期中真题必刷常考71题（12大考点专练） 2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷常考71题（12大考点专练） 【考点一】 二次根式及其性质 【考点七】 平行四边形及其性质 【考点二】 二次根式的乘法与除法 【考点八】 平行四边形的判定 【考点三】 二次根式的加法与减法 【考点九】 三角形的中位线 【考点四】 勾股定理及其应用 【考点十】 矩形 【考点五】 勾股定理的逆定理及其应用 【考点十一】菱形 【考点六】 四边形及多边形 【考点十二】正方形 【考点一】 二次根式及其性质 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 3．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明； (2)请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据前四个等式得到被开方中，分子为，分母为，结果为，即可得到规律，再利用二次根式的性质化简证明即可； （2）由（1）得到的规律求解即可． 【详解】（1）解：由前四个等式，观察得到被开方中，分子为，分母为，结果为， ∴第个等式为， 证明：； （2）解：． 【考点二】 二次根式的乘法与除法 4．（25-26八年级·陕西西安·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算的结果是________________ ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，熟练掌握二次根式的乘法法则计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，______. 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、最简二次根式的判断 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【知识点】代入消元法、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 8．（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 9．（22-23八年级下·重庆巴南·期中）如图，一艘渔船自西向东航行，航行到处看到小岛位于船的北偏东方向海里处，经过一段时间后，渔船到达点，此时看到小岛位于船的北偏西方向上．    (1)求该渔船从航行到的航程（保留根号）； (2)若小岛周围海里内有暗礁，该渔船在航行过程中是否有触礁危险？如有触礁危险，请求出该航线上有危险的航段长；如没有危险，请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)有触礁危险，海里 【知识点】化为最简二次根式、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作，垂足为，先在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得该渔船在航行过程中有触礁危险，然后过点作海里，交于点和点，则该渔船在航段内有危险，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， （海里）， 海里， 该渔船从航行到的航程为海里； （2）小岛周围海里内有暗礁，海里， 该渔船在航行过程中有触礁危险， 过点作海里，交于点和点，则该渔船在航段内有危险，如图：    在中，（海里）， ，， （海里）， 该航线上有危险的航段长为海里． 【考点三】 二次根式的加法与减法 10．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义解题，先将每个选项化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误； B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确； C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误； D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误． 11．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，那么的值是_____． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 解法一：将代入求解即可； 解法二：首先求出，，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解法一：原式 ． 解法二：， 原式 ． 14．（25-26八年级下·福建·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】（）先计算二次根式乘法、化简二次根式，最后合并即可； （）先运用完全平方公式计算、化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)。 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、立方根运算及因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用因式分解简化计算． （1）先化简二次根式、分母有理化、计算负整数指数幂，再合并同类项； （2）先计算完全平方、化简根式、立方根，再进行除法运算，最后合并； （3）提取公因式简化高次幂项，再逐步计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 16．（24-25八年级下·广东广州·期中）现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 【答案】能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板 【知识点】二次根式的应用 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与的大小即可． 【详解】解：， 由于， 可知，， 答：能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板． 17．（22-23八年级下·贵州·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①_________；②_________． (2)应用：化简． (3)拓展：求的值．（用含n的式子表示，n为正整数） 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【考点四】 勾股定理及其应用 19．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）在中，，则的长为（   ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】先说明是等腰直角三角形，进而求得直角边的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ， ， ， ∴，即选项C符合题意． 20．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 21．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是3和4，则第三个数是______． 【答案】5 【知识点】勾股树（数）问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是最大数和4为最大数两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数的判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当4是最大数时，第三个数为， ∵三个数是一组勾股数， ∴不是整数，故舍去； 当第三个数是最大数时，第三个数为，符合题意； ∴第三个数是5． 故答案为：5． 22．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 23．（22-23八年级下·贵州·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 24．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 【考点五】 勾股定理的逆定理及其应用 25．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．，， B． C． D．，， 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、判断三边能否构成直角三角形 【详解】解： 、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项不符合题意； 、最长边为，，，，∴不能组成直角三角形，该选项符合题意； 、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项不符合题意； 、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项不符合题意． 26．（25-26八年级下·湖北·期中）的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 【答案】①③④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据直角三角形的定义、三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐个判断各个条件即可． 【详解】解：①， ， 又三角形内角和为，即， ，可得， 因此是直角三角形； ②， 最大内角， 因此不是直角三角形； ③， ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； ④， 设，，，其中， 则， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的是①③④． 27．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【答案】(1)；； (2)见解析 【知识点】化为最简二次根式、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【详解】（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 28．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【答案】(1)①图见解析；② (2)见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、无刻度直尺作图、等腰三角形的定义 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解：①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 29．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【考点六】 四边形及多边形 30．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）正十二边形的内角和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，解题的关键是熟记多边形内角和公式（其中为多边形的边数），并准确代入正十二边形的边数计算． 先明确正十二边形的边数；再将代入多边形内角和公式；最后计算得出内角和，与选项对比确定答案． 【详解】解：多边形内角和公式为（为边数），正十二边形的边数，则其内角和为：． 故选：D． 31．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若n边形的每个外角都是，则n的值为___________． 【答案】20 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．由多边形的外角相等可得多边形的边数等于除以每一个外角的度数，计算即可得解． 【详解】解：∵n边形的每一个外角都是18°， ∴， 故答案为：20． 32．（22-23八年级下·湖南永州·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线5条，这个多边形内角和等于___________． 【答案】/1080度 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线5条，则多边形的边数为， 则内角和等于： 故答案为： 【点睛】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数． 33．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 【答案】 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】题目主要考查多边形内角和及无缝拼接，根据题意列出方程求解是解题关键 设这三个正多边形的边数分别是，根据题意列出方程，整理得，然后从构成多边形的最小的偶数开始进行试算求解即可． 【详解】解：设这三个正多边形的边数分别是， ∵三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接， ∴， 整理得：， ∵边数不同且边数是偶数， ∴假设，则，解得：， 经检验，符合题意， ∴这三个正多边形的边数分别是， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·广西贵港·期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． （2）已知：和点，． 求作：点，使点到的两边距离相等，且到，两点的距离也相等． 要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． （温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑） 【答案】（1）这个多边形的边数是8；（2）见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角与角的关系，角平分线与线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用多边形内角和公式与外角和为建立方程求解即可； （2）先作出的平分线，然后作出线段的垂直平分线，两线相交于点P，即可求解． 【详解】解：（1）解：设这个多边形是边形，由题意得 解得 答：这个多边形的边数是8． （2）解：如图，点即为所求． 【考点七】 平行四边形及其性质 35．（22-23八年级下·河南新乡·期中）在平行四边形中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形对角相等求解，即可解题． 解题关键是掌握平行四边形对角相等的性质． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，，， ∴ ． 36．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，，与之间的距离为与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查平行线间的距离，由题意，作出图形，结合平行线间距离均相等可得与之间的距离为与之间的距离与之间的距离，代值求解即可得到答案，熟记平行线之间距离均相等是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， 同理可得，则， 与之间的距离是, 故选：D 37．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，E为边延长线上一点，连结，．若的面积为6，则的面积为______． 【答案】3 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行线间距离解决问题 【分析】此题主要考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，平行线性质，是解题的关键． 连接，根据平行四边形是中心对称图形，得，平行线间的距离处处相等，得． 【详解】解：连接， ∵是中心对称图形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 38．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 39．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 40．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或或． 【知识点】二次根式有意义的条件、利用平行四边形的性质求解、几何问题(一元一次方程的应用)、求不等式组的解集 【分析】（）利用二次根式有意义的条件即可求解； （）由于，所以当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程即可； （）若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，分当，，，时列方程求解即可． 【详解】（1）解：由， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：根据题意，得，，则． ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得． 故当时，四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， 当时，，， ∴， 解得（不合题意,舍去）； 当时，，， ∴， 解得； 当，，， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得； 综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 【考点八】 平行四边形的判定 41．（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形、添一个条件成为平行四边形 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 42．（22-23八年级下·山东聊城·期中）如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形、四边形都是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，再由，，得出四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ∵，， ∴四边形、四边形都是平行四边形． ，，，． ∴图中阴影部分的周长． 故选：B． 43．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 44．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 45．（25-26八年级下·北京·期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】连接交于点O，连接、，根据平行四边形的性质得出，，结合可得出，利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，即可得出． 【详解】证明：连接交于点O，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【考点九】 三角形的中位线 46．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半．先确定是的中位线，则． 【详解】解：点，是和的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 48．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 【答案】8 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 49．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）延长交的延长线于点H，取的中点，连接，证明，得，，从而得出，，再证明，即可由得出结论． （2）过点C作于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，设，则，由勾股定理建立方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点H，取的中点，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2所示，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可知或， ∴（舍去）或， ∴． 50．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是边上的中线，点E是射线上一点（点E不与点A重合）．连接并延长至点F，使，连接．过点A作，交直线于点G． (1)当点E在线段上时，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，若，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)或或 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位线可得，即，再结合，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半倒推证，进而利用勾股定理求解即可； （3）由题易得，，所以，，可证四边形是平行四边形，所以，，然后分类讨论即可得解． 【详解】（1）证明：∵是边上中线， ∴E是中点，D是中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，； （3）解：由（1）方法可证四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ①，则， 是等腰直角三角形， ， ； ②； ③，则， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的长为或8或． 【考点十】 矩形 51．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，为中点， ， ， ， 故选：A ． 52．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点．， ∴． 故选：A． 53．（25-26八年级下·北京·期中）如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】先根据矩形的特点可得的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 54．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 【答案】7 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，代入的长度即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 55．（25-26八年级下·天津·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________． 【答案】6 【知识点】根据矩形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长等于6． 56．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 57．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形的性质证明 【分析】由平行四边形的对边平行得到，得到，再根据垂直的定义得到，则，推出四边形为矩形，再利用矩形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 58．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据矩形的性质以及翻折的性质进行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 59．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点十一】 菱形 60．（22-23八年级下·宁夏吴忠·期中）已知菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（   ） A．6 B．24 C．3 D．12 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半的性质，代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，，， ∴． 61．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ． 62．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，点为对角线上一点，于点，若，则点到的距离为__________． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、利用菱形的性质求线段长 【分析】过点F作交于点G，利用菱形的性质得出平分，再根据角平分线的性质定理得出． 【详解】解：过点F作交于点G， ∵是菱形， ∴平分， ∵，， ∴． 63．（25-26八年级下·福建·期中）如图，已知菱形，四个顶点坐标分别为，，，，则的值为______． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】由菱形的性质得到，，根据已知条件求得的大小，过点作于点，由勾股定理得到的大小，从而得到． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 64．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）已知菱形，点F是射线上一动点（不与A、B重合），射线分别与直线、的角平分线、对角线相交于点E、G、H，连结． (1)如图1，当点F在线段上时． ①证明：； ②证明：． (2)取的中点M，连结，，．当E、F、D三点中其中一点为连结另两个点所成线段的中点时，求的长． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2)1或8 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）①证即可得证； ②证明线段相等的方法一般为同一个三角形证等腰，不同三角形证全等，由第一问很容易得到，所以要证，可以尝试证，它们在同一个三角形中，可证等腰，即等角对等边，证，而证角相等无外乎内角和、外角、平行线、全等以及等角转化等内容，根据题干很容易得出，再通过外角和角的和差即可得证； （2）根据题意可以分两种情况，分别是是中点和是中点，画出符合题意的图形，根据题干条件证是中位线即可求解． 【详解】（1）证明：①∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ； ②平分， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∵， ， ， ， ， 由①知， ， ； （2）解：①如图，当是中点时，此时在线段上，连接， 是中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 平分， ， ， 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵ ∴， 由（1）②知， ， ∴是中点， ∵是中点， ∴是的中位线，即， ， ； ②如图，当是中点时，此时在延长线上，连接， ∵是中点， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ∵，平分， ∴，，， ， 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵ ∴， 由（1）②知， ， ∴是中点， ∵是中点， ∴是的中位线，即， ∵， ， ， ， 综上，的长为8或1． 65．（22-23八年级下·吉林四平·期中）问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）利用证明，可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题； （2）延长交于，证明，可得，，进而证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证明； （3）由（2）可知，，证明，求出，，过点G作于点N，求出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点H， ∵是的中点， ∴， ∵四边形和四边形是菱形，点，，在同一条直线上， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过点G作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【考点十二】 正方形 66．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点C作于点H，证明，则，得到，设，则，由勾股定理得，，由等积法得到，由勾股定理得，证明，则，得到，则为的垂直平分线，由等腰三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】解：过点C作于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵和边的中点、， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 由三角形面积公式得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 67．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 68．（24-25八年级下·重庆·期中）在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】过点作的垂线，交于点，交于点，连接，由正方形的性质容易证明，则，结合等腰三角形三线合一的性质可得，因此，通过等量代换可得．容易证明是等腰直角三角形和四边形是矩形，则，，进而证明，因此也是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出．由和可得，从而证明，则． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 69．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）如图，为正方形对角线，延长至点E，使，连接，则的度数为_____． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】根据正方形的性质可得的度数，由等边对等角和三角形外角的性质可得，，据此求解即可． 【详解】解：∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 70．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）过点C作交于点H，根据正方形的性质得到，即可得到，进而得到结论； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由：过点C作交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 如图2，过点A作直线于H， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 71．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． (1)问题：求证：； (2)问题：求证：； (3)问题：求证：； (4)问题：求证：； (5)问题：下列结论：； ； ；．其中结论正确的有．（填序号） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； (4)证明见解析； (5)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形 【分析】（1）连接，证明，所以，，可证，从而求证； （2）连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，所以，则； （3）延长至，使，连接，证明，则，所以； （4）由问题知，又，，然后通过和差即可求证； （5）连接，，证，即可； 过点作交的延长线于点，过点作于点，证即可； 在上截取，易证，为等腰直角三角形，则有； 同的辅助线可证，，则． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， ∴； （4）证明：由问题知， 又∵，， ∴​； （5）解：连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴，故正确， 综上可得：正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷常考71题（12大考点专练） 【考点一】 二次根式及其性质 【考点七】 平行四边形及其性质 【考点二】 二次根式的乘法与除法 【考点八】 平行四边形的判定 【考点三】 二次根式的加法与减法 【考点九】 三角形的中位线 【考点四】 勾股定理及其应用 【考点十】 矩形 【考点五】 勾股定理的逆定理及其应用 【考点十一】菱形 【考点六】 四边形及多边形 【考点十二】正方形 【考点一】 二次根式及其性质 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 3．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明； (2)请直接写出的值． 【考点二】 二次根式的乘法与除法 4．（25-26八年级·陕西西安·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算的结果是________________ ． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，______. 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 8．（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 9．（22-23八年级下·重庆巴南·期中）如图，一艘渔船自西向东航行，航行到处看到小岛位于船的北偏东方向海里处，经过一段时间后，渔船到达点，此时看到小岛位于船的北偏西方向上．    (1)求该渔船从航行到的航程（保留根号）； (2)若小岛周围海里内有暗礁，该渔船在航行过程中是否有触礁危险？如有触礁危险，请求出该航线上有危险的航段长；如没有危险，请说明理由． 【考点三】 二次根式的加法与减法 10．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小：________（填“”“”或“”）． 12．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，那么的值是_____． 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，求的值． 14．（25-26八年级下·福建·期中）计算： (1)； (2)． 15．（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)。 16．（24-25八年级下·广东广州·期中）现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 17．（22-23八年级下·贵州·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①_________；②_________． (2)应用：化简． (3)拓展：求的值．（用含n的式子表示，n为正整数） 18．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【考点四】 勾股定理及其应用 19．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）在中，，则的长为（   ） A．20 B． C． D． 20．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 21．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是3和4，则第三个数是______． 22．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 23．（22-23八年级下·贵州·期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 24．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【考点五】 勾股定理的逆定理及其应用 25．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．，， B． C． D．，， 26．（25-26八年级下·湖北·期中）的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 27．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 28．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 29．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【考点六】 四边形及多边形 30．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）正十二边形的内角和为（   ）． A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若n边形的每个外角都是，则n的值为___________． 32．（22-23八年级下·湖南永州·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线5条，这个多边形内角和等于___________． 33．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 34．（23-24八年级下·广西贵港·期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． （2）已知：和点，． 求作：点，使点到的两边距离相等，且到，两点的距离也相等． 要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． （温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑） 【考点七】 平行四边形及其性质 35．（22-23八年级下·河南新乡·期中）在平行四边形中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，，与之间的距离为与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C． D．或 37．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，E为边延长线上一点，连结，．若的面积为6，则的面积为______． 38．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：． 39．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 40．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【考点八】 平行四边形的判定 41．（25-26八年级下·湖北·期中）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23八年级下·山东聊城·期中）如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 44．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 45．（25-26八年级下·北京·期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．求证：． 【考点九】 三角形的中位线 46．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（   ） A． B． C． D． 48．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 49．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 50．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是边上的中线，点E是射线上一点（点E不与点A重合）．连接并延长至点F，使，连接．过点A作，交直线于点G． (1)当点E在线段上时，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，若，当为等腰三角形时，求的长． 【考点十】 矩形 51．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 53．（25-26八年级下·北京·期中）如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 54．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 55．（25-26八年级下·天津·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________． 56．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 57．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，垂足分别为E，F．求证：． 58．（25-26八年级下·云南曲靖·期中） 如图 ：在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)求的长． 59．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【考点十一】 菱形 60．（22-23八年级下·宁夏吴忠·期中）已知菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（   ） A．6 B．24 C．3 D．12 61．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 62．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，点为对角线上一点，于点，若，则点到的距离为__________． 63．（25-26八年级下·福建·期中）如图，已知菱形，四个顶点坐标分别为，，，，则的值为______． 64．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）已知菱形，点F是射线上一动点（不与A、B重合），射线分别与直线、的角平分线、对角线相交于点E、G、H，连结． (1)如图1，当点F在线段上时． ①证明：； ②证明：． (2)取的中点M，连结，，．当E、F、D三点中其中一点为连结另两个点所成线段的中点时，求的长． 65．（22-23八年级下·吉林四平·期中）问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________． 【考点十二】 正方形 66．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 67．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 68．（24-25八年级下·重庆·期中）在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 69．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）如图，为正方形对角线，延长至点E，使，连接，则的度数为_____． 70．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 71．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． (1)问题：求证：； (2)问题：求证：； (3)问题：求证：； (4)问题：求证：； (5)问题：下列结论：； ； ；．其中结论正确的有．（填序号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $