精品解析：2025年湖南省湘潭市岳塘区湘潭市第十二中学九年级中考一模数学试题

湘钢一中教育集团市十二中3月份大单元练习 九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数与负数的意义解答即可． 【详解】解：如果收入元记作元，那么支出元应记作元． 故选：D． 【点睛】本题考查正数与负数．理解正数与负数的意义是解题的关键． 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中， 的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法和积的乘方运算法则以及合并同类项的法则进行判断即可． 【详解】A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.与不是同类项，无法合并，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法和积的乘方、合并同类项的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等 C. 正五边形的其中一个内角是 D. 单项式的次数是4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，根据平行线的性质，菱形的性质，多边形的内角和，单项式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、菱形的四条边相等，是真命题； C、正五边形的其中一个外角是，内角是，原命题是假命题； D、单项式的次数是3，原命题是假命题； 故选：B． 7. 某小组长统计组内5人在课堂上的发言次数分别为2，3，1，4，5，关于这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．先从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：在2，3，1，4，5，这组数据中，排序后为：1，2，3，4，5，故中位数为3． 故选B． 8. 如图， 是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求得 ，然后解直角三角形即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定义及其推论，以及解直角三角形，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤． 9. 如图，， 分别是 的边 ， 上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．由，求证，，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于点F，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“倍增点”； 若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 若点 是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 则是的“倍增点”， ∵，， ∴，， 则是的“倍增点”，故正确； 由题意设“倍增点”， ∴，解得：， ∴点，故正确； 设抛物线的“倍增点”为， ∴，整理得：， ∴方程有两个不相等的实数根，即存在两个点是点的“倍增点”，故正确； 设， ∴， 则， ， ， ， 当时，有最小值， ∴的最小值，故正确； 综上可知正确， 故选：． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）． 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象写在看上去无差别的卡片上（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中的卡片上写的生活现象是物理变化的概率是_________． 冰化成水 物理变化 铁棒生锈 化学变化 酒精燃烧 化学变化 衣服晾干 物理变化 光合作用 化学变化 牛奶变质 化学变化 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法是进行求解的关键．根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵一共有6张卡片，其中写着物理变化的卡片有2张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是， 故答案为：． 13. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解方法及步骤，注意去分母要两边同乘以，等式移项要变号． 根据分式方程的解题思路与方法直接解答即可． 【详解】解：方程 去分母得：， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为______（度）． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 根据等腰三角形的两底角相等以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形的一个顶角为， 这个等腰三角形的底角． 故答案为：55． 15. 关于 的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 16. 已知近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列方程直接解答即可．本题考查了反比例函数的定义，注意正确代入 ， 的值从而列方程求出的值． 【详解】解：依题意，把，代入反比例函数， 得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在 中，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与 、 分别相交于点D、E，若，的周长为10，则 的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长，由作图可知 垂直平分线段 ，得，，，根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：由作图可知 垂直平分线段 ， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴ 的周长为． 故答案为：16． 18. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂是解题的关键．根据负整数指数幂，绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，请从， ， ， 四个数中选取一个你喜欢的 代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从， ， ， 四个数中选取使得原分式有意义的 的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意可知，，， ，， 当时，原式（当时，原式）． 21. 为弘扬中华传统文化，某校开展“戏剧进课堂”活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：表示“很喜欢”， 表示“喜欢”， 表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）此次共调查了 名学生； （2）请补全类条形统计图； （3）扇形统计图中． 类所对应的扇形圆心角的大小为 度； （4）该校共有1560名学生，估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人？ 【答案】（1）60； （2）补全条形统计图，如图所示： （3）； （4）估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有260人． 【解析】 【分析】（1）C类学生占比25%，根据条形统计图的数据可得C类学生有15人，由此计算总人数即可； （2）计算得出D类学生人数，根据D类学生人数补全条形统计图即可； （3）根据前面的结论，计算出B类人数占总调查人数的比值，将计算结果乘即可得出扇形圆心角的度数； （4）利用调查样本所占的百分比估计总体学生数即可． 【详解】解：（1）此次调查学生总数：（人）， 故答案为：60； （2）D类人数为：（人）， （3）扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角的大小为：， 故答案为：； （4）（人）． ∴估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有260人． 22. 如图，在四边形中，，点E在 上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， 平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）利用角直角三角形的性质求得 的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 23. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等． （1）“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？ （2）某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？ 【答案】（1）“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元 （2）最多可以购进“妮妮”纪念品6个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等关系是解题关键． （1）一个“滨滨”纪念品的价格为 元，利用一个“妮妮”纪念品的价格比“一个“滨滨”纪念品价格多30元”得“妮妮”的单价为“”元，利用“用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等．”列出方程求解即可． （2）设购进设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．根据此次进货的总资金不超过2000元，可列出不等式求解． 【小问1详解】 设“滨滨”纪念品单价为 元，则“妮妮”纪念品的单价为元． 根据题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元． 【小问2详解】 设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个． 根据题意得： 解得：． 因为为整数 所以的最大值为6． 答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式求最大值问题的运用，正确不等关系是解题关键． 24. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架 平行地面，篮筺 与支架 在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面 米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点 ，根据题意得出，解，求得，根据与 比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 25. 已知抛物线与 轴交于， 两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点 为第四象限抛物线上的点，连接 、、 、 ，且 和 相交于点 ，设的面积为，的面积为，当时，求点 的坐标． （3）如图2，设点，是直线 下方抛物线上的两动点，且，过点 作轴，交 于点 ，过点作，交 于点．求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）最大值为4 【解析】 【分析】（1）中把点、 的坐标代入函数解析式列出关于、 的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得 点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点 的横坐标； （3）过点作轴交直线 于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 即， 令，则， 解得： 或3， ， ， ， ， ， 点 为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． 【小问3详解】 解：设直线 的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线 的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线 于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 26. 如图， 是的直径，过点 作的切线，点 在右半圆上移动（点 与点， 不重合），过点 作，垂足为 ；点在射线上移动（点 在点 的右边），且在移动过程中保持． （1）若，的延长线相交于点 ，判断是否存在点 ，使得点 恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接交于点 ，设，试问：的值是否随点 的移动而变化？证明你的结论． 【答案】（1） （2） 值不随点 的移动而变化．证明： ∵ 是右半圆上的任意一点，且， ． ∵是的切线， ． 又∵， ． ． ． ． 又∵，， ． ． 又∵， 即． 即． ． 即值不随点 的移动而变化． 【解析】 【分析】（1）当点 在上时，设与交于点，证明，即可得到； （2）由于 是右半圆上的任意一点，且，由两直线平行，同位角相等知，由是的切线，由切线的性质知，，已知中有，即，得到，，又有，，故由，可知，又因为，则即得到，即，所以有，即值不随点 的移动而变化． 【小问1详解】 解：当点 在上时，设与交于点， ∵， ． ∵， ． ． 又，， 即， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题利用了切线的性质，垂径定理、平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘钢一中教育集团市十二中3月份大单元练习 九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等 C. 正五边形的其中一个内角是 D. 单项式的次数是4 7. 某小组长统计组内5人在课堂上的发言次数分别为2，3，1，4，5，关于这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图， 是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，， 分别是 的边 ， 上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“倍增点”； 若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 若点是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）． 11. 化简：______． 12. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象写在看上去无差别的卡片上（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中的卡片上写的生活现象是物理变化的概率是_________． 冰化成水 物理变化 铁棒生锈 化学变化 酒精燃烧 化学变化 衣服晾干 物理变化 光合作用 化学变化 牛奶变质 化学变化 13. 方程的解为________． 14. 已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为______（度）． 15. 关于 的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 16. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则________． 17. 如图，在 中，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与 、 分别相交于点D、E，若，的周长为10，则 的周长是_____． 18. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示） 三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，请从， ， ， 四个数中选取一个你喜欢的 代入求值． 21. 为弘扬中华传统文化，某校开展“戏剧进课堂”活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）此次共调查了 名学生； （2）请补全类条形统计图； （3）扇形统计图中．类所对应的扇形圆心角的大小为 度； （4）该校共有1560名学生，估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人？ 22. 如图，在四边形 中，，点E在 上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， 平分，，求的长． 23. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等． （1）“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？ （2）某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？ 24. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架 平行地面，篮筺与支架 在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面 米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 25. 已知抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点 为第四象限抛物线上的点，连接 、、 、 ，且 和 相交于点 ，设的面积为，的面积为，当时，求点 的坐标． （3）如图2，设点，是直线 下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交 于点，过点作，交 于点．求的最大值． 26. 如图， 是的直径，过点作的切线，点在右半圆上移动（点与点，不重合），过点作，垂足为；点在射线上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持． （1）若，的延长线相交于点 ，判断是否存在点，使得点 恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接交于点 ，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $