期中真题必刷压轴75题（11大考点专练） 2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷压轴75题（11大考点专练） 【考点一】三角形内角和定理及其应用 【考点七】一元一次不等式综合 【考点二】等腰三角形的应用 【考点八】一元一次不等式与一次函数的应用 【考点三】直角三角形性质与判定及综合应用 【考点九】一元一次不等式组综合 【考点四】线段的垂直平分线综合应用 【考点十】图形的平移的综合应用 【考点五】角平分线综合应用 【考点十一】图形的旋转与轴对称综合应用 【考点六】不等式及其基本性质的应用 【考点一】三角形内角和定理及其应用 1．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施（用点表示），使它到三条路、、的距离相等． (1)尺规作图，在图中确定公共服务设施的位置．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则的度数为________． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，度，，，E为的中点． (1)猜想为何种特殊三角形； (2)请对（1）中你的猜想进行证明． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 5．（22-23八年级下·甘肃白银·期末）如图，佳佳从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个多边形．      (1)佳佳一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 (1)若，，则_____． 【猜想证明】 (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有的式子表示） 【拓展提高】 (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【考点二】等腰三角形的应用 7．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，于点，平分，交于点，于点且交于点，若，，求的长． 10．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知，在于，求线段和的长． 11．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 12．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的度数． 13．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 14．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在中，，，，求： (1)的长； (2)的面积． 15．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 16．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，平分，交于点，连接．    (1)求证：； (2)若是的中点，且，求平行四边形的面积； (3)如图，若，，用等式表示之间的数量关系，并证明． 17．（24-25八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； (2)在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； (3)在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 【考点三】直角三角形性质与判定及综合应用 18．（23-24八年级下·全国·期中）如图，的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，结论成立的有______．（填序号） 19．（22-23八年级·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 20．（22-23八年级下·山东青岛·期中）已知如图，，，点E，F在上，且． (1)求证：． (2)若平分，请直接写出与的位置关系：________． 21．（24-25八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 22．（25-26八年级·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【考点四】线段的垂直平分线综合应用 23．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 24．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 25．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． (1)求证：垂直平分 (2)若，求证：是等边三角形． 26．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 27．（24-25八年级下·广东佛山·期中）（1）如图1，在为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程. 要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上.只要证 ______=______，______=______ （2）如图（2），在中，，点D、E分别在上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由. 28．（24-25八年级下·山东青岛·期中）（1）如图在平面直角坐标系中的三个顶点分别是、、 ①将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的； ②将绕点逆时针旋转，画出旋转后的并直接写出的坐标； （2）尺规作图 如图，线段在的内部，在的内部求作点，使点到两边的距离相等且到线段两端点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点五】角平分线综合应用 29．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，平分，，垂足为A．已知，求点P到的距离． 31．（23-24八年级下·江西鹰潭·期中）已知：如图三条公路，，两两相交，是公路上的两个村庄．求作：加油站，使得到，两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 32．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 33．（22-23八年级下·广西来宾·期中）如图，点是内一点，于点于点，连接 (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 34．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 【考点六】不等式及其基本性质的应用 35．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（等式用○，不等式用√，在横线上表示） ______； ______； ______； ______； ______； ______． 已知：如图，，是的高，且，求证：是等腰三角形． 36．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算 例如：已知可得；已知可得； 已知可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么． 证明：， ．（依据） ， ________， ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为________．（用“<”或“>”填空） (2)材料证明过程中，依据为_________，缺失的步骤为________． (3)已知，，请直接写出的取值范围． 37．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 38．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【考点七】一元一次不等式综合 39．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 40．（23-24八年级下·全国·期中）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）（1）用不等式表示“的倍与的差大于”； （2）若关于的不等式可化为，求的取值范围． 42．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：整式 (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的所有负整数值．    43．（22-23八年级下·陕西宝鸡·期中）某单位要印刷一批宣传材料，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费0.1元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次印刷页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元．设该单位需要印刷宣传材料的页数为（，且为整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际付费为（元）． (1)分别求出，写的函数关系式； (2)你认为选择哪家印刷厂印刷这批宣传材料实际付费较少，为什么？ 44．（22-23八年级下·山东聊城·期中）在某次篮球联赛中，雄鹰队与未来队要争夺最后一个出线权，雄鹰队目前的战绩是10胜8负，后面还要比赛10场；未来队目前的战绩是9胜10负，后面还要比赛9场．该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分，负一场不得分，所有参赛球队完成28场比赛后，得分更高者获得出线权． (1)为确保出线，雄鹰队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果未来队在后面的比赛中5胜4负，那么雄鹰队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (3)如果雄鹰队在后面的比赛中4胜6负，未能出线，那么未来队在后面的比赛中的战果如何？ 【考点八】一元一次不等式与一次函数的应用 45．（24-25八年级下·四川达州·期中）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于x的方程的解是 D．不等式的解集为 46．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)画出该函数图像； (3)当时，x的取值范围是______． 47．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知函数和的图象交于点． (1)的值为 ； (2)利用图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 48．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 【考点九】一元一次不等式组综合 49．（22-23八年级下·山东青岛·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 50．（23-24八年级下·全国·期中）（1）解不等式：． （2）解不等式组：． 51．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 52．（24-25八年级下·四川成都·期中）成都号称“最美公园城市”之一，某公园为了美化环境，预备购进，两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的倍，若花费元购买款花卉和元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多株． (1)求，两款花卉的单价是分别多少元； (2)该公园有1元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进，两款花卉共株，其中款花卉数量不超过株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 53．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知一次函数，． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式组的解集为，求的值； (3)在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，求该三角形的面积． 54．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的不等式组 (1)若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由． (2)若该不等式组有解，求的取值范围． (3)若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围． 55．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 56．（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 57．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）根据以下索材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本为万元，售价为万元；型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． (1)若该工厂3月生产了2000部型号手机，则最多生产了多少部型号手机？ (2)若该工厂计划4月一共生产3000部手机，总利润不低于249.9万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 58．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【考点十】图形的平移的综合应用 59．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 60．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标； (2)求的面积． 61．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，三角形中，，，三角形是三角形平移之后得到的图形，并且O的对应点的坐标为．    (1)作出三角形平移之后的图形三角形，并写出、两点的坐标分别为_____； (2)求三角形的面积． 62．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图，将关于x轴对称得到，再将沿着x轴向右平移m个单位得到，且直线交y轴于点D． ①当时，求m的值； ②当点D到直线的距离相等时，求m的值．（请结合备用图，自己作图并求解） 63．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为 ； (2)若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 64．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【考点十一】图形的旋转与轴对称综合应用 65．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出A、B、C三点的坐标． (2)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出． (3)求的面积． 66．（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，两条高线和交于点，． (1)你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由； (2)图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的． 67．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 68．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 69．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， ． (1)画出关于原点O对称的图形； (2)图中是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为______． (3)点D在平面内，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 70．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； (2)请画出绕原点逆时针旋转得到的．B点的对应点的坐标为 ． (3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______． 71．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转． (1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若，，求． ②若，求点C到直线的距离； (2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：． 72．（22-23八年级下·山东青岛·期中）在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，与关于点O对称． (1)画出． (2)P在直线上，求的最小值________． 73．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ； (3)在y轴上找一点Q，使得最小，并写出Q点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 74．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)平移，使得点与点重合，画出平移后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 75．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移_______个单位长度，再_____； (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷压轴75题（11大考点专练） 【考点一】三角形内角和定理及其应用 【考点七】一元一次不等式综合 【考点二】等腰三角形的应用 【考点八】一元一次不等式与一次函数的应用 【考点三】直角三角形性质与判定及综合应用 【考点九】一元一次不等式组综合 【考点四】线段的垂直平分线综合应用 【考点十】图形的平移的综合应用 【考点五】角平分线综合应用 【考点十一】图形的旋转与轴对称综合应用 【考点六】不等式及其基本性质的应用 【考点一】三角形内角和定理及其应用 1．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形内角和，全等三角形的判定和性质． 根据题意可知，求出，根据正多边形内角和求出，连接，可知，进而求出，，即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施（用点表示），使它到三条路、、的距离相等． (1)尺规作图，在图中确定公共服务设施的位置．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则的度数为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，掌握角平线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可分别作和的角平分线交点为P，点P为所求； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，度，，，E为的中点． (1)猜想为何种特殊三角形； (2)请对（1）中你的猜想进行证明． 【答案】(1)猜想为等腰直角三角形 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、多边形内角和问题 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等，辅助线的作出是本题的关键． （1）根据图形猜想即可； （2）延长至F，使，连结；延长交于G；根据条件先得出，然后证得，通过证得为等腰直角三角形，从而得出为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：猜想为等腰直角三角形； （2）证明：延长至F，使，连结；延长交于G； 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为______； （2）如果，可得的度数为______； 操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点A与点E重合，若，，请求出的长． 【答案】操作一：（1）；（2）；操作二： 【知识点】勾股定理与折叠问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理： 操作一：（1）由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式求解即可； （2）由折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理结合已知条件求解即可； 操作二：由勾股定理得，由折叠的性质可得，利用等面积法求出，进而求出，则． 【详解】解：操作一：（1）由折叠的性质可得， ∴的周长， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 操作二：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（22-23八年级下·甘肃白银·期末）如图，佳佳从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个多边形．      (1)佳佳一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)80米 (2) 【知识点】正多边形的外角问题、多边形内角和问题 【分析】（1）第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是的正多边形，求得边数，即可得到答案； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：佳佳走过的路线正好构成一个外角是的正多边形， ， 佳佳一共走的路程为：（米）， 答：佳佳一共走了80米； （2）解：根据题意，得：， 答：这个多边形的内角和是． 【点睛】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和，根据题意得到：第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是的正多边形，是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 (1)若，，则_____． 【猜想证明】 (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有的式子表示） 【拓展提高】 (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变化， (3)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，以及三角形的外角和的性质，熟练掌握三角形的内角和可用于计算未知角的度数，根据得到的相关角的数量关系是推导角度等式的基础． （1）根据角平分线的性质可得与，再根据三角形的外角和即可求解． （2）根据角平分线的性质可得与，再根据三角形的外角和即可求解． （3）先由三角形的内角和可得与和的数量关系，再由第二问的结论，等量代换可得、、的数量关系． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 平分，平分， ，， ． （2）解：不变化 理由如下： 平分，， 平分，， ， 即． （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点A， ， ， 由（2）可得， ． 【考点二】等腰三角形的应用 7．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】由角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，继而解得，证明，由全等三角形的对应边相等得到，再结合线段中点的性质解得，最后在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， 在中，则，， ∴， ∴， ∴， 又F为的中点， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，则， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的性质、线段中点的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、在网格中判断直角三角形、两直线平行内错角相等、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，于点，平分，交于点，于点且交于点，若，，求的长． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据，可得，再由勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴． 10．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知，在于，求线段和的长． 【答案】，， 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 11．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、解决航海问题(勾股定理的应用)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 12．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】作已知线段的垂直平分线、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了尺规作图作线段垂直平分线，等边对等角，三角形外角的性质． （1）根据题意可知，作线段的垂直平分线，交于点P即可； （2）根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：如图： ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得，，由角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质可得，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 14．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在中，，，，求： (1)的长； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的运算、等腰直角三角形的性质等知识，掌握求解的方法是关键； （1）作于点D，如图，先求解，再利用30度角的直角三角形的性质解答即可； （2）勾股定理求出，再利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】（1）解：作于点D，如图， 则在直角三角形中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴； （2）解：在直角三角形中，∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 15．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)） (2)点M的坐标为或 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）把的坐标代入即可求得，然后利用平移的规律求得平移后的直线解析式，由函数解析式，令求点坐标，求点坐标； （2）分两种情况讨论：若，即可求得，得到；若时，求得，得到，． 【详解】（1）解：直线交轴于点 ， 解得， ， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线， 令，则，解得， 令，则， ，； （2）解：若时， ， ， ，    若， ，， ， ， ，，    综上，的坐标为或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键． 16．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，平分，交于点，连接．    (1)求证：； (2)若是的中点，且，求平行四边形的面积； (3)如图，若，，用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（）根据平行四边形中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论； （）根据是的中点，可得，证明，再利用含未知数的勾股定理可得的长，进而可得平行四边形的面积； （）根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系； 此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，   ，， 平分， 是等边三角形， ∴； （2）解：是的中点 ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ∴ 当时，设，则， ∴ 解得， ， 平行四边的面积； （3）四边形是平行四边形，   ， ，， 是等边三角形，， ， ， 设的边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； (2)在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； (3)在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查作图-应用与设计作图． （1）利用网格和平行四边形的判定作图即可； （2）利用网格和平行四边形的判定作图即可； （3）利用网格和平行四边形的判定作图即可；． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求（答案不唯一）； （3）解：如图：即为所求． 【考点三】直角三角形性质与判定及综合应用 18．（23-24八年级下·全国·期中）如图，的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，结论成立的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、直角三角形的两个锐角互余、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，由四边形是平行四边形，得到，，根据平分，得到，推出是等边三角形，由，得到，得到是直角三角形，于是得到，故①正确；由，得到，故②正确；根据，，且，得到，故③错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故④正确，综上即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确， ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上，结论成立的有①②④， 故答案为：①②④． 19．（22-23八年级·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（22-23八年级下·山东青岛·期中）已知如图，，，点E，F在上，且． (1)求证：． (2)若平分，请直接写出与的位置关系：________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、三线合一 【分析】（1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）由得到，推出，然后利用三线合一证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，即 ∵，， ∴ ∴； （2）解：，证明如下： ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴． 21．（24-25八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)此命题是真命题，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、写出命题的逆命题、三线合一 【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）交换原命题的题设和结论即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】（1）逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26八年级·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先证明，再由证明； （2）先证明是等边三角形，得，再证明，得，设，则，再求出，进而由角平分线的定义得，然后由直角三角形的性质得，进而列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点四】线段的垂直平分线综合应用 23．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 24．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作垂线、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握作垂线的尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键． （1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点，由此即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，交于点，交于点，如图所示： ． （2）证明：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 25．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． (1)求证：垂直平分 (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，，即可证明垂直平分； （2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 26．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得；由线段垂直平分线的性质可得，则可推出，可得，；可证明，则当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求， 此时的最小值即为线段的长，即的最小值为；    （2）解：∵在中，， ∴； ∵边的垂直平分线交于点E，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接，则， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等等，正确理解题意确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键． 27．（24-25八年级下·广东佛山·期中）（1）如图1，在为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程. 要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上.只要证 ______=______，______=______ （2）如图（2），在中，，点D、E分别在上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由. 【答案】（1）；（2）作图见解析，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据线段垂直平分线的判定即可填空； （2）连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线，证明，则，那么，再结合，即可说理直线即为所求． 【详解】解：（1）要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上．只要证； （2）如图，直线即为所求： 连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线为为边的垂直平分线． 28．（24-25八年级下·山东青岛·期中）（1）如图在平面直角坐标系中的三个顶点分别是、、 ①将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的； ②将绕点逆时针旋转，画出旋转后的并直接写出的坐标； （2）尺规作图 如图，线段在的内部，在的内部求作点，使点到两边的距离相等且到线段两端点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析②见解析，的坐标为的坐标为（2）见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、画旋转图形、作垂线(尺规作图)、平移(作图) 【分析】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，线段垂直平分线和角平分线的性质． （1）①由点A及其对应点的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得； ②由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）作出线段的垂直平分线，的平分线，两线的交点，即可解答． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求． ②如图所示，即为所求，其中的坐标为的坐标为； （2）∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴用尺规作图先作线段的垂直平分线， ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴再作的角平分线，则两线的交点P即为所求； 【考点五】角平分线综合应用 29．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④；根据，即可判断②；假设平分，则可求出，即可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， 又即， ∴， ∴， 又， ∴，故②错误； 若平分， 则， 又， ∴， 又， ∴， 而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误； 故选∶B 30．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，平分，，垂足为A．已知，求点P到的距离． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：作于点B， ∵平分，，， ∴，即点P到的距离为． 31．（23-24八年级下·江西鹰潭·期中）已知：如图三条公路，，两两相交，是公路上的两个村庄．求作：加油站，使得到，两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作角平分线(尺规作图)、角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点就是所求点． 【详解】解：如图，分别作的平分线、线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 32．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)的长为 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由，求得，由角平分线的性质得，由，求得 （2）由于E，，得，由，根据“”证明，得，则，而，所以，则 【详解】（1）解：， ， 平分于E，， ， ， ， 解得， 的长为 （2）解：， 理由：于E，， ， 平分于E，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 33．（22-23八年级下·广西来宾·期中）如图，点是内一点，于点于点，连接 (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的判定定理、多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】（1）根据，得出，即可求证； （2）先求出，再利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点A，于点B， ∴平分（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （2）解：∵，于点A，于点B， ∴ ∴， ∵， ∴． 34．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，即，结合，即，等量代换可得，，从而证得，可得，等量代换可得，从而得证； （2）根据等腰三角形三线合一可得，进而结合角平分线的性质可求得的度数，即可得到的度数，根据外角的性质和等腰直角三角形的性质，结合角的等量代换可求得，证得，从而得证； （3）过点作于点，结合角平分线的性质，易得，易证是等腰直角三角形，，利用锐角三角函数求得的长，进而依次求得、、的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：把绕点逆时针旋转到， ，，即， ，即， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ； （2）证明：，，， ， 平分， ， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点， 平分，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为． 【考点六】不等式及其基本性质的应用 35．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（等式用○，不等式用√，在横线上表示） ______； ______； ______； ______； ______； ______． 已知：如图，，是的高，且，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）①不等式；②不等式；③不等式；④等式；⑥不等式；（2）见解析． 【知识点】等腰三角形的定义、不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式和等式． 用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，用等号连接表示相等关系的式子是等式，判断一个式子是不等式还是等式根据不等式和等式的定义进行判断； 根据三角形的面积公式可得，因为，根据等式的基本性质可证，是等腰三角形． 【详解】解：用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，用等号连接表示相等关系的式子是等式， 是用不等号连接表示不相等关系的式子，是不等式； 是用不等号连接表示不相等关系的式子，是不等式； 是用不等号连接表示不相等关系的式子，是不等式； 是用等号连接表示相等关系的式子，是等式； 即不是等式也不是不等式，是一个代数式； 是用不等号连接表示不相等关系的式子，是不等式． ，， ， 是等腰三角形． 36．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算 例如：已知可得；已知可得； 已知可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么． 证明：， ．（依据） ， ________， ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为________．（用“<”或“>”填空） (2)材料证明过程中，依据为_________，缺失的步骤为________． (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变； (3) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：材料中“▲”处空缺的内容为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 37．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）；（4） 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、通过对完全平方公式变形求值、不等式的性质、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据配方法将平方形式，结合其非负性即可求得最小值； （2）根据配方法将配成形式，结合其非负性即可求得最小值为正数，即可知无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）根据已知得，由面积公式得展开配成平方形式，结合非负性和不等式的性质求得最大值即可； （4）连结，由中点的性质得和，则 ，进一步得到=，结合 和 ，得到，结合（3）知四边形的面积最大值为 ，即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解： ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当，四边形的面积最大，最大值为． （4）连结，如图， ∵点M是的中点， ∴，， ∴ ， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 四边形的面积最大值为 ， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，涉及配方法和非负性、不等式的性质、中点的性质，解题的关键是熟悉配方法和中点的性质． 38．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)6， (2) (3)60米 【知识点】不等式的性质、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又， ，当且仅当时取等号． 的最小值为6； ， ， ， 又， ，当且仅当时取等号． ， 的最大值为． 故答案为：6；； （2）解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； （3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 【考点七】一元一次不等式综合 39．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，代入即可求解． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴， 解得； （2）解：解不等式，得， ∴该不等式的最大整数解是， ∵该方程的解是不等式的最大整数解， ∴，解得． 40．（23-24八年级下·全国·期中）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、不等式组等知识点，根据各象限点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限为得到不等式组，求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，再结合选项即可解答． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴得到不等式组， 解①得：， 解②得：， 在数轴上表示它们的解集如下： ． 故选：A． 41．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）（1）用不等式表示“的倍与的差大于”； （2）若关于的不等式可化为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式、解一元一次不等式及不等式的性质，能根据不等式的解集得出是解题关键． （1）先表示出的倍，再表示出与的差，最后根据大于可得不等式； （2）根据不等式的性质，不等式的两边都除以，不等号方向发生改变，所以得到，求出即可． 【详解】解：（1）∵的倍与的差表示为， ∴用不等式表示“的倍与的差大于为：． （2）∵关于的不等式可化为， ∴， 解得：． 42．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：整式 (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的所有负整数值．    【答案】(1) (2)， 【知识点】求一元一次不等式的整数解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】把代入代数式中进行计算便可； 根据数轴列出的不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：由数轴知，， 即， ， 解得， 为负整数， ，． 【点睛】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式，不等式的解集的应用，第题关键是根据数轴列出的不等式． 43．（22-23八年级下·陕西宝鸡·期中）某单位要印刷一批宣传材料，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费0.1元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次印刷页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元．设该单位需要印刷宣传材料的页数为（，且为整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际付费为（元）． (1)分别求出，写的函数关系式； (2)你认为选择哪家印刷厂印刷这批宣传材料实际付费较少，为什么？ 【答案】(1)， (2)当时，甲、乙两个印刷厂收费相同；当时，甲印刷厂费用较少；当时，乙印刷厂费用较少 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据甲乙两个印刷厂的收费方案解答即可； （2）分3种情况列式求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ， ∴，与的函数关系式分别为，． （2）当时， 由得，，解得，， 由得，，解得，， 由得，，解得，， ∴当时，甲、乙两个印刷厂收费相同；当时，甲印刷厂费用较少；当时，乙印刷厂费用较少． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确列出一次函数解析式是解题的关键． 44．（22-23八年级下·山东聊城·期中）在某次篮球联赛中，雄鹰队与未来队要争夺最后一个出线权，雄鹰队目前的战绩是10胜8负，后面还要比赛10场；未来队目前的战绩是9胜10负，后面还要比赛9场．该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分，负一场不得分，所有参赛球队完成28场比赛后，得分更高者获得出线权． (1)为确保出线，雄鹰队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果未来队在后面的比赛中5胜4负，那么雄鹰队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (3)如果雄鹰队在后面的比赛中4胜6负，未能出线，那么未来队在后面的比赛中的战果如何？ 【答案】(1)9场 (2)5场 (3)四种可能：①6胜3负；②7胜2负；③8胜1负；④9胜0负 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设雄鹰队还要胜利场，未来队可以胜利场，根据题意列出不等式，解不等式即可； （2）设雄鹰队还要胜利场，未来队胜利场，根据题意列出不等式，解不等式即可； （3）雄鹰队在后面的比赛中胜利4场，则得分为分，设未来队在后面的比赛中胜利场，根据未来队出线，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设雄鹰队还要胜利场，未来队最多可以胜利场， 则， 解得：． 为整数， ∴取， 答：雄鹰队至少要胜利9场． （2）解：设雄鹰队还要胜利场，未来队胜利场，则 ， 解得：． 为整数， ∴取． 答：雄鹰队在后面的比赛中至少要胜利5场． （3）解：∵雄鹰队在后面的比赛中胜利4场，则得分为分，且未来队出线， 则设未来队在后面的比赛中胜利场， ， 解得：． 根据题意可知， 为整数， ∴取或7或8或9． 答：未来队在后面的比赛中的战果有四种可能：①6胜3负；②7胜2负；③8胜1负；④9胜0负． 【考点八】一元一次不等式与一次函数的应用 45．（24-25八年级下·四川达州·期中）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于x的方程的解是 D．不等式的解集为 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 46．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)画出该函数图像； (3)当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为 (2)见解析 (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】（1）当时，，当时，，解方程解答即可； （2）两点确定一条直线，根据A，B两点的坐标画图即可； （3）利用数形结合思想，结合图像与x轴交点的横坐标，解答即可． 本题考查了一次函数的图像画法，与坐标轴的交点求法，一次函数与不等式，熟练掌握解法和不等式解集确定的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故点B的坐标为， 当时，， 解得， 故点A的坐标为． （2）解：根据两点确定一条直线，且，，画图如下： （3）解：由于直线与x轴交于点， 故当时，； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 47．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知函数和的图象交于点． (1)的值为 ； (2)利用图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正比例函数的性质、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据（1）得出，结合函数图象，即可求解； （3）将点的坐标代入即可求出的值，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 故答案为：； （2）， 点的坐标为， 由图象得，不等式的解集为． （3）函数的图象经过点， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ． 48．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）联立函数解析式求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）连接，可得，设点的纵坐标为，得，得到，进而代入即可求出点的坐标； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，分别在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由，解得， ∴， 由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，连接， ∵点， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∵的面积等于的面积的倍， ∴ 解得， ∵点在直线上， ∴点的坐标为或． 【考点九】一元一次不等式组综合 49．（22-23八年级下·山东青岛·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，先分别解出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数即可． 【详解】解： 解不等式①,得， 解不等式②,得， ∴原不等式组的解集为， ∴ 不等式组的所有整数解为，0，1，2，3． 50．（23-24八年级下·全国·期中）（1）解不等式：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 51．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组得出的值，再结合方程组的解是为非负数，为正数，得出不等式组，解不等式组即可得出答案； （2）由（1）可得，结合绝对值的性质化简即可得出答案． 【详解】（1）解： ①②，得，即， 把代入②，得， 由题意得， 解得． （2）解：， ，． ． 52．（24-25八年级下·四川成都·期中）成都号称“最美公园城市”之一，某公园为了美化环境，预备购进，两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的倍，若花费元购买款花卉和元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多株． (1)求，两款花卉的单价是分别多少元； (2)该公园有1元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进，两款花卉共株，其中款花卉数量不超过株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 【答案】(1)款花卉的单价是元，款花卉的单价是元 (2)该公园购买花卉的最低总费用为元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确的列出方程和函数关系式． （1）设款花卉的单价是元，则款花卉的单价是元，根据花费元购买款花卉和元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多株．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进款花卉株，则购进款花卉株，根据该公园有元预备款，在不超出预备款的前提下，其中款花卉数量不超过株，列出一元一次不等式组，解得，再设该公园购买花卉的总费用为元，由题意得出与的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设款花卉的单价是元，则款花卉的单价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款花卉的单价是元，款花卉的单价是元； （2）设购进款花卉株，则购进款花卉株， 由题意得： 解得：， 设该公园购买花卉的总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 时，有最小值， 答：该公园购买花卉的最低总费用为元． 53．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知一次函数，． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式组的解集为，求的值； (3)在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，求该三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】化为最简二次根式、由一元一次不等式组的解集求参数、根据两条直线的交点求不等式的解集、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据不等式组的解集求参数，三线合一定理，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （2）把原不等式组变形为，求出不等式组的解集即可求出a、b的值，进而可得答案； （3）假设，过点作，垂足为点，则，再讨论腰长为5和腰长为6，两种情况分别计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：关于的不等式组可化为， 解得：， 关于的不等式组的解集为， 解得：， ； （3）解：如图，， 过点作，垂足为点 ，且， ， 由于和分别为等腰三角形的两边 ①当时，此时， ②当时，此时，． 综上所述，的面积为或． 54．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的不等式组 (1)若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由． (2)若该不等式组有解，求的取值范围． (3)若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围． 【答案】(1)不是该不等式组的解，理由见解析 (2) (3)或 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）求得不等式组的解集即可判断； （2）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可； （3）求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解和为，探讨得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：若，则 解不等式组得， 不是该不等式组的解； （2）解不等式得，， 该不等式组有解， ， ； （3）若该不等式组所有整数解的和为，则整数解为、或、、、、， 或， 解得或． 55．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、不等式组的行程问题 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 56．（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)①，② (2)当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； ②当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ； 故答案为：①，②． （2）解：购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 57．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）根据以下索材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本为万元，售价为万元；型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． (1)若该工厂3月生产了2000部型号手机，则最多生产了多少部型号手机？ (2)若该工厂计划4月一共生产3000部手机，总利润不低于249.9万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 【答案】(1)1250 (2)方案一，型号手机1000部，则生产型号手机2000部；方案二，型号手机1001部，则生产型号手机1999部；方案三，型号手机1002部，则生产型号手机1998部；最高利润为250万元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了有理数的运算，列一元一次不等式组解决实际问题，方案问题，最高利润等内容，解题的关键是找出不等关系列出不等式组． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）设生产型号手机部，则生产型号手机部，根据成本和利润列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解： 2000部型号手机所花费用为（万元）， 则生产型号手机费用最多为（万元）， ∴型号手机最多为， 所以，最多生产了1250部型号手机； （2）解：设生产型号手机部，则生产型号手机部，根据题意得， 解得， 可取1000，1001，1002， ∴由以下三种方案； 方案一，型号手机1000部，则生产型号手机2000部，利润为（万元）； 方案二，型号手机1001部，则生产型号手机1999部，利润为（万元）； 方案三，型号手机1002部，则生产型号手机1998部，利润为（万元）； 所以，共有三种方案，方案一利润最高，最高利润为250万元． 58．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； (2)共有3种租车方案，方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； (3)采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； （3）选择方案1所需总费用为元 选择方案2所需总费用为元 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【考点十】图形的平移的综合应用 59．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 60．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，的坐标 (2) 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标； （2）解：由图可得，的面积． 61．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，三角形中，，，三角形是三角形平移之后得到的图形，并且O的对应点的坐标为．    (1)作出三角形平移之后的图形三角形，并写出、两点的坐标分别为_____； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)4 【知识点】利用网格求三角形面积、已知图形的平移，求点的坐标、由平移方式确定点的坐标、平移(作图) 【分析】本题主要考查作图−−平移变换，能根据平移变换的定义和性质得出变换后的对应点及割补法求面积是解题的关键． （1）先根据，，确定平移方式和距离，即可作图，求出点、坐标； （2）由割补法即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所作：    ∵，， ∴三角形向右平移5个单位，向上平移4个单位即可得到三角形， ∴点，的对应点， 故答案为：； （2）解：三角形的面积为：． 62．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图，将关于x轴对称得到，再将沿着x轴向右平移m个单位得到，且直线交y轴于点D． ①当时，求m的值； ②当点D到直线的距离相等时，求m的值．（请结合备用图，自己作图并求解） 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是 (2)①；②或． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）在中，当时，，当时，，解得，，即可得到答案； （2）①求出点D的坐标是，待定系数法求出直线的解析式为，由题意可知，点的坐标是，得到点的坐标是，则点在直线上，得到，即可求出答案；②分点D在y轴负半轴和点D在y轴正半轴两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，，解得，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是 （2）①∵， ∴点D是的中点， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， 则, 解得， ∴直线的解析式为， 将关于x轴对称得到，再将沿着x轴向右平移m个单位得到， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， ∵直线交y轴于点D． ∴点在直线上， ∴， 解得， ②当点D在y轴负半轴时， 在中，， 如图1，过点D作，设， 在和中， ， ∴ ∴， ∴ 在中，根据勾股定理可得， ， ∴， 解得，， ∵点D在y轴负半轴， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， 则, 解得， ∴直线的解析式为， 由①知点的坐标是， ∴， 解得 当点D在y轴正半轴时，如图2，过点D作于点F， 设，则， 在和中， ， ∴ ∴， ∴ 在中，根据勾股定理可得， ， ∴， 解得，， ∵点D在y轴正半轴， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， 则, 解得， ∴直线的解析式为， 由①知点的坐标是， ∴， 解得 综上可知，m的值为或 63．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为 ； (2)若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标、利用平移的性质求解、坐标系中的平移 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换、点到直线的距离、线段与坐标轴的位置关系．解题思想与方法：数形结合思想，通过分析点的平移规律确定坐标，结合图像观察线段、点的位置关系来求解范围；利用方程思想，根据点在坐标轴上的坐标特征列方程求解t．解题关键：准确理解“t型平移”的定义，明确平移后点的坐标变化规律；结合图像确定线段、点的位置关系，从而得出t的取值范围．易错点：在分析线段与坐标轴的公共点时，容易遗漏线段与x轴仅在时相交的情况；在确定最小值保持不变的t范围时，易忽略结合图像分析的有效运动区间． （1）根据“t型平移”的定义，点进行“t型平移”后得到．对于点，，直接代入计算横坐标，纵坐标，即可得到对应点的坐标． （2）先求出线段进行“t型平移”后、的坐标、．然后分与y轴、x轴有公共点两种情况：与y轴有公共点时，令或的横坐标为0，列方程和，解得和，故；与x轴有公共点时，令或的纵坐标为0，列方程，解得．综合可得t的取值范围． （3）根据“t型平移”得到，结合图像，找到使最小的位置，过该点作与平行的直线．观察图像可知，当在线段上时，的最小值保持不变．分别计算在点和点时的t值，当时，；当时，，从而得出t的取值范围． 【详解】（1）解：将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：当线段进行“t型平移”后与y轴有交点时， 当的横坐标为0时，，则， 当点的横坐标为0时，，则， ∴当时，线段进行“t型平移”后与y轴有交点； 当线段进行“t型平移”后与x轴有交点时， 即点的纵坐标为0，，则， ∴当时，线段进行“t型平移”后与x轴有交点； ∴若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是或； 故答案为：或． （3）解：如图， 当点M在点C时， 结合“t型平移”的定义和方格特点可知，当时，最小， 要使的最小值保持不变，则过点作， 观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为， 当在点时，，解得， 当在点时，，解得， ． 故答案为：． 64．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查点的坐标变化规律及全等三角形的判定与性质，能根据所给旋转方式发现点横纵坐标的变化规律是解题的关键．根据所给旋转方式可知，每旋转四次，点的横坐标增加16，纵坐标循环出现一次，据此可解决问题． 【详解】解：分别连接和，过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得， 第2次旋转后，点的坐标为， 第3次旋转后，点的坐标为， 第4次旋转后，点的坐标为， 点5次旋转后，点的坐标为， ， 根据旋转方式可知，每旋转四次，点的横坐标增加16，纵坐标按2，1，2，3循环出现， 点的坐标为， ， 连续旋转20次后，点的坐标为． 故选：C． 【考点十一】图形的旋转与轴对称综合应用 65．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出A、B、C三点的坐标． (2)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出． (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)13 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键． （1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可； （2）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可； （3）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）解：如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，； （2）解：由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到， 如图，即为所求． （3）解：的面积为：． 66．（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，两条高线和交于点，． (1)你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由； (2)图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)绕点E顺时针旋转得到 （或绕点E逆时针旋转得到） 【知识点】旋转的性质及辨析、三线合一、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】（1）①由题意可得，，由同角的余角相等得，由等腰三角形三线合一的性质可得，则，以此可通过证明；②由等腰三角形三线合一的性质可得，以此可通过证明； （2）根据旋转的定义即可得到结论． 【详解】（1）①，理由如下： ，， ，， ，， ，即， 为等腰三角形，， ， ， ， 在和中， ， ； ②，理由如下： 为等腰三角形，， ，， 在和中， ， ； （2）由（1）知，， ∴绕点顺时针旋转得到或绕点逆时针旋转得到． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是解题关键． 67．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 68．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】(1)图见解析；图见解析 (2) 【知识点】画旋转图形、平移(作图)、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 69．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， ． (1)画出关于原点O对称的图形； (2)图中是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为______． (3)点D在平面内，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【知识点】坐标系中的旋转、由平移方式确定点的坐标、利用平行四边形的性质求解、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了坐标系中的平移与旋转作图，平行四边形的性质，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）将点绕点O旋转至点，再顺次连接即可； （2）设旋转中心为点P，则由旋转的性质可得，而点关于轴对称，则点P在轴上，设，由建立方程求解； （3）作出图形，符合题意的点D有三个，利用平行四边形的性质，结合平移的性质可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：设旋转中心为点P， 则由旋转的性质可得， ∵，， ∴点关于轴对称， ∴点在轴上， 设， ∵， ∴由得，， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，符合题意的有点 当时，则， ∵，，， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点，那么点向右平移1个单位，向上平移2个单位即可得到点， ∴； 同理可得时，；时，， 综上：点的坐标为：或或． 70．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； (2)请画出绕原点逆时针旋转得到的．B点的对应点的坐标为 ． (3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，正确找到对应点位置是解题的关键。 （1）根据点A和点的坐标可知平移方式为向右平移4个单位长度，据此得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）根据旋转中心的特点，是对应点连线的垂直平分线的交点，画出即可； 【详解】（1）解：根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图，    ∴B点平移后对应点的坐标为； 故答案为： （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：根据旋转中心的特点，借助网格画出，如图所示， ∴旋转中心的坐标， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，垂直平分线的定义等知识点，解决此题的关键是能找到旋转中心． 71．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转． (1)如图1，若A、M、N三点共线． ①若，，求． ②若，求点C到直线的距离； (2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】其他问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①先证，然后证得为直角三角形，根据勾股定理即可求得；②延长，过点作垂线，交延长线于点，证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得； （2）设交于点，延长到点，使，连接，先证，再证即可． 【详解】（1）解：①， ， 在与中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ． ②如图，延长，过点作垂线，交延长线于点， 由①可得：,， 为等腰直角三角形， ， 即：， 解得：． （2）解：如图，设交于点，延长到点，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，辅助线的准确添加是解题关键． 72．（22-23八年级下·山东青岛·期中）在正方形网格图中，若每个小正方形的边长是1，与关于点O对称． (1)画出． (2)P在直线上，求的最小值________． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、画已知图形关于某点对称的图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）分别描出A、B、C关于点O的对称点，然后顺次连接即可； （2）连接，交于点，根据轴对称得出，即可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：如图，连接，交于点， ∵点与关于点对称， ， ， 故的最小值是的长为． 73．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ； (3)在y轴上找一点Q，使得最小，并写出Q点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3)点Q即为所求， 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、画两个图形的对称中心 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴的交点即为所求的点Q． 【详解】（1）解：如图所示： ∴即为所求； （2）解：由与关于点P成中心对称，如图所示，则B与E是对称点， ∵，， ∴P点的横坐标为，纵坐标为，即点P的坐标为， 故答案为：； （3）如图所示： ∴点Q即为所求，． 74．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)平移，使得点与点重合，画出平移后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)与成中心对称，点的位置见解析． 【知识点】中心对称图形的识别、画已知图形关于某点对称的图形、平移(作图) 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据中心对称图形的定义判断即可； 本题考查了平移作图，作中心对称图形，掌握平移的性质和中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接，可得三条线相交于同一点， ∴与成中心对称，交点即可对称中心． 75．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移_______个单位长度，再_____； (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为________． 【答案】(1)①见解析；②；向下平移个单位长度 (2)见解析， 【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可； ②根据平移的性质即可求解； （2）根据中心对称的性质，连接，，的交点就是对称中心． 【详解】（1）解：（1）①如图，即为所求； ②由图形得，将平移到的过程可描述为：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 故答案为：；向下平移个单位长度． （2）解：如图，即为所求： 连接，，的交点为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $