期中真题必刷压轴70题（9大考点专练） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷压轴70题（9大考点专练） 【考点一】 数据的收集、整理与描述综合应用 【考点六】 正方形判定与性质及综合应用 【考点二】 认识概率综合应用 【考点七】（特殊）四边形的动点问题及其他综合问题 【考点三】 平行四边形判定与性质及综合应用 【考点八】三角形的中位线与中点四边形 【考点四】 矩形判定与性质及综合应用 【考点九】梯形判定与性质及综合应用 【考点五】 菱形判定与性质及综合应用 【考点一】数据的收集、整理与描述综合应用 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）泰州市体育中考现场考试选项规则如下表： 项目 耐力（必选） 素质（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 米跑 引体向上 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 米跑 仰卧起坐 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 对初三某班40名同学的体育选考项目情况进行了统计（无“免试”或“缓试”），并根据其中部分信息绘制了下表： 项目 素质 球类 立定跳远 短跑 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 女生 总计 以下四个推断中，推断正确的有__________（填序号）． ①一定有女生选择了短跑； ②一定有男生同时选择短跑和足球绕杆； ③至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆； ④男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）； (2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析． (1)小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力，他们的抽样是否合理？并说明理由． (2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级共随机抽取了4000名学生进行调查，整理他们的视力情况数据，得到的扇形统计图和条形统计图．根据抽样调查的结果，估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少？ 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）某市八年级学生去国防园参加社会实践活动，园内有“制作木飞机”、“遇险急救”、“水上过浮桥”、“攀岩”（以下分别用A、B、C、D表示）四个项目．为了了解学生对这四个项目的喜爱情况，对全市八年级学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． (1)本次参加抽样调查的学生有______人； (2)将两幅不完整的图补充完整； (3)在扇形统计图中C项目所占扇形的圆心角的度数为_____； (4)若全市有4000名学生，求估计喜爱A项目的人数． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某中学为了解学生最喜欢的课外活动，以便更好地开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是_______（单选） A．文学 B．科技 C．艺术 D．体育 根据统计得到的数据，绘制成了两幅不完整的统计图．    请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查采用的调查方式是_______（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)条形统计图中_______；扇形统计图中_______； (3)若该校共有1500名学生参加课外活动，则估计选择“艺术”类课外活动的学生有多少人？ 6．（24-25八年级下·江苏南京·期中）“校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了解程度，选取了八年级部分学生进行调查．通过调查统计，将该校八年级部分学生对校园安全知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很少；E．不了解．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下． 根据图中信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的样本容量是 ； (2)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）． (3)扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 °． (4)若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣讲会，则在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为多少人？ 7．（24-25八年级下·江苏常州·期中）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了若干个进行检测，数据整理出如统计图表： 完全充放电次数 频数 2 3 5 频率 0.10 0.15 0.50 (1)_______，_______；扇形统计图中“”所对应的扇形的圆心角_______°； (2)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由； (3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）3月23日上午2025无锡马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在这条樱花盛开的赛道上挑战自我．十里芳堤樱花步道，漫天樱花如“沉浸式隧道”．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表： 初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩（分钟） 频数（人） 频率 5 10 14 9 (1)统计表中，___________，___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）为庆祝国庆，某校组织八年级学生进行“方阵表演”．为了整齐划一，需了解学生的身高，现随机抽取该校八年级部分学生进行调查，根据所得数据绘制出如下统计图表： 组别 身高 A B C D E 根据图表提供的信息， 回答下列问题： (1)这次抽样调查，一共抽取学生 人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 ； (3)已知该校八年级共有学生2000人，请估计身高在的学生约有多少人？ 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）为了了解某校中学生参加体育活动的情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每周参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项： A．9小时以上；B．小时；C．小时；D．2小时以下． 根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息解答下列问题： (1)本次调查活动采取了_______调查方式（填“普查”或“抽样调查”）； (2)计算本次调查的学生人数； (3)请将图1中选项B的部分补充完整； (4)若该校有3000名学生，你估计该校可能有多少名学生平均每周参加体育活动的时间在2小时以下． 【考点二】认识概率综合应用 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 50 100 200 400 800 “射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 “射中9环以上”的频率                          (1)估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ；（结果精确到0.1） (2)结合上面数据，某同学说：“如果这名运动员射击1000次，那么射中9环以上正好是800次．”该同学的说法正确吗？为什么？ 13．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 14．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 16．（23-24八年级下·江苏常州·期中）气象部门统计了某地130年冬季的平均气温，结果如下： 平均气温/℃ 年数 1 1 1 2 2 2 2 3 8 6 平均气温/℃ 0 1 2 3 4 年数 14 21 15 12 15 10 9 2 2 2 (1)该地区冬季的平均气温为多少摄氏度的年数最多？ (2)该地区冬季的平均气温在的频数是多少？频率是多少（精确到0.1）？ (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是多少？ 17．（23-24八年级下·江苏南京·期中）某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 18．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794 0.299 0.266 0.256 0.259 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 【考点三】平行四边形判定与性质及综合应用 19．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 20．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 21．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，，． (1)求的长； (2)仅用无刻度的直尺，在上找一点G，使得． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 23．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）（1）模型建立： ①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）； ②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）． （2）模型应用： 模型应用： ①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标． 24．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． (2)画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． (3)在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 25．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点顺时针旋转得到； (2)作关于点成中心对称的； (3)连接、，直接写出四边形的形状和面积． 26．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，和关于点成中心对称． (1)画出对称中心，并写出点E的坐标 _____； (2)画出绕点逆时针旋转后的； (3)画出与关于点成中心对称的； (4)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标_____． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为． (1)当点在边上运动时，求证：； (2)当点在内部时，求的取值范围； (3)当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 28．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【考点四】 矩形判定与性质及综合应用 29．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 30．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求的面积． 31．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 32．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 33．（24-25八年级下·江苏南京·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，四边形是平行四边形，为上任意一点，用直尺和圆规作出菱形，使得点、、分别在边、、上． (2)如图②，点是矩形对角线的交点，，分别在、边上确定点、，满足，且点在线段上，请使用尺规作图确定、的位置． 34．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 35．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，当经过边的中点D时，求证：； (2)①当t为______时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形C直接写出结果）； ②当t为______时，（直接写出结果） 36．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点 E顺时针旋转至 ，作射线交的延长线于点 G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，， E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ． 【考点五】菱形判定与性质及综合应用 37．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的高为________． 38．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的对角线与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是矩形． 39．（24-25八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，在边上分别找到点M，N，使四边形是菱形，小明给出了如下方案： 如图，作的垂直平分线分别交，于点，连接． (1)请判断根据小明的方案得到的四边形是不是菱形，并说明理由； (2)求四边形的面积． 40．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，，求证：四边形是菱形； (2)若，，则（1）中的菱形的面积为______． 41．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，是矩形对角线的中点，，，是边上一动点（不与、重合） (1)的延长线交于，求证：四边形是平行四边形； (2)连接、，四边形能否成为菱形？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由. 42．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． (1)作菱形，使点M，N、P在边、、上； (2)若时，则菱形的面积为___________． 43．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 44．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，，平分，交于点．    (1)动手操作：作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹），交于点，交于点，连接； (2)探究求证：四边形是菱形； (3)应用练习：若，，则菱形的面积为_________． 45．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，点P在边上（不与点A，B重合），连接，平移线段，使点C与点B重合，得到线段，连接． (1)依题意补全图形，若，求的度数； (2)连接，若平分，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，设，试用等式表示y与x之间的数量关系，并证明． 46．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【考点六】正方形判定与性质及综合应用 47．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 48．（22-23八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为3，边在x轴上，的中点与原点O重合，过定点与动点的直线记作l． (1)A点坐标为 ，D点坐标为 ； (2)若l的解析式为，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由； (3)当直线l与边有公共点时，求t的取值范围． 49．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点E是射线上的一点，连接，以为边，在右侧作正方形，连接． (1)如图1，点E在线段上，证明：； (2)如图2，点E在的延长线上，与相交于点H，若正方形的边长为4，设的面积为，的面积为，在点E的运动过程中，发现：，中有一个是定值，请把它找出来，并求出这个定值； (3)当点E在的延长线上时，设正方形和正方形的对称中心分别是P、Q，连接． ①证明：； ②连接，探索线段、、之间的数量关系，直接写出结论． 50．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 51．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点P在射线上（点P不与点F重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线，垂足为点H，交射线于点Q． (1)如图1，若点E是的中点，点P在线段上，线段的数量关系为 (2)如图2，若点E不是的中点，点P在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)正方形的边长为6，，请直接写出线段的长． 52．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”． (1)如图1，在给定的网格中，找到格点．使得以、、、为顶点的四边形是准等边四边形． (2)如图2，中，对角线平分，将线段绕点顺时针方向旋转一个角度至，连接、．求证：四边形是准等边四边形； (3)如图3，在准等边四边形中，，，，请求出的大小及该四边形的面积． 53．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在中，，以斜边为边向上作正方形，若正方形的对角线交于点（如图（1））． (1)求证：平分． (2)试猜想线段与，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图（2），过点作交延长线于，过点作，分别交延长线和延长线于，．求证：四边形为正方形． 54．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【考点七】（特殊）四边形的动点问题及其他综合问题 55．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______． 56．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 57．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒． (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值； (3)如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 58．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 59．（24-25八年级下·江苏南京·期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 【考点八】三角形的中位线与中点四边形 60．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 61．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是中线，且是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 62．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 63．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 64．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，，点、、分别是各边的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 65．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【考点九】梯形判定与性质及综合应用 66．已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____． 67．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 68．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 69．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，？ 70．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷压轴70题（9大考点专练） 【考点一】 数据的收集、整理与描述综合应用 【考点六】 正方形判定与性质及综合应用 【考点二】 认识概率综合应用 【考点七】（特殊）四边形的动点问题及其他综合问题 【考点三】 平行四边形判定与性质及综合应用 【考点八】三角形的中位线与中点四边形 【考点四】 矩形判定与性质及综合应用 【考点九】梯形判定与性质及综合应用 【考点五】 菱形判定与性质及综合应用 【考点一】数据的收集、整理与描述综合应用 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）泰州市体育中考现场考试选项规则如下表： 项目 耐力（必选） 素质（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 米跑 引体向上 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 米跑 仰卧起坐 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 对初三某班40名同学的体育选考项目情况进行了统计（无“免试”或“缓试”），并根据其中部分信息绘制了下表： 项目 素质 球类 立定跳远 短跑 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 女生 总计 以下四个推断中，推断正确的有__________（填序号）． ①一定有女生选择了短跑； ②一定有男生同时选择短跑和足球绕杆； ③至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆； ④男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人． 【答案】①③④ 【知识点】统计表 【分析】本题考查统计表的读取分析能力，其中①②③④每个选项都需先读懂题目，然后在得出各个项目人数的前提下进行判断即可．解题的关键：在于读懂统计表后，找出各个项目人数的多少，再根据人数的多少判断①②③④各个选项是否正确，需要一定的逻辑思维，对逻辑思维有一定的锻炼． 【详解】解：通过立定跳远，得知：女生人，总计人，则男生有：（人）； 通过足球绕杆，得知：男生人，总计人，则没有女生选择足球绕杆； ∵每位同学均需要在素质（短跑、立定跳远）中选择一项， ∴男生共有：（人）， ∴女生共有：（人）， ∴选择短跑的女生有：（人）； ∵每位同学均需要在球类（篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆）中选择一项， ∴选择篮球绕杆的男生有：（人）， 选择排球垫球的女生有：（人）； ①∵选择短跑的女生有人， ∴一定有女生选择了短跑，故①正确； ②∵选择短跑的男生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人， 假如选择短跑的名男生中，选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，则没有男生选择足球绕杆， ∴无法判定一定有男生同时选择短跑和足球绕杆，故②不正确； ③∵选择立定跳远的女生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人， 选择立定跳远的名女生中，假如选择排球的有人，则必有人选择篮球绕杆， ∴至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆，故③正确； ④∵选择短跑的男生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人， ∴男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人，故④正确． 故答案为：①③④． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）； (2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】(1)抽样调查 (2)756 (3)0.94 【知识点】判断全面调查与抽样调查、根据数据填写频数、频率统计表、由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，调查方式，求频数，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据抽样调查的概念可得答案； （2）根据频率频数总数计算即可； （3）利用频率估计概率求解即可． 【详解】（1）解：此调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）， 故答案为：756； （3）这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为0.94， 故答案为：0.94． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析． (1)小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力，他们的抽样是否合理？并说明理由． (2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级共随机抽取了4000名学生进行调查，整理他们的视力情况数据，得到的扇形统计图和条形统计图．根据抽样调查的结果，估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少？ 【答案】(1)他们的抽样都不合理，理由见解析 (2)名 【知识点】用样本的频数估计总体的频数、抽样调查的可靠性、求扇形统计图的某项数目、频数分布直方图 【分析】此题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，用到的知识点是用样本估计总体和抽样调查的可靠性，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据学生全部在眼镜店抽取，样本不具有代表性，只抽取20名初中学生，那么样本的容量过小，从而得出答案． （2）用120000乘以样本中初中学生视力不良的人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：他们的抽样都不合理，理由如下： ∵小华抽取的1000名初中学生全部在眼镜店抽取， ∴该市每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性． ∵小刚只抽取20名初中学生， ∴样本的容量过小又分布不广，样本不具有广泛性． （2）解：根据题意得： （名）， ∴该市120000名初中学生视力不良的人数是名． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）某市八年级学生去国防园参加社会实践活动，园内有“制作木飞机”、“遇险急救”、“水上过浮桥”、“攀岩”（以下分别用A、B、C、D表示）四个项目．为了了解学生对这四个项目的喜爱情况，对全市八年级学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． (1)本次参加抽样调查的学生有______人； (2)将两幅不完整的图补充完整； (3)在扇形统计图中C项目所占扇形的圆心角的度数为_____； (4)若全市有4000名学生，求估计喜爱A项目的人数． 【答案】(1)600 (2)见解析 (3) (4)1200人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关系，利用样本估计总体： （1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出C组的人数以及A项目、C项目人数所占比例，然后补全统计图； （3）用乘以样本中C组人数所占的百分比即可； （4）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可得． 【详解】（1）解：240÷40%＝600（人）， 所以本次参加抽样调查的学生有600人， 故答案为：600； （2）解：C组人数为（人）， A项目人数所占比例为， C项目人数所占比例为， 补全统计图如下： （3）解：， 故答案为：； （4）解：（人）， 答：估计喜爱A项目的人数为1200人． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某中学为了解学生最喜欢的课外活动，以便更好地开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是_______（单选） A．文学 B．科技 C．艺术 D．体育 根据统计得到的数据，绘制成了两幅不完整的统计图．    请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查采用的调查方式是_______（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)条形统计图中_______；扇形统计图中_______； (3)若该校共有1500名学生参加课外活动，则估计选择“艺术”类课外活动的学生有多少人？ 【答案】(1)抽样调查 (2)36，22 (3)270人 【知识点】判断全面调查与抽样调查、由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据抽样调查的定义即可得出答案； （2）由喜欢文学的人数除以其所占百分比可得总人数，用总人数分别减去其它三类的人数可得的值；用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值； （3）用1500乘样本中选择“艺术”类的百分比即可． 【详解】（1）解：本次调查采用的调查方式为抽样调查； 故答案为：抽样调查； （2）解：调查人数为：（人， 故，，即； 故答案为：36，22； （3）答：（人， 答：估计选择“艺术”类课外活动的学生有270人． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期中）“校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了解程度，选取了八年级部分学生进行调查．通过调查统计，将该校八年级部分学生对校园安全知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很少；E．不了解．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下． 根据图中信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的样本容量是 ； (2)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）． (3)扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 °． (4)若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣讲会，则在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为多少人？ 【答案】(1)200 (2)见解析 (3)126 (4)150人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到答案； （2）利用样本容量的意义，计算补图即可． （2）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可； （3）利用解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（人）， 即本次抽样调查的样本容量是200， 故答案为：200 （2）．非常了解的人数为（名）． 补全条形统计图如下． （3）解：A组所占圆心角为： 故答案为：126． （4）解：（人）． 答：在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，圆心角计算，样本容量、样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． 7．（24-25八年级下·江苏常州·期中）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了若干个进行检测，数据整理出如统计图表： 完全充放电次数 频数 2 3 5 频率 0.10 0.15 0.50 (1)_______，_______；扇形统计图中“”所对应的扇形的圆心角_______°； (2)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由； (3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量． 【答案】(1)10；；54 (2)见详解 (3)500 【知识点】判断全面调查与抽样调查、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、根据数据填写频数、频率统计表 【分析】此题主要考查了全面调查与抽样调查，频数分布表，扇形统计图和用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键． （1）根据的频数和频率求出随机抽取的个数，再根据频数、频率和总数的关系即可得出的值，用乘“”部分所占百分比可得对应的圆心角度数； （2）根据抽样调查和普查的特点即可得出答案； （3）用总数乘以样本中完全充放电次数在600 次及以上的个数所占的百分比即可； 【详解】（1）解：抽取的充电宝数量：， ， ， ， 故答案为：10；；54； （2）解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式． （3）解：（个）， 答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600 次及以上的数量为500个． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）3月23日上午2025无锡马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在这条樱花盛开的赛道上挑战自我．十里芳堤樱花步道，漫天樱花如“沉浸式隧道”．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表： 初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩（分钟） 频数（人） 频率 5 10 14 9 (1)统计表中，___________，___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 【答案】(1)12； (2)见解析 (3)120人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、根据数据填写频数、频率统计表、频数分布表 【分析】本题考查的是频数分布表和补全条形统计图，用样本的频率估计总体等，熟练掌握统计图的特点，是解题的关键． （1）可的频率为，即可求出a的值，根据的频数为14可以求出b的值； （2）由（1）得，补全图，即可求解； （3）根据样本中的频率，估计总体数量即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ． （2）解：补全图如下： （3）解：由题意得：（人）， 答：估计成绩在“”范围的人数有120人． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）为庆祝国庆，某校组织八年级学生进行“方阵表演”．为了整齐划一，需了解学生的身高，现随机抽取该校八年级部分学生进行调查，根据所得数据绘制出如下统计图表： 组别 身高 A B C D E 根据图表提供的信息， 回答下列问题： (1)这次抽样调查，一共抽取学生 人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 ； (3)已知该校八年级共有学生2000人，请估计身高在的学生约有多少人？ 【答案】(1)40，见详解 (2) (3)人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查了补全频数分布直方图，扇形统计图的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用组别的人数除以组别的百分数得出总人数，再运用总人数分别减去其他组别的人数得出组别的人数，最后补全频数分布直方图，即可作答． （2）运用组别的人数除以总人数，再乘上，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（人） 则（人） 补全频数分布直方图，如下图所示： （2）解：依题意，， 即扇形E的圆心角度数是； （3）解：依题意，（人） ∴该校八年级共有学生2000人，估计身高在的学生约有人． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）为了了解某校中学生参加体育活动的情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每周参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项： A．9小时以上；B．小时；C．小时；D．2小时以下． 根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息解答下列问题： (1)本次调查活动采取了_______调查方式（填“普查”或“抽样调查”）； (2)计算本次调查的学生人数； (3)请将图1中选项B的部分补充完整； (4)若该校有3000名学生，你估计该校可能有多少名学生平均每周参加体育活动的时间在2小时以下． 【答案】(1)抽样调查 (2)200人 (3)见解析 (4)150名 【知识点】判断全面调查与抽样调查、由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据题意可得这次调查是抽样调查； （2）利用选A的人数选A的人数所占百分比即可算出总数； （3）用总数减去选A、C、D的人数即可得到选B的人数，再补全图形即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 【详解】（1）解：本次调查活动采取了抽样调查调查方式； 故答案为：抽样调查； （2）解：（人）， 答：本次调查的学生人数为200人． （3）解：（人）， 补充图1如下： （4）解：（名）， 答：估计该校可能有150名学生平均每周参加体育活动的时间在2小时以下． 【考点二】认识概率综合应用 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 【答案】(1)D， (2)见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法． （1）根据可能性大小的概念得出四个事件的可能性大小，从而得出答案； （2）根据所求数据表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到比大的数”的可能性大小为， 事件“取到整数”的可能性大小为， 所以发生可能性最大的事件是，发生可能性最小的事件是， 故答案为：、； （2）如图： 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 50 100 200 400 800 “射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 “射中9环以上”的频率                          (1)估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ；（结果精确到0.1） (2)结合上面数据，某同学说：“如果这名运动员射击1000次，那么射中9环以上正好是800次．”该同学的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不正确．因为该运动员射击一次射中9环以上这一事件是随机事件，所以射击1000次射中9环以上不一定是800次 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． （1）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率； （2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确． 【详解】（1）解：根据表格数据可知： 频率稳定在，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是． 故答案为：； （2）该同学的说法是错误的；因为事件发生具有随机性． 13．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 (3)76000 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由频率估计概率、求某事件的频率 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【详解】（1）解：，， ∴，． 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； （3）解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 14．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）估计表中的频率估计概率即可； （3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用频率估计概率的综合应用、求某事件的频率、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏常州·期中）气象部门统计了某地130年冬季的平均气温，结果如下： 平均气温/℃ 年数 1 1 1 2 2 2 2 3 8 6 平均气温/℃ 0 1 2 3 4 年数 14 21 15 12 15 10 9 2 2 2 (1)该地区冬季的平均气温为多少摄氏度的年数最多？ (2)该地区冬季的平均气温在的频数是多少？频率是多少（精确到0.1）？ (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是多少？ 【答案】(1)该地区冬季的平均气温为摄氏度的年数最多 (2)该地区冬季的平均气温在的频数是91，频率是0.7 (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是0.7 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据统计表即可得出答案； （2）根据统计表即可得出频数，再计算频率即可； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）根据表中数据可得，该地区冬季的平均气温为摄氏度的年数最多； （2）该地区冬季的平均气温在的频数是， 频率是； （3）该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是0.7． 17．（23-24八年级下·江苏南京·期中）某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)0.6 (3)“黄色”区域的扇形的圆心角约是 【知识点】由频率估计概率、求某事件的频率、求扇形统计图的圆心角 【分析】（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， （3）可根据“黄色”区域的的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可估计“黄色”区域的扇形的圆心角． 本题考查了，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.595；472 （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， 故答案为：0.6， （3）解：， 故答案为：“黄色”区域的扇形的圆心角约是． 18．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794 0.299 0.266 0.256 0.259 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率公式求出封闭图形的面积． 【详解】（1）解：； ； ； ； ； ∴当投掷的次数很多时，则的值越来越接近； 故答案为：； （2）解：； ∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近， 故答案为：； （3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：， ∴． 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 【考点三】平行四边形判定与性质及综合应用 19．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 20．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定与性质，根据平行线的性质得到，再得到，推出，即可得出答案，掌握平行四边形的判定法则是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，，． (1)求的长； (2)仅用无刻度的直尺，在上找一点G，使得． 【答案】(1)4 (2)图见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键： （1）证明，利用求出的长即可； （2）连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：若点在点的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点在点的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或． 理由如下： 点，， ，， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 23．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）（1）模型建立： ①旋转：如图1，已知线段，将线段绕着点A顺时针旋转到，直线经过点A，过C作于D，过B作于E，易证：（不用写出证明过程）； ②平移：如图2，在中，，，，则D（ ， ）． （2）模型应用： 模型应用： ①如图3，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，过点A，C作直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在直线上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）②3，2；（2）①；②或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，根据余角的性质得出，根据证明即可； ②根据点B、A的坐标确定平移方式，然后结合平行四边形的性质求解即可； （2）①先求出，，过C作于D，同（1）可证，得出，，则可求出，然后根据待定系数法求解即可； ②设，，分三种情况讨论：以、为对角线；以、为对角线；以、为对角线，根据平行四边形的性质，平移的规律构建方程组求解即可． 【详解】解：（1）①∵旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴B向右平移4个单位，向上平移2个单位得到A， 在中，，， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到，即， 故答案为：3，2； （2）①当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， 过C作于D， 同（1）可证， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②设，， 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 以、为对角线，如图， 此时，， ∴， 解得， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转、平移，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，待定系数法，平行四边形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，运用数形结合的思想求解是解题的关键． 24．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． (2)画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． (3)在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)或或 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形、由平移方式确定点的坐标、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出坐标即可得； （2）根据中心对称的定义分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出坐标即可得； （3）分①组成的平行四边形是，②组成的平行四边形是，③组成的平行四边形是三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：． （2）解：如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：． （3）解：①如图，组成的平行四边形是， ，， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， ， ，即为； ②如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； ③如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转画图、画中心对称图形、平行四边形、点坐标的平移变换，熟练掌握旋转和中心对称图形的画法是解题关键． 25．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点顺时针旋转得到； (2)作关于点成中心对称的； (3)连接、，直接写出四边形的形状和面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)四边形为平行四边形，面积为10 【知识点】证明四边形是平行四边形、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查图形变换—旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，确定四边形的形状，分割法求面积即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）由图可知：， ∴四边形是平行四边形， 面积为：． 26．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，和关于点成中心对称． (1)画出对称中心，并写出点E的坐标 _____； (2)画出绕点逆时针旋转后的； (3)画出与关于点成中心对称的； (4)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标_____． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)或或． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题主要考查了中心对称图形、图形的旋转、平行四边形的判定，解决本题的关键根据要求作出图形，根据作出的图形写出点的坐标． 根据中心对称图形的性质连接对应点、，对应点连线的交点就是对称中心，根据网格图写出对称中心的坐标即可； 分别作出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； 分别作出点、、关于点的对称点，、、，连接、、得到即为所求； 以点、、为顶点的平行四边形有三种情况：以为平行四边形的对角线；以为平行四边形的对角线；以为平行四边形的对角线．分情况画出图形，根据图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接对应点、相交于点， 点就是和的对称中心， 由网格图可知，点的坐标是； 故答案为：； （2）解：如下图所示， 分别作出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （3）解：如下图所示， 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接、、得到即为所求； （4）解：情况当是平行四边形的对角线时， 如下图所示，点的坐标是； 情况当是平行四边形的对角线时， 如下图所示，点的坐标是； 情况当是平行四边形的对角线时， 如下图所示，点的坐标是； 综上所述，以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标是或或． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为． (1)当点在边上运动时，求证：； (2)当点在内部时，求的取值范围； (3)当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）结合平行四边形的性质易证，得到，即可得出结论； （2）根据30度角所对的直角边等于斜边一半得到，再利用两个临界值分别讨论：①当点与点重合时，由旋转的性质得到是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解；②当点落在边上时，证明四边形是平行四边形，再证明，得到，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点在边上运动时，经过点时，证明出，从而推出，再结合含30度角的直角三角形求解；②当点在边上运动时，且，根据勾股定理和含30度角的直角三角形求解即可． 【详解】（1）证明：在中，为对角线的中点， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ①当点与点重合时，如图， 线段绕着点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得； ②当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得． 综上可知，当点在内部时，的取值范围为； （3）解：①如图，当点在边上运动时，经过点时，与重叠部分图形是轴对称的三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 解得； ②如图，当点在边上运动时，如果，则与重叠部分图形是轴对称的三角形， ， ， ， ， ， 解得． 综上可知，当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 28．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 【考点四】 矩形判定与性质及综合应用 29．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．根据把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，， ，， 在中， ∵ ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，而， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 30．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积， （1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出即可； （2）由勾股定理得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质； （1）先证明，结合，从而可得结论； （2）由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，根据直角三角形直角边小于斜边（可取等）即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ∴的最大值为. 32．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、三线合一 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 33．（24-25八年级下·江苏南京·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，四边形是平行四边形，为上任意一点，用直尺和圆规作出菱形，使得点、、分别在边、、上． (2)如图②，点是矩形对角线的交点，，分别在、边上确定点、，满足，且点在线段上，请使用尺规作图确定、的位置． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、平行四边形的性质、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图、平行四边形的性质、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键； （1）连接，交于点O，连接，延长交于点G，作线段的垂直平分线交于H，交于F，连接，，，，进而问题可求解； （2）作E关于点O对称点，连接，作垂直平分线，交、于点P、Q，连接，，然后问题可求解 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，连接，延长交于点G，作线段的垂直平分线交于H，交于F，连接，，，， （2）解：作E关于点O对称点，连接，作垂直平分线，交、于点P、Q，连接，， 34．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求线段长、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 35．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，当经过边的中点D时，求证：； (2)①当t为______时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形C直接写出结果）； ②当t为______时，（直接写出结果） 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质等等： （1）由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，由此即可证明； （2）①当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可；②先根据平行线间间距相等得到中边上的高的长度与中边上的高的长度相等，进而得到，再仿照（2）①分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； （2）解：①由题意得，， 当点F在线段上时，则， 当点F在线段延长线上时，则， ∵， ∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴或， 解得或， ∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或； ②∵， ∴中边上的高的长度与中边上的高的长度相等， ∵， ∴， 由前面可知当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则， ∴或， 解得或； ∴当或时，， 故答案为：或． 36．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点 E顺时针旋转至 ，作射线交的延长线于点 G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，， E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ． 【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）①，理由见解析；② 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据矩形全等，证，得到，即可求出的度数； （2）过点作交延长线于点，根据正方形和旋转的性质，易证，进而得出，分别证明和是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①过点作，交延长线于点，根据菱形和旋转的性质，易证，得到，，，再结合等腰三角形的性质，得出，从而得出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可得出结论； ②由垂线段最短可知，当，最小，过点作延长线于点，过点作于点，证明，得到，再根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求出的面积． 【详解】解：（1）矩形和矩形全等， ，，， ， ， ， ∴； （2）如图，过点作交延长线于点，   四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①，理由如下： 如图，过点作，交延长线于点，   四边形是菱形，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接， 由垂线段最短可知，当，最小， 由①可知，，，， 如图，过点作延长线于点，过点作于点，   ， ， ， 又， ， ， 四边形是菱形，，， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形等知识，正确作辅助线，根据模型延伸结论是解题关键． 【考点五】菱形判定与性质及综合应用 37．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的高为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及零星的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由菱形的性质得，，由勾股定理得，所以，设菱形的高为，由菱形的面积公式列出方程，解之即可． 【详解】解：连接，设与交于点， 在菱形中，，， ，， ， ， 设菱形的高为，则， 解得：， 故答案为：． 38．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的对角线与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、利用菱形的性质求角度、证明四边形是矩形 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定： （1）根据菱形的性质，平行线的性质，进行求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质，得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴设， 则：， 解得：， ∴， ∴； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形． 39．（24-25八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，在边上分别找到点M，N，使四边形是菱形，小明给出了如下方案： 如图，作的垂直平分线分别交，于点，连接． (1)请判断根据小明的方案得到的四边形是不是菱形，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）四边形是菱形．如图，设交于点，根据垂直平分线的性质得，，，，由矩形的性质得，继而得到，证明得，推出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： 如图，设交于点， ∵垂直平分， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， 在中，， ∴， 解得：， ∴四边形的面积为． 40．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，，求证：四边形是菱形； (2)若，，则（1）中的菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求线段长、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了作图，菱形的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用关于点D对称的性质分别作出点A，B，C对应的点E，F，G即可． （2）利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，再利用菱形的性质求出，，再根据菱形的性质求出面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 证明：由作图可知：，． ∴四边形是平行四边形． ∵是的高， ∴． 即． ∴四边形是菱形． （2）解：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵四边形是菱形． ∴，， ∴菱形的面积为： 41．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，是矩形对角线的中点，，，是边上一动点（不与、重合） (1)的延长线交于，求证：四边形是平行四边形； (2)连接、，四边形能否成为菱形？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由. 【答案】(1)见解析； (2)四边形能为菱形，. 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题主要考查菱形的性质与判定，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质. （1）易证，即可求解； （2）根据菱形的性质得，再根据勾股定理即可列方程求解. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴，， ∵是矩形对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2）四边形能为菱形， 此时有：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 42．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． (1)作菱形，使点M，N、P在边、、上； (2)若时，则菱形的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质； （1）结合菱形的判定，先作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，则菱形即为所求． （2）结合菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理求出，的长，根据菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）如图，先作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， 则四边形为菱形， 即菱形为所求． （2）四边形为菱形， ，， ， ， ． 设， 则， 在中，， ， 即， 解得， ，， 菱形的面积为． 故答案为：． 43．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，证明，得到，则，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，设，则，再根据勾股定理求出，由菱形的性质得到，，，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点O是对角线的中点，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． 44．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，，平分，交于点．    (1)动手操作：作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹），交于点，交于点，连接； (2)探究求证：四边形是菱形； (3)应用练习：若，，则菱形的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)96 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的平分线，交于点，交于点，连接即可得到答案； （2）根据证明，得出，，再根据证明，得出，由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形即可； （3）由菱形的性质求出，由勾股定理求出，从而，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）证明：如图所示：    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 在和中 ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）平行四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得， ， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 45．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，点P在边上（不与点A，B重合），连接，平移线段，使点C与点B重合，得到线段，连接． (1)依题意补全图形，若，求的度数； (2)连接，若平分，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，设，试用等式表示y与x之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、证明四边形是菱形、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据平移可得，得出四边形为平行四边形，则．根据，得出．设，则，．根据，得出，．即可得出． （2）连接交于点O，过点O作，．由（1）可知四边形为平行四边形，则，根据角平分线定理得出，，证明，得出，则，结合，得出，即可证明四边形为菱形． （3）根据四边形为菱形，得出，得出，根据，得出，即可得，则，结合平分，得出，即． 【详解】（1）解：补图正确； ∵线段由线段平移得到， ∴． ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 设，则，． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）证明：连接交于点O，过点O作，． 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴． 又平分， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴四边形为菱形． （3）解：∵四边形为菱形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又平分， ∴． 即． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，角平分线定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 46．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)当或时，为直角三角形，理由见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：四边形能够成为菱形．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形； （3）解：分情况讨论： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 当时， 由（2）知，四边形为平行四边形， ∴， 则， ∴， 即， ∴； 当时，此种情况不存在； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【考点六】正方形判定与性质及综合应用 47．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质、等边对等角 【分析】本题考查旋转的性质，正方形和等边三角形的性质，根据所给条件，可得出，再对的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】当在正方形内部时，如图所示， 四边形是正方形， ，． ∵是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． 当在正方形外部时， 同理可得，， ． ， ． 综上所述，的度数为或． 故选：． 48．（22-23八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为3，边在x轴上，的中点与原点O重合，过定点与动点的直线记作l． (1)A点坐标为 ，D点坐标为 ； (2)若l的解析式为，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由； (3)当直线l与边有公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)此时点A不在直线l上，理由见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）结合正方形的性质可得点B、A坐标； （2）把点A的横坐标代入解析式得出y的值，即可求解； （3）设直线l的解析式为，分别求出直线l经过点D时，直线l经过点A时，t的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵点O为中点， ∴， ∴点； （2）解：此时点A不在直线l上，理由如下： 当时，， ∴此时点A不在直线l上； （3）解：∵点， ∴可设直线l的解析式为， 当直线l经过点，点时， ，解得 ， 当直线l经过点，点时， ，解得 ， ∴当直线l与边有公共点时，t的取值范围是． 49．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点E是射线上的一点，连接，以为边，在右侧作正方形，连接． (1)如图1，点E在线段上，证明：； (2)如图2，点E在的延长线上，与相交于点H，若正方形的边长为4，设的面积为，的面积为，在点E的运动过程中，发现：，中有一个是定值，请把它找出来，并求出这个定值； (3)当点E在的延长线上时，设正方形和正方形的对称中心分别是P、Q，连接． ①证明：； ②连接，探索线段、、之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)见解析； (2)是定值，定值为8； (3)①见解析；②． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题关键． （1）根据正方形的性质证明全等即可； （2）同（1）理可证，，进而得出，即可得解； （3）①过点作的延长线于点，根据正方形的性质，证明，得到，从而推出，即可证明； ②由①可知，，得出，是等腰直角三角形，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形、是正方形， ，，， ，即， ； （2）解：同（1）理可证，， ， ， ， 即是定值，定值为8； （3）解：①如图，过点作的延长线于点， 四边形、是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②，证明如下： 由①可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 50．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、根据正方形的性质证明 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点P在射线上（点P不与点F重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线，垂足为点H，交射线于点Q． (1)如图1，若点E是的中点，点P在线段上，线段的数量关系为 (2)如图2，若点E不是的中点，点P在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)正方形的边长为6，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)3或5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明，得出，即可得出结论； （2）证明，得出，即可得出结论； （3）分两种情况：当点P在线段上时，点Q在线段上；当点P在射线上时，点Q在线段的延长线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ， ∴， ， 又∵， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ， ∴， ， 又∵， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即． （3）分两种情况： 当点P在线段上时，点Q在线段上， 由（2）可知，， ∵正方形的边长为6，， ∴， ∵， ∴； 当点P在射线上时，点Q在线段的延长线上， 同（2）可得：， ， ∵， ∴， ∴； 综上所述，线段的长度为3或5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，利用分类讨论思想和类比思想解答是解题的关键． 52．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”． (1)如图1，在给定的网格中，找到格点．使得以、、、为顶点的四边形是准等边四边形． (2)如图2，中，对角线平分，将线段绕点顺时针方向旋转一个角度至，连接、．求证：四边形是准等边四边形； (3)如图3，在准等边四边形中，，，，请求出的大小及该四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)， 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是正方形 【分析】（1）由图可知：，所以只要作出与、相等的线段再连接就可； （2）根据平行四边形和旋转的性质证明即可； （3）过点B、点D分别作和的垂线交于点F，连接，证明四边形是正方形，根据正方形的性质推出是等边三角形，得到，，计算出的度数，再过点A作于点G，交于点K，利用，来计算四边形的面积． 【详解】（1）解：∵一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”，且由图可知：， 只要作或中至少一条与相等就可，如图所示： （答案不唯一）； （2）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， 由旋转得：， ， 四边形是准等边四边形 （3）解：如图（3），过点、点分别作和的垂线交于点，连接， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ． ，四边形的面积为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，正确理解新定义，熟练掌握几何图形的性质类比定义层层递进思考是解题的关键． 53．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在中，，以斜边为边向上作正方形，若正方形的对角线交于点（如图（1））． (1)求证：平分． (2)试猜想线段与，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图（2），过点作交延长线于，过点作，分别交延长线和延长线于，．求证：四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，得到，．再证明是等腰直角三角形，求得，据此即可证明平分； （2）利用勾股定理即可得到结论； （3）证明，以及，，，即可证明四边形为正方形． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即平分； （2）解：． 证明如下：由（1）知，是等腰直角三角形， ∴，即， ∴； （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 在与中， ∴． 同理可得，，， ∴，即． 又∵， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形． 54．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形与折叠的性质，正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解；，证明如下： 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【考点七】（特殊）四边形的动点问题及其他综合问题 55．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______． 【答案】（1）0.5或4.5；（2）①；②1.5 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）根据矩形的性质得到EF=MN，得到AE=CF=0.5，从而分两种情况得到t值； （2）①根据菱形的性质，作AC的垂直平分线GH，连接AG，得到AG=CG，在△ABG中利用勾股定理列出方程，求出BG，得到AB+BG的值，可得t； ②求出BQ和CQ，分析得到S△AGP+S△BQG=3时，S四边形GQHP=S矩形ABCD，可得关于AG的方程，解之得到AG，即可得到t值． 【详解】解：（1）如图1，当四边形EMFN为矩形，EF=MN，OE=OM=OF=ON， ∵四边形ABCD是矩形，且M，N分别为AB，CD中点， ∴OM=ON，OA=OC， ∵E，F两点运动速度均为1个单位， ∴AE=CF， ∴OE=OF， ∴EF=MN=BC=4， ∵AC==5， ∴AE=CF=0.5， ∴t=0.5，同理：当AE=CF=4.5，四边形EMFN为矩形， ∴当t=0.5或4.5时，四边形EMFN为矩形； （2）①作AC的垂直平分线交BC于G，交AD于H，交AC于O， 当点G，H运动到AC的垂直平分线上时，四边形EGFH为菱形， 连接AG，此时AG=CG， ∴，即， 解得：BG=， ∴AB+BG=3+=， ∴当t=秒时，四边形EGFH为菱形； ②由①得：BQ=，即CQ=， 由题意可得：DP=BQ，DH=BG，AG=CH，AP=CQ， S矩形ABCD=3×4=12， ∴S梯形APQB=S矩形ABCD=6， ∴当S△AGP+S△BQG=3时，S四边形GQHP=S矩形ABCD， ∴AG·AP+BG·BQ=3， 即AG·+（3-AG）·=3， 解得：AG=1.5， ∴当t=1.5时，S四边形PGQH=S矩形ABCD． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，垂直平分线的应用，勾股定理，图形的面积，解题的关键是利用特殊四边形的性质，得到线段的关系，从而得到图形面积的关系． 56．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；②正方形的边长为 (2)或 【知识点】四边形其他综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证； ②过点作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长； （2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）①证明：如图，作于，于，得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为； （2）解：分情况讨论： 当， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， ， ， 综上，或． 57．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒． (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值； (3)如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、折叠问题 【分析】（1）由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）由，，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图1．   ， ． 在直角梯形中，，，于点， 四边形为矩形， ， ； 故答案为：，． （2）四边形为平行四边形时，， ， 解得：； （3）存在时刻，使四边形为菱形． 理由如下： ，， 当时有四边形为菱形， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 58．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【答案】(1) (2) (3)①，② (4) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、四边形中的线段最值问题 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 59．（24-25八年级下·江苏南京·期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题 【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，结合对顶角，证明，即可得出结论；②根据题意即可作出图形，同理①得：，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明； （2）①在图2中，连接，证明，推出，进而得到三点共线，正方形对角线过点O，根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于两点，连接即可；②由①知正方形的面积随的增大而增大，当点分别落在上，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，设正方形边长为，则，，根据，列出方程求出x的值即可解答． 【详解】（1）①证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图， 同理①得：， ∴， 由①知， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）； （2）①解：在图2中，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴正方形对角线过点O， 根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小， 如图所示为所求： ②由①知正方形的面积随的增大而增大，如图，当点分别落在上时，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P， ∵在菱形中，，， ∴，， 设正方形边长为，则，， ∴， 则， 整理得：， 解得：， ∴正方形的面积最大为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【考点八】三角形的中位线与中点四边形 60．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质与判定求线段长、中点四边形 【分析】先证明四边形是正方形．如图，记，的交点为，连接，，可得，当三点共线，最小，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 如图，记，的交点为，连接，， ∵， ∴，， ∴， 当三点共线，最小，则最小， 此时， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，中点四边形，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键． 61．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是中线，且是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、根据三角形中线求长度、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）连接，如图所示，先由高的定义得到，从而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，结合题中，即可得到，则是等腰三角形，最后由等腰三角形三线合一性质即可得证； （2）先由等腰三角形三线合一性质得到是的中点，结合是的中点，由三角形中位线的判定与性质即可得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在中，是高，则， 是中线， 点为边的中点， 则在中，， ， ， 则是等腰三角形， 是的中点， 是底边上的中线， 则由等腰三角形三线合一性质得到； （2）解：在中，是高，若，则由等腰三角形三线合一性质可得是底边上的中线， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， 则， 是中线， 点为边的中点， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形高线定义、中线定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟记三角形相关几何性质及判定是解决问题的关键． 62．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）先根据四边形是平行四边形，得．再利用三角形中位线定理，得，结合，解答即可． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 由（1）得为的中位线， ∴ 由（1）得， ∴， ∴． 63．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据菱形的面积为4，得出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点O，如图所示： 四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 64．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，，点、、分别是各边的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，即得四边形是平行四边形，进而即可求证； （）由三角形中位线的性质可得，，进而根据矩形的性质可求出面积； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点、、分别是各边的中点， 、是的中位线， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：∵、是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 65．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)②③ (2) (3) 【知识点】中点四边形、矩形性质理解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，勾股定理，含角直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据定义即可求解． （2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解； （3）先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； 【详解】（1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等线四边形”． 故答案为：②③； （2）解：是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． ∴， 在中，设，则， ∴， ∴ 则 ∴ 【考点九】梯形判定与性质及综合应用 66．已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____． 【答案】 /150度 /30度 【知识点】直角梯形的定义、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查直角梯形的性质，等边三角形的性质和判定， 作于点E，延长到点F使，连接，利用比值可得出，再证明出是等边三角形，得到，从而得出答案． 【详解】解：如图，梯形是直角梯形，作于点E，延长到点F使，连接， ∵梯形是直角梯形， ∴， ∴四边形是矩形，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该梯形的最大角为，最小角为． 故答案为：，． 67．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 【答案】10 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 68．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【详解】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 69．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1)当为6时，四边形是矩形； (2)当为5或7时，． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、(等腰)梯形的定义 【分析】（1）由矩形的性质得，则，计算求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 四边形是矩形， ，即， 解得：， 当为6时，四边形是矩形； （2）解：由题意知，分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解， ①当四边形是平行四边形时，， ，， ， 解得：； ②当四边形是等腰梯形时，如图，过作于，过作于，则四边形，是矩形， 由题意知，，， ，即， 解得：； 综上所述，当为5或7时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 70．如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰梯形的性质定理、等腰梯形的判定定理 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $