第四章 平行四边形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材浙教版八年级下册

第四章 平行四边形·拔尖卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，则，再根据正五边形的性质可得，则，最后根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴在四边形中，． 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接，并延长至点，使，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 利用旋转性质、等边对等角表示出，结合正方形性质得出，再利用等边对等角、三角形内角和定理得到，进而得到、． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出C点的坐标，设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 【详解】解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选B． 6．如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，根据证明，得，，得到是的中位线，推出，即可得到的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造顶点四边形即可； 【详解】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等， ∴都是平行四边形， 故选： D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理；掌握平行四边形的性质是解题关键． 8．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图在矩形中，已知，，点E在边上运动，连接，线段绕点C逆时针旋转到，连接，则线段长度的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 以为边作等边三角形，连接，过点F作于点G，根据作图可得，，进而根据旋转可得，，证明，则，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：以为边作等边三角形，连接，过点F作于点G，如图， 则：，， ∵绕逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴ 又∵、， ∴． ∴， ∵点在上运动， ∴的最小值为到的垂直距离， ∵且为等边三角形， ∴， ∴， 在矩形中，与的距离为， ∴到的距离为：， 故选：B． 10．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为 ． 【答案】40 【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在三角形中，∵， ∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴的面积的面积=． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 12．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 13．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 14．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 15．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E，的值最小为，由已知可证为等边三角形， 由B，G坐标和与的对称可得，，证明，可得轴，由，得四边形是平行四边形，得,证明是等边三角形，得，得即得的最小值是7． 【详解】解：作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E． 则，，，． 与关于y轴对称， ∴． ， 为等边三角形． ∴． ，， ，． ，． ∵， ∴． 同理，． ∴． ∴． ∴． ∴轴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵轴． ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∵， 的最小值是7． 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握平面内点的坐标特点、轴对称性质，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是 ；② ． 【答案】 /120度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形． 过点E作交的延长线于，由三角形的内角和定理可得，，由，可解，从而求出及，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作交的延长线于， ， ， ， ， ， ∵， ∴在中，有，， ， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 18．（6分）（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 19．（8分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角得到，证明，即可得出结论； （2）过点M作交于点G，连接，证明，得到，，进而得到，倒角推出，得到，进而推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点M作交于点G，连接， 则． 在和中． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20．（8分）（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（10分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 22．（10分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可得证； （2）设的垂直平分线交于点F．先求得，再证即可得出结果； （3）过点D作，垂足为G．根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，D是的中点， ，． 垂直平分， ，． ，是等边三角形． ． ． ． 四边形是平行四边形． （2）解：． 理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F． 由（1）可知是等边三角形， ，． ． ，， ． ． ． 是等边三角形， ． ，即． ； （3）解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，． 由（1）得， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理、含有角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 23．（12分）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，可得，，，，利用角度转换可得，利用勾股定理即可解答；小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，证明，可得，利用勾股定理可得，利用中位线的性质即可解答； （2）延长到T，使得，连接，证明，推出，可得，再证明，则； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点J，证明，再推出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，， 点P、Q分别为、的中点， ，，，， ，， ， ， 小亮的做法：连接并延长，使，再连接，， 点P、Q分别为、的中点， ， ， ， ， ， ， 点P、Q分别为、的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长到T，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ；       （3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24． （12分）[回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 【答案】[探究发现] ；[拓展作图] 作图见解析，说明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质等知识，理解题意是解决问题的关键． [探究发现] 由旋转及平行四边形的性质可知，，，要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，即：最小即可，亦即当时，取得最小值，当时，，利用含的直角三角形即可求解； [拓展作图]取，，，边中点，，，，再根据旋转和平移即可求解． 【详解】解：[探究发现] ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， 由旋转可知，，，， 则在平行四边形中，，， 要使得平行四边形周长最小，则只需要最小， 即：最小即可，亦即当时，取得最小值， 当时，，则， ∴， ∴的最小值为， 此时平行四边形周长的最小，最小为； [拓展作图] 方法一：如图，点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点，旋转至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形； 方法二：点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点，旋转至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 平行四边形·拔尖卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接，并延长至点，使，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 8．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图在矩形中，已知，，点E在边上运动，连接，线段绕点C逆时针旋转到，连接，则线段长度的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 10．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为 ． 12．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ． 13．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 14．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 15．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是 ；② ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 18．（6分）（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 19．（8分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 20．（8分）（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 21．（10分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 22．（10分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 23．（12分）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 24． （12分）[回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $