精品解析：宁夏回族自治区银川市第九中学2026届高三第一次模拟考试数学试卷

银川九中2026届高三第一次模模拟考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. 2. 在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用复数除法将化为，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】，则对应的点的坐标为，故. 故选：B 3. 已知，，对曲线上的任意一点恒有，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及离心率公式即可求解. 【详解】由于，故点的轨迹是以为焦点的椭圆， 依题意，，，故，则离心率为， 故选：A 4. 已知是定义在上且周期为2偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 6. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 设函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和分类求解． 【详解】若，则由得，即．∴． 若，则由得， 即∴， ∴，即． 综上可知，或． 故选：C． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 10. 如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】假设存在点使得，再根据点线面的位置关系得出矛盾可得A错误，利用面面平行的判定定理即可证明平面平面，再结合面面平行性质可得B正确，利用线面垂直判定定理及其性质可得C正确，假设平面，由线面垂直性质可得出平面与平面平行，与题意不符，可得D错误. 【详解】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示， 过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又因为，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误， 故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简得由，对AB直接代入验证即可，对C代入得，结合其函数特点即可判断；对D，代入后分两种情况讨论即可. 【详解】由， 对于A：，所以的图象不关于直线对称，故A错误； 对于B：，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：由，所以， 所以，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由，所以， 所以， 所以，或， 所以，或， 可取，此时，， 所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据切线斜率为3，结合导数的几何意义，求出切点横坐标，再根据切点在直线上，求出切点纵坐标，再根据切点在曲线上求的值. 【详解】因为，所以. 由， 由，所以切点为. 由. 故答案为：3 13. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把转化为，再用二倍角公式代入已知值计算. 【详解】令，则，且； 代入目标表达式：； 利用诱导公式，得：； 用二倍角公式，代入，则. 故答案为： 14. 已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得即可求解，利用导数研究极值即可求解. 【详解】由题意有，所以，解得， 所以，所以， 令，得或，由有或，有， 所以单调减区间为，曾区间为， 所以的极大值点为，极小值点为，所以， 故答案为：2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为,且． （1）求数列的通项公式； （2）若,求的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由得，两式相减可得数列的通项公式为；（2）由（1）知，根据等比数列前项和公式可得的前项和． 试题解析：（1），则，即，，所以数列的通项公式为． （2）,,所以数列公比为的等比数列, , 所以数列的前项和． 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前项和公式． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. （1）若，求边上的高； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角求得，结合余弦定理求解得为等边三角形，再求边上的高即可； （2）由已知条件得，根据，结合恒等变换得，，再结合直角三角形解对应边即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，， 所以，由余弦定理得， 解得， 因，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为. 小问2详解】 解：因为，， 所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即， 所以，即为直角三角形，，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为. 17. 如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，，，且二面角的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理判定即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，结合二面角的向量求法，即可求出值；判断外接球球心位置，设出球心坐标，列方程求解，进而得到外接球半径，求出表面积. 【小问1详解】 因为，，，所以四边形为矩形， 连接交于点，连接，则点为中点， 又为中点，所以是中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 （Ⅰ）因为，平面，平面平面且交于． 所以平面，而平面，所以， 又， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图． 则，，，，，， 设，则， 又， 所以，即，所以， 则，， 设平面的法向量为. 则，即，令，则，， 所以. 又，，，平面， 所以平面， 所以即为平面的一个法向量. 设二面角的平面角为，则， 所以， 即 ， 解得或（舍去，因为），故：． （Ⅱ）所求外接球球心在过点垂直于平面的垂线上，则. 设，又，则，， 所以， 即，整理得，解得， 所以，所以， 故． 18. 已知椭圆两个焦点与一个下顶点组成一个长为4的等边三角形.设直线与椭圆C交于两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的最大面积； （3）在y轴上是否存在一定点P，对任意，使得直线的斜率之和恒为0？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得.利用化简可得，利用函数单调性求解即可； （3）设，由题意得，即，结合韦达定理以及直线方程化简即可求解. 【小问1详解】 由题意，，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，直线与轴的交点为. 联立消去，整理得， 所以. 则. 因为， 所以， 令，则. 因为函数在区间上单调递增，， 所以，当时取得等号， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 存在. 设，由题意得， 即， 即. 因为， 所以. 因为，所以， 所以点的坐标为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数最大值即可； （2）先分析的单调性，再分类讨论分析的零点，据此分析的单调性得出是否存在唯一极值即可； （3）原不等式可转化为证明，构造函数，利用导数求函数的最值即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 时，，故，单调递增， 故. 【小问2详解】 由题，，令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. ①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当时，， 存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点； ④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令 ，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减， 所以有， 则有， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中2026届高三第一次模模拟考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知，，对曲线上的任意一点恒有，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知物体受平面内三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 10. 如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 11. 已知函数，则下列说法中正确是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则_____. 13. 已知，则________ 14. 已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为,且． （1）求数列的通项公式； （2）若,求的前项和． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. （1）若，求边上的高； （2）若，求周长. 17. 如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，，，且二面角的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥外接球的表面积． 18. 已知椭圆两个焦点与一个下顶点组成一个长为4的等边三角形.设直线与椭圆C交于两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的最大面积； （3）在y轴上是否存在一定点P，对任意，使得直线的斜率之和恒为0？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $