专题05 期中真题百练通关（13大常考题型，期中复习专项训练）高一数学下学期人教B版

专题05 期中真题百练通关（13大常考题型） 题型一 扇形的弧长与面积 题型八 向量的模长、夹角 题型二 三角函数定义 题型九 投影向量 题型三 同角三角函数基本关系 题型十 数量积的最值范围 题型四 诱导公式化简问题 题型十一 三角恒等变换给值求值 题型五 三角函数的图象与性质 题型十二 三角恒等变换给值求角 题型六 求三角函数解析式 题型十三 三角函数性质与三角恒等变换的结合 题型七 生活中的三角函数模型 题型一 扇形的弧长与面积 1．（2025·26高一上·河北衡水·期末）已知某扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，扇形面积为， 则，解得， 故选：B. 2．（2025·26高一上·上海奉贤·期末）如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    【答案】 【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，则大圆弧的半径为， 所以解得， 所以扇环的面积为. 3．（2025·26高一上·江苏常州·期末）面积为16的扇形周长取到最小值时，扇形圆心角的大小是______. 【答案】2 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，则， 即，则扇形周长， 当且仅当时取等，此时. 4．（2025·26高一上·山东聊城·期末）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 【答案】(1)且； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意，则， 所以且； （2）由 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值. 题型二 三角函数定义 5．（2024·25高一下·安徽淮北·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，且终边过点，则______． 【答案】 【详解】根据角的终边过点，利用三角函数的定义式，可以求得， 所以有． 6．（2025·26高一上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可得，，得. 故答案为：. 7．（2025·26高一上·福建漳州·期末）（多选）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则， 又因为，所以， 所以，A选项正确；，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 故选：AC. 题型三 同角三角函数基本关系 8．（2025·26高三上·江苏镇江·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为__________. 【答案】/0.5 【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意，，则，即， 由，得，则， 由，得，所以， 故答案为： 9．（2025·26高一上·安徽淮北·期末）等腰三角形中，顶角为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等腰三角形中，顶角为， 所以底角， 则 ， 由诱导公式得：， 因为 是三角形底角，故， 由得， 又， 所以 ， 所以， 所以 . 10．（2025·26高一下·上海·期中）（1）已知角的终边落在直线上，求； （2）已知，求的值； 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）因为已知角的终边落在直线上，所以设点在直线上， 则，则，同理，则 （2），因为，则. 11．（2025·26高一上·重庆渝北·期中）已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为是方程（为常数）的两个根， 所以， 由， 得，解得； （2）由（1）得， 又，， 所以，所以， 所以. 12．（2025·26高一上·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）因为，所以. （2） . （3）因为为第一象限角，由同角三角函数的基本关系可得， 解得，. 题型四 诱导公式化简问题 13．（2024·25高二上·云南昆明·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由诱导公式可得. 故选：B 14．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）已知，则（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】D 【详解】由，得， 故. 15．（2025·26高三上·福建龙岩·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则当时，， 则. 故选：C 16．（2025·26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，且，则_____． 【答案】/ 【详解】因为，所以，所以 ； 故答案为： . 17．（2025·26高三上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称且， 所以， 所以. 故选：D 题型五 三角函数的图象与性质 18．（2025·26高一下·上海·期中）函数的严格减区间为____________. 【答案】. 【详解】因为对数函数底数，外函数为增函数， 故函数的减区间即为内函数在定义域内的减区间， 即且是减函数， ， 解得， 故函数的严格减区间为： . 19．（2025·26高一下·江苏苏州·期中）（多选）已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点，则（   ） A．在区间上有两条对称轴 B．的取值范围是 C．在区间上单调递增 D．若，则或 【答案】BCD 【详解】对于B，令，因为，且，所以， 即在区间上有且仅有两个不同的零点， 所以，得，故B正确； 对于A，当时，，此时只有一条对称轴， 即在上可能只有一条对称轴，故A错误； 对于C，当时，，且， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，即，又， 所以或，可得或，故D正确. 20．（2025·26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为__________. 【答案】11 【详解】因为直线是一条对称轴，所以. 整理可得：，即， 由，得， 则函数在上单调递增， 因为函数在区间上不单调，所以，解得， 因为且，所以的最小值为11， 故答案为：11 21．（2025·26高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由 解得. 所以函数的单调递增区间为. （2）令，则. 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以，即， 所以函数在上的值域为； （3）令，则. 由，即， 解得或， 即或， 解得或. 所以在上的解集为. 22．（2025·26高一下·辽宁营口·期中）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，对称中心为，； (2). 【分析】 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 23．（2024·25高一下·江西吉安·期中）已知函数. (1)若，且在区间上至少出现50次最大值，求的最小值； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，，且函数至少出现50次最大值，即至少需用个周期， 所以，解得，所以的最小值为. （2）显然.若，当时，， 因为函数在区间上的最小值为-2，所以，解得. 若，当时，， 因为函数在区间上的最小值为. 所以，解得. 综上所述，符合条件的实数的取值范围是. 题型六 求三角函数解析式 24．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又， 所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴， ∴. 故选：C. 25．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 26．（2025·26高三上·安徽·期中）（多选）函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A． B． C．在上无极值点 D．方程在上有4个解 【答案】ACD 【详解】由图象可知：，，所以，B选项错误； ，因为在减区间上，所以， 又因为的最小正周期，，A正确； ，当时，，在上无极值点，C正确； ，，即， 方程在上有4个解，D正确. 故选：ACD. 27．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．若是直线与函数的图象的两个不同交点，则的最小值为 【答案】AB 【详解】对于A：由函数的图象，可得，解得，所以，故A正确； 对于B：把点代入，可得，则， 即，因为，所以，故B正确； 对于C：因，则，故C错误； 对于D：由，可得， 则或， 解得或， 则的最小值为故D错误. 28．（2024·25高三上·福建厦门·期中）（多选）已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．函数的一个对称中心是 B．是偶函数 C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点．则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】由图可得：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，即， 且，可得，解得，则， 因为，可得， 且，则， 可得，解得， 所以. 对于选项A：因为， 所以函数的一个对称中心是，故A正确； 对于选项B：因为不为偶函数，故B错误； 对于选项C：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再向右平移个单位长度，得到， 即为函数，故C正确； 对于选项D：令，可得， 因为，则， 由正弦函数图象可知，解得，故D正确. 故选：ACD. 题型七 生活中的三角函数模型 29．（2024·25高一下·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：. 设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为. 因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则. 将代入中，可得. 则. 该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是. 故选：D. 30．（2024·25高一下·安徽·期中）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 32．（2025·26高一下·广西贵港·期中）某沿海潮汐发电站的水位y（单位：米）是时间t（单位：小时，）的函数，某观测员记录了一个周期内的五个时间点对应的水位（最高、最低水位都被记录），并绘制得到如下表格： 时间t 0 3 6 9 12 水位y 6 9 6 3 6 已知该发电站水位y与时间t满足函数关系式．一般情况下，发电站要求水位不低于7.5米时才能高效发电． (1)求该发电站的水位y关于时间t的函数解析式； (2)求某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差； (3)求该发电站一天内（）高效发电的时长． 【答案】(1) (2)3米 (3)8小时 【详解】（1）由表格数据可得，时，取到最大值；，取到最小值； ，. 从最大值到最小值经历了半个周期，，则， ， ， ， 当时，，，解得 ，， 该发电站的水位y关于时间t的函数解析式为. （2）下午5点对应，； 上午7点对应，； 水位之差为， 即某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差为3米． （3）由题意可得，即，整理得； ，解得； ，当时，；当时，； 高效发电的时长为(小时)， 即该发电站一天内（）高效发电的时长为8小时. 33．（2025·26高一下·上海松江·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)在如图所示的平面直角坐标系上，将点到水面的距离（单位：，且点在水面下时为负数）表示为时间（单位：）的函数，求的解析式； (2)当，求盛水桶高度上升的区间. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）根据题意可知：的最小正周期， 且，则，解得， 因为，解得，则， 又因为，即， 且，则， 所以. （2）因为， 若，则， 令或，解得或， 所以盛水桶高度上升的区间为或. 题型八 向量的模长、夹角 34．（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ， 又，故. 35．（2025·26高一下·上海·期中）已知，，且，则与的夹角为___________． 【答案】 【详解】， 则，则，故. 36．（2025·26高一下·四川资阳·期中）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 37．（2025·26高一下·山东淄博·期中）已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，且与夹角为，， ； （2）， ， . 38．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 题型九 投影向量 39．（2025·26高三上·贵州·期中）已知向量，若在上的投影向量为，则的所有可能结果的和为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上的投影向量为，所以， 又，所以，可得， 解得或，所以. 故选：B. 40．（2025·26高一下·吉林四平·期中）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 【答案】 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为． 41．（2024·25高三上·甘肃白银·期末）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D. 42．（2024·25高一下·江苏扬州·期中）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 题型十 数量积的最值范围 43．（2025·26高三上·甘肃·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．    【答案】 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，      过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 44．（2024·25高一下·北京西城·期末）如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由题意以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，， 即，，， 空①：由，即，解得，则， 所以，所以； 空②：，因为，则， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 45．（2024·25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 【答案】/ 【详解】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 46．（2024·25高一下·河南鹤壁·期末）已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 【答案】5 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，则， 设，，其中，， 则，， 由，可得，即， 所以， 所以当时，取得最大值5. 故答案为： 题型十一 三角恒等变换给值求值 47．（2025·26高一上·新疆喀什·期末）已知，则________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故答案为： 48．（2025·26高一上·湖南邵阳·期末）已知，则___________. 【答案】 【详解】，而， 于是 . 故答案为： 49．（2025·26高三上·湖北襄阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 50．（2024·25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知, 则 故选:. 51．（2024·25高三上·辽宁·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于 ， 代入原式中得：，解得：； 又. 故选：D 52．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 题型十二 三角恒等变换给值求角 53．（2024·25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 54．（2024·25高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 55．（2024·25高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以， 则，，． ． （2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即， 又因为为锐角，则，可得， 因为，则， 因为，所以． 则 ． 所以． 56．（2024·25高一下·江苏南通·期中）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，且 . (1)求的值； (2)若，求. 说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 若选①，由 得： 若选②，则， 则 若选③，则, 又得 综上：， . （2） ， 又由（1）知， ， . 57．（2024·25高三上·吉林白城·期中）已知． (1)求的值； (2)若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ． （2）由，可得， 则， 因为，所以，又，则， 因为，又，则， 所以，所以． 题型十三 三角函数性质与三角恒等变换的结合 58．（2025·26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【详解】函数有意义，需使且， 即函数的定义域为：且， 因 ， 该函数的周期为π，但原函数的定义域且， 不满足以π为周期，而满足以2π为周期，故原函数的最小正周期为2π. 59．（2024·天津河西·一模）已知函数，，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称 C．当时，的值域为 D．当取得最值时， 【答案】C 【详解】. 将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，， ，解得. . 选项A：的最小正周期为，故A错误； 选项B：将的图象向右平移个单位长度后得到， 函数图象不关于轴对称，故B错误； 选项C：当时，，， 因此当时，的值域为，故C正确； 选项D：，，则，， 因此当取得最值时，，，故D错误. 故选：C. 60．（2025·26高一下·江苏连云港·期中）（多选）已知，则下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 61．（2025·26高三上·河北保定·期中）（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．对任意成立 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【详解】由，其图象向左平移， 所以，A对， 由，则，显然在上不单调，B错， 由， 故对任意成立，C对， 由，则， 则在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为， 要使在上有且仅有一个实数根，则，D错. 故选：AC 62．（2025·26高三上·山东济宁·期中）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若方程，只有一个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1） ， 又的最小正周期为，， 则，所以. （2）由（1）知，所以， 因为，所以，. 作出，的图象如图所示： 利用图形得到的取值范围是. 63．（2025·26高二上·海南海口·期中）已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为 (1)求的解析式; (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的最值. (3)对于第（2）问中的函数，记 在上的5个零点从小到大依次为，求m的取值范围和的值. 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为； (3)； 【分析】 【详解】（1），， 由条件可知函数的最小正周期为，得， 所以； （2）的图象向右平移个单位长度，得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），则， 当，，则， 所以函数的最小值为，最大值为； （3）当，则， 设，画出函数的图象，    由图象可知，与有5个交点，则， 根据对称性可知，，，，， 即，得，，得， ，得，，得， 所以. 1．设点，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，则， 设，则在上单调递增， 又因为，所以，当时，，当时，， 又，所以的取值范围为． 2．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 3．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过点作，交于点，则． 设，在中，． 在中，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 4．已知，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其中，， 所以当时，， 若恒成立，则， 此时，则，，即，， ． 5．已知定义在上的偶函数，对任意都有，当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为是偶函数，所以 ， 又因为 ，则，所以 ， 因为，所以 ， 所以周期为 ，则 ，所以 ， 所以， 故选：A 6．如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 【答案】50 【详解】设该扇形花坛的半径为米，弧长为米， 则，所以，由已知， 所以该扇形花坛的面积，， 所以当米时，该扇形花坛的面积取最大值，最大值为平方米． 7．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4m，圆上最低点与地面距离为1m，10分钟转动一圈，图中OA与地面垂直；以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h： (1)设从OA开始转动，经过分钟到达OB，求h与t的函数解析式：． (2)写出的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知观览车10分钟转动一圈，则角速度， 故经过分钟转过的角度为； 以圆心为原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示， 则以为始边，为终边的角为， 故点B坐标为， ∴． （2），其单调性与的单调性相反， 令，即， 故的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（13大常考题型） 题型一 扇形的弧长与面积 题型八 向量的模长、夹角 题型二 三角函数定义 题型九 投影向量 题型三 同角三角函数基本关系 题型十 数量积的最值范围 题型四 诱导公式化简问题 题型十一 三角恒等变换给值求值 题型五 三角函数的图象与性质 题型十二 三角恒等变换给值求角 题型六 求三角函数解析式 题型十三 三角函数性质与三角恒等变换的结合 题型七 生活中的三角函数模型 题型一 扇形的弧长与面积 1．（2025·26高一上·河北衡水·期末）已知某扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·26高一上·上海奉贤·期末）如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    3．（2025·26高一上·江苏常州·期末）面积为16的扇形周长取到最小值时，扇形圆心角的大小是______. 4．（2025·26高一上·山东聊城·期末）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 题型二 三角函数定义 5．（2024·25高一下·安徽淮北·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，且终边过点，则______． 6．（2025·26高一上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 7．（2025·26高一上·福建漳州·期末）（多选）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型三 同角三角函数基本关系 8．（2025·26高三上·江苏镇江·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为__________. 9．（2025·26高一上·安徽淮北·期末）等腰三角形中，顶角为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·26高一下·上海·期中）（1）已知角的终边落在直线上，求； （2）已知，求的值； 11．（2025·26高一上·重庆渝北·期中）已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 12．（2025·26高一上·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 题型四 诱导公式化简问题 13．（2024·25高二上·云南昆明·期中）（   ） A． B． C． D． 14．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）已知，则（    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 15．（2025·26高三上·福建龙岩·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，且，则_____． 17．（2025·26高三上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（   ） A． B． C． D． 题型五 三角函数的图象与性质 18．（2025·26高一下·上海·期中）函数的严格减区间为____________. 19．（2025·26高一下·江苏苏州·期中）（多选）已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点，则（   ） A．在区间上有两条对称轴 B．的取值范围是 C．在区间上单调递增 D．若，则或 20．（2025·26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为__________. 21．（2025·26高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 22．（2025·26高一下·辽宁营口·期中）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 23．（2024·25高一下·江西吉安·期中）已知函数. (1)若，且在区间上至少出现50次最大值，求的最小值； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围. 题型六 求三角函数解析式 24．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 25．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 26．（2025·26高三上·安徽·期中）（多选）函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A． B． C．在上无极值点 D．方程在上有4个解 27．（2025·26高一下·湖北咸宁·期中）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．若是直线与函数的图象的两个不同交点，则的最小值为 28．（2024·25高三上·福建厦门·期中）（多选）已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．函数的一个对称中心是 B．是偶函数 C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点．则的取值范围为 题型七 生活中的三角函数模型 29．（2024·25高一下·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 30．（2024·25高一下·安徽·期中）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 32．（2025·26高一下·广西贵港·期中）某沿海潮汐发电站的水位y（单位：米）是时间t（单位：小时，）的函数，某观测员记录了一个周期内的五个时间点对应的水位（最高、最低水位都被记录），并绘制得到如下表格： 时间t 0 3 6 9 12 水位y 6 9 6 3 6 已知该发电站水位y与时间t满足函数关系式．一般情况下，发电站要求水位不低于7.5米时才能高效发电． (1)求该发电站的水位y关于时间t的函数解析式； (2)求某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差； (3)求该发电站一天内（）高效发电的时长． 33．（2025·26高一下·上海松江·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每10秒钟转动1圈.如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)在如图所示的平面直角坐标系上，将点到水面的距离（单位：，且点在水面下时为负数）表示为时间（单位：）的函数，求的解析式； (2)当，求盛水桶高度上升的区间. 题型八 向量的模长、夹角 34．（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 35．（2025·26高一下·上海·期中）已知，，且，则与的夹角为___________． 36．（2025·26高一下·四川资阳·期中）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 37．（2025·26高一下·山东淄博·期中）已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值. 38．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 题型九 投影向量 39．（2025·26高三上·贵州·期中）已知向量，若在上的投影向量为，则的所有可能结果的和为（   ） A．2 B． C． D． 40．（2025·26高一下·吉林四平·期中）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 41．（2024·25高三上·甘肃白银·期末）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 42．（2024·25高一下·江苏扬州·期中）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 题型十 数量积的最值范围 43．（2025·26高三上·甘肃·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________．    44．（2024·25高一下·北京西城·期末）如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 45．（2024·25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 46．（2024·25高一下·河南鹤壁·期末）已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 题型十一 三角恒等变换给值求值 47．（2025·26高一上·新疆喀什·期末）已知，则________. 48．（2025·26高一上·湖南邵阳·期末）已知，则___________. 49．（2025·26高三上·湖北襄阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 50．（2024·25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 51．（2024·25高三上·辽宁·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 52．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 三角恒等变换给值求角 53．（2024·25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（2024·25高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 55．（2024·25高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 56．（2024·25高一下·江苏南通·期中）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，且 . (1)求的值； (2)若，求. 说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分. 57．（2024·25高三上·吉林白城·期中）已知． (1)求的值； (2)若，，且，求的值． 题型十三 三角函数性质与三角恒等变换的结合 58．（2025·26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 59．（2024·天津河西·一模）已知函数，，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称 C．当时，的值域为 D．当取得最值时， 60．（2025·26高一下·江苏连云港·期中）（多选）已知，则下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 61．（2025·26高三上·河北保定·期中）（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．对任意成立 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 62．（2025·26高三上·山东济宁·期中）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若方程，只有一个实数根，求的取值范围． 63．（2025·26高二上·海南海口·期中）已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为 (1)求的解析式; (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的最值. (3)对于第（2）问中的函数，记 在上的5个零点从小到大依次为，求m的取值范围和的值. 1．设点，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 3．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的偶函数，对任意都有，当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 7．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4m，圆上最低点与地面距离为1m，10分钟转动一圈，图中OA与地面垂直；以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h： (1)设从OA开始转动，经过分钟到达OB，求h与t的函数解析式：． (2)写出的单调递增区间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $