7.2.2 复数的乘、除运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

7.2.2　复数的乘、除运算 基础过关练 题组一　复数的乘、除运算 1.(2025浙江杭州期中)在复平面内,复数z=(2-5i)(-1-2i)对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限　　 C.第三象限　　D.第四象限 2.(2025陕西榆林模拟)已知(1+i)z=i2+i,则z-=　(　　) A.2i　　B.-2i　　C.0　　D.1 3.(多选题)(2025浙江杭州第二中学月考)以下复数运算正确的是(　　) A.|z1z2|=|z1|·|z2|　　 B.=(z1,z2均不为0) C.=·　　 D.= 4.(2025辽宁部分重点中学协作体期中)使复数(+i)n为纯虚数的最小自然数n是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.(2025山西临汾期中)已知m∈R,复数z=在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是　　　　.  题组二　in(n∈N)的周期性及其应用 6.(2025河北沧州期中)复数(1+2i)(1-i)10在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限　　 C.第三象限　　D.第四象限 7.(2025山东名校联盟期中)已知复数z=(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则z+z2+…+z2 025=(　　) A.0　　B.-i　　 C.-1　　D.-i-1 8.(2024湖北武汉育才高中月考)计算:+(2-3i)(1+4i)=　　　　.  题组三　复数范围内一元二次方程根的问题 9.(2025安徽淮南第四中学期中)已知z是方程3x2+2x+1=0的一个复数根,则|z|=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.(2025山东济宁模拟)已知1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|=(　　) A.2　　B.3　　C.5　　D. 11.(2025广东深圳宝安中学期中)已知x1,x2是关于x的实系数方程x2-4x+5=0的两个虚根,则=　　　　.  12.(2025福建厦门双十中学期中)已知复数z=+1+i,i为虚数单位. (1)求z的共轭复数; (2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值. 能力提升练 题组一　复数运算的综合应用 1.(2025四川雅安中学开学考试)若=1,n∈N*,则n的取值可以是(　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 2.(2024江苏连云港高级中学月考)复数z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023的虚部为(　　) A.-1 011　　B.-1 012　　C.1 011　　D.1 012 3.(多选题)(2024广东广州期中)下列说法中正确的是(　　) A.若复数z=,则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B.若复数z满足(1+2i)z=2+i,则|z|=1 C.若3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)在复数集内的一个根,则n=26 D.若z∈C,且|z|=1,则|z-3-4i|的最小值为4 4.(2025湖北武汉期中)已知复数ω=-+i,则ω+ω2+ω3+…+ω2 024+ω2 025=　　　　.  题组二　复数范围内方程根的问题 5.(多选题)(2025广东深圳外国语学校期中)已知z1,z2,z3是关于x的方程(x-i)(x2-2x+4)=0的三个互不相等的复数根,则(　　) A.z1可能为纯虚数 B.z1,z2,z3的虚部之积为-3 C.|z1|+|z2|+|z3|=6 D.z1,z2,z3的实部之和为2 6.(多选题)(教材深研拓展)早在古巴比伦时期,人们就会解一元二次方程了.16世纪上半叶,数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到了一个代数基本定理:任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.请借助代数基本定理解决下列问题:设实系数一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)在复数集C内的根为x1,x2,x3,x4,则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2+x3+x4=- B.x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=- C.x1x2x3x4= D.x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4= 7.(2025上海大学附属中学期中)已知关于x的方程x2-3ax-3a=0(a∈R)的两个虚数根分别为x1,x2. (1)求|x1|的取值范围; (2)若|x1-x2|=1,求实数a的值. 8.(2024河南濮阳期中)已知z为虚数,且z3=1. (1)求z的值; (2)求z2 024+z1 012的值. 答案与分层梯度式解析 7.2.2　复数的乘、除运算 基础过关练 1.B 2.A 3.ABC 4.C 6.D 7.B 9.B 10.D 1.B　复数z=(2-5i)(-1-2i)=-2-4i+5i+10i2=-12+i, 其对应的点为(-12,1),位于第二象限. 2.A　由(1+i)z=i2+i=-1+i, 得z====i, 则=-i,故z-=i-(-i)=2i. 3.ABC　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 对于A,z1z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以|z1z2|===,|z1|=,|z2|=,所以|z1z2|=|z1|·|z2|,A正确; 对于B,==== ====,B正确; 对于C,由A可得=(ac-bd)-(ad+bc)i,又·=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以=·,C正确; 对于D,|z1|2=a2+b2,=a2-b2+2abi,两者不一定相等,D不正确. 知识总结 　　1.复数积、商模的性质:|z1z2|=|z1|·|z2|;=(z2≠0). 2.共轭复数积、商的性质:=·;=(z2≠0). 4.C　因为(+i)0=1,(+i)1=+i,(+i)2=2+2i,(+i)3=2(1+i)(+i)=8i,所以使复数(+i)n为纯虚数的最小自然数n是3. 5.答案　 解析　z=== =+i,其在复平面内对应的点为, 由已知得则得0<m<. 6.D　因为(1-i)2=-2i, 所以(1+2i)(1-i)10=(1+2i)(-2i)5=-32i(1+2i)=64-32i,其在复平面内对应的点的坐标为(64,-32),位于第四象限. 7.B　z====-i, 因为z是纯虚数,所以解得a=1,则z=-i, 易得(-i)1=-i,(-i)2=-1,(-i)3=i,(-i)4=1,(-i)5=-i,……, 则当n∈N*时,(-i)4n-3=-i,(-i)4n-2=-1,(-i)4n-1=i,(-i)4n=1, 即当n∈N*时,(-i)4n-3+(-i)4n-2+(-i)4n-1+(-i)4n=0, 故z+z2+…+z2 025=506[-i+(-i)2+(-i)3+(-i)4]+(-i)=-i. 8.答案　14+6i 解析　因为===i,且i4=1, 所以=i2 021=·i=i, 所以+(2-3i)(1+4i)=i+(14+5i)=14+6i. 9.B　因为Δ=4-4×3=-8<0, 所以z和是方程3x2+2x+1=0的两个根, 所以z·=,即|z|2=,所以|z|=. 方法技巧 　　如果实系数一元二次方程x2+ax+b=0有虚根,那么(1)虚根以共轭复数的形式成对出现;(2)根与系数的关系仍然成立. 10.D　将x=1-2i代入x2+ax+b=0,得(1-2i)2+a(1-2i)+b=0, 整理得(a+b-3)-(4+2a)i=0, 则解得 所以|a+bi|===. 一题多解 　　由题知方程x2+ax+b=0的另一个根为1+2i,则解得 所以|a+bi|===. 11.答案　 解析　由x2-4x+5=0,得(x-2)2=-1=(±i)2,则x=2±i, 不妨设x1=2-i,x2=2+i, 则|x1|=|x2|=,x1+x2=2-i+2+i=4, 所以==. 一题多解 　　由题意得x1,x2互为共轭复数,x1+x2=4,x1x2=5,则|x1|=|x2|=,所以==. 12.解析　(1)因为z=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,所以z的共轭复数=2+i. (2)由题意可知z=2-i,=2+i是方程x2+mx+n=0的根, 则即 能力提升练 1.A 2.B 3.BCD 5.ABD 6.AC 1.A　因为=-i,所以(-i)n=1,则n=4k,k∈N*.观察选项可知A正确. 2.B　z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023 =(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2 021+2 022i-2 023-2 024i) ==-1 012-1 012i, 其虚部为-1 012. 3.BCD　对于A,z====+i,则=-i,其在复平面内对应的点为,位于第四象限,A错误. 对于B,z====-i, 所以|z|==1,B正确. 对于C,因为3+2i是方程2x2+mx+n=0的一个复数根,所以方程的另一个复数根为3-2i,则=(3+2i)·(3-2i)=13,解得n=26,C正确. 对于D,由|z|=1得复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆, |z-3-4i|表示圆上的点到点(3,4)的距离,则|z-3-4i|min=-1=4,D正确. 4.答案　0 解析　ω2==-i+i2=--i, ω3==-i2=1, ω4=-+i, …… 故ω+ω2+ω3+…+ω2 024+ω2 025=675(ω+ω2+ω3) =675++1=0. 常用结论 　　在复数相关计算中,熟记一些常用结论能简化运算过程,如=i,=-i,=-i,=1等. 5.ABD　易得(x-i)(x2-2x+4)=0的三个复数根分别为i,1-i,1+i, 当z1=i时,z1为纯虚数,故A正确; 三个根的虚部分别为1,-,,它们的乘积为-3,故B正确; |z1|+|z2|+|z3|=++=5,故C不正确; 三个根的实部分别为0,1,1,它们的和为2,故D正确. 6.AC　由题设知ax4+bx3+cx2+dx+e=a(x-x1)(x-x2)·(x-x3)(x-x4), ∴ax4+bx3+cx2+dx+e=a[x2-(x1+x2)x+x1x2][x2-(x3+x4)x+x3x4], ∴ax4+bx3+cx2+dx+e=a[x4-(x1+x2+x3+x4)x3+(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2-(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x+x1x2x3x4], ∴x1+x2+x3+x4=-,x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=,x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=-,x1x2x3x4=. 7.解析　(1)因为关于x的方程x2-3ax-3a=0(a∈R)的两个虚数根分别为x1,x2, 所以Δ=9a2+12a<0,解得-<a<0, 由根与系数的关系得x1+x2=3a,x1·x2=-3a, 易知复数x1,x2互为共轭复数,即x2=, 故x1·x2=x1·=|x1|2=-3a,则|x1|=, 因为-<a<0,所以0<<2, 所以|x1|的取值范围是(0,2). (2)=||=|-4x1x2|=|9a2+12a|=1, 因为9a2+12a<0,所以9a2+12a=-1, 所以a=-±. 8.解析　(1)因为z3=1,所以z3-1=0,由立方差公式得(z-1)(z2+z+1)=0,又z为虚数,所以z-1≠0, 所以z2+z+1=0,即=-, 所以z+=±i, 所以z=-±i. (2)z2 024+z1 012=(z3)674·z2+(z3)337·z=z2+z, 由(1)知z2+z+1=0,所以z2+z=-1,故z2 024+z1 012=-1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $