期中真题必刷压轴50题（07大考点专练） 2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷压轴50题（07大考点专练） 【考点一】 利用二次根式的性质化简 【考点五】 一元二次方程根与系数的关系 【考点二】 二次根式的运算及其综合应用 【考点六】 一元二次方程的实际应用与几何综合 【考点三】 由一元二次方程的解求参数 【考点七】 数据分析初步综合应用 【考点四】 一元二次方程的解法及综合应用 【考点一】 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 4．（2024八年级下·浙江·期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索： 如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2， （1）请写出图象上点的坐标（1，______） （2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，于点H，交于点P，试证明； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【考点二】 二次根式的运算及其综合应用 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，，则边________；如图2，折叠，使点与点重合，折痕与边，分别交于点，，则________． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在中，E，F为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 10．（23-24八年级下·浙江·期末）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 12．（24-25八年级下·浙江台州·期中）观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 13．（24-25八年级下·浙江·期中）阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ， (2)观察下面的变形规律并解决问题： ①，，，……若为正整数，请你猜想： ， ②计算： 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【考点三】由一元二次方程的解求参数 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【考点四】 一元二次方程的解法及综合应用 17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（　　） ①两边同时除以得. ②化简整理得，∵，，，，∴. ③整理得，配方得，∴，∴，∴，. ④移项得：，∴或，∴，. A．① B．② C．④ D．③④ 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________． 甲 乙 两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ． 丙 丁 整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ． （2）选择合适的方法解方程 20．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值． 21．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 22．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 23．（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 26．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，点E是射线上的动点，点F在上，若，以为邻边作平行四边形． (1)点E在线段上，当时，求出的长度； (2)当时，是否存在m的值，使得的面积等于面积的，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由； (3)点G关于E点的对称点为，点刚好落在直线上时，则_____（直接写出答案）． 【考点五】一元二次方程根与系数的关系 27．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（   ） A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 28．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 29．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根为，且，求的值． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 32．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 33．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【考点六】一元二次方程的实际应用与几何综合 34．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 35．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 36．（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 37．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 39．（22-23八年级下·浙江温州·月考）根据以下素材，探索完成任务． 如何计算工厂生产线数量？ 素材1 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产400万个． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天． 问题解决 任务1 确定最大产量 为了新生产线的适应，前三天1条生产线的产量按日平均增长率50%增加至最大产量，求1条生产线的最大产量 任务2 拟定初方案 现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量． 任务3 优化方案 该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 40．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题 初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？ 问题 续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【考点七】数据分析初步综合应用 41．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 (1)请算出三人的得票分； (2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； (3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 42．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）某市为增强学生的法律意识，开展了对全市学生的普法教育活动．为检验活动效果，组织全市八年级学生参加法律知识测试，并对测试成绩做了详细统计，将测试成绩（成绩都是整数，试卷满分分）绘制了如下“频数直方图”．请回答：       (1)参加全市法律知识测试的学生有________千名同学． (2)中位数落在________分数段内． (3)若用各分数段的组中值来代替本段平均分，请你估算本次测试成绩全市平均分约为多少？ 43．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）为迎接数学文化节，某校面向全体学生举办了以“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题： 比赛项目 成绩（分） 七年级 八年级 九年级 24点速算比赛 70 85 80 数学文化知多少 80 70 90 东方快板 85 80 70 环环相扣 90 95 80 (1)根据对各个项目参赛人数的统计，绘制了扇形统计图如图所示，现已知参加“东方快板”项目的有200人，求参加此次数学素养大赛的总人数以及参加“数学文化知多少”项目的人数． (2)现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级赛，各年级各项目成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？ 44．（25-26八年级下·浙江·期中）为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上．某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 错题数（个） 甲班频数（人） 乙班频数（人） 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 (1)根据上述信息求出和的值． (2)你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由． 45．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次调查中学生每天在校体育活动时间的中位数是 ，图①中m的值为 ． (2)求本次调查中学生每天在校体育活动时间的平均数． (3)根据统计的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 46．（24-25八年级下·浙江温州·期中）为积极响应国家体育发展试点城市建设号召，温州市某中学面向八年级学生开展“健康体育”知识间答系列活动，现从八年级参与活动的学生中随机抽取20名学生，记录成绩，相关数据统计、整理如下： 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全学生成绩统计图． (2)这20名学生成绩的中位数为______分，众数为______分． (3)若八年级学生共有500人，估计成绩8分及以上的学生有多少人？ 47．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，各学校都在深入开展体育教育． 某校为了解七、八年级学生每日课外体育运动的时间（单位：分钟）情况， 从该校七、八年级中各随机抽查了 20 名学生进行问卷调查， 并将调查结果进行整理， 描述和分析 ，下面给出了部分信息： 八年级抽取的 20 名学生的每日体育运动时间为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 七年级抽取的学生每本体育运动时间的统计量 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 50 35 45 580 八年级 50 50 560 根据以上信息， 解答下列问题： (1)直接写出 的值； (2)根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加体育运动的情况较好？请说明理由； (3)若该校七、八年级各有学生 人，试估计该校七、八年级学生每日体育运动时间不少于 60 分钟的人数之和． 48．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某学校从九年级同学中任意选取 40 人，随机分成甲、乙两个小组（每组 20 人）进行“引体向上” 体能测试， 根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 乙组成绩统计图甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)甲组成绩的中位数是_____ ，乙组成绩的众数是_____； (2)请求出乙组成绩的平均数； (3)已知甲组成绩的方差为 0.81 ，乙组成绩的方差为 0.75 ，请判断哪个小组的成绩更加稳定． 49．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取名进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． （I）甲民宿名顾客的满意度分数为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； （II）乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示： 乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图 甲、乙民宿满意度分数统计表 民宿 平均分 众数 中位数 分及分以上人数所占百分比 甲 乙 （III）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如上表所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出上述表中的的值； (2)春节假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？ (3)根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由． 50．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩（单位：分）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80． 八年级：成绩处于组的学生的具体成绩为：83，90，84，83，83． 【整理数据】 年级 七年级 2 2 5 1 八年级 2 2 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 82 八年级 80 83 72 【应用数据】 (1)填空：______，______； (2)若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； (3)若甲同学在分析八年级数据时漏了一个数据80，算得9个数据的方差记为，则______72；（填“”、“”或“”） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷压轴50题（07大考点专练） 【考点一】 利用二次根式的性质化简 【考点五】 一元二次方程根与系数的关系 【考点二】 二次根式的运算及其综合应用 【考点六】 一元二次方程的实际应用与几何综合 【考点三】 由一元二次方程的解求参数 【考点七】 数据分析初步综合应用 【考点四】 一元二次方程的解法及综合应用 【考点一】 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 先根据数轴的定义得出，，，，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：，，， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】根据题意得，，得出，则所以原方程为，求得大正方形的面积为，边长为，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程，则， ∴， ∴，， 即，即 所以原方程为， ∴大正方形的面积为 ∴边长为 ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的性质，理解题意是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【知识点】已知字母的值，化简求值、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 4．（2024八年级下·浙江·期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索： 如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2， （1）请写出图象上点的坐标（1，______） （2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）把的横坐标代入，求解点的纵坐标即可； （2）先分别求解的周长，的周长，可得：当的周长的周长时，即，再画出直线的图象，直线过点、，观察函数图象可得答案. 【详解】解：（1）当时，， 故点的坐标为， 故答案为1； （2）由，得：， 由题意得：，， 则的周长， 而的周长， 则当的周长的周长时， 即， 由（1）知，当时，，当时，， 则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、， 从图象看，当时，，即的周长大于的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键. 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，于点H，交于点P，试证明； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值不发生改变，等于4 【知识点】全等三角形综合问题、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据求出，再求出，利用即可证明； （2）要证，只需证明平分，过O分别作于M点，作于N点，只需证到，证明即可； （3）连接，易证，从而有，由此可得． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 【详解】（1）∵ ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ∴； （2）过O分别作于M点，作于N点． 在四边形中，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， （3）的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴． 【考点二】 二次根式的运算及其综合应用 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，，则边________；如图2，折叠，使点与点重合，折痕与边，分别交于点，，则________． 【答案】 1 【知识点】二次根式的除法、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质、勾股定理及等腰直角三角形，熟记折叠的性质、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 过作，利用得等腰直角，求出、，进而得，最后用勾股定理求．过作，由知等腰直角，设未知数表示相关线段．根据折叠性质得，在用勾股定理列方程求解得． 【详解】如图，过点作于， ， ， ， 在中，， ， ， ， 如图，过点作于点，连接， 又， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， 根据折叠的性质得， ， ， 在中， ， ， ， ， 故答案为：；． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在中，E，F为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到，然后结合已知条件用边边边判定三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到，从而判定四边形为矩形； （3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可计算出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 在和中， (SSS) （2） 在平行四边形中， 四边形是矩形； （3）∵四边形是矩形； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义．勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键，运用了数形结合的数学思维． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化． （1）根据平方差公式进行分母有理化可以解答本题； （2）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化的方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解． （1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案； （2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案． 【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积   ； （2）解∶长方体盒子的体积 ． 10．（23-24八年级下·浙江·期末）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长为8cm，宽为5cm；（2）能，cm2 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，列出方程组，解之即可； （2）设底面正方形边长为，分别计算前后单个纸盒的面积，作差比较即可． 【详解】解：（1）设长方形的长为，宽为，且； 由题意可得：， 解得：或，舍去）； 长方形的长为，宽为． （2）设底面正方形边长为，则有， ，（舍去）， 此时单个纸盒的面积为， 原来纸盒的面积为， ， ， 能节约包装盘的纸张面积，且每个牛奶盘可节约． 【点睛】本题考查二次根式的应用和剪纸的相关内容，解题的关键在于熟记长方体的体积公式并准确运算． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________；_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)12 (3)4 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是要掌握二次根式的化简规则． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： 12．（24-25八年级下·浙江台州·期中）观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答． （2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答． （3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 13．（24-25八年级下·浙江·期中）阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ， (2)观察下面的变形规律并解决问题： ①，，，……若为正整数，请你猜想： ， ②计算： 【答案】(1)， (2)① ；② 2025 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式规律探究，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解； （2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答； ②根据①中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，与互为有理化因式； ， 故答案为：；． （2）解：① ； ② ． 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】第一步：见解析；第二步：见解析；（1）见解析；（2）的费马距离为 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、二次根式的应用 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 【考点三】由一元二次方程的解求参数 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 16．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 【考点四】 一元二次方程的解法及综合应用 17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（　　） ①两边同时除以得. ②化简整理得，∵，，，，∴. ③整理得，配方得，∴，∴，∴，. ④移项得：，∴或，∴，. A．① B．② C．④ D．③④ 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解二元一次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①错误； B．不是，故②错误； C．配方时，等式两边应该加4，故③错误； D．， ， ， ∴或， ∴，．故④正确． 故选：C． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________． 甲 乙 两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ． 丙 丁 整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ． （2）选择合适的方法解方程 【答案】（1）丁；（2） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可； （2）利用因式分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，丁的解法完全正确， 故答案为：丁； （2）解：， ， ∴或， 解得，． 20．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5或7 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得证； （2）先判断出是关于的一元二次方程的一个根，代入可得一个关于的一元二次方程，解方程可得的值，然后根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系进行检验即可得． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为 ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）已证：这个方程有两个不相等的实数根， ∵等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7， ∴是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 整理得：， 解得或， ①当时，这个一元二次方程为， 解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意； ②当时，这个一元二次方程为， 解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意； 综上，的值为5或7． 21．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 22．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2）解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上， 23．（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； （2）∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1)的长为． (2)线段的长是方程的一个根，理由见解析； 的值为． 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的求根公式，解题的关键是正确理解作图过程． （1）用勾股定理解直角三角形即可； （2）根据勾股定理，用和表示线段的长，用求根公式写出一元二次方程的解，对比即可；由作图过程结合已知条件得出线段之间的数量关系，根据勾股定理列方程，化简整理即可得的值． 【详解】（1）解：由作图过程可知， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 答：的长为． （2）解：线段的长是方程的一个根， 理由： ∵，，，， ∴， 由得，， ∴， ∴线段的长是方程的一个根． 由作图过程可知，，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 答：的值为． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【知识点】配方法的应用、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 26．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，点E是射线上的动点，点F在上，若，以为邻边作平行四边形． (1)点E在线段上，当时，求出的长度； (2)当时，是否存在m的值，使得的面积等于面积的，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由； (3)点G关于E点的对称点为，点刚好落在直线上时，则_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论求解即可； （3）作，作，得到，进而得到，，证明四边形为矩形，推出，，证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则：， ∴， ∵， ∴； （2）解：存在； ∵，， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴， ∴的面积， 整理得，， 解得：； 当点在线段的延长线上时，则：， ∴的面积， 整理得，， ∴或（不合题意，舍去）； 综上：或； （3）解：如图，作，作， ∵对称， ∴， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【考点五】一元二次方程根与系数的关系 27．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（   ） A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据解方程，根的判别式，二次根式的化简解答即可． 本题考查了解方程，根的判别式，二次根式的化简，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：①时，是一元一次方程，根为；关于的方程且时，有两个实数根，故，本题结论错误，不符合题意； ②根据，得。故，本结论正确，符合题意； ③，则方程一定无解，故本结论错误，不符合题意； ④根据方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 正确，符合题意． 故选：C． 28．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明：， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 29．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式，进行计算即可解答； （2）利用根与系数的关系和已知可得，求出，代入方程得：，再求解即可． 【详解】（1）， 方程总有两个不相等的实数根； （2）， ， 代入方程得：， 解得：． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 32．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)根为2，，不是邻根方程 (2)或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、配方法的应用 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 33．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【答案】（1）3，，；（2），；（3）2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程． （1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）利用根与系数的关系可得，，从而可得答案； （3）利用根与系数的关系可得，结合，可得，再解方程，结合，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，，； （2）∵一元二次方程的一个根为， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （3）设关于x的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴． 【考点六】一元二次方程的实际应用与几何综合 34．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 【答案】任务1：通道的宽应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米，根据长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，列出一元二次方程求解即可； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-承包费）为52万元，列出一元二次方程求解并取最大值即可． 【详解】解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：通道的宽应设计成10米； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元． 答：每平方米草莓应该降价40元． 35．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 36．（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 (2)该零部件的实际售价应定为元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． （2）解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 37．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、动点问题（一元一次方程的应用）、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的对边相等列方程解答即可； （3）分两种情况，利用平行四边形的面积列出的方程可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ， ∴， ∴， ， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∴， ∴， ①当四边形为平行四边形时， ， ∴， ∴， ②当四边形为平行四边形时， ， ∴， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：①当在边上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 解得 (舍去)， ②当在边上时， ， 解得； 综上所述或时，平行四边形的面积为． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 【答案】(1)见解析 (2)实验器材A为10套，实验器材B为40套 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据已知条件列式计算即可； （2）设实验器材A为x套，则实验器材B为套，根据订购这批实验器材总价为5300元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元， ∴实验器材A的数量为x套，当时，实验器材A的销售单价为： （元/套）， 则实验器材B的数量为套，实验器材B的销售单价为： （元/套）， 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 （2）解：设实验器材A为x套，则实验器材B为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴，， 答：实验器材A为10套，实验器材B为40套． 39．（22-23八年级下·浙江温州·月考）根据以下素材，探索完成任务． 如何计算工厂生产线数量？ 素材1 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产400万个． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天． 问题解决 任务1 确定最大产量 为了新生产线的适应，前三天1条生产线的产量按日平均增长率50%增加至最大产量，求1条生产线的最大产量 任务2 拟定初方案 现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量． 任务3 优化方案 该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】任务1：900万个；任务2：增加的生产线数量为4条；任务3：每天生产一次性注射器不能达到10900万个，理由见解析； 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】任务1：根据题意列式计算即可； 任务2：设增加的生产线数量为x条，根据每天生产一次性注射器4100万个列出方程，解方程即可； 任务3：设增加的生产线数量为y条，根据每天生产一次性注射器10900万个列出方程，根据根的判别式说明此方程无解，即可说明每天生产一次性注射器不能达到10900万个． 【详解】解：任务1：（万个）， 答：1条生产线的最大产量为900万个； 任务2：设增加的生产线数量为x条，根据题意得： ， 解得：，， ∵生产线越多，投入越大， ∴在增加一定数量生产线的同时又要节省投入，舍去， 答：增加的生产线数量为4条； 任务3：设增加的生产线数量为y条，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根， ∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． 40．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题 初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？ 问题 续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】问题初探：（1）；（2）；变式探究：能，见解析 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，列代数式； （1）设，由长的篱笆减去即可得到答案； （2）设，则，可得，再解方程即可； 变式探究：当，时，满足条件，再画图即可． 【详解】解：问题初探：（1）由题意可得：， （2）设，则， ∴， ∴， 解得， ，                                                        当时，，不符合题意，         ∴． 变式探究：能，示意图如下： 此时面积为：，符合题意． 【考点七】数据分析初步综合应用 41．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 (1)请算出三人的得票分； (2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； (3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【答案】(1)甲36分，乙36分，丙18分 (2)甲入选 (3)甲 【知识点】运用加权平均数做决策、求扇形统计图的某项数目、利用平均数做决策 【分析】（1）根据得票率计算得票数，然后分别求出三人的得票分即可； （2）分别算出甲、乙、丙三人的平均分，进行判断即可； （3）分别算出甲、乙、丙三个人的加权平均数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：三人的得票分分别为 甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）； （2）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲入选； （3）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲被选中． 【点睛】准确掌握平均数和加权平均数的公式，并能正确计算是解题的关键． 42．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）某市为增强学生的法律意识，开展了对全市学生的普法教育活动．为检验活动效果，组织全市八年级学生参加法律知识测试，并对测试成绩做了详细统计，将测试成绩（成绩都是整数，试卷满分分）绘制了如下“频数直方图”．请回答：       (1)参加全市法律知识测试的学生有________千名同学． (2)中位数落在________分数段内． (3)若用各分数段的组中值来代替本段平均分，请你估算本次测试成绩全市平均分约为多少？ 【答案】(1) (2) (3)分 【知识点】频数分布直方图、求加权平均数、求中位数 【分析】（1）将所有分数段的频数相加，即可得到参加测试的学生总人数； （2）计算累计频数，找到包含第总人数一半位置数据的分数段，即为中位数所在组； （3）用各分数段的组中值乘以对应频数得到总分数，再除以总人数，即可估算出全市平均分． 【详解】（1）解：（千人）； （2）解：总人数为千人，将成绩从小到大排列后，中位数是第名和第名同学成绩的平均数， 累计频数：：千人（人）； ：（千人）（人）； ：（千人）（人）； ：（千人）（人）； 且， ∴第、名同学的成绩都落在分数段内， ∴中位数落在分数段； （3）解：各分数段组中值计算如下： ：组中值； ：组中值； ：组中值； ：组中值； ：组中值； ：组中值； ∴全市平均分（分）． 43．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）为迎接数学文化节，某校面向全体学生举办了以“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题： 比赛项目 成绩（分） 七年级 八年级 九年级 24点速算比赛 70 85 80 数学文化知多少 80 70 90 东方快板 85 80 70 环环相扣 90 95 80 (1)根据对各个项目参赛人数的统计，绘制了扇形统计图如图所示，现已知参加“东方快板”项目的有200人，求参加此次数学素养大赛的总人数以及参加“数学文化知多少”项目的人数． (2)现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级赛，各年级各项目成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？ 【答案】(1)800人；80人 (2)初一79，初二79，初三82，初三取得第一名 【知识点】求扇形统计图的某项数目、由扇形统计图求总量、求加权平均数 【分析】本题主要考查了扇形统计图和加权平均数，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据参加“东方快板”项目的人数除以其人数占比可求出参与的总人数，再用总人数乘以参加“数学文化知多少”项目的人数占比即可得到答案； （2）根据加权平均数的计算方法分别求得三个年级的成绩，比较即可求解． 【详解】（1）解：人， ∴参加此次数学素养大赛的总人数为800人， 人， ∴参加“数学文化知多少”项目的人数为80人； （2）解：初一：， 初二：， 初三：， ∵， ∴初三取得第一名． 44．（25-26八年级下·浙江·期中）为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上．某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 错题数（个） 甲班频数（人） 乙班频数（人） 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 (1)根据上述信息求出和的值． (2)你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由． 【答案】(1)，； (2)甲班，见解析． 【知识点】求加权平均数、求中位数、运用方差做决策 【分析】（）分别根据中位数，平均数的意义算出即可； （）根据所得数据选择两个统计量进行比较，做出评价即可． 【详解】（1）解：， ∵甲班共有（人）， ∴中位数为第，个学生的错题数，为和， ∴； （2）解：甲班，理由， 虽然甲班的方差比乙班大，但相差不大，再从平均数，中位数，众数来看，甲班的收录错题数更多，表现更好． 45．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次调查中学生每天在校体育活动时间的中位数是 ，图①中m的值为 ． (2)求本次调查中学生每天在校体育活动时间的平均数． (3)根据统计的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【答案】(1)，25 (2) (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求加权平均数、求中位数 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得本次调查中学生每天在校体育活动时间的中位数以及m的值； （2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数； （3）根据统计图中的数据可以求得该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【详解】（1）解：本次接受调查的初中学生人数为：， 把40名学生每天在校体育活动时间从小到大排列，排在中间的两个数均为，故中位数是； ； （2）解：平均数是：， （3）解：人， 答：估计该校每天在校体育活动时间大于的学生有2430人． 46．（24-25八年级下·浙江温州·期中）为积极响应国家体育发展试点城市建设号召，温州市某中学面向八年级学生开展“健康体育”知识间答系列活动，现从八年级参与活动的学生中随机抽取20名学生，记录成绩，相关数据统计、整理如下： 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全学生成绩统计图． (2)这20名学生成绩的中位数为______分，众数为______分． (3)若八年级学生共有500人，估计成绩8分及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)7.5，7 (3)250人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、画条形统计图、求众数 【分析】本题考查了条形统计图，众数，中位数以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用20分别减去其它分值的人数可得9分的人数，再补全学生成绩统计图即可； （2）根据众数和中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩8分及以上的学生所占比例即可． 【详解】（1）解：9分的人数有：（人）， 补全学生成绩统计图如下： （2）解：把随机抽取20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是7，8，故中位数为（分）； 在这20名学生成绩中，7分出现次数最多，故众数为7分． 故答案为：7.5，7； （3）解：（人）， 答：估计成绩8分及以上的学生有250人． 47．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，各学校都在深入开展体育教育． 某校为了解七、八年级学生每日课外体育运动的时间（单位：分钟）情况， 从该校七、八年级中各随机抽查了 20 名学生进行问卷调查， 并将调查结果进行整理， 描述和分析 ，下面给出了部分信息： 八年级抽取的 20 名学生的每日体育运动时间为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 七年级抽取的学生每本体育运动时间的统计量 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 50 35 45 580 八年级 50 50 560 根据以上信息， 解答下列问题： (1)直接写出 的值； (2)根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加体育运动的情况较好？请说明理由； (3)若该校七、八年级各有学生 人，试估计该校七、八年级学生每日体育运动时间不少于 60 分钟的人数之和． 【答案】(1)， (2)八年级参加体育运动的情况较好，理由见解析 (3)人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求某项的百分比、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，条形统计图、扇形统计图的特点，理解统计图中数量关系是解决问题的关键，两个统计图联系起来寻找数量关系是常用的方法，体会样本估计总体的统计方法． （1）根据百分比之和为1求出m的值，再根据中位数和众数的定义求解可得a、b的值； （2）答案不唯一，合理即可； （3）用总人数乘以七、八年级课外劳动时间不少于60小时的人数之和占被调查人数的比例即可． 【详解】（1） ，即 八年级劳动时间出现的最多，所以众数 ， （2）八年级参加体育运动的情况较好， 理由：八年级劳动时间的方差小，劳动时间更加稳定 （答案不唯一）， （3）该校七、八年级学生每日体育运动时间不少于分钟的人数之和为 （人）． 48．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某学校从九年级同学中任意选取 40 人，随机分成甲、乙两个小组（每组 20 人）进行“引体向上” 体能测试， 根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 乙组成绩统计图甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)甲组成绩的中位数是_____ ，乙组成绩的众数是_____； (2)请求出乙组成绩的平均数； (3)已知甲组成绩的方差为 0.81 ，乙组成绩的方差为 0.75 ，请判断哪个小组的成绩更加稳定． 【答案】(1)8.5，8； (2)8.5分 (3)乙组的成绩更加稳定 【知识点】求众数、根据方差判断稳定性、求一组数据的平均数、求中位数 【分析】本题考查统计图表，求中位数，众数和平均数，利用方差判断稳定性，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据平均数的计算方法，进行计算即可； （3）根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可． 【详解】（1）解：把甲组成绩从小到大排列，中位数是第 10、11 个数的平均数， 则中位教是 ， 乙组成绩8出现的次数最多，出现了 9 次， 则乙组成绩的众数是 8 ． 故答案为：8.5，8； （2）乙组成绩的平均数为 （分）； （3）， ∴， 乙组的成绩更加稳定． 49．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取名进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． （I）甲民宿名顾客的满意度分数为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； （II）乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示： 乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图 甲、乙民宿满意度分数统计表 民宿 平均分 众数 中位数 分及分以上人数所占百分比 甲 乙 （III）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如上表所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出上述表中的的值； (2)春节假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？ (3)根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由． 【答案】(1)，， (2)人 (3)甲民宿，理由见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求加权平均数、求中位数、运用众数做决策 【分析】本题考查条形统计图，加权平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握加权平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义进行计算即可； （2）根据甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数； （3）根据平均数、众数和9分及9分以上的人数所占的百分比的大小比较得出答案． 【详解】（1）解：甲民宿9分及9分以上人数所占百分比 乙民宿的平均分（分）， 将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 ∴ （2）（人）， 答：估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有100人； （3）甲民宿，理由如下： 甲民宿顾客满意度分数的平均数、众数和9分及9分以上人数所占百分比都比乙的要大，因此选择甲民宿． 50．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩（单位：分）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80． 八年级：成绩处于组的学生的具体成绩为：83，90，84，83，83． 【整理数据】 年级 七年级 2 2 5 1 八年级 2 2 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 82 八年级 80 83 72 【应用数据】 (1)填空：______，______； (2)若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； (3)若甲同学在分析八年级数据时漏了一个数据80，算得9个数据的方差记为，则______72；（填“”、“”或“”） 【答案】(1)， (2)竞赛成绩为“优秀”的有人 (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的定义是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义，即可求出a和b的值； （2）用八年级总人数乘以竞赛成绩为“优秀”的人数所占百分比，即可解答； （3）根据方差的定义，进行分析即可． 【详解】（1）解：（分）， ∵八年级抽取了10名学生成绩， ∴八年级抽取学生成绩中位数为第5名和第6名学生的平均数， ∴（分）， 故答案为：80，83． （2）解：（人）， 答：竞赛成绩为“优秀”的有360人． （3）解：9个数据的平均数为（分）， 9个数据的方差为， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $