精品解析：上海市金山中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷

2025－2026学年上海市金山中学高二年级下学期3月月考数学试卷 2026.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 抛物线的准线方程是__________． 2. 若，且为第二象限角，则___________. 3. 直线与直线的夹角大小为_______． 4. 已知球的半径为2，则球的表面积为__________. 5. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 6. 从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______. 7. 双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为______． 8. 函数的单调递减区间为________． 9. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 10. 如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为________. 11. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右顶点分别为，，直线是的一条渐近线，将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，则翻折后线段的长度为________. 12. 已知函数，，若有两个不同的零点，且，则a的取值范围为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（ ） A. 1 B. 0 C. 0.5 D. 0.25 14. 已知函数的定义域为，且对，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，曲线：，其中.给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②设，在曲线上，则； ③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则； ④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， （1）证明：直线平面； （2）若，求直线和平面的所成角． 18. 若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． （1）分别求和在交点处的切线方程； （2）若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 19. 在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. （1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； （2）已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 20. 如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点． （1）若是椭圆上异于的一点，分别为直线的斜率，求的值； （2）若直线平行于轴，求点的坐标； （3）求四边形面积的最大值． 21. 若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上海市金山中学高二年级下学期3月月考数学试卷 2026.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是 2. 若，且为第二象限角，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系求解，再利用正弦的二倍角公式，即得解 【详解】由题意，为第二象限角，故 故答案为： 3. 直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 4. 已知球的半径为2，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可求解. 【详解】球的半径为2，则球的表面积， 故答案为： 5. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 【答案】1800 【解析】 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 6. 从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出基本事件空间，利用古典概型公式求概率. 【详解】从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所有可能情况为，，，，，，共6种情况，两个数之和不小于5的情况有，，，，共4种，所以概率为. 故答案为：. 7. 双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率求出的值，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又离心率，所以，则或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 8. 函数的单调递减区间为________． 【答案】． 【解析】 【分析】求导，即可根据导数的正负求解不等式得解. 【详解】易知的定义域为，， 当时，， 当时，， ∴的单调递减区间为． 故答案为： 9. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 10. 如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 11. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右顶点分别为，，直线是的一条渐近线，将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，则翻折后线段的长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】过作，垂足为，过作，垂足为，先求的值，折叠后，利用两点间的距离公式求值. 【详解】如图： 因为，直线：，即， 过作，垂足为，则， 所以. 过作，垂足为，根据双曲线的对称性，可知，， 所以. 将坐标平面以直线为轴翻折，使得二面角为，如图： 则， 所以. 12. 已知函数，，若有两个不同的零点，且，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义可得，构造函数，结合导数作出函数图象，再借助几何图形求出范围. 【详解】函数的定义域为，由，得， 令，由有两个不同的零点，得曲线与直线有两个交点， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当时，，当时，， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 当且仅当时，曲线与直线有两个交点，且，    当时，由，得，则， ，此时， 当时，，从而，符合条件； 当时，，从而，不符合条件， 因此要使，当且仅当，得， 所以的取值范围是. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（ ） A. 1 B. 0 C. 0.5 D. 0.25 【答案】D 【解析】 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 14. 已知函数的定义域为，且对，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法和方程组思想求解即可. 【详解】分别令和得到：，解得：． 故选：A． 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析截面积变化过程 【详解】因为平面平面PAD，当两平面距离增大时，由图可知截棱锥面积减小，即随单调递减，故排除A，C 当时，，排除B、 故选：D 16. 在平面直角坐标系中，曲线：，其中.给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②设，在曲线上，则； ③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则； ④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的对称性即可求解①，取特殊点即可求解②，根据点到直线的距离，以及双曲线的渐近线方程，结合图形即可求解③④. 【详解】设曲线上任意一点，则，故也在曲线上，故曲线关于轴对称，①正确， 当时，，当时，，作出曲线的大致图象如下： 取，在上取点，此时，故②错误， 曲线为曲线的右侧， 当时，，此时曲线为双曲线的一部分， 由于双曲线的一条渐近线方程为，则渐近线到直线的距离为， 当时，曲线为，此时曲线为圆的一部分， 此时圆心到直线的距离为1， 因为，则圆上的点到直线的最小距离为，因此；③正确， 当，直线恒过点，当时，直线与曲线C只有两个交点； 当时，易得该直线与曲线C在x轴上方有一个交点， 当时，联立，化简得， 若要满足题意，则， 所以当时，该直线与曲线C在x轴下方有两个个交点， 由对称性可得，当时，对于任意，直线与曲线的公共点个数为3，故④正确， 故选：C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， （1）证明：直线平面； （2）若，求直线和平面的所成角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接用空间向量判断线面关系可证； （2）用空间向量求线面角. 【小问1详解】 以为原点，以射线为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系．如图： 设，直线的一个方向向量为， 又，设是平面的一个法向量， 则，得，令，则. 于是平面的一个法向量， 于是，所以，又直线平面， 所以直线平面． 【小问2详解】 设为所求角，由（1）可知，，， 解得（负值舍去）， 平面的一个法向量，， ，， 于是， 所以直线和平面的所成角为． 18. 若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． （1）分别求和在交点处的切线方程； （2）若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】（1）；； （2）；. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【小问1详解】 联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. 【小问2详解】 设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 19. 在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. （1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； （2）已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据双曲线的定义判断，最后根据双曲线的标准方程即可求出； （2）根据题意求出线段的垂直平分线的方程，再联立双曲线方程，解方程即可. 【小问1详解】 设船的坐标为，导航台和相距500海里，即，即， 两台同时发出的无线电信号到达的时间差为，无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒， 可得海里，即， ,根据双曲线的定义可知船所在的曲线是以为焦点的双曲线， ， 双曲线的焦点在轴上，故其标准方程为， 故船所在的曲线的方程为. 【小问2详解】 船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0， ，船在线段的垂直平分线上， 又，线段的中点坐标为， 直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的垂直平分线的方程为， 联立，得，得， 解得或， 当时，；当时，， 船先收到了发来的信号，故船在双曲线的右支上， 故船的位置为. 20. 如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点． （1）若是椭圆上异于的一点，分别为直线的斜率，求的值； （2）若直线平行于轴，求点的坐标； （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）四边形面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据两点斜率公式即可求解， （2）求解直线的方程，联立直线与椭圆方程求解点的坐标，即可根据纵坐标相等求解， （3）根据点到直线的距离公式，结合面积的表达式，可得，根据对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意可知, 设，则， 故， 【小问2详解】 设， 则直线，， 联立与椭圆可得， 故，或， 因此,进而， 同理可得,， 由于直线平行于轴，因此, 解得,故， 【小问3详解】 ，根据对称性，不妨设 到直线的距离， 故， 同理可得，其中为到直线的距离， 因此, 设 ， 令则， 故， 由于在单调递增，故当时取到最小值， 因此，当且仅当时取到等号， 故四边形面积的最大值为. 21. 若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 【答案】（1） 不具有性质，理由如下： 取，有. 具有性质，理由如下： 对任意，， 有. （2） （3） 因函数的定义域为， 要证明是奇函数， 只要证明对任意实数，即可. 对任意实数，设，则由具有性质知： 当时， ①， 设，当，即时，由①得， 即当时②， 当，即时，由①得， 即当时③， 于是由曲线的连续性，函数在上存在零点， 即 ④ ， 由函数在上严格增，知：函数在上严格增； 所以由②知，由③知，故； 故由④得， 即对任意实数，均有， 因此，函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）首先判断的奇偶性，依题意可得是严格增函数，则恒成立，再分、、三种情况讨论. （3）依题意只要证明对任意实数，，对任意实数，设，则由具有性质知：当时，①，设，分、两种情况讨论，结合零点存在性定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数定义域为， 又， 所以是奇函数， 函数具有性质，故对，， 都有， 又为奇函数， 故，即是严格增函数，恒成立. 若，则，解得； 若，则恒成立； 若，则，解得； 综合上述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $