高一数学下学期期中真题重组卷（人教B版，范围：必修第三册）

2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 【答案】D 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D 2．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，，得； ，， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2025·26高三上·河南三门峡·期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 4．（2024·25高一下·北京房山·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 【答案】A 【详解】对于A，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故A正确； 对于B，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故B错误； 对于C，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故C错误； 对于D，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误. 故选：A 5．（2024·25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题意可得圆弧六边形的面积为： ①， 圆弧六边形的周长为： ，即②， 联立①②，解得，，所以. 故选：D 6．（2025·26高三上·福建莆田·期中）已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 由，，得，而， 则，，， 所以. 故选：B 7．（2024·25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 8．（2024·25高一下·湖北武汉·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为. 所以函数的最小正周期为，可得，即， 由可得， 解得或， 当时，， 由可得，可得，解得， 所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解， 令， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·26高三上·河北衡水·期中）下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由，所以A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，可得，所以B错误； 对于C：由正切的倍角公式，可得，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：AD. 10．（2024·25高一下·山东青岛·期中）记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量为 【答案】BD 【详解】由题可设，， 则，， 对于A，， 所以，故A不正确； 对于B，设，若，则存在实数使得，则，故B正确； 对于C，设，若， 则， 当时，，，当时，，不垂直，则不一定垂直，故C不正确； 对于D，在，则， 上的投影向量为，故D正确. 故选；BD. 11．（2025·26高三上·广东汕头·期中）定义：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】对于A，， 则，故A不正确； 对于B，因为，所以， 则， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，因为时，， 又， 所以， 则的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的值为__________． 【答案】/ 【详解】因为，故，故， 而 ， 故答案为：. 13．（2024·25高一下·重庆·期中）设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 【答案】1 【详解】单位向量，由，得，解得， 而，当且仅当时取等号，因此，此时， 因此，，， 所以. 故答案为：1 14．（2024·25高一下·江苏盐城·期中）已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 【答案】 【详解】由题意得， 结合，可得， 其中锐角θ满足，. 因为关于的方程在内有两个不同的解、， 所以方程，即在内有两个不同的解、. 根据，， 满足， 可得， 结合正弦函数的性质，可知，， 所以，即， 可得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·26高二上·河北保定·期中）（13分）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【详解】（1）由题意可知， 而，所以，即， 则， 3分 结合上知，而， 所以； 6分 （2）由上易知： ， 9分 又， 11分 因为，所以. 13分 16．（2025·26高一下·陕西延安·期中）（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点. (1)求； (2)点在边上，若，求； (3)若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，， 2分 . ，； 4分 （2）设，则. 因为，所以， 即，解得. 7分 所以，，； 9分 （3）设，则. ，，，. 12分 因为，所以，即. .当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为1. 15分 17．（2025·26高三上·安徽淮北·期中）（15分）设函数 (1)已知，函数是偶函数，求的值. (2)已知，函数在区间内没有零点，求取值范围. (3)求函数，的值域. 【详解】（1）由已知是偶函数， 2分 又 4分 （2）， 当时，. 函数在区间内没有零点，， 7分 ∴，，即，， 9分 当 综上： 11分 （3）函数 ， 13分 ， 15分 18．（2024·25高一下·重庆北碚·期中）（17分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象. (1)求函数和的解析式； (2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围. 【详解】（1）， 由题有，即，，则. 2分 又因为相邻两条对称轴间的距离为， 所以，即， 所以， 4分 向右平移个单位得：， 所以. 6分 （2） ， 即，对任意的恒成立. 7分 令，， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，有，则， 所以的最大值为3. 10分 （3），即在上恰有三个实数根，，，且， 令，即在上恰有三个实数根，，，且. 由函数图象，有， 再由对称性有，，， 13分 又因为，所以 ， 即，所以. 17分 19．（2024·25高一下·陕西咸阳·期中）（17分）若点A，B，C都在半径为的圆上，且存在实数x，y，z，使得，则称为，，关于圆的“和谐数对”. (1)若，，关于圆的“和谐数对”为，求证：； (2)若，，关于圆的“和谐数对”为，求实数的取值范围； (3)若，，关于圆的“和谐数对”为，且为锐角三角形，，求的最大值 【详解】（1）因为，，关于圆O的“和谐数对”为， 所以，即， 两边平方得， 2分 所以，. 3分 （2）因为，，关于圆O的“和谐数对”为， 所以，所以， 两边平方得， 所以， 5分 因为，所以， 所以实数的取值范围是. 7分 （3）因为，，关于圆O的“和谐数对”为， 所以， 即， 两边平方得. 9分 因为，且为锐角三角形，所以， ， 所以， 所以， 所以， 11分 整理得， 解得或. 13分 因为为锐角三角形，且， 所以，，， 所以，当时取等号，所以的最大值为. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.72/-75 13.1 14. 25 10 10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】1)由题意可知-ae-x0,Be0引B-a∈（引 面snB-ag0,所以B-ae0, ,即>a, cos(B-a)=1-sin2(B-a)= 3分 结合上知a∈0， ,B+aei0小，面cm1a+例- 2 所以sin(a+B)=V-cos2(a+g=12 39 6分 (2)由上易知： cos2B=cos(B+a+B-a)=cos(B+a)cos(B-a)-sin(B+a)sin(B-a) =5x3_12433 9分 13513565 又cos2B=-0-2c0s2B-1..cos=±4y6 11分 65 65 因为Be引 所以cosB= 4v65 13分 65 1/5 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【详解】(1)以0为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则4-2.01,0-2.20.c21. 2分 BD=(-3,2) 正（仔，亚D-3127 … 4分 (2)设F(1,2),则AF=(t+2,2) 因为AF⊥BD,所以AF.BD=0, 即-31+2)+2x2=0,解得1=-名 37分 所以F号2，F-（GD- …9分 (3)设M(x,y),则OM=(x,y) AD=(1,2）,BC=(-1,2),AD.0M=x+2y,BC.0M=-x+2y.…12分 因为AD.0W)BC.0M)=-1,所以(x+2y(-x+2y=-1,即4y2+1=x2 0M=V2+y2=V4y2+1+y2≥1当且仅当y=0时，等号成立 所以OM的最小值为1..15分 B 17.【详解】1)由已知)=2sin+写)~y=fx+0》=2smx+0+写到是偶函数。 0+=+km,k∈Z..日=T+k,keZ. 32 6 .2分 又0∈(0，)，∴.0= 4分 6 (2)y=f(ox)=2sin ox+ 3>0, t当xe.2m时，0r+e@+2a0+” 31 3 :函数y=@)在区间(a2内没有零点，÷(0+管20+写到（缸+keZ,7分 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π0+ ≥km 02- -+k ,keZ,即 3 ,k∈Z, 9分 2π0+T≤km+ 1 k 0≤一+ 32 当k=0时0c0≤兮当k=时，子sm 5 6 综上：时[引 …11分 o数-[ -l-om2x+2l-2x+-n2x-5ca2x+4a5nfar84,18分 a[引m8 y∈[4-5,7]，即所求值域是[4-5,7] 15分 18.【详解】)f八=2snox+ojo>0<引】 1 由题有f(0)=1,即2sin0=1,sinp=2,则p= 2分 6 又因为∫(x)相邻两条对称轴间的距离为2 所以T=元= 2π 即0=2， 所以f(=2sim2x+ .4分 向右平移号个单位得：=2n2x引引 所以g因2-引周-22x到 2C0S2x.… 6分 (2)h到=-7 (2cos2x)2+2acos2x=-2cos22x+a(l+cos2x) =-2cos'2x+acos2x+a<a+1, ππ 即-2cos22x+acos2x≤1，对任意的x∈ 6’4 恒成立 … 7分 令u=c0s2x,x∈ ππ 64 则-2u2+au≤1对任意的u∈ 0, 恒成立， 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即u+号 对任意的u∈ 0, 则a≤3， 所以a的最大值为3 10分 (3)f(x-m=2sin2x+ m=0.即d=2s2x+=m在xe0.7 上恰有三个实数根x,x2, 6 6 x3,且x1<x2<x3, 令1=2x+,即sin1=?在te[交，5n L62 上恰有三个实数根5,42,5，且<1<5 2 由s如1=空函数图象，有行受<1， 再由对称性有+2=π，t2+1=3π，1∈ 13π5π 6’2 13分 π t- 又因为x=二6，所以 *2=26引}北4副 +24-6引6+6+6+6小-2ǎ引 即+2--6引所以s+2-)- 2 17分 19.【详解】(1)因为OA,OB,0C关于圆0的“和谐数对”为3,4,5)， 所以30A+40B+50C=0,即30A+40B=-50C, 两边平方得9r2+16r2+240A.0B=25r2, 2分 所以OA.OB=0,0A⊥0B. 3分 (2)因为OA,OB,0C关于圆O的“和谐数对”为(a,2,1), 所以a0A+20B+0C=0,所以a0A=-20B-0C, 两边平方得a2r2=4r2+4r2c0s(O8,0C+r2, 所以a2=5+4cos(0B,0C）, .5分 因为-1≤cos(0B,0C)≤1，所以1≤a≤9， 所以实数a的取值范围是引-3，-[1,3..7分 (3)因为OA,OB,0C关于圆O的“和谐数对”为a,1-a-b,b), 所以aOA+(1-a-b)OB+b0C=0, 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即aOA+b0C=(a+b-1)OB, 两边平方得a2r2+br2+2ab0A.0C=(a+b-1)2r2.… 9分 因为∠0C-骨，且4BC为脱角三角形，所以∠40C- 3 aio 所以a2r2+b2r2-abr2=(a+b-12r2, 所以a2+b2-ab=(a+b-1)2, 所以2a+2b-1=3ab≤3 11分 整理得3a+b)2-8(a+b)+4≥0， 解得a+b22或a+b≤ 13分 因为ABC为锐角三角形，且aOA+bOC=(a+b-1)OB, 所以a>0,b>0,a+b-1<0, 所以☑+b子当a=6写时取等号，所X+6的最大位为 17分 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修第三册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 2．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·26高三上·河南三门峡·期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（2024·25高一下·北京房山·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 5．（2024·25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 6．（2025·26高三上·福建莆田·期中）已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 7．（2024·25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 8．（2024·25高一下·湖北武汉·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·26高三上·河北衡水·期中）下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·25高一下·山东青岛·期中）记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量为 11．（2025·26高三上·广东汕头·期中）定义：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的值为__________． 13．（2024·25高一下·重庆·期中）设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 14．（2024·25高一下·江苏盐城·期中）已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·26高二上·河北保定·期中）（13分）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 16．（2025·26高一下·陕西延安·期中）（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点. (1)求；(2)点在边上，若，求； (3)若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值. 17．（2025·26高三上·安徽淮北·期中）（15分）设函数 (1)已知，函数是偶函数，求的值. (2)已知，函数在区间内没有零点，求取值范围. (3)求函数，的值域. 18．（2024·25高一下·重庆北碚·期中）（17分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象. (1)求函数和的解析式； (2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围. 19．（2024·25高一下·陕西咸阳·期中）（17分）若点A，B，C都在半径为的圆上，且存在实数x，y，z，使得，则称为，，关于圆的“和谐数对”. (1)若，，关于圆的“和谐数对”为，求证：； (2)若，，关于圆的“和谐数对”为，求实数的取值范围； (3)若，，关于圆的“和谐数对”为，且为锐角三角形，，求的最大值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修第三册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 2．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·26高三上·河南三门峡·期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（2024·25高一下·北京房山·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 5．（2024·25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 6．（2025·26高三上·福建莆田·期中）已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 7．（2024·25高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 8．（2024·25高一下·湖北武汉·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·26高三上·河北衡水·期中）下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·25高一下·山东青岛·期中）记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量为 11．（2025·26高三上·广东汕头·期中）定义：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高一下·北京海淀·期中）已知，，则的值为__________． 13．（2024·25高一下·重庆·期中）设为单位向量，满足，，．若的夹角为，则的值为________． 14．（2024·25高一下·江苏盐城·期中）已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·26高二上·河北保定·期中）（13分）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 16．（2025·26高一下·陕西延安·期中）（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点. (1)求；(2)点在边上，若，求； (3)若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值. 17．（2025·26高三上·安徽淮北·期中）（15分）设函数 (1)已知，函数是偶函数，求的值. (2)已知，函数在区间内没有零点，求取值范围. (3)求函数，的值域. 18．（2024·25高一下·重庆北碚·期中）（17分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度，再关于轴对称，得到函数的图象. (1)求函数和的解析式； (2)设，若对任意恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围. 19．（2024·25高一下·陕西咸阳·期中）（17分）若点A，B，C都在半径为的圆上，且存在实数x，y，z，使得，则称为，，关于圆的“和谐数对”. (1)若，，关于圆的“和谐数对”为，求证：； (2)若，，关于圆的“和谐数对”为，求实数的取值范围； (3)若，，关于圆的“和谐数对”为，且为锐角三角形，，求的最大值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $