精品解析：宁夏六盘山高级中学2026届高三下学期第一次模拟数学试题

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高三第一次模拟测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性化简集合，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】复数z满足, 故， 故. 3. 在中，若，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理即可得解. 【详解】由及正弦定理得， 设，，则，．由余弦定理得， 又，所以． 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题. 4. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解． 【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况， 所以共有种不同情况． 5. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 又，则，故. 6. 已知函数，，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是偶函数，且在单调递减 C. 是奇函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义求解的奇偶性，求出在范围内的表达式，利用导数法得到在范围内的单调性. 【详解】， 的定义域为， ， 是偶函数， 当时，， 当时，， ， ， ， ， ， ， 在上是单调递增函数. 7. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由利用倍角公式得，再由同角平方关系得， 又，利用两角和的正弦公式可得. 【详解】， 因为，，又，所以， 故，故， ， 故选：D 8. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过该抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可得到、的坐标，设点P的坐标为，由及点在直线上，求出的坐标. 【详解】由题意得，抛物线的焦点，准线方程为， 从而由抛物线的定义得，解得，所以抛物线方程为，则． 又点在抛物线上，即，所以或（舍去）， 所以，则， 设点P的坐标为，则，即，所以，又点在直线上， 所以，解得，所以，所以点的坐标为． 故选：D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 10. 已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. 两条渐近线夹角的余弦值为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线的性质、角平分线定理、余弦定理、二倍角公式以及离心率等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】根据双曲线渐近线的对称性可知A选项正确. B选项中，因为在中，OF为的平分线， 所以，所以，所以B选项正确. C中，设，则， 由余弦定理得， 所以C选项错误. D中，因为， 所以，即，所以， 所以D选项正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若为线段的中点，则直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 在线段上存在点，使得 D. 若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目条件，以为原点，方向为轴建立空间坐标系，结合选项条件代入计算判断选项是否正确． 【详解】以为原点，方向为轴建立空间坐标系，棱长为， ， ，分别是，的中点，， 点在正方形上，设，其中， 对于A选项，为线段的中点，则， 又是正方体，则是平面的法向量， ，即， 又平面，所以直线平行平面，A选项正确； 对于B，三棱锥体积与相同， 的顶点， ，， 点到的距离恒为， 于是，B选项正确 对于C，在线段上：，设， ，， 垂直条件即， ， 但，所以不存在这样的点，C选项错误； 对于D，即，， ，，即， 点限制在，且平面上，因此在这个范围内对应一条线段：当时，得；当时，得， 线段长度：，所以轨迹长为，D选项正确． 故选：ABD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图， ，过作的垂线，垂足为，则， 由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为， 故答案为：. 13. 函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据最值可得，代入点可得，代入点结合函数周期性可得，即可得函数的解析式，结合函数图象变换运算求解. 【详解】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 又因为函数的图象过点，则，即， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，则，解得， 则，可得，解得，所以. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为. 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列满足，数列是以2为首项2为公差的等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系即可求出的通项，利用等差数列的通项公式即可求出的通项； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由①， 当时，， 当时，②， 由①②得， 所以， 当时，上式也成立， 所以， 因为是以2为首项2为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 ， 则， ， 两式相减得 ， 所以. 16. 如图，直三棱柱中，，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，证明，通过线面垂直的判定定理证明面，由线面垂直的性质定理得到，再由得到平面，从而得以证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 不妨设，则，，所以，所以， 因为棱柱为直三棱柱，所以平面，平面， 所以，又，所以平面，因为，所以， 因为四边形为正方形，所以，又，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 设为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，， 设分别为面的法向量，则，即， 取，则，所以， 设分别为平面的法向量，则， 即，取，则， 则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】（1） （2），， 0 1 2 3 （3）会得到推广，因为. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【小问1详解】 设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. 【小问2详解】 由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若为函数的极值点，求实数a的值； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，分析和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，得到，求得，再结合函数极值与极值点的定义，即可求解； （3）设，求得，结合零点的存在性定理，可得存在唯一，使，且，得出的单调性，求得，得到，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上可得： 当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 解：因为是函数的极值点，可得，解得， 若时，，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，所以. 【小问3详解】 解：设， 则， 因为，因为，， 所以存在唯一，使，且， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以当时，， 又由，所以当时，. 19. 设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 【答案】（1）  （2）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析，定直线方程为. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（i）设过的切线方程为，根据切线性质可得，由此可求，联立方程组求的坐标和直线的斜率，再求点的坐标； （ⅱ）设，由条件利用表示，结合（ⅰ）化简可得结论. 【小问1详解】 由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率， 得，又， 因此椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以，整理得， 由根与系数关系得：， 将代入椭圆方程得，同理， 所以直线的斜率， ，所以​​， 令可得， 因此点坐标为； （ⅱ）设， 因为，所以， 由​​​，可得， 所以， 结合， 化简得：， 所以，代入​​， 可得​， 所以，​  因此恒在定直线​上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高三第一次模拟测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 在中，若，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 5. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是偶函数，且在单调递减 C. 是奇函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 7. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过该抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 10. 已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. 两条渐近线夹角的余弦值为 D. 双曲线的离心率为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若为线段的中点，则直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 在线段上存在点，使得 D. 若，则点的轨迹长为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 13. 函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列满足，数列是以2为首项2为公差的等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 如图，直三棱柱中，，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若为函数的极值点，求实数a的值； （3）在（2）的条件下，证明：当时，. 19. 设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $