专题03平行四边形期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期数学

专题03平行四边形期中复习讲义 期中复习◆重点 平行四边形核心：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分.会用性质求边长、角度、周长、面积，理解平行四边形是中心对称图形； 5种判定方法：抓对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分,规范书写证明过程，步骤完整，逻辑严谨； 常考题型：性质与判定结合互推、与坐标系、折叠、动点结合，会用方程思想，分类讨论解题； 易错点：误将单组对边平行判定为平行四边形、混淆对角线性质、特殊平行四边形判定条件记混。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形的性质求线段长 题型2利用平行四边形的性质求角度 题型3利用平行四边形的性质求周长 题型4利用平行四边形性质求面积 题型5利用平行四边形的性质证明 题型6添加条件判断是平行四边形 题型7平行四边形的性质与判定的综合应用 题型8平行四边形与平面直角坐标系的综合问题 题型9平行四边形与折叠问题 题型10平行四边与动点问题 题型11平行四边形与最值问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行四边形定义 1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作：▱ABCD 知识点02平行四边形的性质 1.边：两组对边分别平行且相等AB∥CD、AD∥BC；AB=CD、AD=BC； 2.角：两组对角相等，邻角互补.∠ A=∠C、∠B=∠D；邻角和为180°； 3.对角线：互相平分（OA=OC、OB=OD，分四个等面积小三角形； 4.对称性：中心对称图形（对称中心为对角线交点），非轴对称图形（特殊除外） 知识点03平行四边形的判定 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB CD或AD  BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角相等的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC，∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线相互平分的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点04期中高频考点 1.性质与判定综合证明：结合三角形、线段垂直平分线考查；正向判定平行四边形→用性质推导，反向用性质证判定条件；规范几何语言，步骤完整。 2.结合勾股定理的计算：求边长、对角线、面积；找准底与对应高，结合平行四边形性质和勾股定理计算，避免粗心。 3.坐标系中的相关计算：利用对角线互相平分性质和中点坐标公式，求未知顶点坐标或判定平行四边形。 4.折叠问题：结合轴对称性质，利用折叠前后对应边、角相等，搭配平行四边形性质、勾股定理，求线段长、角度或重叠面积。 5.判定辨析：熟记5种判定方法，规避陷阱（如“一组对边平行另一组相等”“仅一组对角相等”不能判定）。 知识点05易错点提醒 1.“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（反例：等腰梯形） 2.对角线相等、垂直不是平行四边形的性质（矩形、菱形专属） 3.面积计算需注意底与高对应，不可乱乘 4.审题区分“四边形”与“平行四边形”，避免误用性质 知识点06拓展题型 1.含动点的平行四边形判定（如：坐标系中，动点运动形成平行四边形，求动点坐标） 2.平行四边形与三角形全等/相似结合（利用性质证全等，求线段长度、角度） 3.平行四边形面积与周长的最值问题（结合边长约束，求面积、周长最大值/最小值） 4.多平行四边形嵌套问题（多个平行四边形相连，利用性质推导线段、角度关系） 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，在中，的平分线交的延长线于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知的周长为，两条对角线相交于点，的周长比的周长多，则的长度是___________cm． 3．如图，在中，对角线交于点．若，求的长． 题型2利用平行四边形的性质求角度 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，则的度数是__________． 3．如图，在中，，的平分线交于点E，连接．若，求的度数． 题型3利用平行四边形的性质求周长 1．如图，的对角线相交于点，且，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．11 2．已知平行四边形相邻两边的长度比是，若较长的边长为，则这个平行四边形的周长是___________． 3．如图，在平行四边形中，平分交于点，，，求平行四边形的周长． 题型4利用平行四边形性质求面积 1．如图，在中，、相交于点O，，若，，则的面积为（   ） A．16 B．20 C．24 D．32 2．如图，是内部的任意一点，连接．若的面积为，的面积为，且，则的面积是_____． 3．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求平行四边形的面积． 题型5利用平行四边形的性质证明 1．如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 3．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：． 题型6添加条件判断是平行四边形 1．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 3．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 题型7平行四边形的性质与判定的综合应用 1．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 3．如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 题型8平行四边形与平面直角坐标系的综合问题 1．如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若以、为邻边作，则点的坐标为___________． 3．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 题型9平行四边形与折叠问题 1．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 3．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，点B的对应点恰好落在的延长线上，与边交于点E，此时恰为等边三角形． (1)求证：是等边三角形； (2)求对折后重叠部分的面积． 题型10平行四边与动点问题 1．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 2．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 3．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型11平行四边形与最值问题 1．如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 3．（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________； （2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值； （3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 2．在中，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 4．已知四边形，从下列条件中：①，②，③，④，任取两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 二、填空题 7．已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 8．一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是_____． 9．一组对边相等，一组对角相等的四边形______（填“一定”或“不一定”）是平行四边形． 10．如图，已知中，平分，，若，的周长为__________． 11．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则______． 12．如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是__________．理由是______________． 三、解答题 13．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 14．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，，求的长． 15．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 16．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 18．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形期中复习讲义 期中复习◆重点 平行四边形核心：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分.会用性质求边长、角度、周长、面积，理解平行四边形是中心对称图形； 5种判定方法：抓对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分,规范书写证明过程，步骤完整，逻辑严谨； 常考题型：性质与判定结合互推、与坐标系、折叠、动点结合，会用方程思想，分类讨论解题； 易错点：误将单组对边平行判定为平行四边形、混淆对角线性质、特殊平行四边形判定条件记混。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形的性质求线段长 题型2利用平行四边形的性质求角度 题型3利用平行四边形的性质求周长 题型4利用平行四边形性质求面积 题型5利用平行四边形的性质证明 题型6添加条件判断是平行四边形 题型7平行四边形的性质与判定的综合应用 题型8平行四边形与平面直角坐标系的综合问题 题型9平行四边形与折叠问题 题型10平行四边与动点问题 题型11平行四边形与最值问题 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行四边形定义 1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作：▱ABCD 知识点02平行四边形的性质 1.边：两组对边分别平行且相等AB∥CD、AD∥BC；AB=CD、AD=BC； 2.角：两组对角相等，邻角互补.∠ A=∠C、∠B=∠D；邻角和为180°； 3.对角线：互相平分（OA=OC、OB=OD，分四个等面积小三角形； 4.对称性：中心对称图形（对称中心为对角线交点），非轴对称图形（特殊除外） 知识点03平行四边形的判定 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB CD或AD  BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角相等的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC，∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线相互平分的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点04期中高频考点 1.性质与判定综合证明：结合三角形、线段垂直平分线考查；正向判定平行四边形→用性质推导，反向用性质证判定条件；规范几何语言，步骤完整。 2.结合勾股定理的计算：求边长、对角线、面积；找准底与对应高，结合平行四边形性质和勾股定理计算，避免粗心。 3.坐标系中的相关计算：利用对角线互相平分性质和中点坐标公式，求未知顶点坐标或判定平行四边形。 4.折叠问题：结合轴对称性质，利用折叠前后对应边、角相等，搭配平行四边形性质、勾股定理，求线段长、角度或重叠面积。 5.判定辨析：熟记5种判定方法，规避陷阱（如“一组对边平行另一组相等”“仅一组对角相等”不能判定）。 知识点05易错点提醒 1.“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（反例：等腰梯形） 2.对角线相等、垂直不是平行四边形的性质（矩形、菱形专属） 3.面积计算需注意底与高对应，不可乱乘 4.审题区分“四边形”与“平行四边形”，避免误用性质 知识点06拓展题型 1.含动点的平行四边形判定（如：坐标系中，动点运动形成平行四边形，求动点坐标） 2.平行四边形与三角形全等/相似结合（利用性质证全等，求线段长度、角度） 3.平行四边形面积与周长的最值问题（结合边长约束，求面积、周长最大值/最小值） 4.多平行四边形嵌套问题（多个平行四边形相连，利用性质推导线段、角度关系） 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，在中，的平分线交的延长线于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，设，相交于点, 在中，，，，， ，， 平分， ， ， , ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 2．已知的周长为，两条对角线相交于点，的周长比的周长多，则的长度是___________cm． 【答案】5 【分析】由平行四边形的周长可求得的长，再根据平行四边形的性质及的周长比的周长多，可得的值，进而求得的长． 【详解】解：如图：∵的周长为， ∴，， ∵的周长比的周长多， ∴，即， ∴， 解得：， ∴． 3．如图，在中，对角线交于点．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先结合平行四边形的性质得，，再运用勾股定理列式计算得，故． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴． ∴的长为． 题型2利用平行四边形的性质求角度 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合已知角度关系即可求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ 即 解得 ∴ 2．在平行四边形中，，则的度数是__________． 【答案】115度/ 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，可得，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，的平分线交于点E，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】由平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到；然后由角平分线的性质求得；最后根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． 题型3利用平行四边形的性质求周长 1．如图，的对角线相交于点，且，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【分析】直接利用平行四边形的性质得出，再求出，得出，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ， ， 即 的周长为：． 2．已知平行四边形相邻两边的长度比是，若较长的边长为，则这个平行四边形的周长是___________． 【答案】60 【分析】根据题意先求出较短边的长度，再利用平行四边形周长公式计算周长即可． 【详解】解：∵平行四边形相邻两边的长度比是，且较长的边长为， ∴较短的边长为， ∴这个平行四边形的周长是． 3．如图，在平行四边形中，平分交于点，，，求平行四边形的周长． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出，进而得出求出即可． 【详解】解：∵平行四边形中，平分交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长． 题型4利用平行四边形性质求面积 1．如图，在中，、相交于点O，，若，，则的面积为（   ） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【分析】根据平行四边形的面积等于底乘以高，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴的面积为． 2．如图，是内部的任意一点，连接．若的面积为，的面积为，且，则的面积是_____． 【答案】30 【分析】先根据平行四边形的性质可得，设的边上的高为，的边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，再根据可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 设的边上的高为，的边上的高为， ，， ， ， ，即， 则的面积是． 3．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）对顶角相等得到，证明，再根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）在中，勾股定理求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平行四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 题型5利用平行四边形的性质证明 1．如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及，可得，根据平行线的性质和等边对等角可得，即可判断①，延长，交的延长线于M，证明，可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，以及三角形的面积和即可判断③，设，则，根据角度关系的计算即可求得． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确， 延长，交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故③错误 ④设，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故结论④正确 综上可知，一定成立的是①②④ 2．如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，同理得：，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴． 故答案为：2． 3．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，证明出，得，即可证出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6添加条件判断是平行四边形 1．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 2．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【详解】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 3．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 题型7平行四边形的性质与判定的综合应用 1．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵点在上， ∴， 故选：D． 2．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【答案】 【分析】证明，，推出，再证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 3．如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型8平行四边形与平面直角坐标系的综合问题 1．如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵的顶点B、C、D的坐标分别是，，， ∴，， ∴． ， ∵点O、点B在x轴上， ∴点A与点D的纵坐标相等，都为3， ∴顶点A的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若以、为邻边作，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，，线段可以看作由线段平移得到的线段，根据、点的坐标确定平移方式，再由点，根据平移方式得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴线段可以看作由线段平移得到的线段， ∵， ∴线段向右平移一个单位，向上平移三个单位得到线段， ∵， ∴，即． 3．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解，再由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）先画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 题型9平行四边形与折叠问题 1．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 2．如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】这是一个几何折叠问题，涉及到三角形的折叠、平行线性质以及直角三角形的相关知识．根据折叠可知 ，进而可得，结合可得四边形 为平行四边形，由此得出，再证明得出，由此即可求解． 【详解】解∶如图，延长 、 交于点 ，延长 交于点 ， 将 沿 折叠至 ，则； 是 的垂直平分线 ∴ 又∵ ，即 ∴， 又∵， ∴四边形 为平行四边形，， ∴ ， ∵，由折叠可知：， ∴， ∴ ∵ ， ∴． 3．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，点B的对应点恰好落在的延长线上，与边交于点E，此时恰为等边三角形． (1)求证：是等边三角形； (2)求对折后重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形角所对的边等于斜边的一半． （1）首先根据等边三角形的性质可得，，故可得出，由此得出，根据翻折变换的性质得出，据此可得出结论； （2）根据折叠的性质，，再利用平行四边形的性质证明，，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半可得长，进而可得的长，利用三角函数值计算出，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得答案． 【详解】（1） 证明：为等边三角形， ，， ， ， 由翻折而成， ， 是等边三角形； （2） 解：根据折叠的性质，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 题型10平行四边与动点问题 1．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 2．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①由勾股定理计算即可得出结果；②由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，结合， 为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）先求出当为矩形时，，再分两种情况：当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点；当时，与重叠部分图形为梯形；分别计算即可得出结果； （3）由（2）可得，，，，，分两种情况：当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作；，与交于点，为中点，过点作；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴； ②∵在中，，， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，当为矩形时，则，， ， 由题意可得：，， ∵， ∴、均为直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当为矩形时，， 如图，当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 如图，当时，与重叠部分图形为梯形， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 综上所述，； （3）解：由（2）可得，，，，， 当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，过点P且平行于的直线经过一边中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，见解析 【分析】（1）如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 题型11平行四边形与最值问题 1．如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 2．如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 【答案】60 【分析】作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，从而求出，证明四边形为平行四边形，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，如图所示： 根据轴对称可得：，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵的最小值是10， ∴此时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 3．（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________； （2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值； （3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值． 【答案】（1）14；（2）的最小值为；（3）的最小值为． 【分析】本题考查了平移的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，利用平移的性质构造平行四边形是解题的关键． （1）利用折叠的性质求得，据此求解即可； （2）平移至，连接、，利用平移的性质证出四边形是平行四边形，推出，，结合得到，再利用勾股定理求出的长，最后利用两点之间线段最短即可求出的最小值； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，，平移至，连接、，同（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵沿将折叠，点恰好落在边上的处， ∴，∴， 故答案为：14； （2）如图，平移至，连接、， 由平移的性质可得，，， 四边形是平行四边形， ，， 又 ， ， ， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，， ∵， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 平移至，连接、， 则四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 根据等腰三角形的性质，有理数的乘方运算及平行四边形的性质、角平分线的性质逐项分析． 【详解】解：A、同个三角形中，等边所对的角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、若，则，故正确，是真命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，是假命题，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； 故选C． 2．在中，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，计算求解即可． 【详解】∵在中，， ∴， ∵平行四边形邻角互补，与是邻角， ∴， ∴． 故选：B． 3．两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 【答案】A 【分析】两个全等平行四边形对称中心重合，重叠部分为中心对称图形，中心对称多边形的边数必为偶数，据此可判断出不可能的形状. 【详解】解：∵两个全等平行四边形对角线交点重合，即对称中心重合， ∴重叠部分关于该交点中心对称， ∵中心对称多边形的边数一定为偶数，三角形边数为奇数，不可能是中心对称图形， ∴重叠部分的形状不可能是三角形. 4．已知四边形，从下列条件中：①，②，③，④，任取两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一列举所有选取两个条件的组合，判断能否推出四边形是平行四边形，统计符合结论的数量即可． 【详解】从4个条件中任取2个，共有如下6种组合：①②，①③，①④，②③，②④，③④， ∵ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，条件①，②满足该判定，∴ 组合①②可推出四边形是平行四边形； ∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，条件③，④满足该判定，∴ 组合③④可推出四边形是平行四边形； 组合①③，①④，②③，②④均不满足平行四边形的判定条件，无法推出四边形是平行四边形， ∴符合结论的情况共2种，故选B． 5．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 6．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定条件分析即可； 【详解】， ， ， 当时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形； 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形． 二、填空题 7．已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 8．一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是_____． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查了非负数的性质和平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 由条件可知，绝对值和平方根均为非负数，因此两者均等于零，得出和，即四边形两组对边分别相等，从而判定为平行四边形． 【详解】∵且，且它们的和为零， ∴和， 即和 因此四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 9．一组对边相等，一组对角相等的四边形______（填“一定”或“不一定”）是平行四边形． 【答案】不一定 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 在平行四边形的边上取一点，连接，使，将绕点顺时针旋转至与重合，则四边形中，，，但四边形不是平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，，，但不是平行四边形． 故答案为：不一定． 10．如图，已知中，平分，，若，的周长为__________． 【答案】 【分析】欲求平行四边形的周长则需求出的值；根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形两锐角互余可得，结合，可得，从而根据等角对等边得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 11．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则______． 【答案】/3厘米 【分析】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是__________．理由是______________． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，再判断四边形是平行四边形的依据． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得:， 四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是根据尺规作图得到两组对边分别相等，进而判定出四边形为平行四边形． 三、解答题 13．如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，周长的计算，结合题意得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理得到，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长，的周长， ∴，即， ∴； （2）解：，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 14．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）已知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，所以．再由平分，可得，所以，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）先判定为直角三角形，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ 四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，∠F=60°， ∴△ABF为等边三角形， ∵，， ∴，， 在中，设，则， ∴． ∴． ∴． 15．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 16．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 17．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． （3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关键． 18．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $