3.5　一次函数与二元一次方程的关系 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版 八年级 数学（下） 第3章　一次函数 3.5　一次函数与二元一次方程的关系 1 情景导入 1．方程x＋1＝0的解是________． 2．已知一次函数y＝x＋2，当x＝_____时，y＝0，可以直接把y＝0代入y＝x＋2，得_________．解得_______；也可以画出一次函数y＝x＋2的图象，观察图中直线所经过的点与满足方程y＝x＋2的点相同． 旧知回顾： x＝－2 －2 x＋2＝0 x＝－2 知识模块一　一次函数与二元一次方程的对应关系 自学互研 (1)(4，1)与(1，7)是二元一次方程2x+y-9=0的解吗?方程还有其他解吗?如有，再说出几个. 由七年级知识可知，(4，1)与(1，7)都是二元一次方程2x+y-9=0的解，并且这个方程有无数个解，如(-1，11)，(0，9)，等等. (2)给定一个二元一次方程2x+y-9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗? 对于二元一次方程2x+y-9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x-9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y-9=0的形式. (1)一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？ (2)以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗? (1)如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为 (c，-2c+9)，其中c为任意实 数，由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y-9=0的解. y x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 O (2)又二元一次方程2x+y-9=0的所有解都可以表示为(c，-2c+9)，其中c为任意实数.而所有点 (c，-2c+9)都在一次函数y=-2x+9的图象(一条直线)上，如图所示.于是以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象. y x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 O 7 自 探 主 究 下列图象中，以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图象是 ( ) C 合 探 作 究 1．以二元一次方程3x＋2y＝6的解为坐标的点都在某一次函数的图象上，则这个一次函数是 ( ) A．y＝3x＋6　　 B．y＝－3x＋6　　 C．y＝－x＋3　 D．y＝－x－3 C 2．在平面直角坐标系中，已知一条直线经过点(0，4)，(－2，8)，哪个二元一次方程能表示这条直线？ 解：设直线是一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象． 直线经过点(0，4)，(－2，8)，所以 b＝4， －2k＋b＝8， 解得 k＝－2， b＝4. ∴该直线是一次函数y＝－2x＋4的图象，从而它是二元一次方程2x＋y－4＝0表示的直线． 一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程 kx-y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线 . 对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)，其任意一个解都满足一次函数y= － x － ，因而，在 平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y= － x －的图象上 . 反之，一次函数y= － x －的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解. 由此可知: 在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y= － x －的图象. 例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－2x+3y － 6=0表示的直线. 解 由－2x+3y－6=0可得一次函数y=x+2, 从而当x=0时，y=2， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系，描出A(0,2)，B(3,4)两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数y=x+2的图象，从而它是二元一次方程－2x+3y－6=0表示的直线. 给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y=kx+b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.由于一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx－y+b=0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx－ y+b=0表示的直线. 例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(O，－2)，Q(－4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线? 解 设直线PQ是一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象. 因为点P(0，－2)和点Q(－4，5)都在该函数的图象上， b=－2, k·(－ 4)+b=5. 解得 k =－, b=－2. 因此，直线PQ是一次函数y=－x－2的图象，从而它是二元一次方程x +y+2=0表示的直线. 所以 16 知识模块二　二元一次方程的对应直线与坐标轴的交点问题 关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是什么?你的结果与其他同学相同吗? 一次函数y=kx+b的图象上任一点的坐标是 (c，kc+b).由于函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c满足kc+b=0，于是c=－，从而一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是(－ ,0). 自 探 主 究 二元一次方程y＝－x＋3所表示的直线与x轴的交点坐标为( ) A．(3，0) B．(0，3) C．(－3，0) D．(0，－3) A 合 探 作 究 画出二元一次方程y＋x－3＝0表示的直线，求此直线与x轴、y轴的交点坐标．，并求出这两个交点与原点所构成的三角形的面积． 解：令x＝0，则y＝3，即该直线与y轴的交点坐标为(0，3). 令y＝0，则x＝3，即该直线与x轴的交点坐标为(3，0). 描点、连线，其图象如图所示． 这两个交点与原点所构成的三角形的面积为×3×3＝. 1.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程5x+3y－9=0表示的直线. 【选自教材P111 练习 第1题】 解：令x=0，代入方程5x+3y－9=0，可得3y － 9=0，解得y=3，所以直线与y轴的交点坐标为(0,3)。 令y=0，代入方程5x+3y－9=0，可得5x－9=0，解得x=，所以直线与x轴的交点坐标为(,0)。 在平面直角坐标系中，找出点(0,3)和( ,0) ， 5x+3y－9=0 然后用直线连接这两个点，这条直线就是二元一次方程5x+3y－9=0表示的直线。 2.在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，－5)，Q(4，－2)两点，哪个二元一次方程表示这条直线? 【选自教材P111 练习 第2题】 解：设直线的表达式为y=kx+b(k≠0)。将P(0,-5)，Q(4,-2)两点坐标分别代入y=kx+b中， 得到方程组 b=－5, 4k+b=－2. 将b=－5代入4k+b=－2中，可得4k-5=－2， 解得k= . 将k=， b=－5代入y=kx+b中，可得y=x －5 ，移项可得x －y－5 =0,两边同时乘以4，得到3x－4y－20=0. 所以，二元一次方程3x－4y－20=0表示这条直线。 3.求二元一次方程6x－y+9=0表示的直线与x轴的交点坐标. 【选自教材P111 练习 第3题】 解：将y=0代入方程6x－y+9=0中， 解得x= - 所以，直线与x轴的交点坐标为(- ，0). 可得6x+9=0， 课堂小结 一次函数与二元一次方程的关系 一元一次方程的解为对应一次函数的值为0时相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 二元一次方程的解为对应一次函数图象上点的坐标 随堂练习 1.把下列二元一次方程改写成y=kx+b的形式. （1）3x+y=7； （2）3x+4y=13. 解：y=-3x+7 解：y=－ 2.已知函数y=3x+9，自变量满足什么条件时，y=0？ 解：画出函数y=3x+9的图象（如图所示），直线y=3x+9与x轴交于点（-3，0），所以x=-3时y=0. y=3x+9 28 3.利用函数图象，解方程3x－9=0. 解：画出函数y=3x+9的图象，如图所示， y=3x-9 直线y=3x-9与x轴交于点（3，0）， 所以方程3x-9=0 的解为x=3. 湘教版 八年级 数学（下） 第3章　一次函数 3.5　一次函数与二元一次方程的关系 习题3.5 30 1.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－7x+6y+12=0表示的直线. 解：将x=0代入－7x+6y+12=0，解得y= -2， 将y=0代入－7x+6y+12=0，解得y= . 所以直线与y轴的交点坐标为(0,-2). 所以直线与x轴的交点坐标为(,0). 然后用直线连接这两个点，这条直线就是二元一次方程－7x+6y+12=0表示的直线。 在平面直角坐标系中，找出点(0,-2) ,(,0), －7x+6y+12=0 2. 求二元一次方程 x+y+6=0表示的直线与y轴的交点坐标. 解：将x=0代入方程x+y+6=0， 所以直线x+y+6=0与y轴的交点坐标为(0,-6). 解得y= -6. 3.有下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2的解的是（ ） y x O 2 -2 (A) y x O 1 -2 (B) y x O 2 -1 y x O 1 -0.5 (C) (D) C 4.在平面直角坐标系中，二元一次方程3x－2y=1表示的直线与经过A(a，1)，B(－1，b)两点的直线重合，求a，b的值. 解:两条直线重合意味着点A(a,1)、B(-1,b)均在直线3x－2y=1上. 将点A坐标代入方程得:3－2×1=1，化简得3a=3，解得a=1; 将点B坐标代入方程得:3×(-1)-2b=1,化简得-3-2b=1,即-2b=4，解得b= -2. 5.在平面直角坐标系中，分别画出二元一次方程x+y=0，2x+y+2=0表示的直线，并计算这两条直线与x轴所围成的图形的面积。 解：方程x+y=0的图像是过(0,0)与(1,-1)的直线， 方程2x+y+2=0的图像是过(0,-2)与(-1,0)的直线。 x+y=0 2x+y+2=0 所围成的三角形三个顶点为:(-2,2)、(0,0)、(-1,0). 2x+y+2=0 以x轴上的线段为底，底长为|0-(-1)| =1，高为交点的纵坐标绝对值|2| =2。 面积: S=底高=12=1 $