3.1 函数的概念和表示法 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版 八年级 数学（下） 第3章　一次函数 3.1 函数的概念和表示法 3.1.1　变量与函数 1 情景导入 1．买一支钢笔5元钱，买a支钢笔要____元． 2．矩形的长为15 m，宽为b m，则面积为________． 3．出租车3 km内5元，超过3 km后，每公里收费1.6元，x(x>3)应收费___________________． 5a 15b m2 [5＋1.6(x－3)]元 知识模块一　常量与变量 自学互研 1.下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温T随时间t的变化而变化吗? (1)这天的4时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃； (2)这一天中,在4时~14时,气温( ),在14时~24时,气温( ). A.持续升高       B.持续降低      C.持续不变 A 10 B 20 天气温度T随时间t的变化而变化. 2.研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/（m/s） 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 声速随气温的变化而变化. 由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗? 3.某型无人机以120 km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y（km）与飞行时间x（h）之间的关系式为у=120x.该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？ 该型无人机飞行的路程y随飞行时间x的变化而变化. 4.上述三个问题中，哪些量是变化的?哪些量是不变的? 问题(1)中时间t、气温T， 问题(2)中气温x、声速y， 问题(3)中飞行时间z、飞行的路程y等都是会发生变化的量. 问题(3)中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量. 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量(或常数). 由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 总结归纳 自 探 主 究 寄一封质量在20 g以内的信，需邮资0.80元，则寄x封这样的信所需邮费y(元).用含x的式子表示y为________，其中常量为_______，变量为_______． y＝0.8x 0.8 x，y 合 探 作 究 某长方形的长为12 m，宽为8 m，把长增加x m，宽增加y m，变为正方形，则y与x的关系式为__________，其中常量为____，变量为_______． y＝x＋4 4 x，y 如图，△ABC底边BC（设BC=a）上的高是h.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗?若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量? 在上述变化过程中，高h是常量，底边长a和面积S都是变量，并且面积随底边长的变化而变化. B C A C C C 知识模块二　函数、自变量及因变量 自学互研 请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量. x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/（m/s） 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 对于时间t的每一个取值，气温T都有唯一的一个值与它对应. 对于实验中气温x的每一个取值，声速y都有唯一的一个值与它对应. 自 探 主 究 下列图象中，y是x的函数的是 ( ) B 合 探 作 究 下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是 ( ) A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：等边三角形的周长，x：这个等边三角形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 D 总结归纳 一般地，如果变量 y 随变量 x 而变化，并且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作y = f (x). x 叫作自变量， y 叫作因变量. 对于自变量 x 的每一个取值 a，因变量 y 的对应值称为函数值，记作 f (a). 知识模块三　自变量的取值范围与函数值 自学互研 下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. (1)y:正方形的周长; x:这个正方形的边长. (2)y:矩形的面积; x:这个矩形的宽. (3)y:一个正数的平方根; x:这个正数. (4)y:一个正数的算术平方根; x:这个正数. (1) (4)中，y是x的函数; (2) (3) y是x的函数. 已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为_____________(x为自变量)；自变量的取值范围为___________；当x＝5时，函数值为____． 自 探 主 究 y＝－2x＋16 4<x<8 6 ∴y＝24－2x(0<x<6). 如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，P是边CD上的动点，且不与点C，D重合．设DP＝x，梯形ABCP的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 合 探 作 究 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，BC⊥AB. ∵DP＝x， ∴y＝(CP＋AB)·BC＝(6－x＋6)·4＝24－2x(0<x<6). ∴CP＝6－x， 课堂小结 变量与函数 常量与变量:在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 函数:一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作：y=f(x). 20 随堂练习 1.下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化?其中哪些是变量，哪些是常量? (1)一辆“复兴号”列车以350km/h的速度匀速行驶，行驶的路程s(km)与行驶时间t(h). (2)某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的蓄水量V. (1)变量:行驶的路程、行驶时间t;常量:350 km/h. (2)变量:蓄水量V、水位的高度h;常量:长a、宽b、深度c。 2 已知圆柱的高h=4cm，底面半径是rcm，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V＝πr2h是r的函数，在这个变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量?r的取值范围是多少? 1.确定因变量(1)函数关系中，因变量是随自变量变化而变 化的量;(2)题目中圆柱体积V=πr2h随底面半径r的变化而变化，因此V是因变量。 2.确定r的取值范围 (1)底面半径是长度，必须为正数; (2)因此r的取值范围是r>0。 湘教版 八年级 数学（下） 第3章　一次函数 3.1 函数的概念和表示法 3.1.2　函数的表示法 23 情景导入 上一小节“思考”中的问题(1)(2)(3)分别是怎样表示因变量与自变量之间的函数关系的? 问题(1)用平面直角坐标系中的一个图形来表示;问题(2)用一张表来表示.问题(3)用一个式子y=120x来表示. 像上节问题1那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称为图象法. 函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是(a，f(a) )，其中a在自变量的取值范围内. 反之，坐标为(a, f(a)的点都在函数y=f(x)的图象上. 像上一小节问题(2)那样，列一张表格，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法. 像上一小节问题(3)那样，用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数表达式(或函数解析式). 由此可以看到，用图象法、列表法、公式法均可以表示两个变量之间的函数关系. 知识模块一　用表格表示函数关系 自学互研 用边长为1的等边三角形拼成如图所示的图形，用y表示拼成的图形的周长，用n表示等边三角形的个数. (1)填写下表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 … y … (2)用公式法表示y与n的关系; (3)用图象法表示y与n的关系. (1)当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，每增加1个三角形，周长就增加1，因此可得下表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 … y … 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)由(1)可知，周长y是三角形个数n的函数，其中n是自变量，y是因变量，且y与n之间的函数表达式是y=n＋2 (n为正整数). 列表法 公式法 (3)因为自变量n为正整数，于是根据表达式y=n＋2，可以在平面直角坐标系中描出无数个点，这些点组成了函数y=n＋2的图象，如图所示. y n O 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 11 由于n为正整数，所以图像是离散的点. 图象法 31 用图象法、列表法、公式法表示函数关系，各有什么优点? 用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化. 用列表法表示函数关系，可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值. 用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，例如，对于函数y=n＋2(n为正整数)，当n=50时，把它代人函数表达式，得y=50十2=52. 自 探 主 究 婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁的2倍、3倍． (1)某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表： 年龄 出生时 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重/kg ____ ____ ____ ____ ____ ____ 解：(1)根据题意，填表如表． 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5 (2)根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的． (2)10周岁前的体重随年龄的增长而增大． 年龄 出生时 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重/kg ____ ____ ____ ____ ____ ____ 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5 合 探 作 究 下图表示购买某种商品的个数与付款数之间的关系 (1)根据图形完成下列表格； 购买商品个数 2 4 6 7 付款数/元 _____ _____ _____ _____ 4 8 12 14 (2)请写出表示付款数y(元)与购买这种商品的个数x之间的关系式． (2)设付款数y(元)与购买这种商品的个数x之间的关系式为y＝kx， 根据题意，得4＝2k，解得k＝2， ∴付款数y(元)与购买这种商品的个数x之间的关系式为y＝2x. 知识模块二　用图象表示函数关系 例1 某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时间，然后继续骑行，按时到达学校，图3.1-5反映了他骑车的整个过程.结合图象，回答下列问题: (1)小楠停车进早餐店是在 什么时间?此时离家有多远? 解 (1)从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是7:05;从纵坐标看出，此时离家1000m. (2)小楠吃早餐花了多长时间?吃完早餐后又花了多长时间到达学校? (3)小楠从家到学校的平均速度是多少? (2)从横坐标看出，小楠吃早餐花了15min;小楠吃完早餐后又花了10min到达学校. (3)从纵坐标看出，小楠家离学校2100m;从横坐标看出，他在路上共花了30min.因此，他从家到学校的平均速度是 2100÷30=70(m/min). 自 探 主 究 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程s(km)随时间t(h)变化的图象(全程)如图所示，有下列说法：①起跑后1 h内，甲在乙的前 面；②第1 h两人都跑了10 km；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20 km.其中正确的说法有_______． ①②④ 合 探 作 究 小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ (2)小明出发两个半小时后离家多远？ (3)小明出发多长时间后离家12 km? 解：(1)3 h，30 km. (2)22.5 km. (3)48 min或5 h 12 min. 分析：(1)根据分段函数的图象上点的坐标意义可知：小明到达离家最远的地方需要3 h，此时他离家30 km； (2)因为点C(2，15)，D(3，30)在直线上，运用待定系数法求出表达式后，把x＝2.5代入表达式即可； (3)分别用待定系数法求得过E，F两点的直线表达式，以及过A，B两点的直线表达式，分别令y＝12，求解x. 知识模块三　用关系式表示函数关系 例2 已知等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x.(1)求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围;(2)当腰长为4时，求底边长. 解 (1)由已知得y＋2x =10,则y=10－2x. (2)当腰长x=4时，底边长y=10－2×4=2. 由于x，y为该等腰三角形的边长， 所以x>0, y>0, 2x>y. 于是10－ 2x>0且2x>10一2x . 解上述两个不等式组成的不等式组，可得2.5<x<5. 自 探 主 究 小明的家离学校2 km，他骑自行车上学，速度是200 m/min.则他与学校的距离s(m)与骑行时间t(min)的函数关系是______________________． s＝2 000－200t(0≤t≤10) 合 探 作 究 如图，已知△ABC的边BC的长为6 cm.高AD的长为x cm. (1)求△ABC的面积y(单位：cm2)与x之间的关系式； (2)写出关系式中的自变量与因变量； (3)当x＝4时，求△ABC的面积为多少？ 解：(1)∵△ABC的边BC的长为6 cm.高AD的长为x cm，△ABC的面积为y cm2， ∴y＝×6x＝3x. (2)x是自变量，y是因变量． (3)当x＝4时，y＝3x＝12， ∴当x＝4时，求△ABC的面积为12 cm2. 总结归纳 函数的表示方法及特点 (1)函数的三种表示方法：______、_______、______； (2)用_______表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化； (3)用_______表示函数关系，可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值. (4)用________表示函数关系，可以方便地计算函数值. 图象法 列表法 公式法 图象法 列表法 公式法 1.如图，将一个正方形的顶点分别标上号码1，2，3，4，直线l经过第2，4号顶点.作这个正方形关于直线l的轴对称图形，那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？填在下表中： 这个表给出了y是x的函数．画出它的图象，它的图象由几个点组成？ 3 2 1 4 图象由4个点组成. 2.等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为y，写出y随x而变化的函数表达式，并指出自变量x的取值范围. 解：因为三角形内角和为180度，所以y+2x=180，即y=180-2x；因x，y均为三角形内角，故 x>0，y=180-2x>0，所以x的取值范围是0＜x＜90. 3.如图是A市某一天内的气温随时间而变化的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)这一天中的最高气温是多少？是上午时段， 还是下午时段？ 解：最高气温是24℃，是在14点，是下午时段. (2) 最高气温与最低气温相差多少？ 解：最高气温是24℃，最低气温是8℃，最高气温与最低气温相差24-8=16（℃）. (3)什么时段，气温在逐渐升高？什么时段，气温在逐渐降低？ 解：在2点到14点，气温逐渐升高，在0点到2点，14点到24点气温逐渐降低. 课堂小结 函数的表示方法 公式法：反映了函数与自变量之间的数量关系 列表法：反映了函数与自变量的数值对应关系 图象法：反映了函数随自变量的变化而变化的规律 随堂练习 某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用2小时.已知摩托车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的关系如下图所示.假设这辆摩托车每行驶100千米的耗油量为2升，根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙地共耗油_______升，请你用语言简单描述这辆摩托车行驶的过程. 0.9 解：先以30千米/时速度行驶1小 时，再休息半小时，又以同样速度行驶半小时到达乙地. 湘教版 八年级 数学（下） 第3章 一次函数 3.1 函数的概念和表示法 习题3.1 55 【选自教材P89 习题3.1第1题】 1已知1cm3钢的质量是7.8g，求正方体钢块的质量y(g)与它的棱长x(cm)之间的表达式，在这个问题 中，哪些量是变量，其中哪个量是自变量? ∴y＝7.8x3， ∴ 在这个问题中，x， y为变量，其中为x自变量. 解:∵正方体的棱长为x厘米， ∴正方体的体积为x3(立方厘米)， 又∴ 1立方厘米钢的质量是7.8克， 2.观察下表中两个变量间的数量关系: 1 2 3 … n … 4×1 4×2 4×3 … 4n … 你能用生活中的实例解释表中的关系吗?把你所举实例的两个变量的名称及字母表示填在表中左边的空格内. 【选自教材P89 习题3.1第2题】 能，答案不唯一，如:正方形的边长为1时，它的周长是4×1;正方形的边长为2时，它 的周长是4×2......正方形的边长为n时，它的周长是4n.如下表: 1 2 3 … n … 4×1 4×2 4×3 … 4n … 正方形的边长 正方形的周长 3.如图是用火柴棒按规律拼摆的图形. (1)用y表示摆成第n个图形所需的火柴根数，试完成下表: n 1 2 3 4 5 … y … 4 7 10 13 16 【选自教材P90 习题3.1第3题】 (2) y=3n+1(n是正整数) (3) 函数图像如右图所示. (2)用公式法表示y与n之间的函数关系; (3)画出这个函数的图象. 4.玩具店每月的盈利p(元)是售出玩具数量q(件)的函数，且p=65 q－9750. (1)已知某月玩具店售出玩具500件，求该月的盈利. (2)如果一个月内共售出玩具150件，该玩具店是否盈利? 解：(1)因为当q=500时，p=65q-9750=65×500-9750=22750，所以该月的盈利是22750元. (2)因为当q=150时，p=65q-9750=65×150-9750=0，所以该玩具店不盈利. 【选自教材P90 习题3.1第4题】 解：(1) 这次比赛的赛程是110 m. (2) 甲先到达终点. (3) 乙的平均速度是110÷14=(m/s). 5.甲、乙两人在一次跨栏比赛中，路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示，回答下列问题: (1)这次比赛的赛程是多少? (2)甲、乙二人谁先到达终点? (3)求乙在这次比赛中的平均速度. 【选自教材P90 习题3.1第5题】 6.下列图象中，表示y不是x的函数的是( ) B 【选自教材P91 习题3.1第6题】 7电视机屏幕的尺寸(指它的对角线长度)一般采用两种计量单位:一种是英制，以英寸为单位;一种是公制，以厘米为单位，这两种单位之间的换算关系是1英寸=2.54cm. (1)如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换算成公制是ycm，试把y用关于x的代数式表示出来， (2)在问题(1)中，哪些量是常量?哪些量是变量?y的值是由哪个变量的取值确定的? 解： (1) y=2.54x; (2)常量是2.54,变量是x和y, y的值是由x的取值确定的. 【选自教材P91 习题3.1第7题】 8.如图(1)，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC → CB方向匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的数图象如图(2)所示，则AB的长为________. D C B A P O y x 3 2 【选自教材P91 习题3.1第8题】 $