专题01 幂的运算及逆运算的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01幂的运算及逆运算的四种模型 题型归纳 目录 题型一：幂的混合运算 .1 题型二：幂的逆运算求值… 4 题型三：利用幂的乘方比较大小.7 题型四：与幂的运算有关的新定义问题12 题型专练 题型一：幂的混合运算 1.(25-26八年级上湖南衡阳期末)计算：3x)°-7(x）. 2.(25-26八年级上陕西延安月考)计算：aa-2a2)°+(-2a)2. 3.(2026七年级下江苏专题练习)计算： (1)an'-2a2)°+-2a）°； (2)0.1252015×82016 4.(25-26八年级上·天津·月考)计算 (1)a3.a3.a 2la2）: 33a2)° (4a2.a3+(a2）+(2a）2. 5.（24-25七年级下·全国·课后作业)计算： 02a6ac(立0： 3-2xw-3xy）2z 4-2xy2z(-x2y°. 题型二：幂的逆运算求值 1.(25-26七年级下·全国课后作业)已知31×5刊=152x-3,求x的值. 1/5 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下·全国课后作业)简便计算： a-得： (2(-0.25)°×20. 3.(25-26七年级上·上海月考)已知am=7,a”=3,bm=2,求下列各式的值. (1)am+2n (2(ab)2 4.(25-26八年级上河北衡水期末)已知3=4,3=16,3°=8. (1)求32的值； (2)求3a+b的值； (3)直接写出a,b,c之间的数量关系。 5.(25-26八年级上河南周口·月考)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向 运用.请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： 2024 4 ×42024= (2)已知a=2°，b=36,c=73,请比较a,b,C的大小，并用“<”连接起来。 (3)若4“=2,4=3，求430+26-1的值 6.(25-26八年级上四川内江月考)在等式的运算中规定：若a=a(a>0且a≠1，x,y是正整数)，则 x=y,利用上面结论解答下列问题： (1)已知：3×2+×4-1=96，求x的值 (2)已知2+3.3+3=36-2，求x的值 (3)若2×3+2-31=45，求x的值； 题型三：利用幂的乘方比较大小 1.(24-25七年级下·全国·课后作业)阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法.①比较 2,2的大小.当a>b时，2>25，：当底数相同时，指数越大值越大.②比较30和25的大小. :30=(35=925,25=(2)5=825,9>8,30>25.可以将其先化为同指数，再比较大小，：指数相 同时，底数越大值越大，根据上述材料，回答下列问题 (1)比较大小：320930（填写“><”或“=”）. (2)已知a=35,，b=44,c=533,试比较a,b,c的大小. 2.(24-25七年级下陕西西安期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的 情况下，比较指数（或底数）的大小，如：2>2,5>4，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化 成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较27与325的大小，因为270=(3)°=30,30>25，所以 2/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 330>325,即2710>325. (1)比较16,643的大小： (2)比较255,34,433的大小 3.(23-24七年级下山东淄博·月考)阅读下列两则材料，解决问题. 材料一：比较322和41的大小. 解：因为4=(22”=22,3>2， 所以32>22，即332>4 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小. 材料二：比较28和8的大小. 解：因为82=2)=2,8>6， 所以2>2，即2>83. 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小. (1)比较34“，43,52的大小 (2)比较8131,271,91的大小： (3)已知a2=2,b3=3,比较a,b的大小(a,b均为大于1的数). 4.(25-26八年级上·河南南阳·期末)某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流， 请你仔细阅读并完成任务· 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较322和4·的大小时，先转 换4=(22”=22，因为3>2，所以32>2”，即32>4 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较2和8的大小时，先转换 82=2)=2,因为8>6，所以2>26，即28>82. 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习 任务： (1)比较43和52的大小： (2)已知a2=2,b3=3,且a,b均为正数，比较a、b的大小： (3)比较大小：32×510_30×52（填“><”或“=”） 5.(23-24六年级下·山东济南·月考)阅读下面的材料： 材料一：比较32和4的大小. 材料二：比较28和8的大小. 解：因为4=(2=22，且3>2，所以3>22， 解：因为82=(2)=2，且8>6，所以2>2°，即 即322>41。 28>82. 3/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来 确定两个幂的大小 确定两个幂的大小。 解决下列问题： (1)比较34,43,522的大小： (2)比较275,450,826的大小. 6.(24-25七年级下江苏宿迁·期中)【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较2,2的大小：当a>b时，2°>2，所以当同底数时，指数越大，值越大 方法二：比较30和20的大小：因为30=(32)”=920,20=(2)”=8,9>8，所以30>20. 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：2 24,43 27(直接填写“>”或“=”或“<”). (2)已知x=45,y=60,试比较x,y的大小 题型四：与幂的运算有关的新定义问题 1.(23-24八年级上北京朝阳期中)定义一种新运算(a,b),若a°=b,则a,b)=c,例(2,8)=3， （3,81=4.若3,5+(3,7=(3，x,求x的值 2.(23-24七年级上湖南湘西期中)定义一种新运算“⑧”，满足a⑧b=a+b-ab,如： 2⑧3=2+3-2×3=-1. (1)计算：2⑧(-3)=- (2)求(3⑧2)⑧(-2)的值； (3)等式“(a⑧b)⑧c=a⑧(b⑧c”是否成立？请说明理由， 3.(22-23七年级上·辽宁锦州期中)己知x,y为有理数，现规定一种新运算“*”，定义x*y=y+1根据运 算符合的意义完成下列各题. (1)求3*5的值； (2)求(2*4)*0的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数)，分别填入下列口和口中，并比较它们的运算结果，你能发现 什么？口*口和口*口； (4根据以上方法，设a,b,c为有理数，请猜测a*(b+c与a*b+a*c的关系，并用式子把它们表示出来. 4.(24-25八年级上·四川眉山期末)关于任意的正整数x,y定义一种新运算： h(x+y)=h(x)·h(y),请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知h(x)=2,h(y)=3,则h(x+y)= 4/5 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②已知A=号，则2) ,h(3)= (3)已知h(1)=aa≠0)，求h(mh(2025)(其中m为正整数，结果用含a和m的式子表示). a b 5.(25-26八年级上江西赣州·期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义一种新运算： ad-bc. c d (2- 44) b (2)求 (ab+a3a2b-b的值. (同)当a==2时，请求出2)的管： 6.(25-26七年级上·重庆·期末)定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式f(x)和g(x,规定 fx)※gx)=fx)gx+f(x-gx).例如：f(x)=x+l,gx)=x-1时， f(x※gx)=(x+1)(x-1)+(x+1-(x-1=x2-1+2=x2+1 (1)若fx=2x-3,gx=x+2,求f(x※g(x: （Q嗜=r2+m8=+a,当x取任意数时，到※8到=-子恒成立，求的值。 5/5 专题01 幂的运算及逆运算的四种模型 目录 题型一：幂的混合运算 1 题型二：幂的逆运算求值 4 题型三：利用幂的乘方比较大小 7 题型四：与幂的运算有关的新定义问题 12 题型一：幂的混合运算 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，幂的乘方， 先根据幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 2．（25-26八年级上·陕西延安·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则正确计算即可． 【详解】解： ． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及逆用积的乘方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则，并能灵活运用积的乘方逆运算简化计算． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算各项，再合并同类项； （2）先将拆分为，再逆用积的乘方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： （2）解： 4．（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）先根据幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二：幂的逆运算求值 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，将等式两边化为同底数的幂的形式，通过比较指数建立方程求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得： 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)63 (2)196 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． （1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】（1）解： 已知，代入得： ； （2）解： 已知，代入得： ． 4．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)______． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来． (3)若，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)18 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，逆用法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方即可求解； （2）先把a、b化为指数为3的幂，在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，即可比较幂的大小； （3）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方，即可求解． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：1； （2）解：， ∵， ∴， 即； （3）解： ． 6．（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三：利用幂的乘方比较大小 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可； （2）转化为同指数，，，然后比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 3．（23-24七年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， 又， ， 即． 故答案为：． 5．（23-24六年级下·山东济南·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 题型四：与幂的运算有关的新定义问题 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是理解题意；设，，，利用可得，即可求解． 【详解】解：设，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据题干提供的信息列式计算即可； （3）根据题干提供的信息分别求出等式左边和等式右边的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解： ； （3）解：成立；理由如下： 左边 ， 右边 所以左边右边，所以原等式成立． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算． 3．（22-23七年级上·辽宁锦州·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，定义根据运算符合的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和⚪中，并比较它们的运算结果，你能发现什么？□*⚪和⚪*□； (4)根据以上方法，设为有理数，请猜测与的关系，并用式子把它们表示出来． 【答案】(1) (2) (3)相等，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据新运算代入计算，即可求解； （2）根据新运算代入计算，即可求解； （3）先选择和2分别填入下列□和⚪中，再选选择有理数其中，分别填入下列□和⚪中验证，即可求解； （4）根据新运算代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：选择和2分别填入下列□和⚪中， ⚪； ⚪； 选择有理数其中，分别填入下列□和⚪中， ⚪； ⚪； 由此发现□*⚪和⚪*□相等； （4）解：， ， ∴． 【点睛】本题考查了阅读理解能力和知识迁移能力，掌握新运算所给的公式是解题的关键． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 6．（25-26七年级上·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $