专题03 导数全章14大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期沪教版

专题03 导数（期中复习专项训练） 题型一．平均变化率 题型二．瞬时变化率 题型三．变化率的极限与导数的概念（重点） 题型四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（重点） 题型五．导数与切线的斜率 题型六．基本初等函数的导数（重点） 题型七．简单复合函数的导数 题型八．利用导数研究函数的单调性（重点） 题型九．利用导数求解函数的单调性和单调区间 题型十．由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型十一．函数在某点取得极值的条件 题型十二．利用导数求解函数的极值 题型十三．利用导数求解函数的最值 题型十四．由函数的最值求解函数或参数（导数法） 题型十五．利用导数求解曲线在某点上的切线方程 题型一．平均变化率（共3小题） 1．（24-25高二下•上海嘉定期中）函数在区间，上的平均变化率是 　 　 ． 【答案】3． 【分析】利用平均变化率的意义即可得出． 【解答】解：函数在区间，上的平均变化率为：． 故答案为：3． 2．（23-24高二下•上海•闵行期中）函数在区间，上的平均变化率为 　 　． 【答案】1． 【分析】根据题意，利用平均变化率计算即可． 【解答】解：根据题意，函数， 则其在区间，上的平均变化率为． 故答案为：1． 3．（2023春•普陀期中）函数，其中，函数在区间，△上的平均变化率为，在△，上的平均变化率为，则与的大小关系是 　 　． 【答案】． 【分析】根据平均变化率公式求出与，再比较大小即可． 【解答】解：依题意， ， 所以△，而△，所以． 故答案为：． 题型二．瞬时变化率（共3小题） 4．（24-25高二下•上海徐汇期中）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可． 【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△， 所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△． 故选：． 5．（24-25高二下•上海上海期中）已知某容器的高度为，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度（单位：与时间（单位：的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 　 　 ． 【答案】8． 【分析】根据瞬时变化率定义求导代入计算可得，即可求出结果． 【解答】解：因为容器内液体的高度（单位：与时间（单位：的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 易知，依题意可得， 所以或（舍， 因此时，液体上升高度的瞬时变化率为． 故答案为：8． 6．（24-25高二下•上海静安期中）某质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为 　 　 ． 【答案】7． 【分析】先对函数求导，然后把代入导函数中即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 则质点在时的瞬时速度为． 故答案为：7． 题型三．变化率的极限与导数的概念（共5小题） 7．（24-25高二下•上海闵行期中）某水管的流水量（单位：与时间（单位：满足函数关系式，则（3）的实际意义是（　　） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】 【分析】根据导数的几何意义即可求解． 【解答】解：根据题意，表示时刻水管流水量的瞬时变化率， 所以（3）表示3秒时水管流水量的瞬时变化率． 故选：． 8．（23-24高二下•上海黄浦期中）若为常数），则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据极限的运算和导数的定义即可得解． 【解答】解：， ． 故选：． 9．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知函数，则　 　． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：（2）， ， 则， 故（2）． 故答案为：． 10．（23-24高二下•浦东新期中）若（2），则 　 　 ． 【答案】3． 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：（2）， 则（2）． 故答案为：3． 11．（23-24高二下•上海•浦东新期中）设函数在处存在导数为3，则　 　． 【答案】3． 【分析】直接根据导数的定义求解即可． 【解答】解：因为函数在处存在导数为3， 所以（1）， 所以（1）． 故答案为：3． 题型四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共4小题） 12．（24-25高二下•上海上海期中）若函数在处可导，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得． 【解答】解：在处可导，且， 则，解得． 故选：． 13．（24-25高二下•上海宝山期中）如果函数在处的导数为1，那么（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】 【分析】利用导数的定义求解． 【解答】解：因为函数在处的导数为1， 可得（1）， 所以（1）． 故选：． 14．（24-25高二下•上海杨浦期中）设函数在点处可导，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】 【分析】由已知结合导数的定义即可求解． 【解答】解：因为函数在点处可导，且， 则． 故选：． 15．（24-25高二下•上海金山期中）函数，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】结合函数的求导公式及定义即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 则 （2）． 故答案为：． 题型五．导数与切线的斜率（共4小题） 16．（24-25高二下•上海杨浦期中）若函数满足，则曲线在点，（2）处切线的斜率为 ． 【答案】． 【分析】根据导数的定义和几何意义即可求解． 【解答】解：根据导数的定义可知（2）， 所以（2）， 根据导数的几何意义可知曲线在，（2）处的切线的斜率为． 故答案为：． 17．（24-25高二下•上海浦东新期中）曲线在处的切线斜率为 　 　 ． 【答案】2． 【分析】求导，然后分别计算在处的函数值和导数值，最后可得结果． 【解答】解：，则， 所以． 故答案为：2． 18．（24-25高二下•上海浦东新期中）如图所示，已知直线是曲线在点处的切线，则 　 　 ． 【答案】1． 【分析】先求出直线的斜率，再利用导数的几何意义求解． 【解答】解：由图象可知，直线过点，， 所以直线的斜率， 由导数的几何意义可得，． 故答案为：1． 19．（24-25高二下•上海浦东新期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：与跳起后的时间（单位：存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快， 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 【答案】①③． 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可． 【解答】解：因为，所以， ①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为0，故①正确； ②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； ③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③． 故答案为：①③． 题型六．基本初等函数的导数（共5小题） 20．（24-25高二下•上海普陀期中）下列求导运算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解． 【解答】解：，对； ，错； ，对； ，对． 故选：． 21．（23-24高二下•上海•浦东新期中）已知函数，则（2）　 　． 【答案】9． 【分析】求出函数导数计算即可． 【解答】解：因为， 所以，（2）． 故答案为：9． 22．（24-25高二下•上海徐汇期中）设函数，其中，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案． 【解答】解：因为， 所以由求导公式可得，， 令得，． 故答案为：． 23．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数的驻点为 　 　 ． 【答案】0． 【分析】根据驻点的定义直接求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 由，得， 所以函数的驻点为0． 故答案为：0． 24．（24-25高二下•上海黄浦期中）若函数的导函数为，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】求导，得到，再代入求出答案． 【解答】解：根据题意，函数， 其导数， 所以． 故答案为：． 题型七．简单复合函数的导数（共4小题） 25．（24-25高二下•上海上海期中）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得． 【解答】解：对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 故选：． 26．（24-25高二下•上海上海期中）已知函数，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】利用复合函数求导法则求出导数，代入求值即可． 【解答】解：， 所以． 故答案为：． 27．（24-25高二下•上海长宁期中）设函数，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】求导，再令即可得解． 【解答】解：由题意可知，， 所以． 故答案为：． 28．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数与满足（1），（1），（1），（1）．对于下列函数，求（1）和（1）． （1）； （2）． 【答案】（1）（1），（1）； （1）（1），（1）； 【分析】（1）令直接求解（1），求导得到，令可求出（1）； （2）令直接求解（1），求导得到，令可求出（1）． 【解答】解：（1）令得，（1）（1）（1）， 对两边求导得，， 令得，（1）（1）（1）； （2）令得，（1）， 对两边求导得， ， 令得，（1）． 题型八．利用导数研究函数的单调性（共5小题） 29．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据给定的图象可得1是函数的极小值点，求出值，再解不等式． 【解答】解：函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点， 则（1），解得， 当时，；当时，， 则是函数的极小值点， ，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为． 故选：． 30．（24-25高二下•上海青浦期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案． 【解答】解：根据图象可知在，上单调递减，在，，，上单调递增， 那么当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 因为函数是定义在上的奇函数， 因此函数在，上单调递减，在，上单调递增， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为，，． 故选：． 31．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数，其中正确结论的是（　　） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可． 【解答】解：因为， 所以， 对于，当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，故错误； 对于，当，时，因为，所以是上的增函数，故错误； 对于，当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故错误； 对于，当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在，单调递增， 当时，，即，此时函数在单调递减， 因此当时，函数有最小值，故正确． 故选：． 32．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论． 【解答】对于，由图可知，曲线在点处的切线斜率等于零，故错误； 对于，由图可知，当时，，故在上单调递减，故错误； 对于，函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故错误； 对于，函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故正确． 故选：． 33．（24-25高二下•上海金山期中）已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有1个零点，求证：； （3）若在上恒成立，求正整数的最大值． 【答案】（1）的单调增区间为，减区间为； （2）证明见解析； （3）3． 【分析】（1）求导函数，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可得证； （3）分离参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值． 【解答】解：（1）因为，， 所以当时，，， 则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为； （2）证明：由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又（1），所以当时，（1）， 所以函数在区间上没有零点，不合题意； 当时，令，得， 若，则，故在，上是单调增函数， 若，则，故在上是单调减函数， 当时，（1）， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意， 综上，的取值范围是，得证； （3）由在上恒成立，即， 由，则对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又（3），（4）， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以，又，即， 所以， 所以，又，， 所以的最大值为3． 题型九．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共3小题） 34．（24-25高二下•上海宝山期中）与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】令，对其求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值的大小． 【解答】解：令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以， 所以， 所以． 故选：． 35．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知实数，满足，且，若实数，使得关于的方程在区间，上有解，则的最小值是 　 　 ． 【答案】． 【分析】由题意，可得，，，构建函数，，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，结合单调性得到，以，为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，可得，构建函数，对函数进行求导，利用导数求最值即可求出答案． 【解答】解：因为， 所以，，， 因为， 整理得， 设，函数定义域为， 可得， 所以在内单调递减， 因为， 所以且，， 则， 此时， 即， 以，为变量，为直线上的点到原点的距离的平方， 因为原点到直线的距离， 可得， 设， 可得， 所以在，上单调递增， 则， 即的最小值为． 故答案为：． 36．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知函数，则函数的单调减区间是　 　 ． 【答案】． 【分析】求导得到函数定义域为，令解得答案． 【解答】解：的定义域为，， 令，解得， 所以函数的单调减区间是． 故答案为：． 题型十．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共3小题） 37．（24-25高二下•上海静安期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案． 【解答】解：由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故的最小值为． 故答案为：． 38．（24-25高二下•上海上海期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题． 【解答】解：由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即恒成立， 令， 可得在上单调递增， 则， ． 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 39．（24-25高二下•上海闵行期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的 　 　 条件．（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充分不必要． 【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例． 【解答】解：在函数在区间上可导的条件下，由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性， 反之：例举，此时，满足“对任意的成立”，但是此时 不是严格增函数，故非必要性， 所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 题型十一．函数在某点取得极值的条件（共3小题） 40．（24-25高二下•上海金山期中）设函数，则“”是“没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】当时，利用导数判断函数的极值点，判断充分性；由没有极值点求解的值，判断必要性，从而可得结论． 【解答】解：当时，，恒成立， 所以函数单调递增，没有极值点； 若没有极值点，则恒成立， 由二次函数的性质可得，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件． 故选：． 41．（24-25高二下•上海长宁期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数在区间内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点，处的切线斜率小于零 D．函数在区间上是严格减函数 【答案】 【分析】根据导函数的图象，可判断原函数的单调性，进而可逐一求解． 【解答】解：对于，由的图象可知，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，故错误； 对于，在的左右两侧，故不是极值点，故故错误； 对于，由，可知在点，处的切线斜率等于零，错误； 对于，在恒成立，故在区间上是严格减函数，故正确． 故选：． 42．（24-25高二下•上海闵行期中）已知函数的定义域为，则下列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（　　） A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 【答案】 【分析】结合极大值的定义，举例说明判断． 【解答】解：对于，函数的图象如图①所示， 显然函数满足条件，而是的极大值点，故错误； 对于，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值大于（1），如图②所示， 因此函数在处取不到极大值，正确； 对于，函数，，函数在上为严格增函数，在上为严格减函数， 是的极大值点，错误； 对于，函数的图象如图③所示， 函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，是的极大值点，错误． 故选：． 题型十二．利用导数求解函数的极值（共3小题） 43．（24-25高二下•上海上海期中）已知函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可． 【解答】解：因为函数， 所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：． 故答案为：． 44．（24-25高二下•上海浦东新期中）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】求导并计算得出分析可知，存在，对任意的恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出结果． 【解答】解：由题意，得，则， 因为在处取得极小值，所以， 且存在，使得当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增，且函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 则问题等价于：对任意的恒成立， 令，则， 若对任意的恒成立，则，解得， 此时函数在上单调递增，当时，，合乎题意； 若对任意的恒成立，则，解得， 此时函数在上单调递减，当时，，不合乎题意； 当时，因为函数在上单调递增， 且，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，函数在单调递减，， 从而可知，函数在上单调递减，不合乎题意． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 45．（24-25高二下•上海黄浦期中）已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1）； （2）极大值，极小值0． 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可得切线斜率，求出切点坐标，再由点斜式方程即可得出答案； （2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可． 【解答】解：（1），则 因为曲线在处的切线的斜率为（2）， 又因为（2），即切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）因为， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以的极大值为，的极小值为（1）． 题型十三．利用导数求解函数的最值（共3小题） 46．（24-25高二下•上海浦东新期中）函数，，的最小值是 　 　 ． 【答案】． 【分析】求导结合导函数求解即可． 【解答】解：因为，令，即，解得． 在上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减． 当时，；时，，时，． 因为，得出最小值为． 综上，，，的最小值是． 故答案为：． 47．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知，若函数在只有一个零点，则实数的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】设由题意得在只有一个零点，由题意可知，求导得从而可求得在单调递减，在 单调递增，则，分类讨论即可求出答案． 【解答】解：已知函数在上只有一个零点，则在该区间内只有一个解． 令，则原问题转化为函数与函数在上只有一个交点．对求导， 可得．当时，，函数单调递减；当时，， 函数单调递增．因此，是函数的极小值点，也是最小值点， 且．为了使函数与函数只有一个交点， 的值必须等于的最小值，即． 故答案为：． 48．（24-25高二下•上海宝山期中）已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）证明方程有且仅有一正一负根； （3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），． 【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值； （2）问题转换成单调性结合零点存在性定理即可得答案； （3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案； 【解答】解：（1）已知函数．，， 当，，单调递减， 当，，单调递增， （1）； （2）证明：方程可化简为， 方程的根就是函数的零点， 由解析式易知在，上单调递增， 因为，， 因此函数在有唯一零点，且， 因为，（1）， 因此函数在有唯一零点，因此有且仅有一正一负根， （3）设， 则当时恒成立， ， ①由（1）得，， 当时，， ，，单调递减， ，，单调递增， （1）．因此； ②当时，（1），这与矛盾， 综上所述，实数的取值范围，． 题型十四．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共3小题） 49．（24-25高二下•上海嘉定期中）函数在上有最大值，则实数的取值范围为（　　） A．， B．， C． D． 【答案】 【分析】因为给的是开区间，且给的函数只有一个极大值点，所以最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，然后让极大值点落在区间内，依此构造不等式． 【解答】解：由题意得， 所以， 当或时，； 当时，，故是函数的极大值点， 所以由题意应有， 解得． ，． 故选：． 50．（23-24高二下•上海•静安期中）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是（　　） A．， B． C．， D． 【答案】 【分析】由题意，求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数的取值范围． 【解答】解：由题意，， 令，解得或，令，解得， 故在，上是减函数，在上是增函数， 作其图象如右图， 所以当时，取得最大值为（2）， 令，解得，或， 则结合图象可知， ， 解得，，． 故选：． 51．（24-25高二下•上海奉贤期中）若函数在区间内有最大值，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：， ， 令，解得：或， 令，解得：， 在递增，在递减，在，递增， 故函数的极大值是， 故在开区间内的最大值是， 又（1）， 故且，故的取值范围是，， 故答案为：，． 题型十五．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共3小题） 52．（24-25高二下•上海宝山期中）函数在处的切线方程为 　 　 ． 【答案】． 【分析】先求出，，再利用导数的意义求出切线的斜率，由点斜式得到直线方程即可． 【解答】解：因为，所以， 所以，， 所以在处的切线方程为，即． 故答案为：． 53．（24-25高二下•上海上海期中）曲线在处的切线方程为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：因为，所以， 所以（1），（1）， 所以所求切线方程为，即． 故答案为：． 54．（24-25高二下•上海静安期中）函数在点，（1）处的切线方程为　 　 ． 【分析】求出原函数的导函数，得到（1）的值，求出（1）的值，然后直接由点斜式得切线方程． 【解答】解：， ， （1） （1）， 点，（1）即为． 函数在点，（1）处切线方程为． 即． 故答案为：． 题型十六．不等式恒成立的问题（共3小题） 55．（24-25高二下•上海闵行期中）已知函数，为常数）． （1）函数的图象在点，（1）处的切线与函数的图象相切，求实数的值； （2）若，，、，使得成立，求满足上述条件的最大整数； （3）当时，若对于区间，内的任意两个不相等的实数，，都有成立，求的取值范围． 【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点，（1）处的切线方程，再有直线与曲线的相切关系，联立方程组求出的值； （2）根据题意求满足条件的最大整数，转化为求的最值解决，即只要使得即可； （3）先利用导数法判断与的增减性，把等价转化为，等价于成立，再构造函数，即等价于 在区间，上是增函数，利用导数与函数单调性的关系，结合不等式恒成立的条件，求得的取值范围． 【解答】解：（1），，（1）， 函数的图象在点，（1）处的切线方程为，（2分） 直线与函数的图象相切，由消去得， 则△，解得或（4分） （2）当时，， ，（5分） 当，时，，在，上单调递减， （1），（2）， （7分） 则， ，故满足条件的最大整数是． （9分） （3）不妨设， 函数在区间，上是增函数， ， 函数图象的对称轴为，且， 函数在区间，上是减函数， ，（10分） 等价于， 即，（11分） 等价于 在区间，上是增函数， 等价于在区间，上恒成立，（12分） 等价于在区间，上恒成立， ，又， ．（14分） 56．（23-24高二下•上海•闵行期中）利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立． 设是在点处的切线． （1）求的解析式； （2）求证：； （3）设，，若对，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），． 【分析】（1）求得，，可求切线方程； （2），求导可得，可证结论； （3），结合（1）可得，分和两种情况讨论可求的取值范围． 【解答】解：（1）由，得，则，， 故在点处的切线方程为， 即，即的解析式为； （2）证明：令， 满足且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 故； （3）的定义域是，且， ①当时，由（2）得，则， 故在，上单调递增，则恒成立，符合题意， ②当时，令，，，的导数， 则在区间，上单调递增， 因为，所以存在，使得， 则在区间上单调递减，在区间，上单调递增， 故， 此时不可能恒成立，不符合题意， 综上所述，的取值范围是，． 57．（24-25高二下•上海青浦期中）已知、，设函数的表达式为． （1）设，，求函数在点处的切线方程； （2）设，，集合，，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数．求证：． 【答案】（1）； （2），； （3）证明见详解． 【分析】（1）利用导数求斜率，由点斜式方程可得； （2）问题转化为，利用导数研究的单调性求最值，根据的单调性列不等式求解可得； （3）将问题转化为，令，利用二项式定理将和展开，利用组合数性质，结合基本不等式证明，然后放缩可证． 【解答】解：（1）当，时，，求导得， 所以切线斜率，由点斜式方程得， 整理得切线方程为． （2）由题知， 要使对上的任意两个变量，，均有成立，只需． 因为在，上为严格增函数， 所以（1），且在，上恒成立． 易知单调递减，所以只需（1），故， 由且，可得， 所以在，单调递减，所以（1），故，即． 综上，，即的取值范围是，． （3）证明：由题知，则， 令，因为，，所以，所以， 由二项式定理得， 又， 所以， 又， 且，当且仅当时等号成立， 所以， 同理，且均在时等号成立， 所以， 综上，，即． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数（期中复习专项训练） 题型一．平均变化率 题型二．瞬时变化率 题型三．变化率的极限与导数的概念（重点） 题型四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（重点） 题型五．导数与切线的斜率 题型六．基本初等函数的导数（重点） 题型七．简单复合函数的导数 题型八．利用导数研究函数的单调性（重点） 题型九．利用导数求解函数的单调性和单调区间 题型十．由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型十一．函数在某点取得极值的条件 题型十二．利用导数求解函数的极值 题型十三．利用导数求解函数的最值 题型十四．由函数的最值求解函数或参数（导数法） 题型十五．利用导数求解曲线在某点上的切线方程 题型一．平均变化率（共3小题） 1．（24-25高二下•上海嘉定期中）函数在区间，上的平均变化率是 　 　 ． 2．（23-24高二下•上海•闵行期中）函数在区间，上的平均变化率为 　 　． 3．（2023春•普陀期中）函数，其中，函数在区间，△上的平均变化率为，在△，上的平均变化率为，则与的大小关系是 　 　． 题型二．瞬时变化率（共3小题） 4．（24-25高二下•上海徐汇期中）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下•上海期中）已知某容器的高度为，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度（单位：与时间（单位：的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 　 　 ． 6．（24-25高二下•上海静安期中）某质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为 　 　 ． 题型三．变化率的极限与导数的概念（共5小题） 7．（24-25高二下•上海闵行期中）某水管的流水量（单位：与时间（单位：满足函数关系式，则（3）的实际意义是（　　） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 8．（23-24高二下•上海黄浦期中）若为常数），则（　　） A． B．1 C． D． 9．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知函数，则　 　． 10．（23-24高二下•浦东新期中）若（2），则 　 　 ． 11．（23-24高二下•上海•浦东新期中）设函数在处存在导数为3，则　 　． 题型四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共4小题） 12．（24-25高二下•上海期中）若函数在处可导，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 13．（24-25高二下•上海宝山期中）如果函数在处的导数为1，那么（　　） A． B．1 C．2 D． 14．（24-25高二下•上海杨浦期中）设函数在点处可导，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．0 D． 15．（24-25高二下•上海金山期中）函数，则 　 　 ． 题型五．导数与切线的斜率（共4小题） 16．（24-25高二下•上海杨浦期中）若函数满足，则曲线在点，（2）处切线的斜率为 ． 17．（24-25高二下•上海浦东新期中）曲线在处的切线斜率为 　 　 ． 18．（24-25高二下•上海浦东新期中）如图所示，已知直线是曲线在点处的切线，则 　 　 ． 19．（24-25高二下•上海浦东新期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：与跳起后的时间（单位：存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快， 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 题型六．基本初等函数的导数（共5小题） 20．（24-25高二下•上海普陀期中）下列求导运算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 21．（23-24高二下•上海•浦东新期中）已知函数，则（2）　 　． 22．（24-25高二下•上海徐汇期中）设函数，其中，则 　 　 ． 23．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数的驻点为 　 　 ． 24．（24-25高二下•上海黄浦期中）若函数的导函数为，则 　 　 ． 题型七．简单复合函数的导数（共4小题） 25．（24-25高二下•上海上海期中）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25高二下•上海上海期中）已知函数，则 　 　 ． 27．（24-25高二下•上海长宁期中）设函数，则 　 　 ． 28．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数与满足（1），（1），（1），（1）．对于下列函数，求（1）和（1）． （1）； （2）． 题型八．利用导数研究函数的单调性（共5小题） 29．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 30．（24-25高二下•上海青浦期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 31．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知函数，其中正确结论的是（　　） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 32．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 33．（24-25高二下•上海金山期中）已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上有1个零点，求证：； （3）若在上恒成立，求正整数的最大值． 题型九．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共3小题） 34．（24-25高二下•上海宝山期中）与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 35．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知实数，满足，且，若实数，使得关于的方程在区间，上有解，则的最小值是 　 　 ． 36．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知函数，则函数的单调减区间是　 　 ． 题型十．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共3小题） 37．（24-25高二下•上海静安期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 　 　． 38．（24-25高二下•上海期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　 　 ． 39．（24-25高二下•上海闵行期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的 　 　 条件．（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 题型十一．函数在某点取得极值的条件（共3小题） 40．（24-25高二下•上海金山期中）设函数，则“”是“没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 41．（24-25高二下•上海长宁期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．函数在区间内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点，处的切线斜率小于零 D．函数在区间上是严格减函数 42．（24-25高二下•上海闵行期中）已知函数的定义域为，则下列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（　　） A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 题型十二．利用导数求解函数的极值（共3小题） 43．（24-25高二下•上海期中）已知函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围为 　 　． 44．（24-25高二下•上海浦东新期中）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是　 　 ． 45．（24-25高二下•上海黄浦期中）已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 题型十三．利用导数求解函数的最值（共3小题） 46．（24-25高二下•上海浦东新期中）函数，，的最小值是 　 　 ． 47．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知，若函数在只有一个零点，则实数的值为　 　 ． 48．（24-25高二下•上海宝山期中）已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）证明方程有且仅有一正一负根； （3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型十四．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共3小题） 49．（24-25高二下•上海嘉定期中）函数在上有最大值，则实数的取值范围为（　　） A．， B．， C． D． 50．（23-24高二下•静安期中）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是（　　） A．， B． C．， D． 51．（24-25高二下•上海奉贤期中）若函数在区间内有最大值，则实数的取值范围是　 　． 题型十五．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共3小题） 52．（24-25高二下•上海宝山期中）函数在处的切线方程为 　 　 ． 53．（24-25高二下•上海期中）曲线在处的切线方程为 　 　 ． 54．（24-25高二下•上海静安期中）函数在点，（1）处的切线方程为　 　 ． 题型十六．不等式恒成立的问题（共3小题） 55．（24-25高二下•上海闵行期中）已知函数，为常数）． （1）函数的图象在点，（1）处的切线与函数的图象相切，求实数的值； （2）若，，、，使得成立，求满足上述条件的最大整数； （3）当时，若对于区间，内的任意两个不相等的实数，，都有成立，求的取值范围． 56．（23-24高二下•上海•闵行期中）利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立． 设是在点处的切线． （1）求的解析式； （2）求证：； （3）设，，若对，恒成立，求的取值范围． 57．（24-25高二下•上海青浦期中）已知、，设函数的表达式为． （1）设，，求函数在点处的切线方程； （2）设，，集合，，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数．求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $