7.4.1二项分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 7.4.1《 二项分布 》 导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、伯努利试验 在实际问题中,有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征,它们只包含两个可能 结果.例如,检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶,医学检验结果为阳性或阴性等,我们把只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为 试验,显然,重伯努利试验具有如下共同特征: (1)同一个伯努利试验重复做 次; (2)各次试验的结果相互 . 二、问题探究1 1.问题：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数的概率分布列是怎样的? 2.探究： 用表示“第次射击中靶”(),用如图7.4-1的树状图表示试验的可能结果. 由分步乘法计数原理,3次独立重复试验共有 种可能结果,它们两两互斥,每个结果都是3个相互独立事件的积,由概率的加法公式和乘法公式得 为了简化表示,每次射击用1表示中靶,用0表示脱靶,那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为110,101,011,这三个结果发生的概率都相等,均为,并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为 同理可求中靶0次、1次、3次的概率,于是,中靶次数的分布列为 三、二项分布的定义 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作. 注：由二项式定理,容易得到 注:一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下: (1)明确伯努利试验及事件的意义,确定事件发生的概率； (2)确定重复试验的次数,并判断各次试验的独立性; (3)设为次独立重复试验中事件发生的次数,则. 四、问题探究2 1.问题：假设随机变量服从二项分布,那么的均值和方差各是什么? 2.探究： 我们知道,抛掷一枚质地均匀的硬币,“正面朝上”的概率为0.5,如果掷100次硬币,期望有次正面朝上,根据均值的含义,对于服从二项分布的随机变量,我们猜想 我们不妨从简单开始,先考察较小的情况. (1)当时,服从两点分布,分布列为 均值和方差分别为 即服从两点分布，则 (2)当时,的分布列为 均值和方差分别为 五、二项分布的均值与方差 一般地,如果),那么 证明： 令,由,可得 令,则 六、实例运用 例1．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在内的概率． 例2．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.      例3．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 例4．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，已知这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望和方差、标准差． 七、达标检测 练习1．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 练习2．聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 练习3．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第三册 7.4.1《 二项分布 》 导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、伯努利试验 在实际问题中,有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征,它们只包含两个可能 结果.例如,检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶,医学检验结果为阳性或阴性等,我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验,显然,重伯努利试验具有如下共同特征: (1)同一个伯努利试验重复做次; (2)各次试验的结果相互独立. 二、问题探究1 1.问题：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数的概率分布列是怎样的? 2.探究： 用表示“第次射击中靶”(),用如图7.4-1的树状图表示试验的可能结果. 由分步乘法计数原理,3次独立重复试验共有种可能结果,它们两两互斥,每个结果都是3个相互独立事件的积,由概率的加法公式和乘法公式得 为了简化表示,每次射击用1表示中靶,用0表示脱靶,那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为110,101,011,这三个结果发生的概率都相等,均为,并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为 同理可求中靶0次、1次、3次的概率,于是,中靶次数的分布列为 三、二项分布的定义 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作. 注：由二项式定理,容易得到 注:一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下: (1)明确伯努利试验及事件的意义,确定事件发生的概率； (2)确定重复试验的次数,并判断各次试验的独立性; (3)设为次独立重复试验中事件发生的次数,则. 四、问题探究2 1.问题：假设随机变量服从二项分布,那么的均值和方差各是什么? 2.探究： 我们知道,抛掷一枚质地均匀的硬币,“正面朝上”的概率为0.5,如果掷100次硬币,期望有次正面朝上,根据均值的含义,对于服从二项分布的随机变量,我们猜想 我们不妨从简单开始,先考察较小的情况. (1)当时,服从两点分布,分布列为 均值和方差分别为 即服从两点分布，则. (2)当时,的分布列为 均值和方差分别为 五、二项分布的均值与方差 一般地,如果),那么 证明： 令,由,可得 令,则 六、实例运用 例1．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在内的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解. （2）根据条件由重复抛掷10次正面朝上出现的频率在得到，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则, 设表示事件A发生的次数，则． 则恰好出现5次正面朝上即， 所以， 故恰好出现5次正面朝上的概率为. （2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为， 重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即． 所以． 例2．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.      【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】由题设分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，进而写出分布列. 【详解】设“向右下落”，“向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以， 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 所以，，，，，， ，，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 例3．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 【答案】5局3胜制对甲有利 【难度】0.85 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率． 【详解】解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 ． 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 ． 解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为 ． 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为 ． 因为，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利． 例4．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，已知这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望和方差、标准差． 【答案】数学期望为0.5，方差为0.475，标准差约为0.6892． 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据二项分布的分布列求期望和方差即可. 【详解】由于批量较大，可以认为随机变量， ，． 随机变量X的概率分布如下表所示． 表 X 0 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9 10 故， 由得 ， 标准差． 故随机变量X的均值为0.5，方差为0.475，标准差约为0.6892． 七、达标检测 练习1．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 练习2．聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 练习3．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【难度】0.63 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $