专题06 期中真题百练通关（80题7大压轴题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06期中真题百练通关(80题7大压轴题型) 真题实战，百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型1判定辨析与补充条件 题型5四边形有关证明与求值综合题 题型2求值问题 题型6四边形中实战操作、动点与折叠综合题 题型3多结论与多解问题 题型7四边形中与函数关系有关综合题 题型4动点、翻折、旋转与新定义 题型1判定辨析与补充条件（共4小题） 1.(24-25八下·上海奉贤区·期中)四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为() A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 【答案】A 【详解】解：如图所示： 四边形ABCD为矩形， .S.oBC=S.O4D,OC=0B=0A=OD, :过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线， .S.om=S.o-OC.BF=1OB-CH=OD.AE-104-DG 2 2 ·CH=BF=AE=DG, 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A 2.(2425八下·上海延安初级中学期中)己知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四 边中点所得的四边形是(). A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形 【答案】A 【详解】如图，菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 1/111 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 :.EHFGBD,EF=FG=二BD;EFHG‖AC,EF=HG=三AC,故四边形EFGH是平行四边形， 又，AC⊥BD,.EH1EF,∠HEF=90°.边形EFGH是矩形.故选A. D 3.(24-25八下·上海奉贤区上海奉贤世界外国语学校期中下列命题是真命题的是() A,对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意： D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意： 故选：C 4.(24-25八下·上海延安实验初级中学.期中)如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在AC上， 要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (只要填写一种情况)· 【答案】AE=CF(答案不唯一) 【详解】解：还需要增加的一个条件是AE=CF,理由为： 连接BD,交AC于O, D E .:四边形ABCD是平行四边形， 2/111 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0A=0C,0B=0D, AE CF, .0A-AE =OC-CF, .0E=0F, :四边形BFDE是平行四边形， 故答案为：AE=CF. 题型2求值问题（共17小题） 5.(24-25八下·上海青浦区实验中学期中)小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1）， 测得对角线AC=10√2cm,将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长 为() 图1 图2 A.20cm B.10√6cm C.10√3cm D.10√2cm 【答案】C 【详解】解：：正方形ABCD对角线AC=10N2cm, :AB=BC, :AC=AB2+BC2=AB BC-CD-AD=AB-2 C=10cm, 又：菱形ABCD中∠DAB=60°，记AC交BD于点O, ∠BAC=∠D4C=∠DAB=30P,AC1BD于点0，B0=D0, 图2 01=0C=4C，且ABC为等边三角形， :AD AB BD =10cm, .0B=5cm, 3/111 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..OA=OC=AB2-0B2=53cm, AC=10v3cm. 故选：C 6.(24-25八下·上海华东师范大学第二附属中学.期中)如图，己知正方形ABCD的边长为8，点E在对角线 BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为() A.2 B.4 C.8-4√2 D.6√2-8 【答案】C 【详解】：四边形ABCD是正方形， ∠ABD=∠ADB=45°，∠ABC=90°， AB=AD=8, BD=VAB2+AD2=V82+82=82, ∠BAE=22.5°， ∠DAE=67.5°， ∠DEA=180°-67.5°-45°=67.5°， .∠DAE=∠DEA, .AD DE=8, :BE BD-DE =82-8, :EF⊥BC, :△DAE是等腰直角三角形， BE2=EF2+BF2=2EF2, EF=5cE=8-4N2, 2 故选：C 7.(24-25八下·上海中国中学期中)如图，己知菱形ABCD,AB=4,∠BAD=120°，E为BC的中点，P为 对角线BD上一点，则PE+PC的最小值等于() 4/111 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E A.2√2 B.25 C.25 D.8 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD为菱形， A、C关于BD对称， :连AE交BD于P,连接PC、AC, A 刀 则PE+PC=PE+AP=AE, 根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值. :四边形ABCD为菱形， .AD∥BC,AB=BC, ∠BAD+∠ABC=180°， :∠BAD=120°， .∠ABC=60°， △ABC为等边三角形， 又：BE=CE, ·AE⊥BC, AE=V42-22=2√5. 故选：B 8.(24-25八下·上海骏博外国语学校期中)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3, E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是() 5/111 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A.7 B.9 C.10 D.11 【答案】D 【详解】解：BD⊥CD,BD=4,CD=3, BC=VBD2+CD2=V42+32=5 :E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， EH=FG=ADBF=GH=号Bc :四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC, 又：AD=6, :.四边形EFGH的周长=6+5=11. 故选D 9.(24-25八下·上海存志学校期中)在ABC中，点A的坐标为0,1)、点B的坐标为(4，，点C的坐标为 (4,3),要使以点A、B、D为顶点的三角形与ABC全等(C与D不重合)，则点D的坐标为 【答案】(4，-1) 【详解】解：：以点A、B、D为顶点的三角形与ABC全等(C与D不重合)， :ABC与△ABD关于直线AB成轴对称， .C与D关于直线AB成轴对称， 由题意可得直线AB为y=1, :C的坐标为4,3) .D的坐标为(4，-1)， 6/111 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：(4，-1) 10.(23-24八下·上海松江区·期中)0.如图，己知口ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O的线段EF与 AD、BC分别交于点E、F,如果AD=4,AB=5,四边形EFCD的周长为12.则OE=· 【答案1 【详解】解：：四边形ABCD平行四边形， .AB=CD=5,AD=BC=4,A0=OC,ADI BC, ∠0AD=∠OCF, 在△A0E和△OCF中， ∠OAD=∠OCF ∠AOE=∠COF, AO=CO ∴△OAE≌△OCF(AAS), :.OF=OE,CF=AE, :四边形EFCD的周长 =ED+CD+CF+0F+0E =ED+AE+CD+0E+0F =AD+CD+0E+0F=12, 4+5+20E=12, 0E=3 1 故答案为： 11.(23-24八下.上海普陀区·期中)1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD+BC=AB,点P是CD的 中点，如果AD=a,BC=b,且b>a,边AB上存在一点Q,使PO所在直线将四边形ABCD的面积分成相 等的两部分，那么AQ的长为· 7/111 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】b 【详解】解：如图所示，在AB上截取AE=AD,连接DE,PE,CE,BP,PQ, A D E B :在四边形ABCD中，AD∥BC,AD+BC=AB, .∠DAB+∠ABC=180°，BE=AB-AE=BA-AD=a+b-a=b=BC, AD=AE,BE=BC, ∠1ED-1s80-∠B4D,∠B8C=ls0-1BC .∠DEC=180°-∠AED-∠BEC=90 :P是DC的中点， .PE=PD=PC, 在△AEP,△ADP中， AD=AE PE=PD AP=AP .△AEP≌△ADP(SSS, S.AEP =S.ADP 在△PBE,△PBC中， 8/111 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PE=PC BE=BC PB=PC △PBE≌△PBC(SSS), .SAPBE SAPBC 设S4Ep=SADP=S1，SPBE=SPBC=S2, 则四边形ABCD的面积为2(S,+S,) :PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分， :SI边形BPc0=S1+S,=SPBc+S,PBe=S,+SPB0 .S.PBO =S1=S.4EP .BO=AE=a .AO=AB-BO=a+b-a=b, 故答案为：b. 12.(23-24八下·上海普陀区期中)2.“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成， 寓意是同心吉祥，如图，如果将边长为1厘米的正方形ABCD沿对角线BD向右平移三厘米得到正方形 2 A'B'CD',形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 厘米 【答案】6 【详解】解：：正方形ABCD的边长为1厘米， :BD=√2厘米，∠ADB=45°. 由平移可知BB=DD=5厘米，∠AB'D=45°， 2 BD=BD-BB'=5厘米，∠BED=90°，B'E=DE. 2 B'E2+DE2=B'D2, 9/111 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BE=DE=厘米， 2 AE=A'E=1-'-1 22厘米 同理可求CF=CF=)厘米 “方胜”图案的周长为AB+BC+A'D'+CD'+AE+A'E+CF+C'F=6厘米. 故答案为：6. 13.(24-25八下·上海存志学校·期中)3.如图矩形纸片ABCD,M为AD中点，将纸片沿着直线CM剪成两 部分，这两部分纸片重新拼成RtEBC,如果RtaEBC为等腰直角三角形，矩形ABCD的长宽恰好是 x2-(m-1x+m+1=0的两个实数根，则矩形纸片ABCD的面积是 E A B 【答案】8 【详解】解：：矩形纸片ABCD,M为AD中点，将纸片沿着直线CM剪成两部分，这两部分纸片重新拼成 RtaEBC, .AM DM,AB=CD=AE, :Rt△EBC为等腰直角三角形， .BE BC, .BC=2AB, :矩形ABCD的长宽恰好是x2-m-1)x+m+1=0的两个实数根， .BC+AB m -1,BC.AB =m +1, 3AB=m-1,2AB2=m+1, 2AB2-3AB=2, 解得AB=2或4B=)(负值舍去)， BC=4, :.矩形纸片ABCD的面积是2×4=8， 10/111 专题06 期中真题百练通关（80题7大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 判定辨析与补充条件 题型5 四边形有关证明与求值综合题 题型2 求值问题 题型6 四边形中实践操作、动点与折叠综合题 题型3 多结论与多解问题 题型7 四边形中与函数关系有关综合题 题型4 动点、翻折、旋转与新定义 题型1 判定辨析与补充条件（共4小题） 1．(24-25八下·上海奉贤区·期中)四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2．(24-25八下·上海延安初级中学·期中)已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 3．(24-25八下·上海奉贤区上海奉贤世界外国语学校·期中)下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．(24-25八下·上海延安实验初级中学·期中)如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是________（只要填写一种情况）． 题型2 求值问题（共17小题） 5．(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．(24-25八下·上海中国中学·期中)如图，已知菱形，，，为的中点，为对角线上一点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D．8 8．(24-25八下·上海骏博外国语学校·期中)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（      ）    A．7 B．9 C．10 D．11 9．(24-25八下·上海存志学校·期中)在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为______________． 10．(23-24八下·上海松江区·期中)0．如图，已知的对角线交于点，过点的线段与分别交于点，如果，四边形的周长为12．则______． 11．(23-24八下·上海普陀区·期中)1．如图，在四边形中，，点P是的中点，如果，且，边上存在一点Q，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，那么的长为________． 12．(23-24八下·上海普陀区·期中)2．“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为________厘米． 13．(24-25八下·上海存志学校·期中)3．如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是_____________． 14．(24-25八下·上海西初级中学·期中)4．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为__________． 15．(24-25八下·上海育才初级中学·期中)在中，与相交于点O，若，，．则的面积为______． 16．(24-25八下·上海育才初级中学·期中)如图，的对角线相交于点O，，则_______． 17．(24-25八下·上海宝山实验学校·期中)如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． 18．(24-25八下·上海宝山区淞谊实验学校·期中)如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为___． 19．(24-25八下·上海奉贤区上海奉贤世界外国语学校·期中)同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为__________． 20．(24-25八下·上海奉贤区上海奉贤世界外国语学校·期中)如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 21．(24-25八下·上海骏博外国语学校·期中)如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是__________． 题型3 多结论与多解问题（共7小题） 22．(23-24八下·上海金山区·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是(   )    ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF; A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．(24-25八下·上海西初级中学·期中)如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 24．(24-25八下·上海长宁区·期中)如图，ABCD中，对角线，相交于O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 25．(24-25八下·上海科技大学附属学校制·期中)如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 26．(24-25八下·上海梅陇中学·期中)如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．(24-25八下·上海娄山中学·期中)如图，正方形的边长为4，点E为上一点，，点P为正方形边上一点，且，则的长等于______． 28．(24-25八下·上海育才初级中学·期中)四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 题型4 动点、翻折、旋转与新定义（共16小题） 29．(23-24八下·上海青浦区·期中)如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为________    30．(22-23八下·上海延安初级中学·期中)如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形．已知平行四边形是等距四边形，，那么它的面积等于___________． 31．(22-23八下·上海延安初级中学·期中)如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为___________．    32．(22-23八下·上海普陀区·期中)如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长________．    33．(24-25八下·上海金山区·期中)如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为________． 34．(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)如图，菱形的边长为，，连接，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，连接，那么的面积是______．    35．(24-25八下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 36．(24-25八下·上海中国中学·期中)已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为________． 37．(24-25八下·上海奉贤区上海奉贤世界外国语学校·期中)当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为______． 38．(24-25八下·上海奉贤区上海奉贤世界外国语学校·期中)如图，在中，，，，P为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为E、F，M为的中点，设的长为x，则x的取值范围是__________． 39．(24-25八下·上海骏博外国语学校·期中)如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________． 40．(23-24八下·上海金山区·期中)当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“双等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中，，那么凸四边形ABCD的面积为________． 41．(23-24八下·上海徐汇区部分学校·期中)对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________． 42．(24-25八下·上海华育中学·期中)如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 43．(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 44．(24-25八下·上海梅陇中学·期中)如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是______． 题型5 四边形有关证明与求值综合题（共16小题） 45．(22-23八下·上海普陀区·期中)如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 46．(22-23八下·上海杨浦区复旦大学第二附属学校·期中)如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F． （1）求证：CD=AF； （2）若BC=2CD，求证：∠F=∠BCF    47．(23-24八下·上海杨浦区·期中)如图，E、F是对角线上两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 48．(23-24八下·上海奉贤区·期中)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接GC、CF． (1)求证：AE∥CF； (2)当AC＝2AB时，求证：四边形EGCF是矩形． 49．(24-25八下·上海金山区·期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 50．(24-25八下·上海中国中学·期中)如图，在中，为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，为延长上的任一点，联结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当为边的中点，且时，求证：四边形为矩形． 51．(24-25八下·上海梅陇中学·期中)如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 52．(24-25八下·上海奉贤区·期中)如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 53．(24-25八下·上海娄山中学·期中)在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 54．(24-25八下·上海延安实验初级中学·期中)如图，已知在平行四边形中，点，分别是，的中点，，与对角线分别相交于点，，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 55．(24-25八下·上海宝山区淞谊实验学校·期中)如图，已知菱形中，，点E、F分别在边、上，且，联结． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，求周长的最小值． 56．(24-25八下·上海科技大学附属学校制·期中)如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 57．(22-23八下·上海延安初级中学·期中)如图，点E在菱形的边上（点E不与点B、点C重合），联结交对角线于点F，联结．    (1)求证：； (2)当，时， ①如果，求的长； ②如果是直角三角形，求的长． 58．(24-25八下·上海育才初级中学·期中)如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 59．(24-25八下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 60．(24-25八下·上海延安初级中学·期中)如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 题型6 四边形中实践操作、动点与折叠问题（共6小题） 61．(24-25八下·上海延安初级中学·期中)我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 62．(24-25八下·上海宝山区淞谊实验学校·期中)在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 63．(24-25八下·上海金山区·期中)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 64．(23-24八下·上海普陀区·期中)小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 65．(24-25八下·上海建平中学西校·期中)点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 66．(24-25八下·上海西初级中学·期中)如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 题型7 四边形中与函数关系有关综合题（共8小题） 67．(23-24八下·上海青浦区·期中)如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）； (3)当是等腰三角形时，求的长． 68．(22-23八下·上海普陀区·期中)8．如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．    (1)求证：； (2)连接、，当时，求出此时的度数； (3)如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式． 69．(23-24八下·上海浦东新区部分学校·期中)如图，在正方形中，，点E是边上的任意一点（不与C、D重合），将沿翻折至，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)连接，若，求的长． 70．(24-25八下·上海三林中学北校·期中)0．如图，在平面直角坐标系中，，，，．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．    (1)设面积为S，求S与t之间的函数关系式； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； (3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 71．(23-24八下·上海奉贤区·期中)1．已知：如图，在矩形中，，点E在的延长线上，且，连接，取的中点F，连接． (1)求证：； (2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 72．(23-24八下·上海宝山区罗南中学（五四制）·期中)已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=∠B=60°． (1)求证：AE=AF； (2)如果AB=8，设BE=x，AE=y，求y与x的函数关系式和定义域； (3)在（2）的基础上，当x取何值时，与面积比值为7． 73．(24-25八下·上海华育中学·期中)3．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合）， ，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 74．(23-24八下·上海徐汇区部分学校·期中)4．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 　 　．（请将答案直接填写在空格内） 75．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 76．如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 77．仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 78．我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 79．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 80．如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $