8.5 空间直线、平面的平行 （思维导图+8大知识点+15大题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8．5 空间直线、平面的平行 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、平行线的传递性 4 知识点二、等角定理 4 知识点三、直线和平面平行的判定 4 知识点四、两平面平行的判定 4 知识点五、判定平面与平面平行的常用方法 5 知识点六、直线和平面平行的性质 5 知识点七、平面和平面平行的性质 5 知识点八、空间平行关系的注意事项 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：基本事实4的应用 7 题型二：等角定理的应用 8 题型三：直线与平面平行的判断定理的理解 9 题型四：直线与平面平行的判定 10 题型五：补全直线与平面平行的条件 11 题型六：直线与平面平行的性质 14 题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 16 题型八：由线面平行的性质求长度问题 18 题型九：平面与平面平行的判定定理的理解 20 题型十：平面与平面平行的判定 21 题型十一：补全平面与平面平行的条件 23 题型十二：平面与平面平行的性质 26 题型十三：由面面平行证线面平行 28 题型十四：空间平行的转化 30 题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用 32 知识点一、平行线的传递性 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c． 知识点二、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三、直线和平面平行的判定 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． 知识点诠释： （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即； ②直线b在平面内，即； ③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 知识点四、两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． 知识点诠释： （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的． （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行． 知识点五、判定平面与平面平行的常用方法 1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行． 3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 知识点六、直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 知识点诠释： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 知识点七、平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 知识点诠释： （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 知识点八、空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 题型一：基本事实4的应用 【典例1-1】（2026·高一·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【典例1-2】（2026·高一·内蒙古赤峰·月考）连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 【变式1-1】（2026·高一·辽宁沈阳·月考）如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【变式1-2】（2026·高一·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 题型二：等角定理的应用 【典例2-1】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【典例2-2】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项） 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 【变式2-1】已知，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．以上结论都不对 【变式2-2】（2026·四川成都·三模）过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 题型三：直线与平面平行的判断定理的理解 【典例3-1】（2026·河北衡水·三模）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-2】（2026·高三·陕西西安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项） （1）明确判定定理的关键条件． （2）充分考虑各种可能的情况． （3）特殊的情况注意举反例来说明． 【变式3-1】如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式3-2】（2026·高二·湖南湘西·期末）设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·高一·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 题型四：直线与平面平行的判定 【典例4-1】（2026·高一·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【典例4-2】在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项） （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【变式4-1】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【变式4-2】如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【变式4-3】如图所示，P为所在平面外一点，在上求一点E，使平面，并给出证明． 题型五：补全直线与平面平行的条件 【典例5-1】（2026·高一·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【典例5-2】（2026·高二·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法） （1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）． 【变式5-1】（2026·高一·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，点E在棱PC上． (1)若底面ABCD是边长为2的正方形，平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由； (2)若底面ABCD是梯形，且，点E是PC的中点（图2），证明平面PAD； (3)在（1）的条件下是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由； 【变式5-2】（2026·高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【变式5-3】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 题型六：直线与平面平行的性质 【典例6-1】小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面内一点与棱将木料锯开．问题：他应该怎样画线？ 【典例6-2】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项） （1）欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用． （2）性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常利用中位线性质． 【变式6-1】（2026·高三·上海·二轮复习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【变式6-2】（2026·高三·全国·二轮复习）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【变式6-3】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 【典例7-1】（2026·高一·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【典例7-2】（2026·高一·福建莆田·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【变式7-1】（2026·高一·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【变式7-2】如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【变式7-3】（2026·高二·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 题型八：由线面平行的性质求长度问题 【典例8-1】（2026·高一·江苏苏州·月考）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【典例8-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【变式8-1】（2026·高一·福建厦门·月考）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【变式8-2】如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长． 【变式8-3】（2026·高一·吉林通化·月考）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．    (1)求证：平面 (2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积. 题型九：平面与平面平行的判定定理的理解 【典例9-1】在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【典例9-2】（2026·高三·湖南·期中）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 【变式9-1】已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【变式9-2】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式9-3】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 题型十：平面与平面平行的判定 【典例10-1】如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【典例10-2】如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面； 【变式10-1】（2026·高二·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【变式10-2】如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【变式10-3】（2026·高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 题型十一：补全平面与平面平行的条件 【典例11-1】（2026·高一·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【典例11-2】（2026·高一·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【变式11-1】（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式11-2】如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【变式11-3】如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．    题型十二：平面与平面平行的性质 【典例12-1】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【典例12-2】（2026·高一·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项） 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面． 【变式12-1】如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【变式12-2】（2026·高一·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（2026·高二·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 题型十三：由面面平行证线面平行 【典例13-1】（2026·高一·安徽安庆·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 【典例13-2】（2026·高一·安徽合肥·月考）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上的点．且，求： (1)设平面平面，求证：； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【变式13-1】（2026·高一·广西贵港·期中）如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-2】（2026·高一·浙江杭州·月考）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【变式13-3】（2026·高三·全国·一轮复习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 题型十四：空间平行的转化 【典例14-1】如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：    (1)； (2)N为AC的中点． 【典例14-2】（2026·高一·重庆·期末）在长方体中，分别为棱的中点，． (1)过作平面平面交直线于点，求； (2)求四面体的体积． 【变式14-1】（2026·上海嘉定·三模）在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值. 【变式14-2】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用 【典例15-1】（2026·高二·江苏苏州·期中）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 【典例15-2】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值. 【方法技巧与总结】（空间平行关系的注意事项） 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【变式15-1】（2026·高一·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点． (1)求证：； (2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由． 【变式15-2】（2026·高一·安徽·月考）如图，在正方体中，M为棱的中点． （1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由； （2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值． 【变式15-3】（2026·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. (1)已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. (2)若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．5 空间直线、平面的平行 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、平行线的传递性 4 知识点二、等角定理 4 知识点三、直线和平面平行的判定 4 知识点四、两平面平行的判定 4 知识点五、判定平面与平面平行的常用方法 5 知识点六、直线和平面平行的性质 5 知识点七、平面和平面平行的性质 5 知识点八、空间平行关系的注意事项 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：基本事实4的应用 7 题型二：等角定理的应用 10 题型三：直线与平面平行的判断定理的理解 11 题型四：直线与平面平行的判定 14 题型五：补全直线与平面平行的条件 17 题型六：直线与平面平行的性质 23 题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 25 题型八：由线面平行的性质求长度问题 30 题型九：平面与平面平行的判定定理的理解 36 题型十：平面与平面平行的判定 39 题型十一：补全平面与平面平行的条件 43 题型十二：平面与平面平行的性质 47 题型十三：由面面平行证线面平行 55 题型十四：空间平行的转化 59 题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用 63 知识点一、平行线的传递性 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c． 知识点二、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三、直线和平面平行的判定 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． 知识点诠释： （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即； ②直线b在平面内，即； ③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 知识点四、两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． 知识点诠释： （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的． （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行． 知识点五、判定平面与平面平行的常用方法 1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行． 3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 知识点六、直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 知识点诠释： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 知识点七、平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 知识点诠释： （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 知识点八、空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 题型一：基本事实4的应用 【典例1-1】（2026·高一·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【解析】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 【典例1-2】（2026·高一·内蒙古赤峰·月考）连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【解析】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 【变式1-1】（2026·高一·辽宁沈阳·月考）如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由M，N分别是和的重心，则为三角形中线的交点， 若为的中点，连接，则分别在上，， 而，，故. 故选：A 【变式1-2】（2026·高一·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形，且EF与GH必相交，设交点为M， 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，所以点M在平面ACB与平面ACD的交线上. 又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，所以④正确，③错误. 故选：C. 【变式1-3】如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【解析】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 题型二：等角定理的应用 【典例2-1】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 【典例2-2】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【解析】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项） 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 【变式2-1】已知，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．以上结论都不对 【答案】B 【解析】因为，，且，所以或. 故选：B 【变式2-2】（2026·四川成都·三模）过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以作直线，使得与直线，所成的角均为，即过点A在空间作直线l，使得与直线，所成的角均为. 因为，的外角平分线与所成的角相等，均为，所以在平面内有一条满足要求. 因为的角平分线与所成的角相等均为，将角平分线绕点D向上转动到与面垂直的过程中，存在两条直线与直线所成的角都等于. 故符合条件的直线有3条. 故选：C 【变式2-3】两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 【答案】B 【解析】根据等角定理，结合题意进行判断.由题意知，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等， 所以这两个三角形相似. 故选：B. 题型三：直线与平面平行的判断定理的理解 【典例3-1】（2026·河北衡水·三模）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【典例3-2】（2026·高三·陕西西安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【解析】连接交于点，连接，，而分别是的中点， 所以，即，且，即， 则为平行四边形，故， 由平面平面，则平面． 故选：B 【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项） （1）明确判定定理的关键条件． （2）充分考虑各种可能的情况． （3）特殊的情况注意举反例来说明． 【变式3-1】如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【解析】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 【变式3-2】（2026·高二·湖南湘西·期末）设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 【变式3-3】（2026·高一·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【解析】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 题型四：直线与平面平行的判定 【典例4-1】（2026·高一·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【解析】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 【典例4-2】在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【解析】 如图，当时，平面，理由如下： 在长方体中，由，得， 由，得四边形是平行四边形， 则，即，而平面，平面， 因此平面，所以当时，平面. 【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项） （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【变式4-1】在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【解析】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 【变式4-2】如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【解析】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 【变式4-3】如图所示，P为所在平面外一点，在上求一点E，使平面，并给出证明． 【解析】证明：如图所示，在上取一点E，连接、、、，设，连接， 若平面， 平面，且平面平面，． 又为的中点，为的中点． 反之，若E为的中点，为的中点，必有． 平面，平面，平面． 题型五：补全直线与平面平行的条件 【典例5-1】（2026·高一·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【解析】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 【典例5-2】（2026·高二·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【解析】（1）点为的中点．理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． （2）⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴，因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又， 则， 则，又， 则为直角三角形，则. 综上四棱锥的表面积为. 【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法） （1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）． 【变式5-1】（2026·高一·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，点E在棱PC上． (1)若底面ABCD是边长为2的正方形，平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由； (2)若底面ABCD是梯形，且，点E是PC的中点（图2），证明平面PAD； (3)在（1）的条件下是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由； 【解析】（1）点是的中点，理由如下： 连接，交于点，连结，由底面是正方形，得是的中点， 而平面，平面，平面平面， 于是，在中，是的中点， 所以是的中点. （2）取中点，连接，由点E是PC的中点，得， 而，则，四边形是平行四边形， 于是，而平面，平面， 所以平面. （3）由（1）知，为中点，则， 当时，，而底面，， ，因此，解得， 所以存在，使三棱锥体积为. 【变式5-2】（2026·高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【解析】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下： 取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【变式5-3】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【解析】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面. 题型六：直线与平面平行的性质 【典例6-1】小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面内一点与棱将木料锯开．问题：他应该怎样画线？ 【解析】设平面与平面交于直线，因为平面，所以， 所以在中作过的直线与平行． 【典例6-2】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【解析】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项） （1）欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用． （2）性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常利用中位线性质． 【变式6-1】（2026·高三·上海·二轮复习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【解析】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 【变式6-2】（2026·高三·全国·二轮复习）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【解析】由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面， 则. 【变式6-3】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【解析】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 【典例7-1】（2026·高一·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【解析】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 【典例7-2】（2026·高一·福建莆田·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【解析】（1）设线段的中点，连接， 因为， 所以分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）设为线段靠近点的三等分点，连接，设，连接， 因为底面为梯形，所以，所以，即, 因为，所以， 因为又平面，平面， 所以平面， 要使平面，则与重合，故； （3）设线段的中点，连接， 因为为棱的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，如图所示， 则，，，，， 在中，， 所以，则， 所以截面周长为. 【变式7-1】（2026·高一·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【解析】（1）连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点. 【变式7-2】如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【解析】如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 【变式7-3】（2026·高二·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【解析】（1） 证明：取的中点，连接，在三棱柱中， 因为分别为的中点，则，且，为的中点， 则，且，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 证明：分别取的中点，连接， 设，则，且， 则则四点共面， 因为，又平面，平面 则平面，又平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又平面， 则平面，又平面平面， 平面平面，则， 又为的中点，则为的中点. 题型八：由线面平行的性质求长度问题 【典例8-1】（2026·高一·江苏苏州·月考）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【解析】（1）如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 【典例8-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【解析】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【变式8-1】（2026·高一·福建厦门·月考）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【解析】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 【变式8-2】如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长． 【解析】设， 平面，面面， 且面面，面面， ，，同理可得． 四边形是平行四边形， ， ，， 四边形的周长为． 【变式8-3】（2026·高一·吉林通化·月考）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．    (1)求证：平面 (2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积. 【解析】（1）证明：因为截面是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，， 因为平面，且平面平面，所以， 又因为平面，EH在面EFGH内，所以平面. （2）因为分别为的中点，且， 可得且，且， 因为，可得，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为. 题型九：平面与平面平行的判定定理的理解 【典例9-1】在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 【典例9-2】（2026·高三·湖南·期中）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】若，则或异面，故A错误； 若，由线面平行性质定理可知，故B正确； 若，当时，可以相交，故C错误； 若，当时，可以相交，故D错误. 故选：B. 【变式9-1】已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【解析】A：若，，则或，错， B：若，，则平行、异面、相交均可能，错， C：假设，因，则，又，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，对， D：平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，（如：三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧），错. 故选：C 【变式9-2】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接， 因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 【变式9-3】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【解析】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 题型十：平面与平面平行的判定 【典例10-1】如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【解析】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 【典例10-2】如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面； 【解析】由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面. 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. 【变式10-1】（2026·高二·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【解析】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 【变式10-2】如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【解析】（1）∵、分别为、的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 在中，，， 又，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又∵，平面CMN，平面CMN， ∴平面平面PAB． （2）∵平面，平面，平面， 由（1）可知，∴、， ∵，，，， ∴，，， 由（1）可知， 在中，， ∴， 又， 在中，，∴边上的高， ∴， ∴三棱锥的侧面积. 【变式10-3】（2026·高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【解析】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 题型十一：补全平面与平面平行的条件 【典例11-1】（2026·高一·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【解析】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【典例11-2】（2026·高一·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【解析】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 【变式11-1】（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，． 【变式11-2】如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：在上存在一点P，使得平面平面DCF． 【解析】（1）连接DE，由题意知，，， 即四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面． 同理，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，DC，平面， 所以平面平面． （2）如图，取的中点P，连接，，， 由（1）知，又分别是的中点，可得， 因为分别为的中点，所以，则， 又， 平面，平面， 所以平面平面DCF．故结论得证． 【变式11-3】如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．    【解析】能作出满足条件的平面，其作法如下： 如图，连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面． 证明如下：连接交于，连接，则为的中点，又为的中点，则． 因为平面，平面，故平面． 又因为为的中点， 所以，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，从而平面． 又因为，，，所以平面平面． 题型十二：平面与平面平行的性质 【典例12-1】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【解析】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 【典例12-2】（2026·高一·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项） 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面． 【变式12-1】如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【解析】由，则，所在平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，， 同理，， 因此，它们的面积之比为， 又的面积为， 所以的面积为. 【变式12-2】（2026·高一·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 【变式12-3】（2026·高二·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【解析】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 题型十三：由面面平行证线面平行 【典例13-1】（2026·高一·安徽安庆·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 【解析】（1）在梯形中，，又面，面， 面，面，面面，， ，. （2）取中点，连接，， ，分别为，的中点， ，平面，平面， 平面， 取的中点，连接，则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面，，、平面，平面平面， 是上的动点，平面，平面， 当为中点时，平面. 【典例13-2】（2026·高一·安徽合肥·月考）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上的点．且，求： (1)设平面平面，求证：； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【解析】（1），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ； （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足， 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，因为，则， 过作的平行线交于，连接， 在中，有， 平面，平面，平面， 由于，， 又由于，平面，平面，平面， 又，平面， 平面平面，又平面，得平面， 所以存在，且. 【变式13-1】（2026·高一·广西贵港·期中）如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：如图1，连接． 因为分别是线段的中点，所以． 又，所以，所以，所以四点共面． （2）证明：由（1）得． 因为平面，平面，所以平面． （3）如图2，在线段上取一点，使得， 作，交于点，连接． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 因为，，所以， 因为，所以． 故在棱上存在一点，使得平面，且． 【变式13-2】（2026·高一·浙江杭州·月考）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【解析】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 【变式13-3】（2026·高三·全国·一轮复习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【解析】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 题型十四：空间平行的转化 【典例14-1】如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：    (1)； (2)N为AC的中点． 【解析】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以． （2）三棱柱中，，且， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 又M是的中点， 所以， 所以N为AC的中点． 【典例14-2】（2026·高一·重庆·期末）在长方体中，分别为棱的中点，． (1)过作平面平面交直线于点，求； (2)求四面体的体积． 【解析】（1） 如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接并延长交直线于， 过在平面作的平行线，交的延长线于，连接， 由长方体的性质可得，而， 故，故四边形为平行四边形，所以， 因为，故，故 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，又平面， 故平面即为平面，故重合. 因为，故四边形为平行四边形，故. （2）∵为中点，， 而，故. 由（1）知：. 【变式14-1】（2026·上海嘉定·三模）在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值. 【解析】（1）依题意有， 所以三棱锥的体积； （2）如图， 连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 【变式14-2】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 【解析】 如图，延长交的延长线于， 连接交于， 则所在的直线即为平面与平面的交线. 证明：∵平面平面，平面平面， 平面平面， ∴. 又∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴. 题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用 【典例15-1】（2026·高二·江苏苏州·期中）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 【解析】（1）证明：如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； （2）证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 【典例15-2】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值. 【解析】连接交于点，连接，如下图所示： 由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面， ，则为的中点，则， 平面平面，平面平面，平面平面， 所以，， 又因为，所以，四边形为平行四边形， 所以，，因此，. 【方法技巧与总结】（空间平行关系的注意事项） 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【变式15-1】（2026·高一·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点． (1)求证：； (2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由． 【解析】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以. （2）直线与直线相交，理由如下： 连接， 因为分别是棱的中点， 所以，同理可证：， 因为，所以， 所以四点共面， 因为，所以， 所以与不平行，即与相交. 【变式15-2】（2026·高一·安徽·月考）如图，在正方体中，M为棱的中点． （1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由； （2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值． 【解析】（1）作法：如图，连接，在平面内过M作，交于N，则直线即平面与平面的交线l． 理由：因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以．因此，在平面内过M作，而，即，则直线即所求作的交线l． （2）由（1）知在三角形中，，M为棱的中点，所以N为棱的中点． 在正方形中，延长交的延长线于点P（图略），所以B为棱的中点．由于N为棱的中点，所以延长交的延长线于点P， 所以几何体是三棱台． 设正方体的棱长为a，则的面积的面积， 所以三棱台的体积， 另一个几何体的体积， 因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，， 所以，所以． 【变式15-3】（2026·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. (1)已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. (2)若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 【解析】（1）设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积. ①作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因为，所以为棱的中点， 则三棱柱的体积，三棱锥的体积. 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. （2）设，则，从而， 故三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 因为，所以，所以， 所以，解得或或. 因为，所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $