第08讲 多边形（知识详解+08典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 多边形（知识详解+08典例分析+习题巩固） 【知识点01】多边形及其相关概念 1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 .如果一个多边形由 n 条线段组成， 那么这个多边形叫作 n 边形(n 为不小于 3的整数) 2.多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的线段 顶点 相邻两边的公共端点 内角 多边形中相邻两边组成的角 外角 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角 对角线 多边形中连接不相邻两个顶点的线段 3. 多边形的表示方法 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 19.1-1，三个多边形分别表示为四边形ABCD、五边形ABCDE、 六边形ABCDEF. 4. 凸多边形 一个多边形， 如果把它任何一边双向延长， 其他各边都在延长所得直线的同侧， 这样的多边形就是凸多边形， 如图19.1-2 ①所示；否则就是凹多边形， 如图19.1-2 ②所示. 说明：本书中所研究的都是凸多边形. 【知识点02】多边形的内角和 1.定理 n 边形(n 为不小于 3的整数)的内角和等于( n － 2)·180°. 2. 定理的推导思路 推导思路 图形 思路1 从n 边形的一个顶点出发可以作(n-3)条对角线，将这个n 边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角总和恰好是这个n边形的内角和，为(n-2)×180° 思路2 在n 边形内任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的内角总和为n×180 °， 再减去一个周角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路3 在n 边形的一边上任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成(n-1) 个三角形， 这(n-1)个三角形的内角总和为(n-1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路4 在n 边形外任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O 的三角形有n 个，这n 个三角形的内角总和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 【知识点03】多边形的外角和 1.定理： n 边形( n 为不小于 3 的整数)的外角和等于 360°. 多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的： n 边形的外角和 =n×180°－( n－2)×180° =360° . 【知识点04】正多边形 正多边形 多边形中， 如果各条边都相等， 各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形. 正多边形必备的两个条件： (1)各个内角都相等； (2)各条边都相等. 【知识点05】四边形的不稳定性 当四边形各边的长度确定时，但它的各角大小并不能确定，因此四边形具有不稳定性.生活中四边形的不稳定性有着广泛的应用，如电动伸缩门、伸缩衣架等. 【题型一】多边形内角和问题 例1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．九 B．十 C．十一 D．十二 例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 例3．如图，在五边形中满足．求图形中的x的值．    变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级·安徽芜湖·月考）若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为_______． 变式3．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）在五边形ABCDE中，∠A=60°，且∠B∶ ∠C∶ ∠D∶ ∠E=4：5：7：8，求∠B，∠C，∠D，∠E的度数． 【题型二】正多边形的内角问题 例4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点E在射线上，则________度． 例6．如图，已知正五边形，过点A作交的延长线于点F，交的延长线于点G，求证：是等腰三角形． 变式1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）正八边形的每一个内角的度数是（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则__________． 变式3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 ________ （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________． 【规律应用】 （3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和． 【题型三】多（少）算一个角问题 例7．已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 变式1．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 变式2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【题型四】多边形截角后的内角和问题 例8．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 变式1．如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为__________． 变式2.（22-23八年级下·安徽滁州·月考）（1）如图1，这是一个五角星，则___18___． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【题型五】复杂图形的内角和 例9．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG. 若，则∠BGD的大小为____度. 变式2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【题型六】正多边形的外角问题 例10．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 例11．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）正十一边形的外角度数之和为______． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 变式2．对于下列各给定的正多边形每个外角的大小，求该正多边形的边数． (1) (2) 【题型七】多边形外角和的实际应用 例12．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2+∠3=140°，则∠4+∠5+∠6=___． 例13．如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 变式1．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（      ） A．12 B．16 C．8 D．15 变式2．小明从P点出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，，照这样走下去，第一次回到出发地点P时，一共走了120米，则α的度数是______． 变式3．亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【题型八】多边形内角和与外角和综合 例14．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若一个多边形的内角和与外角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 例15．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 例16．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 变式1．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 变式2．每个内角都为的多边形为_________边形． 变式3．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题： (1)将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … … (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？请说明理由． 一、单选题 1．正五边形的每个内角度数是（ ） A． B． C． D． 2．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 5．如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角∠BAF的角平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP的度数为（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 6．n边形内角和公式是（n-2）×180°．则四边形内角和为（　　） A． B． C． D． 7．如图，七边形中，的延长线交于点O，若，相邻的外角的和等于，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（   ） A．360° B．140° C．1080° D．720° 9．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 二、填空题 10．一个边形的内角和是外角和的倍，则______． 11．过六边形的一个顶点可以画_______条对角线，六边形一共有_______条对角线. 12．如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=_____． 13．（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是_______°． 三、解答题 14．根据下面的对话，求多边形飞盘的边数． 15．小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？ 16．如图，是的两条高，它们交于O点． (1)和的大小关系如何？并说明理由； (2)若，求和的度数． 17．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．F为垂足． （1）求∠CDF的度数； （2）求证：AF＝BF． 18．阅读材料 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若，互为组角，且，则______． 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由． 19．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到第一次回到出发点A停止，他所走的路径构成了一个正n边形． (1)______； (2)若小明的速度是，求小明的运动时间． 20．如图所示，在四边形中，的角平分线及外角的平分线所在的直线相交于点，若，． （1）如图(a)所示，，试用，表示，直接写出结论． （2）如图(b)所示，，请在图中画出，并试用，表示． （3）一定存在吗？若有，写出的值；若不一定，直接写出，满足什么条件时，不存在． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 多边形（知识详解+08典例分析+习题巩固） 【知识点01】多边形及其相关概念 1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 .如果一个多边形由 n 条线段组成， 那么这个多边形叫作 n 边形(n 为不小于 3的整数) 2.多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的线段 顶点 相邻两边的公共端点 内角 多边形中相邻两边组成的角 外角 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角 对角线 多边形中连接不相邻两个顶点的线段 3. 多边形的表示方法 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 19.1-1，三个多边形分别表示为四边形ABCD、五边形ABCDE、 六边形ABCDEF. 4. 凸多边形 一个多边形， 如果把它任何一边双向延长， 其他各边都在延长所得直线的同侧， 这样的多边形就是凸多边形， 如图19.1-2 ①所示；否则就是凹多边形， 如图19.1-2 ②所示. 说明：本书中所研究的都是凸多边形. 【知识点02】多边形的内角和 1.定理 n 边形(n 为不小于 3的整数)的内角和等于( n － 2)·180°. 2. 定理的推导思路 推导思路 图形 思路1 从n 边形的一个顶点出发可以作(n-3)条对角线，将这个n 边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角总和恰好是这个n边形的内角和，为(n-2)×180° 思路2 在n 边形内任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的内角总和为n×180 °， 再减去一个周角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路3 在n 边形的一边上任取一点，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成(n-1) 个三角形， 这(n-1)个三角形的内角总和为(n-1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 思路4 在n 边形外任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O 的三角形有n 个，这n 个三角形的内角总和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n-2)×180° 【知识点03】多边形的外角和 1.定理： n 边形( n 为不小于 3 的整数)的外角和等于 360°. 多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的： n 边形的外角和 =n×180°－( n－2)×180° =360° . 【知识点04】正多边形 正多边形 多边形中， 如果各条边都相等， 各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形. 正多边形必备的两个条件： (1)各个内角都相等； (2)各条边都相等. 【知识点05】四边形的不稳定性 当四边形各边的长度确定时，但它的各角大小并不能确定，因此四边形具有不稳定性.生活中四边形的不稳定性有着广泛的应用，如电动伸缩门、伸缩衣架等. 【题型一】多边形内角和问题 例1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．九 B．十 C．十一 D．十二 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：． n边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：， 解得：． ∴这个多边形是12边形． 故选：D． 例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 【答案】4，6 【知识点】多边形内角和问题 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 例3．如图，在五边形中满足．求图形中的x的值．    【答案】 【知识点】多边形内角和问题、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据平行线的性质，求出，再根据五边形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和多边形的内角和．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，以及多边形的内角和公式，是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，边形的内角和为(且为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答． 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 变式2．（23-24八年级·安徽芜湖·月考）若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为_______． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理求出五边形内角和，再减去90度的内角即可得到答案． 【详解】解：∵五边形的内角和为，其中有一个角为， ∴其余四个内角之和为， 故答案为：． 变式3．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）在五边形ABCDE中，∠A=60°，且∠B∶ ∠C∶ ∠D∶ ∠E=4：5：7：8，求∠B，∠C，∠D，∠E的度数． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】设，结合多边形内角和公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴可设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解决本题的关键是掌握多边形内角和的公式． 【题型二】正多边形的内角问题 例4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正六边形的性质与多边形内角和定理的应用，解题的关键是明确正六边形内角的度数，结合四边形内角和为推导角度关系． 先确定正六边形每个内角为，得到和的度数；再根据对顶角性质，可知等于等于；最后利用四边形的内角和为，列等式计算的度数． 【详解】解：∵正六边形的每个内角均为， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． 在四边形中，内角和为， 即， 代入得， 解得． 故选：C． 例5．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点E在射线上，则________度． 【答案】60 【知识点】三角形的外角的定义及性质、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形内角度数和三角形外角定理，掌握正多边形内角度数求解公式：是解题关键．先根据正多边形内角度数求解公式求出、的度数，再由求出的度数，最后由三角形外角定理求出的度数即可． 【详解】解：五边形是正五边形， 是的一个外角， ． 故答案为：60． 例6．如图，已知正五边形，过点A作交的延长线于点F，交的延长线于点G，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【知识点】正多边形的内角问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式，先求出，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质和三角形内角和定理，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 变式1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）正八边形的每一个内角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正多边形内角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则__________． 【答案】/84度 【知识点】正多边形的内角问题、等边对等角 【分析】本题考查正多边形的内角，分别求出正六边形，正五边形的内角，再根据等腰三角形的性质可得结论． 【详解】解：在正六边形内，正五边形中， ，，， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 ________ （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________． 【规律应用】 （3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用． （1）先根据五边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据正边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出的度数． （2）根据（1）中的数据总结规律． （3）引用（2）中总结的公式求出，然后利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】（1）正五边形的内角， ∴； （2）观察（1）中结论，时，； 时，； 时， 时， 总结规律，则有； （3）当时， ∴解得 ∴该正多边形的内角和为． 【题型三】多（少）算一个角问题 例7．已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 变式1．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【知识点】多（少）算一个角问题、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 【题型四】多边形截角后的内角和问题 例8．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 变式1．如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为__________． 【答案】 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形内角和定理求出截去、后六边形的内角和，再减去∠B和∠D的度数，即可求出、、、的和． 【详解】∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵截去、后，组成的图形是六边形 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的角度问题，掌握多边形内角和定理和正方形的性质是解题的关键． 变式2.（22-23八年级下·安徽滁州·月考）（1）如图1，这是一个五角星，则___18___． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】多边形截角后的内角和问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； （2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可； （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数． 【详解】解：（1）如图，      由三角形的外角性质，得，， ∵ ∴， 故答案为：； （2）如图，延长与相较于点，   和是的两个外角，则，， ， ， 故的度数为． （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，， 在题图3中，去掉五个角后， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 【题型五】复杂图形的内角和 例9．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 变式1．如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG. 若，则∠BGD的大小为____度. 【答案】80 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案． 【详解】∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6-2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-440°=280°， ∴∠BGD=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）=80°． 故答案是：80°． 【点睛】考查了多边形的内角和公式．此题难度不大，注意掌握整体思想的应用，解题的关键是根据多边形的内角和的计算公式求得多边形的内角和． 变式2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 【题型六】正多边形的外角问题 例10．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数． 【详解】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数是：． 故选：C． 例11．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）正十一边形的外角度数之和为______． 【答案】/360度 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】此题考查多边形的外角和，根据任意多边形的外角和均为解答即可． 【详解】解：正十一边形的外角度数之和为， 故答案为． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查正多边形外角和．根据正多边形外角和定理求解即可． 【详解】解：设正多边形边数为n，根据正多边形外角和定理得 ， 解得：， 所以该正多边形是正八边形， 故选：C． 变式2．对于下列各给定的正多边形每个外角的大小，求该正多边形的边数． (1) (2) 【答案】(1)12 (2)24 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为． （1）设所求正n边形边数为x，根据外角和为列方程求解即可； （2）设所求正n边形边数为y，根据外角和为列方程求解即可． 【详解】（1）解：设所求正n边形边数为x， 则， 解得． 故正多边形的边数是12； （2）解：设所求正n边形边数为y， 则， 解得． 故正多边形的边数是24． 【题型七】多边形外角和的实际应用 例12．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2+∠3=140°，则∠4+∠5+∠6=___． 【答案】220° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据任意多边形外角和为360°解答本题． 【详解】解：由任意多边形外角和为360°可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°， ∵∠1+∠2+∠3=140°， ∴∠4+∠5+∠6=360°－140°=220°． 故答案为：220°． 【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握任意多边形外角和为360°是解答本题的关键． 例13．如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【答案】转过的角度为360° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】该题主要考查了多边形的外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的外角和为． 根据五边形的外角和为即可求解； 【详解】解：根据图象可得运动员转过的角度是五边形的外角和， ∵五边形的外角和为， ∴他转过的角度为． 变式1．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（      ） A．12 B．16 C．8 D．15 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】利用多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：n=360°÷30°=12． 故选：A． 【点睛】主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可． 变式2．小明从P点出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，，照这样走下去，第一次回到出发地点P时，一共走了120米，则α的度数是______． 【答案】30° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据多边形的外角和与外角的关系，可得答案． 【详解】由题意，得 120÷10＝12， 图形是十二边形， α＝360°÷12＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了多边形的外角，利用周长除以边长得出多边形是解题关键． 变式3．亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【答案】(1)能 (2)正八边形 (3)（2）中图形的周长为160米 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】（1）利用，能整除即可求解． （2）由（1）得亮亮走8次即可回到M点，进而可求解． （3）利用周长公式即可求解． 【详解】（1）解：， 则亮亮能回到M点， 故答案为：能． （2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米， 则亮亮走过的路线围成了正八边形， 故答案为：正八边形． （3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米， 则（米）， 则（2）中图形的周长为160米． 【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 【题型八】多边形内角和与外角和综合 例14．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若一个多边形的内角和与外角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．多边形的内角和，多边形的外角和等于．根据多边形的外角和是，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解。 【详解】解：多边形的内角和是：， 设多边形的边数为，则 ， 解得：． 故选：D． 例15．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 例16．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式和外角和定理列出方程解答即可； （）用多边形内角和除以边数即可求解； 本题考查了多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， 答：这个多边形的边数为； （2）解：， 答：该正多边形一个内角的度数为． 变式1．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内外角和，利用正多边形的外角和定理，每个外角等于减去内角，再用外角和除以每个外角度数即可得到边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为． 正多边形的外角和为，边数外角和÷每个外角度数． 因此，这个正多边形的边数为8， 故选C． 变式2．每个内角都为的多边形为_________边形． 【答案】十/10 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理. 先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据n边的外角和为即可得到其边数． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数， 故答案为：十． 变式3．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题： (1)将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … … (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？请说明理由． 【答案】(1)，，，，18； (2)存在，见解析 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和定理与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为． （1）根据多边形内角和公式与外角求出多边形的每一个内角，再根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据（1）的求解方法建立方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，设正多边形的每一个内角为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为； 填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 18 的度数 （2）解：存在这样的正n边形． ∴， ∴， 解得，经检验符合题意； 所以存在这样的正n边形，它是正十边形． 一、单选题 1．正五边形的每个内角度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以5即可； 【详解】根据多边形内角和定理可得： ， ， 故选∶C． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边形内角和公式． 2．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了多边形内角与外角的知识点，解题关键是掌握多边形的外角之和为． 根据正多边形的一个内角是，则知该正多边形的一个外角为，利用多边形的外角和为，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴该正多边形的一个外角为， ∵多边形的外角之和为， ∴边数＝， ∴这个正多边形的边数是8． 故选：B． 3．如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等边三角形性质得到，，进而由正五边形性质得到相关角度与边的关系，再由等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理求出相关角度，数形结合表示出要求的角，代值求解即可得到答案． 【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形， ，， 是正五边形， ，且， ，，， 在等腰中，，则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及等边三角形的性质、正多边形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正多边形内角与外角关系．数形结合，准确表示各个角度是解决问题的关键． 4．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 5．如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角∠BAF的角平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP的度数为（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】根据多边形ABCDEF是正六边形，可得∠FAB=120°，再根据AP是∠FAB的角平分线，可得∠PAB=60°，最后根据三角形内角和即可求出∠ABP的度数，进而求出∠CBP的度数． 【详解】∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FAB=∠ABC=， ∵AP是∠FAB的角平分线， ∴∠PAB=∠FAB=60°， ∵∠APB=40°， ∴∠ABP=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=80°， ∴∠CBP=∠ABC﹣∠ABP=40°． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理以及角平分线的定义，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理． 6．n边形内角和公式是（n-2）×180°．则四边形内角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将n换成4，然后代入（n-2）×180°计算即可得解． 【详解】解：根据题意得n=4, 代入（n-2）×180°得(4−2)×180°=2×180°=360°. 故选B. 【点睛】本题考查了多边形的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握多边形的内角与外角的性质. 7．如图，七边形中，的延长线交于点O，若，相邻的外角的和等于，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD． 【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为230°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+230°=4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=490°， ∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°， ∴∠BOD=540°-490°=50°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键． 8．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（   ） A．360° B．140° C．1080° D．720° 【答案】C 【分析】根据边的外角和为可得到这个多边形的边数，然后根据边形的内角和为即可求得八边形的内角和． 【详解】解：多边形的每个外角都是， 这个多边形的边数， 这个多边形的内角和． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为． 9．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【答案】C 【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数． 【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n． 则（n-2）×180=830+x， 即（n-2）×180=4×180+110+x， 因此x=70，n=7或x=250，n=8． 故该多边形的边数是7或8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 二、填空题 10．一个边形的内角和是外角和的倍，则______． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和公式和外角和为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：6． 【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．解题的关键是掌握多边形的内角和为，外角和为． 11．过六边形的一个顶点可以画_______条对角线，六边形一共有_______条对角线. 【答案】 3 9 【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．再根据多边形对角线条数的计算公式求出六边形对角线的条数即可． 【详解】6-3=3（条）． 故从六边形的一个顶点可引出3条对角线． 六边形对角线的条数为：（条）. 故答案为3，9. 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3． 12．如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=_____． 【答案】115° 【分析】由四边形内角和定理求出∠ABC+∠BCD=130°，由角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB=65°，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】∵在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-90°-140°=130°， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∴∠BOC=180°-65°=115°； 故答案为115° 【点睛】考查了四边形内角和定理、三角形内角和定理；熟练掌握四边形内角和定理、三角形内角和定理是解决问题的关键． 13．（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是_______°． 【答案】 4 2340 【分析】本题考查多边形的外角和和内角和（1）利用多边形外角和恒为与内角和公式列方程求解； （2）先由外角和求边数，再代入内角和公式计算． 【详解】解：（1）设多边形的边数为n．多边形的外角和为，内角和为． 由题意得，， 解得， 故答案为：4； （2）多边形的每个外角为，外角和为， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：2340． 三、解答题 14．根据下面的对话，求多边形飞盘的边数． 【答案】多边形飞盘的边数为6 【分析】本题考查了多边形内角和的应用，属于基础题，记住多边形内角和公式是解题关键．设多边形飞盘的边数为n，根据，解答即可． 【详解】解：设多边形飞盘的边数为n，根据题意得： ， 解得：， 答：多边形飞盘的边数为6． 15．小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？ 【答案】 【分析】设多边形的边数为，由题意可得，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 为整数， ， 多加外角的度数． 【点睛】本题考查了对变形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 16．如图，是的两条高，它们交于O点． (1)和的大小关系如何？并说明理由； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据是的两条高，故，即可； （2）根据，利用三角形的内角和得出，利用是的高得出，故，再利用四边形的内角和为求得的度数． 【详解】（1）解：∵是的两条高， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， 故， 在四边形中， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，多边形内角和定理是解题的关键． 17．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．F为垂足． （1）求∠CDF的度数； （2）求证：AF＝BF． 【答案】（1）54°；（2）见解析 【分析】（1）首先根据正五边形的性质求出内角度数，以及推出△AED≌△BCD，从而得到△ADB为等腰三角形，即可结合“三线合一”的性质推出∠CDF=∠EDC，最终得出结论； （2）结合（1）中结论DA=DB，利用“HL”定理求证即可． 【详解】（1）解：五边形的内角和为， ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴，AE=ED=DC=CB， ∴∠EAD=∠EDA=(180°-∠E)=36°，∠CDB=∠CBD=(180°-∠C)=36°， ∴∠EDA=∠CDB， 在△AED和△BCD中， ∴△AED≌△BCD(SAS)， ∴DA=DB，△ADB为等腰三角形， ∵DF⊥AB， ∴由“三线合一”知，DF平分∠ADB， ∴∠BDF=∠ADF， ∴∠BDF+∠CDB=∠ADF+∠EDA， ∴∠CDF=∠EDF=∠EDC=54°； （2）由（1）得DA=DB， ∵DF⊥AB， ∴∠DFA=∠DFB=90°， 在Rt△DAF和Rt△DBF中， ∴Rt△DAF≌Rt△DBF(HL)， ∴AF=BF． 【点睛】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的判定方法和性质是解题关键． 18．阅读材料 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若，互为组角，且，则______． 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由． 【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D，理由见解析． 【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可； （2）理由①：根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； 理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°， ∴∠2=360°-∠1=225°， 故答案为：225°； （2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D． 理由如下： 理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°， 又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´， ∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； 理由②：如下图，连接AC并延长， ∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质）， ∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D． 【点睛】本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②的关键． 19．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到第一次回到出发点A停止，他所走的路径构成了一个正n边形． (1)______； (2)若小明的速度是，求小明的运动时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形的外角和，一元一次方程的应用，有理数的乘、除运算的应用．熟练掌握多边形外角和为是解题的关键． （1）由多边形外角和为可得，，计算求解即可； （2）由题意知，小明的路程为，根据小明的运动时间为，求解作答即可． 【详解】（1）解：由多边形外角和为可得，， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意知，小明的路程为， ∵， ∴小明的运动时间为． 20．如图所示，在四边形中，的角平分线及外角的平分线所在的直线相交于点，若，． （1）如图(a)所示，，试用，表示，直接写出结论． （2）如图(b)所示，，请在图中画出，并试用，表示． （3）一定存在吗？若有，写出的值；若不一定，直接写出，满足什么条件时，不存在． 【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析；（3）时，不存在，证明见解析． 【分析】（1）先根据四边形的内角和求出，再根据角平分线的定义、邻补角的定义得出，然后根据三角形的外角性质即可得； （2）先根据角平分线的定义画出图形，再参照题（1）：由四边形的内角和求出，再根据角平分线的定义、对顶角的性质得出，然后根据三角形的外角性质即可得； （3）由题（1）和（2）可知，当和时，存在的值，因此，考虑当时，是否存在．证明如下：先根据四边形的内角和得出，再根据邻补角的定义得出，从而得出，然后根据角平分线的定义可得出，最后根据平行线的判定得出，即可得证． 【详解】（1），求解过程如下： 在四边形中， 平分，CF平分 ； （2）由题意，画的角平分线及外角的平分线所在的直线相交于点，则所要画的如下图所示．求解过程如下： ∵，且， ∴ ∵平分，平分 ∴ ∵是的一个外角 ∴ ∴ ； （3）当时，不存在．证明过程如下： ∵，且， ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 故当时，不存在． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识点，较难的是题（3），综合题（1）和（2）的题设与结论，正确提出假设是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $