ∴，解得t=5或t=-3； 故答案为：5或-3； （2）∵点A，的“对角矩形”是正方形， ∴AB=BC， ∴，解得t=3或t=-1； ∴C（3，-1）或（-1，-1）， 设直线的解析式为y=kx+b，将A（1，1），C（3，-1）代入得 ，解得， ∴直线的解析式为y=-x+2； 设直线的解析式为y=mx+n，将A（1，1），C（-1，-1）代入得 ，解得， ∴直线的解析式为y=x； 综上，直线AC的解析式为y=-x+2或y=x． 【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，正确理解矩形的性质及正方形的性质是解题的关键． 3．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 4．在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图．       (1)已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； (2)已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②或 【分析】（1）根据“率矩形”定义，把将点坐标代入，即可求出k的值，再利用矩形的性质即可求出点坐标，最后利用勾股定理即可求出的长； （2）设和交点为，①根据矩形为“矩形”，直线平分该矩形的面积，联立两直线解析式可得出矩形的对角线的交点坐标为，根据与轴垂直，可得，即可得答案；②根据矩形为“矩形”可知解析式为，与轴正半轴的夹角为，由轴及点A的坐标，即可得出，过点作于，可用表示出、、的长，进而表示出矩形的面积，矩形的面积大于列不等式即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∴； ∵“矩形”，点，在直线上， ∴， ∴， ∴，则，解得：， ∴， ∴； （2）设和交点为， ①∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴直线必经过矩形的对角线的交点， 联立两直线解析式得：， 解得：， ∴， ∵、两点连线与轴平行，即垂直轴， ∴， ∴． ②∵矩形为“矩形”， ∴直线的解析式为， ∴与轴正半轴的夹角为， ∵对角线与轴垂直，且， 令，解得：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∵矩形的面积大于， ∴ ∴， 当，即时，则， 解得：， 当，即时，则， 解得：， ∴当或时矩形的面积大于． 【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数与几何综合、求一次函数解析式及解一元一次不等式，正确表示出矩形的面积，解题关键． 题型二 等腰三角形的存在性问题（共4小题） 5．如图，在中，对角线，相交于点，于点．若，，点，为射线上的两个动点，点从出发沿射线方向运动，点从出发沿射线方向运动，． (1)求的长． (2)当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． (3)当三角形为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)2或8 (3)，，8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的定义和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质和等腰三角形的定义和性质是解题的关键． （1）由勾股定理求出，根据平行四边形的性质得出，，再根据勾股定理求出，即可求出． （2）设，则，分两种情况，利用平行四边形的性质求解即可． （3）设，则，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：于点， ， 又，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ． （2）解：设，则 在中，， ①当四边形是平行四边形时， ∴． ②当四边形是平行四边形时， ∴ （3）解：设，则， ①当时，为等腰三角形， 过点C作交与点H， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴ 解得：， 即． ②当时，为等腰三角形， 即 解得， 即 ③当时， 为等腰三角形， 过点C作交点H， 则，， 即， 解得． 即 所以的值为，，8． 6．如图，在长方形中，点E是边的中点，沿对折长方形，使点B落在点P处，折痕为，连接并延长交于点F，连接，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6或 【分析】（1）证，则，即可得出结论． （2）证，即可得出结论． （3）解：分两种情况：①当时，证，则，即可求解；②当时，，证 ，过P作交于M， 则，，，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：由（1）得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，如图1所示： 则， 由（2）得：，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 又∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2所示： ， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 过P作交于M， 则， ∴，， ∴； 综上所述，的长为6或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，长方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质． 7．如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；是，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以；是，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或， 故答案为：或4或． 8．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为 (1)连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，见解析 (2)存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或 【分析】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明． 【详解】（1）解：不存在， 理由：当点在上，即时， ，， ，． ， ， 解得，，均不合题意，舍去． 当点在上，即时， ，． ∵， ∴，解得(不合题意，舍去)． 不存在的值，使的面积为 ． （2）存在由题意，得 ，， ，． 当时，由题意，得，， ， ，即， 解得． 当时，在中，， 在中，， ，解得不合题意，舍去，． 存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或 题型三 直角三角形的存在性问题（共4小题） 9．如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，或2 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直线与直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入函数表达式y=kx+b,即可求解； （2）证明可求解； （3）①当时，，则AC是中线，则，故点，即可求解；②当时，则点，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得： ， 解得，， 故直线的表达式为：； （2）解：当时， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （3）解：①当时，，则是中线，则， 故点， 设直线的表达式为， 把点C、F的坐标代入得 解得 ∴直线的表达式为，， 故点，则； ②当时，则点， 则， 故点， 同理直线的表达式为：， 故； 综上，或2． 10．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长：___________，___________； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4 (2)存在，或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． （1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形． 11．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．    (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)在点P、Q的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 (3)或或时满足为直角三角形 【分析】（1）设秒后，的面积等于，利用割补法表示，建立方程求解即可； （2）点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上，即为，即，根据勾股定理将分别用x表示出来，列方程求出x的值即可； （3）分别表示出，，，然后结合勾股定理进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 则由题意，秒后，，，， ∵， ， ， ， ， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上． （3）设秒后，满足条件，其中， 则，，， ①若，则， 即：， 整理得：， 解得：或； ②若，则， 即：， 解得：，不合题意，舍去； ③若，则， 即：， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上，当或或时满足为直角三角形 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的性质，勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解． 12．如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． 题型四 全等三角形的存在性问题（共4小题） 13．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【详解】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 14．在平面直角坐标系中，线段，，以为边作长方形． (1)求的长； (2)将沿对折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，求点坐标； (3)在平面内，是否还存在点（点除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）设，则，由折叠的性质可得，，，进而再由勾股定理可得，解方程可求出答案； （）将点在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法画出图形，由勾股定理求出答案即可； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）设，则， 由折叠得，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得． ∴； （3）解：存在点，使得与全等． ①当点与点重合时，如图，，此时； ②当点在第一象限时，如图，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在第四象限时，如图，， 过点作于点，交于点， 同理可得，，， ∴，， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或． 15．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于点A、C，得到，，结合四边形是矩形，得到，继而得到． （2）根据，确定，折叠的性质，得到，利用勾股定理求解，确定点D的坐标，设直线解析式为，代入计算即可． （3）根据全等三角形的判定方法，分类证明，计算即可． 【详解】（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）∵，对折，使得点A与点C重合， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （3）存在，且或或．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故当P与O重合时，满足条件，此时； 如图，过点B作,交的延长线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； 如图，设与交于点G， 则四边形是菱形， ∴，， 故, 点O作,交的延长线于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 故直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； ∴或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理是解题的关键． 16．【综合与探究】新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 理解：如图①，在中，点D，E分别是的中点，那么为的一条中位线．可得且． 应用：如图②，在中，，点D，E分别在边，上，且．点M，N，P分别是，和的中点．已知． (1)当时， ①请直接写出：与的数量关系 ； ； ②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由； (2)将绕点A旋转，当点D在内时（如图③），试说明与的数量关系，并求出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①，；②存在点D ，理由见解析，D是靠近A的三等分点 (2)， 【分析】（1）①由点M，N，P分别是，和的中点，可知是的中位线，是的中位线，故，，，，即可得，，，从而可得； ②连接，由①知是等腰直角三角形，若，则，故D是靠近A的三等分点； （2）连接，，证明，可得，，根据点M，N，P分别是，和的中点，有，，，，从而可得，，，通过角的换算即可得． 【详解】（1）解：①如图： ∵，， ∴，即， ∵点M，N，P分别是，和的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴，即， 故答案为：；； ②存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等，理由如下： 连接，如图： 由①知是等腰直角三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴D是靠近A的三等分点； （2）；理由如下： 连接，，如图： 由旋转可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点M，N，P分别是，和的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积，平行线的性质及应用，三角形中位线等知识点，解题的关键是作出相应辅助线，构建全等三角形． 题型五 平行四边形的存在性问题（共4小题） 17．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 18．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （2）可证明和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边；当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （3）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 19．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【分析】（1）由菱形的性质得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由菱形的性质得，，结合是的中点时，由平行四边形的判定方法，即可得证； （3）过作交的延长线于，由菱形的性质和等腰三角形的判定及性质得，结合菱形的性质，设，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的特征，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 20．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，见解析 【分析】（1）如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 题型六 矩形的存在性问题（共4小题） 21．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； ②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ，，， ， ，， ，， ∴， ∵为的平分线， ， ， ， ∵为中点， ， ∴， 由勾股定理可得， ， ∴． （2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ， ， ， ， 把代入得：， ； ②存在，如图： ∵点是射线上的动点， ∴设， ∵， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得：， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为且． (1)求对角线的长度； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求四边形的周长； (3)若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或或或． 【分析】（）由四边形是矩形得，，又，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）由折叠性质可知，，垂直平分，证明是等边三角形，即可证明四边形是菱形，设，则，最后理性质和勾股定理即可求解； （）当是矩形的边时，分点在轴上，当点在轴上，当是矩形的对角线时，分点在轴上，当点在轴上 即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：由折叠性质可知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形； （3）存在， 如图，当是矩形的边时，当点在轴上， ∵是的中点， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 过点，作于点， 则，， ∴， 当点在轴上，， ∴， 过点作轴于点， 则 ， ∴， ∵ ， ； 如图，当是矩形的对角线时， 当点在轴上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 当点在轴上时，则点为， 综上所述，平面内存在点，以点为顶点的四边形为矩形，点的坐标为 或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】（1）把点的坐标代入中，求出的值，即可得到直线的解析式，根据解析式即可求出点的坐标； （2）根据、轴，可知，可得，解方程求出的值即可； （3）当为矩形的对角线时，利用三角形的面积公式可以求出，根据矩形的性质可知，设点的坐标是，可得：，解方程求出的值，即为点的横坐标；当时，根据矩形的性质可以直接得出点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：点在直线：上， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 解得：或， 当或时，； （3）解：已知点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示，当为矩形的对角线时， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 则直线的解析式为， 设点的坐标是， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 点的坐标是； 如下图所示，当时， 可得：，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 24．如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)存在；N或或或 【分析】（1）解方程可求得交点坐标； （2）证明即可； （3）利用等高三角形的面积比等于底的比进行计算即可； （4）分为边和为对角线进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴， 故答案为：； （2）证明：设的解析式为，把代入得：， 解得 直线为 当时， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴轴， ∴， ∴即平分； （3）解：设，连接如下图： 由题意得：与同高 ∴即 解得： 或； （4）解：存在；若为矩形的一边， 直线的解析式为 设 当以为对角线时，如下图∶ ∵四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当以为对角线时，同理可得， 若为对角线时，设，， ∵，， ∴的中点坐标为，，， ∴， 则 解得：， ∴或 ∴或， 综上所述；N或或或. 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图像及性质以及矩形的性质是解题的关键． 题型七 菱形的存在性问题（共4小题） 25．已知矩形中，，．点E、F、G、H分别在、、、上，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； (3)对于上的任意一点E，是否存在一个四边形是菱形？若都存在，请加以证明；若上只有一部分点存在，请求出存在四边形是菱形时，长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当时，四边形是菱形，理由见解析 (3)上只有一部分点存在，当 ，四边形是菱形． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，即可解决问题； （2）存在．设，根据，可得即可解决问题； （3）结论：上只有一部分点存在．利用勾股定理可得a、b的关系，列出不等式即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形，    ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同法可证， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）存在．设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，，． ∴，，， ∴， ∴． ∴当时，四边形是菱形． （3）结论：上只有一部分点存在． 理由如下： 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴当 ，四边形是菱形． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理，一元一次不等式组是解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 26．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 27．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D 运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点 B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒    (1)t为何值时，四边形为矩形． (2)t为何值时，． (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形？ 【答案】(1)秒时，四边形是矩形 (2)秒，秒 (3)不存在，某一时刻t，使四边形使菱形，当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形 【分析】（1）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）过P作于M，过D作于N，用勾股定理定理求出，根据，列方程求解即可； （3）设Q的速度为vcm/s，根据当时，四边形是平行四边形，得到，再根据当时，是菱形，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，， 当时四边形是矩形． 又∵，， ∴， ∴秒时，四边形是矩形 （2）过P作于M，过D作于N，    则：四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∵， ∴ ∴秒，秒； （3）不存在，某一时刻t，使四边形是菱形；理由如下： 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴不存在，某一时刻t，使四边形是菱形； 设Q的速度为vcm/s， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 当时，是菱形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及勾股定理解三角形． 28．如图①，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)求A、B两点坐标及k、b的值； (2)若点P为x轴上一点，则在坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，Q的坐标为：或或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形性质，菱形性质，勾股定理等，解题时要注意分类讨论，避免漏解． （1）待定系数法求函数解析式；将代入，，解方程即可，在中，令，解方程即可得点坐标； （2）以、、、四个点为顶点构成一个菱形，分两种情况：①当以为边，由，即可求得相应的点和坐标，②当以为对角线，根据菱形对角线互相垂直及勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：将代入，， 得：，， 解得：，， 直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ； （2）解：存在．如图， ①当以为边时， 点，， ， 以、、、为顶点的四边形是菱形， ， 或， 或， 当与关于原点对称时，也满足条件， ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， 因此设，则， 在中，， 解得：， ，则， 综上所述，符合条件的的坐标为：或或或． 题型八 正方形的存在性问题（共4小题） 29．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为；点B的坐标为； (2)直线的表达式为 (3)存在，当点E的坐标为或时，四边开形为正方形 【分析】（1）分别将、代入即可解答； （2）如图，过点作轴于点．先求出P点坐标，再求出、的长，然后根据求得C点坐标，再运用待定系数法即可解答； （3）如图2，设点的坐标为，可得Q点纵坐标，再代入可得Q点得坐标，然后表示出、的长，再令其相等求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得，          ∴点B的坐标为 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴点P的坐标为． 如图，过点P作轴于点H． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ∴ 设直线的表达式为． 将，代入， 得解得 直线的表达式为． （3）解：存在，E的坐标为或，理由如下： ∵轴，轴 ∴ ∵轴 ∴四边开形为矩形 如图2，设点E的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标也为． 把代入，得，解得． ∴点Q的坐标为 ∴，． ∵当时，矩形为正方形， ∴，解得或． 当时，；当时，， ∴当点E的坐标为或时，四边开形为正方形． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质、待定系数法、正方形的性质成为本题的关键． 30．如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）． (1)求点B到线段AC的距离； (2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系； (3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中， ①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒，MQ=NQ (3)存在，秒，理由见详解 (4)①存在，秒，理由见详解②不存在，理由见详解 【分析】（1）结合题意，在中由勾股定理计算，由平行线的性质可知CD的长与的边BC上的高长相等，然后借助面积法求点B到线段AC的距离即可； （2）首先证明四边形DPNC为平行四边形，推导，当NP经过线段AC中点时，即Q为AC中点，由勾股定理计算可计算除，进而易得CN、BN的长，即可求出此时t的值； （3）当四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等时，结合图形可知，由平行线间的距离处处相等，可知的边BN上的高与的边CN上的高相等，易得此时，进而确定，然后计算此时t的值即可； （4）①由折叠的性质及菱形的判定条件可知当时，四边形AQMK为菱形，根据题意列出关于t的方程并求解即可；②若四边形AQMK为正方形，则，由折叠性质可知，此时为等腰直角三角形，，而由题意可知，故可确定不存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴CD的长与的边BC上的高长相等， ∴， 设点B到AC的距离为h， ∴， 解得， ∴点B到线段AC的距离为； （2）∵NP⊥AD，， ∴， 又∵AD//BC， ∴四边形DPNC为平行四边形， ∴， 当NP经过线段AC中点时，即Q为AC中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴秒， 此时， ∴，即点M与点P重合，即， ∵四边形DPNC为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）存在，当秒时，四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等，理由如下： 由题意可知，， ， 若=，则， ∵， 又∵平行线间的距离处处相等， ∴的边BN上的高与的边CN上的高相等，设高均为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴秒， 综上所述，在点M、N运动过程中，当秒时，四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等； （4）①存在，当秒时，四边形AQMK为菱形，理由如下： 由折叠可知， ， 又∵， ∴当时，四边形AQMK为菱形， ∵，， ∴， ∴，， ∴，解得； ②不存在，理由如下： 若四边形AQMK为正方形，则， 由折叠性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴不存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形． 【点睛】本题主要考查了动点问题、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质等知识，综合性较强，解题关键是能够灵活运用所学知识，并利用数形结合的思想分析问题． 31．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，且满足．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，与y轴相交于点E．    (1)___________，___________； (2)试证明≌，并直接写出点E的坐标； (3)若点F是线段上的一个动点，则的最小值为___________； (4)平面内是否存在点M与点N使四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析， (3) (4)存在，， 【分析】（1）根据二次根式的非负性可以得到的值， （2）根据折叠的性质获取全等的条件证明全等， （3）先作对称点，根据勾股定理可以得到的最小值， （4）构造满足条件的全等三角形从而求得点的坐标，分两种情况讨论． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案是8，4． （2）解：由折叠得，， 四边形为矩形， ，， ， 在和中 ， ． 设， ． 在中， ， ， ． ． （3）作点关于直线的对称点，由折叠知点在上，且，连接，则与交点，此时最小．   ， ， ， （4）存在，要使为正方形，则需．分以下两种情况： ①如下图，当点在直线右侧时，过点作轴于点，    在中， ， ， ． ②如下图，当点在直线左侧时，   ， ． 在中， ． ， ． 故坐标分别是，． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，折叠的性质，轴对称的性质，正方形的判定及性质，最短距离等知识，其中，构造正方形的条件是解题的关键，二次根式的非负性是易错点． 32．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；    （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；    【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令即可求得A，B的坐标，从而求得的长； （2）过点E作轴于M，构造“型全等”即可求得点E的坐标； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，这样构造了“型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （4）分三种情况考虑，构造“型全等”即可求得点D的坐标． 【详解】解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 故答案为：4，2； （2）过点E作轴于M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点E的坐标为； 故答案为：；    （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图， 则， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为：， ∵直线过点A、C， ∴，解得：， 即直线的解析式为：；    （4）存在 对于，令，得；令，得； ∴； ①当为正方形的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N； 则， ∵， ∴； ∵；， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C， 即点D的坐标为；    ③当为正方形的对角线时，如图， 过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H， 同理可证明， ∴， 显然点D落在第一象限，设， 则，， 由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论思想． 题型九 线段最值问题（共4小题） 33．如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至F，使得，连接，可得垂直平分，得，得，得点F在射线上运动，当时，最短，为 , 根据三角形中位线性质得即可． 【详解】解：延长至F，使得，连接，如图: ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴点F在与成角的射线上运动， ∴当时，最短， 此时，， ∴， ∵， ∴, ∵E是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴, 故线段的最小值为． 34．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 35．如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 【答案】 1 【分析】过作，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过作，   正方形， ，， ， ， ，且，， ， ，， ， 当时，的最小值为． 36．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质和勾股定理求出的长，由折叠的性质可知，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最短，此时． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，如图， ∴的最小值为． 题型十 对角线转换的最值问题（共4小题） 37．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为． 38．如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称中的最短路线问题，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，找出四边形周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键． 由条件可证四边形为平行四边形，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时取最小值，则四边形周长取最小值， 过点G作于点， 由对称可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 39．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接，．若，，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 如图，连接，，，过点C作，垂足为F，由菱形知，，互相垂直平分，得，由两点之间线段最短得，进而由垂线段最短得的最小值为垂线段的长；根据勾股定理得，由菱形的面积公式得，从而得最小值． 【详解】解：如图，连接，，，过点C作，垂足为F， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分． ∴． ∴ 当点C，P，E三点共线时， 而 ∴的最小值为垂线段的长． ∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 40．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型十一 两线段和的最值（共4小题） 41．如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 42．如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 43．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】要解决的最小值问题，需通过线段平移将分散的线段和转化为共线形式，再结合“两点之间线段最短”与勾股定理求解．利用的垂直关系和平移性质构造直角三角形，将的和转化为直角三角形斜边的长度，进而确定最小值． 【详解】解：如图，将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． ，；，． ，且， ，即． ∵，， ． 在中，根据勾股定理： 由，可得． ∵． 的最小值为的长度，即． 44．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 题型十二 最值中的旋转问题（共2小题） 45．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 46．如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为___． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点F，连接，作关于的对称线段，连接，先证明四边形是正方形，同时求出，进一步推得，然后证明，得出，再根据轴对称的性质得到，所以，同时可证明，，从而，根据两点之间线段最短，即可利用勾股定理求解． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点F，在上取点M，使，连接，过点M作，交于点N，作关于的对称线段，连接， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 和关于对称， ，F、C、G三点共线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点M在上时，最小，即取得最小值， 在中，，， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，轴对称的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 题型十三 最值大题（共4小题） 47．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 48．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 49．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 【答案】(1)=，116 (2) (3)75； 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，构造得到是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出和关于对称，便可得出两个三角形的面积关系；根据三角形外角的性质得到，进而得到，然后由通过等量代换即可解答． （2）先通过勾股定理求出的长，连接，对称性得到，设设，则：，在中，由勾股定理求出的长度，进而求出，再根据对称性得出，即可解答． （3）通过构造得到，再由B、E、G三点共线时确定最小时点E的位置，然后由为等腰直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴和关于对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接， 由对称性可知：， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知，． ∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当最小时，． 故答案为：75；． 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知，． (1)求直线的解析式； (2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求时，点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标． 【答案】(1) (2)关于的函数关系式为．当时，点的坐标为 (3)最小值为， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，解决本题的关键是掌握待定系数法． （1）根据矩形性质求出长，可得点坐标，即可求直线的解析式； （2）根据（1）中直线解析式即可得三角形的面积与的关系式，进而求得点坐标． （3）作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小，据此求解即可． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理，得， ， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴直线的解析式为． （2）， 当时，， ∴关于的函数关系式为，当时，点的坐标为． （3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小， 可得，， ∴， ∴最小值为， 设直线函数关系式为：， 可得，解得：， ∴直线函数关系式为：， 令得， 解得：， ∴． $ 专题04 四边形的存在性问题与最值问题 题型1 面积的存在性问题 题型7 菱形的存在性问题 题型2 等腰三角形的存在性问题 题型8 正方形的存在性问题 题型3 直角三角形的存在性问题 题型9 线段最值问题 题型4 全等三角形的存在性问题 题型10 两线段和的最值（轴对称） 题型5 平行四边形的存在性问题 题型11 两线段和的最值（平移） 题型6 矩形的存在性问题 题型12 最值中的旋转问题 题型13 最值大题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 面积的存在性问题（共4小题） 1．如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 2．对于平面直角坐标系中的两点和，给出如下定义：若，是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与轴或轴垂直，则称该矩形为点，的“对角矩形”，下图为“对角矩形”的示意图．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)①当时，点，的“对角矩形”的面积的值为______； ②若点，的“对角矩形”的面积是8，则的值为______； (2)若点，的“对角矩形”是正方形，求直线的解析式． 3．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 4．在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线（）上，则称矩形为“矩形”．如图为“矩形”的示意图．       (1)已知“矩形”，点，在直线上，点的坐标是，的值是________，点的坐标是________，________； (2)已知，其中． ①若矩形为“矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“矩形”，且矩形的面积大于，直接写出的取值范围． 题型二 等腰三角形的存在性问题（共4小题） 5．如图，在中，对角线，相交于点，于点．若，，点，为射线上的两个动点，点从出发沿射线方向运动，点从出发沿射线方向运动，． (1)求的长． (2)当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． (3)当三角形为等腰三角形时，求的长． 6．如图，在长方形中，点E是边的中点，沿对折长方形，使点B落在点P处，折痕为，连接并延长交于点F，连接，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 7．如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 8．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为 (1)连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 题型三 直角三角形的存在性问题（共4小题） 9．如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长：___________，___________； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．    (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)在点P、Q的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案． 12．如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型四 全等三角形的存在性问题（共4小题） 13．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，线段，，以为边作长方形． (1)求的长； (2)将沿对折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，求点坐标； (3)在平面内，是否还存在点（点除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．【综合与探究】新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 理解：如图①，在中，点D，E分别是的中点，那么为的一条中位线．可得且． 应用：如图②，在中，，点D，E分别在边，上，且．点M，N，P分别是，和的中点．已知． (1)当时， ①请直接写出：与的数量关系 ； ； ②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由； (2)将绕点A旋转，当点D在内时（如图③），试说明与的数量关系，并求出的度数（用含α的式子表示）． 题型五 平行四边形的存在性问题（共4小题） 17．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 18．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 19．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 20．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型六 矩形的存在性问题（共4小题） 21．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． (1)求点B和点E的坐标； (2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为且． (1)求对角线的长度； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求四边形的周长； (3)若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 23．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 菱形的存在性问题（共4小题） 25．已知矩形中，，．点E、F、G、H分别在、、、上，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； (3)对于上的任意一点E，是否存在一个四边形是菱形？若都存在，请加以证明；若上只有一部分点存在，请求出存在四边形是菱形时，长的取值范围． 26．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 27．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D 运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点 B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒    (1)t为何值时，四边形为矩形． (2)t为何值时，． (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形？ 28．如图①，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)求A、B两点坐标及k、b的值； (2)若点P为x轴上一点，则在坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 正方形的存在性问题（共4小题） 29．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）． (1)求点B到线段AC的距离； (2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系； (3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中， ①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 31．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，且满足．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，与y轴相交于点E．    (1)___________，___________； (2)试证明≌，并直接写出点E的坐标； (3)若点F是线段上的一个动点，则的最小值为___________； (4)平面内是否存在点M与点N使四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 32．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；    （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；    【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    题型九 线段最值问题（共4小题） 33．如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 34．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 35．如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 36．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 题型十 对角线转换的最值问题（共4小题） 37．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 38．如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______． 39．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接，．若，，则的最小值为____________． 40．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 题型十一 两线段和的最值（共4小题） 41．如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 42．如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 43．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 44．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 题型十二 最值中的旋转问题（共2小题） 45．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 46．如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为___． 题型十三 最值大题（共4小题） 47．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 48．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 49．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知，． (1)求直线的解析式； (2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求时，点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $