精品解析：2026年湖南省湘潭市初中学业水平考试模拟试数学卷

2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学 本试卷共6页，24个小题．时量120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 如图，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同类项 B. 六边形的内角和与它的外角和相等 C. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 一元二次方程有两个相等的实数根 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，若点满足，，则称点是点、的“关联点”．下列说法错误的是（ ） A. 已知点，，则点、的“关联点”的坐标为 B. 已知点，，则点、的“关联点”一定在轴上 C. 已知点，，则点、的“关联点”在第三象限 D. 已知点，，点在函数图像上，点为点、的“关联点”，则点的纵坐标不可能是 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 12. “十五五”期间，国家拟通过新建、改扩建的方式，大幅增加普通高中的学位供给，以缓解升学压力和适应人口结构变化．湖南省今年明确了具体目标：将新增优质普通高中公办学位80000个．其中80000用科学记数法表示为_____________． 13. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______． 14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____________． 15. 如图，点是直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．则_____________． 16. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 三、解答题：本大题8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 20. 幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸．如图1，、为垂直于地面的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形为矩形，长3米，长米，点距地面的距离为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，连杆上一点到地面的距离为米，求此时点到立柱的距离的长． （2）若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度不能小于米，同时高度不能低于米．当道闸打开至时，该小轿车能否安全通过该道闸？请说明理由．（参考数据：，，） 21. 某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 （1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ （2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 22. 生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析： 【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 A B C D 七年级 2 5 4 4 八年级 1 6 【分析数据】 两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 87 92.13 八年级 86 87 79.73 【问题解决】根据以上信息解决下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数； （3）该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数． （4）根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）． 23. 综合探究 （1）【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． （2）【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． （3）【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 24. 已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； （3）如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学 本试卷共6页，24个小题．时量120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可． 【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误； B、主视图为三角形，故本选项错误； C、主视图为长方形，故本选项正确； D、主视图为圆，故本选项错误． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项规则，根据整式运算法则逐一验证选项即可判断正误. 【详解】解： ==，A错误； =，B正确； ≠，C错误； ∵ 与不是同类项，不能合并，∴ ，D错误. 4. 为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频数与频率的关系，解题思路是利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数=总数×频率”先求出第4小组的频数，再计算第5小组的频数． 【详解】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为， ∴ 第4小组的频数为 ， ∵ 前3个小组的频数分别为，，， ∴ 前4个小组的频数和为 ， ∴ 第5个小组的频数为 ． 5. 如图，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵ ∴． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同类项 B. 六边形的内角和与它的外角和相等 C. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 一元二次方程有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项定义、多边形内角和与外角和、平行四边形对称性、 一元二次方程根的判别式，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A：∵与是相同字母次数不同，∴不是同类项， A错误； B：∵六边形内角和为，任意多边形外角和为，，∴B错误； C：∵平行四边形只是中心对称图形不是轴对称图形，∴C错误； D：对于一元二次方程可得，，， ∵，∴方程有两个相等的实数根，D正确． 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行可得，，最后代入计算即可． 【详解】解：光线平行， ， 水面和玻璃底部平行， ， ， ∴． 8. 如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， A．添加条件，可根据证明，故不符合题意； B．添加条件，可根据证明，故不符合题意； C．添加条件，可根据证明，故不符合题意； D．添加条件，不能判定，故符合题意， 故选：D． 9. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 10. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，若点满足，，则称点是点、的“关联点”．下列说法错误的是（ ） A. 已知点，，则点、的“关联点”的坐标为 B. 已知点，，则点、的“关联点”一定在轴上 C. 已知点，，则点、的“关联点”在第三象限 D. 已知点，，点在函数图像上，点为点、的“关联点”，则点的纵坐标不可能是 【答案】C 【解析】 【分析】根据“关联点”的定义，计算各选项中关联点的坐标特征，再判断对应说法的正误，找出错误选项； 【详解】解：由题意，对和，关联点满足，，逐一判断： A：，，，，，，即，A说法正确； B：，，，，，点纵坐标为，一定在轴上，B说法正确； C：，，，，，，，第三象限点的纵坐标小于，因此点不可能在第三象限，C说法错误； D：点在上，，，，因此不可能是，D说法正确． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：分式 有意义，则分母 ， 解得 ． 故答案为 ． 12. “十五五”期间，国家拟通过新建、改扩建的方式，大幅增加普通高中的学位供给，以缓解升学压力和适应人口结构变化．湖南省今年明确了具体目标：将新增优质普通高中公办学位80000个．其中80000用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，当原数的绝对值大于等于时，是正整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，确定表示形式中和的值即可解答． 【详解】解：科学记数法表示为． 13. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】用白球个数除以白球与黄球数量之和即可． 【详解】解：， 即摸到白球的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键．概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】解∶将代入原方程得∶， 解得 ． 15. 如图，点是直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据作图方法可得，，再根据正弦的定义求解． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴， ∴． 16. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平分圆心角，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 三、解答题：本大题8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，再进行加减运算． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，可得化简的结果，再把代入化简后的代数式即可． 【详解】解： 当时，原式 19. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ， 又， ， ， ， 又， ， 又∵是半径， 是的切线. （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论； （2）连接，由直径所对的圆周角为得出，，由勾股定理求出，再利用面积法求高即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， 又， 在中，，， 由勾股定理得， ， ． 20. 幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸．如图1，、为垂直于地面的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形为矩形，长3米，长米，点距地面的距离为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，连杆上一点到地面的距离为米，求此时点到立柱的距离的长． （2）若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度不能小于米，同时高度不能低于米．当道闸打开至时，该小轿车能否安全通过该道闸？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）到立柱的距离的长为2米 （2） 该小轿车能安全通过该道闸．理由 当米时，（米）， ， ， 在中，（米）， 米， 答：该小轿车能安全通过该道闸． 【解析】 【分析】过作于并延长交于点G，得出（米），根据，得出，即可得（米），从而求出（米）； （2）当米时，（米），根据，得出，在中，解直角三角形求出，再求出，与米比较大小即可解答． 【小问1详解】 解：过作于并延长交于点G， 则四边形是矩形， ∴（米），（米）， ， ， 在中，（米）， （米）， 答：到立柱的距离的长为2米； 【小问2详解】 略 21. 某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 （1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ （2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙种型号的机器人买6台 （2）购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 【解析】 【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据总费用和总分拣量列方程组即可； （2）根据台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8700件，列出不等式，求得m的取值范围，设所花总费用元，则，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：设该公司购买甲种型号的机器人台，乙种型号的机器人台． 则 解得 答：该公司购买甲种型号的机器人2台，乙种型号的机器人6台． 【小问2详解】 解：设需购买甲种型号的机器人台，则乙种型号机器人台 解得，且为整数 设所花总费用元，则． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为（万元） 答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 22. 生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析： 【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 A B C D 七年级 2 5 4 4 八年级 1 6 【分析数据】 两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 87 92.13 八年级 86 87 79.73 【问题解决】根据以上信息解决下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数； （3）该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数． （4）根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）80；90 （2）B组所在扇形的圆心角的度数为 （3）估计七年级可参加复赛的学生人数为196人 （4）解：我认为该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优． 因为八年级的平均分高于七年级的平均分；中位数八年级的高一些，也就是八年级的中等水平更好． 【解析】 【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出c，d的值，即可补全频数分布直方图；根据中位数和众数的定义求解即可； （2）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数； （3）将420乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答； （4）根据比较平均数和中位数即可得到本次竞赛成绩更优的年级． 【小问1详解】 解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87， 92，94， 94，98. 对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． 【小问2详解】 解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． 【小问3详解】 （人） 答：估计七年级可参加复赛的学生人数为196人． 【小问4详解】 略 23. 综合探究 （1）【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． （2）【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． （3）【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）解： ， 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 24. 已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； （3）如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【小问1详解】 解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 【小问2详解】 解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ 【小问3详解】 解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $