圆锥曲线：双曲线的轨迹方程问题、焦点三角形问题、离心率问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线轨迹方程、焦点三角形、离心率三大核心考点，按定义理解、方程构建、性质应用的逻辑层次梳理知识，通过知识点解析、解题原理提炼、解题思路归纳及真题例题与变式训练，系统帮助学生突破几何与代数转化难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如焦点三角形问题结合双曲线定义与余弦定理推导边角关系，离心率问题通过几何条件转化为齐次式求解，设计分层训练提升运算能力与模型观念，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 圆锥曲线：双曲线的轨迹方程问题、焦点三角形问题、离心率问题复习讲义 考点目录 双曲线的轨迹方程问题 双曲线的焦点三角形问题 双曲线的离心率问题 知识点解析 考点一 双曲线的轨迹方程问题 知识点 1. 定义：动点到两定点距离差的绝对值为定值 1. 标准方程：、，满足 1. 求轨方法：定义法、直译法、相关点法、参数法 解题原理 将几何约束转化为坐标方程，化简后得到轨迹解析式 解题思路 1. 设动点坐标 1. 依据距离差等条件列等式 1. 整理化简方程 1. 根据范围限制舍去不合条件的轨迹 考点二 双曲线的焦点三角形问题 知识点 1. 焦点三角形：双曲线上动点与两焦点构成的三角形 1. 核心关系： 1. 常用工具：余弦定理、三角形面积公式、边角关系 解题原理 借助双曲线定义确定边长差值，结合定理求解角度、边长、面积与最值 解题思路 1. 利用定义写出两条焦半径差值 1. 已知夹角套用余弦定理列式 1. 计算三角形面积、内角大小 1. 结合不等式求解取值范围与极值 考点三 双曲线的离心率问题 知识点 1. 离心率：，取值 1. 换算关系：，变形 1. 几何意义：越大，双曲线开口越开阔 解题原理 把几何条件转化为齐次式，换元求解离心率大小或区间 解题思路 1. 挖掘线段、角度等量关系，搭建三参数方程/不等式 1. 式子统一化为齐次形式，同除 1. 代入计算 1. 结合约束，敲定最终结果 考点一 双曲线的轨迹方程问题 【例题分析】 例1．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 考点二 双曲线的焦点三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·广东广州·三模·多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 例2．（2026·江苏盐城·模拟预测·多选）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．直线的斜率为 例3．（2026·陕西渭南·三模·多选）设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．点的横坐标为 【变式训练】 变式1．（2026·四川成都·三模·多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 变式2．（2026·重庆渝中·二模·多选）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的渐近线方程为 C．若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D．若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 变式3．（2026·河北沧州·二模·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 考点三 双曲线的离心率问题 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川泸州·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 例2．（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A，右焦点为F，过点A作垂直于x轴的直线与C的渐近线分别交于点M，N，若的面积是，则C的离心率是______. 例4．（2026·山东德州·三模）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 【变式训练】 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，线段交C于点G，且直线在轴上的截距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 变式3．（2026·四川广元·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 变式4．（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，为的中点且，则的离心率为__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 圆锥曲线：双曲线的轨迹方程问题、焦点三角形问题、离心率问题复习讲义 考点目录 双曲线的轨迹方程问题 双曲线的焦点三角形问题 双曲线的离心率问题 知识点解析 考点一 双曲线的轨迹方程问题 知识点 1. 定义：动点到两定点距离差的绝对值为定值 1. 标准方程：、，满足 1. 求轨方法：定义法、直译法、相关点法、参数法 解题原理 将几何约束转化为坐标方程，化简后得到轨迹解析式 解题思路 1. 设动点坐标 1. 依据距离差等条件列等式 1. 整理化简方程 1. 根据范围限制舍去不合条件的轨迹 考点二 双曲线的焦点三角形问题 知识点 1. 焦点三角形：双曲线上动点与两焦点构成的三角形 1. 核心关系： 1. 常用工具：余弦定理、三角形面积公式、边角关系 解题原理 借助双曲线定义确定边长差值，结合定理求解角度、边长、面积与最值 解题思路 1. 利用定义写出两条焦半径差值 1. 已知夹角套用余弦定理列式 1. 计算三角形面积、内角大小 1. 结合不等式求解取值范围与极值 考点三 双曲线的离心率问题 知识点 1. 离心率：，取值 1. 换算关系：，变形 1. 几何意义：越大，双曲线开口越开阔 解题原理 把几何条件转化为齐次式，换元求解离心率大小或区间 解题思路 1. 挖掘线段、角度等量关系，搭建三参数方程/不等式 1. 式子统一化为齐次形式，同除 1. 代入计算 1. 结合约束，敲定最终结果 考点一 双曲线的轨迹方程问题 【例题分析】 例1．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 例2．（2026·天津武清·模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，得出焦点坐标和渐近线方程，进而得出向量坐标，结合且，构造方程组求出，联立渐近线方程得出，进而求出，从而求出双曲线的方程． 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得，， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 【变式训练】 变式1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 变式2．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线即，焦点坐标为，则双曲线的上焦点为， 可设双曲线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为， 所以，，解得， 所以双曲线的标准方程是. 变式3．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 考点二 双曲线的焦点三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·广东广州·三模·多选）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， B正确， 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确. 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，D正确， 例2．（2026·江苏盐城·模拟预测·多选）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】对于A，联立与双曲线方程，求解后即可判断；对于B，设双曲线的右焦点为，连接,由题意可得为等腰直角三角形，从而得，整理可得，即可判断；对于C，结合B可求得，求出离心率即可判断；对于D，求得，即可判断. 【详解】对于A，由，得或， 所以，故A正确； 对于B，设双曲线的右焦点为，连接， 因为关于原点对称，也关于原点对称， 所以四边形为平行四边形， 且， 所以为等腰直角三角形， 所以， 即，， 所以， 整理得， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由B可知， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率，故C正确； 对于D，因为， 即直线的斜率为，故D正确. 例3．（2026·陕西渭南·三模·多选）设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．点的横坐标为 【答案】ACD 【分析】AB选项，作出辅助线，由题目条件和双曲线定义，余弦定理得到，，，得到渐近线方程和离心率；C选项，求出，得到三角形面积；D选项，联立直线和双曲线方程，得到点的横坐标. 【详解】A选项，设， 双曲线：的渐近线方程为， 显然与垂直，故直线的方程为， ，故原点到的距离为2，即，故， 过点作⊥，垂足为，则， 又为的中点，故， 因为，所以，， 由勾股定理得， 由双曲线定义得，则， 其中，又，所以， 由余弦定理得， 故，，双曲线的渐近线方程为，A正确； B选项，双曲线的离心率为，B错误； C选项，联立直线：与直线：得， 解得，故， 所以，C正确； D选项，联立与双曲线：得， 即，解得或（舍去）， 点的横坐标为，D正确. 【变式训练】 变式1．（2026·四川成都·三模·多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线对称性和 “仅个点在曲线上”的条件，确定在曲线上，A不在，代入求得，得到双曲线方程及参数，，，再据此逐一验证选项：由渐近线公式判断A正确；计算，判断B错误；用坐标法或底高法计算​面积判断C正确；利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值判断D正确． 【详解】双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称， 因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称， 所以在双曲线上，不在双曲线上， 因为在双曲线上，则， 化简得，解得，（舍去）， 所以双曲线的方程为，因此，，， 对于A，渐近线方程为，斜率为，A正确； 对于B，，，， ，， 所以，B错误； 对于C，，，， 的直线方程为，， 到的距离， 所以的面积，C正确； 对于D，要使得取最小值，则点在双曲线的右支上， 根据双曲线定义得，即， 所以， 当三点共线且在之间时，最小， ， 所以最小值为，D正确． 变式2．（2026·重庆渝中·二模·多选）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的渐近线方程为 C．若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D．若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的定义结合等腰直角三角形的性质即可判断A；结合选项A及余弦定理得到，进而得到，即可求出渐近线方程，可判断B；根据三角形大角对大边及通径可得到，进而求出，即可判断C；设出直线，的倾斜角，， 得到，结合两角差正切公式得到，进而得到，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由双曲线的定义可知，，. 令，则，又， 所以是等腰直角三角形， 又，所以， 则，，故A错误； 对于B：在中，， 由余弦定理得，， 整理得，所以，则，故渐近线方程为，故B正确； 对于C：若是钝角三角形，必有， 则在中，，又，所以，即， 解得，又， 所以，所以， 所以双曲线离心率的取值范围是，故C正确； 对于D：令直线，的倾斜角分别是，，，，，， 则，即，， 所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当，时取等号，故D正确． 变式3．（2026·河北沧州·二模·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【详解】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 考点三 双曲线的离心率问题 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川泸州·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或， 或， 因为，所以. 例2．（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形和向量条件求出半弦长，最后在直角三角形建立关于的关系式，用离心率公式可得离心率. 【详解】如图所示，设中点为，连接， 因为为圆心，为中点，可得， 所以三角形为直角三角形. 根据条件得圆心为， 设其中一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，即， 又因为，所以， 由可知三点共线，且为上靠近点的三等分点， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 例3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A，右焦点为F，过点A作垂直于x轴的直线与C的渐近线分别交于点M，N，若的面积是，则C的离心率是______. 【答案】2 【详解】双曲线：的渐近线方程为，由可得 ， 所以的面积是 ，所以，所以. 例4．（2026·山东德州·三模）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】利用在以为直径的圆上得到为直角，结合双曲线右支的定义和直线的斜率得到直角三角形三边关系，再由勾股定理推导出双曲线的离心率. 【详解】因为在以为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得， 即是直角三角形，斜边， 因为直线斜率为，所以中两直角边满足， 在双曲线右支上，由双曲线定义， 代入得，， 由得，化简得，即， 因此离心率. 【变式训练】 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，线段交C于点G，且直线在轴上的截距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知直线方程为，直线方程为，联立求得点G的坐标，再代入双曲线方程即求得C的离心率. 【详解】由题意易知直线方程为，直线方程为， 联立得即 代入双曲线方程,得 ，所以. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 变式3．（2026·四川广元·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】根据题意分析可得，利用角平分线可得，再根据双曲线的定义结合余弦定理计算得出齐次式得出离心率即可. 【详解】∵，设的高为，则，可得，所以， ∵平分，可得， 则， 又因为，所以， 又中，由余弦定理得，则， 所以整理得， 故， 所以. 变式4．（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，为的中点且，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，结合已知条件求出直线方程及斜率，进而得出点坐标，设坐标，结合双曲线方程和直线方程得出的关系，进而求出离心率． 【详解】 已知直线的斜率，，则直线的斜率为， 设，则 在直线上，即①，②， 联立①②得：，即， 设，代入双曲线方程并相减得： ，整理得， 即，化简得， ，即， ，解得， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $