23.2　一次函数的图象和性质 同步练习 2025-2026学年数学人教版八年级下册

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固-能力提升-拓展应用”三级分层设计，以概念填空、典例变式、几何综合及实际应用为路径，系统巩固一次函数图象性质与待定系数法，兼顾运算能力与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正比例函数与一次函数的图象、性质、平移规律|以填空形式直接考查核心概念，如直线经过象限、平移方向等，夯实抽象能力| |能力提升|图象与系数关系、平移规律应用、解析式求解|典例+变式训练，如已知象限判断k,b符号，结合坐标运算培养推理意识| |拓展应用|几何图形综合、实际问题建模|如一次函数与等边三角形平移、行程问题图象分析，发展几何直观与模型观念|

23．2　一次函数的图象和性质 第1课时　一次函数的图象和性质 1．正比例函数的图象及其图象的性质 一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随着x的增大而减少． 2．一次函数的图象及其画法 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b. 3．一次函数图象的性质 当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降． 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 考点1　一次函数图象平移规律的应用 【典例1】将直线y＝kx－1向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为(B) A．y＝kx－3 B．y＝kx＋1 C．y＝kx＋3 D．y＝kx－1 解析：∵直线上下平移时k的值不变，只有b发生变化，∴新直线的k值不变，b＝－1＋2＝1，∴新直线的解析式为y＝kx＋1. 解答直线在坐标系中的上下平移问题，要注意平移后k值不变，改变的是b的值，上下平移时，遵循“上加下减”的原则． 【变式训练】 1．把函数y＝－2x＋3的图象向下平移4个单位长度后的函数图象的解析式为(C) A．y＝－2x＋7 B．y＝－6x＋3 C．y＝－2x－1 D．y＝－2x－5 考点2　一次函数图象与系数的关系 【典例2】已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx－k的图象可能是下图中的(D) 解析：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴一次函数y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限． 一次函数的图象与系数的关系：函数值y随x的增大而增大⇔k>0；函数值y随x的增大而减小⇔k<0. 【变式训练】 2．若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k图象是(B) 考点3　一次函数图象与几何图形的综合 【典例3】如图，直线y＝－x＋4交坐标轴于D，E两点，等边三角形OBC的边OB在x轴上，且B为线段OD的中点，若将△OBC沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线DE上时，点C平移的距离为(C) A．3－ B． C．3－ D． 解析：∵当y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝4， ∴点D的坐标为(4，0). ∵B为线段OD的中点， ∴点B的坐标为(2，0)，∴OB＝2. ∵△OBC是等边三角形，OB在x轴上， ∴点C的坐标为(1，). ∵△OBC沿y轴竖直向上平移，点C落在直线DE上，∴此时x＝1， ∴y＝－1＋4＝3， ∴当点C落在直线DE上时，点C的坐标为(1，3)， ∴点C平移的距离为3－. 利用一次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，找出点C的原坐标及平移后的坐标是解题的关键． 【变式训练】 3．如图，点A，B，C在一次函数y＝－3x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是． 知识点1　一次函数图象的平移 1．对于一次函数y＝－2x＋5，下列结论错误的是(C) A．函数图象与y轴的交点坐标是(0，5) B．函数图象经过第一、二、四象限 C．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数y＝－8x＋5的图象 D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数的图象上，且x1＞x2，则y1＜y2 2．在平面直角坐标系中，将直线y＝2x＋b沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过原点，则b的值为－3． 知识点2　一次函数的图象和性质 3．关于x的一次函数y＝kx＋2(k≠0)，y的值随x值的增大而减小，则它的图象可能是(C) 4．已知一次函数y＝－2x＋4，解答下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当0≤y≤4时，写出x的取值范围． (1)在y＝－2x＋4中，当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，－2x＋4＝0，解得x＝2， ∴函数图象经过(0，4)和(2，0)两点，如图： (2)观察图象，当0≤y≤4时，x的取值范围为0≤x≤2. 易错易混点　忽视正比例函数是特殊的一次函数 5．若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是(D) A．k＜0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b≤0 D．k＜0，b≥0 6．一次函数y＝x＋2的图象不经过的象限是(D) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．两个y关于x的一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B) 8．点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1，y2的大小关系是(C) A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 9．已知一次函数y＝－x＋3，当－3≤x≤4时，y的最大值是． 10．画出函数y＝2x的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点并连线． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … －4 －2 0 2 4 … (2)描点并连线画出函数图象如图所示． 【母题P117例1】分别画出下列正比例函数的图象： (1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x. (1)函数y＝2x中的自变量x可为任意实数，表是y与x的几组对应值． x … －2 －1 0 1 2 … y … －4 －2 0 2 4 … 如图，在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线，它就是函数y＝2x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝x的图象，它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线． (2)函数y＝－1.5x中的自变量x可为任意实数，表是y与x的几组对应值． x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 －1.5 －3 … 如图，在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线．它就是函数y＝－1.5x的图象． 用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线． 【变式】已知函数y＝x＋3. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标． ①横坐标是－4； ②和x轴的距离是2个单位长度． (1)当x＝0时，y＝3； 当x＝2时，y＝2； 函数图象如图所示； (2)①由函数图象，可知 当x＝－4时，y＝5； 故函数图象上横坐标是－4的点坐标为(－4，5)； ②和x轴的距离是2个单位长度的点的纵坐标为2或－2， 当y＝2时，x＝2； 当y＝－2时，x＝10； 所以函数图象上和x轴的距离是2个单位长度的点的坐标为(2，2)或(10，－2). 11．(运算能力) 综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x＋1|－3的图象． (1)列表： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y … 3 m －1 －3 －1 n 3 … 表格中m＝1，n＝1； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：函数y＝2|x＋1|－3有最小值，最小值为y＝－3； 结论2：函数y＝2|x＋1|－3的图象关于直线x＝－1对称． (2)画出函数图象如图， (3)根据题意，得(答案不唯一) 结论1：函数y＝2|x＋1|－3有最小值，最小值为y＝－3； 结论2：函数y＝2|x＋1|－3的图象关于直线x＝－1对称． 第2课时　用待定系数法求一次函数的解析式 1．待定系数法 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 2．用待定系数法确定一次函数的解析式 (1)先设一次函数的解析式为y＝kx＋b； (2)找出两对x，y的对应值或直线上两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得出关于k，b的二元一次方程组； (3)解方程组得出k，b的值，确定一次函数的解析式． 3．一次函数的应用 一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题，建立一次函数模型，通过解决一次函数问题从而解决实际问题． 考点1　用待定系数法求函数解析式 【典例1】已知直线y＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是(B) A．y＝－2x＋3 B．y＝3x－2 C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3 解析：利用待定系数法求函数解析式． ∵直线y＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(0，－2)， ∴解得 ∴直线解析式为y＝3x－2. 利用待定系数法确定一次函数的解析式，可以简单记为：一设；二代；三解；四定(确定函数解析式). 【变式训练】 1．已知一次函数的图象经过点(2，3)，(－2，－5).求一次函数的解析式． 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). ∵一次函数的图象经过点(2，3)，(－2，－5)， 整理，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝2x－1. 考点2　与两条直线交点有关的问题 【典例2】如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P，且分别交y轴于A，B两点． (1)根据图象分别求出a，b的值； (2)求△APB的面积． 解：(1)∵函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，∴3×(－2)＋b＝－5，－2a－3＝－5，解得b＝1，a＝1； (2)∵b＝1，a＝1， ∴两函数的解析式是y1＝3x＋1和y2＝x－3.令x＝0，得y1＝1，y2＝3， ∴A(0，1)，B(0，－3)，∴AB＝4， ∴△APB的面积为·AB·2＝×4×2＝4. 解题关键是掌握用待定系数法求函数解析式，同时知道凡是函数图象经过的点都能满足解析式． 【变式训练】 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点B(－6，0)和点C(a，2)，与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D(0，1)，与x轴交于点E. (1)求点C的坐标及直线CD的解析式； (2)求四边形OBCD的面积． (1)∵直线y＝kx＋4经过点B(－6，0)，C(a，2)，∴将点B(－6，0)代入一次函数y＝kx＋4中，得－6k＋4＝0， ∴k＝，∴y＝x＋4， ∴将点C(a，2)代入函数y＝x＋4中，得2＝a＋4， ∴a＝－3，∴点C的坐标为(－3，2).设直线CD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 将点C(－3，2)和D(0，1)代入y＝mx＋n(m≠0)，得 解得 ∴直线CD的解析式为y＝－x＋1； (2)∵当x＝0时，y＝x＋4＝×0＋4＝4， ∴A(0，4). ∵D(0，1)，∴AD＝4－1＝3， ∴S四边形OBCD＝S△ABO－S△ACD＝×6×4－×3×3＝. 知识点1　待定系数法求一次函数的解析式 1．若一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为(D) A．y＝－x－2 B．y＝－x－6 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10 2．已知直线y＝kx－4(k＜0)与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则直线的解析式为(B) A．y＝－x－4 B．y＝－2x－4 C．y＝－3x＋4 D．y＝－3x－4 3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)当x＝10时，y的值是多少？ (3)当y＝12时，x的值是多少？ (1)观察图象可得一次函数的图象经过A(1，2)，B(－2，5)， ∴∴∴一次函数的解析式是y＝－x＋3； (2)令x＝10，y＝－10＋3＝－7； (3)令y＝12，12＝－x＋3，x＝－9. 知识点2　一次函数的应用 4．“千里游学，古已有之．”两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为40元，每位学生的费用为20元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为(C) A．y＝20x＋40 B．y＝40x＋80 C．y＝20x＋80 D．y＝40x＋40 5．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水14 t，应缴水费(C) A．22元 B．33元 C．39元 D．42元 6．已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm，在一定的弹性限度内，每挂1 kg重物弹簧伸长0.3 cm.则该弹簧总长y(单位：cm)随所挂物体质量x(单位：kg)变化的函数关系式为y＝0.3x＋6． 7．某市规定了每月用水18 m3以内(含18 m3)和用水18 m3以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(单位：元)与用水量x(单位：m3)之间的函数关系如图所示． (1)当用水18 m3以上时，求y与x之间的函数解析式． (2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． (1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b. ∵直线y＝kx＋b过点(18，45)，(28，75)， 整理，得解得∴y＝3x－9(x＞18)； (2)∵81＞45，∴当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30. 答：这个月用水量为30立方米． 易错易混点　求一次函数解析式忽略分类讨论的情况 8.已知一次函数y＝ax＋b，当－4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a＋b的值是(C) A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0.符合上述两个条件的一次函数解析式可以为(B) A．y＝x＋1 B．y＝－2x＋4 C．y＝－x＋1 D．y＝2x＋4 10．劳动节期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260 km的某目的地，下面是她们离家的距离y(单位：km)与汽车行驶时间x(单位：h)之间的函数图象，她们出发2.3 h，离目的地还有(A) A．22 km B．32 km C．238 km D．228 km 11．在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝4，则直线l的解析式是y＝x或y＝－x． 12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点O(0，0)，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交CB于点D(4，6)，则直线OC的解析式为y＝－x． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴、y轴分别相交于点A(1，0)，点B. (1)求一次函数的解析式和点B的坐标； (2)点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标． (1)∵一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴交于点A(1，0)， ∴0＝－2×1＋b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2. 在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴点B的坐标为(0，2)； (2)由点A，B的坐标，得OA＝1，OB＝2. ∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝. ∵△ABC是以边AB为腰的等腰三角形， ∴①当AB＝AC＝时，此时点C的横坐标为1＋或1－； ②当AB＝BC＝时，此时点A，C关于y轴对称，∴点C的横坐标为－1. 综上所述，点C的横坐标为1＋或1－或－1. 14．甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲的速度是20km/h，乙的速度是30km/h； (2)求出甲或乙距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式(任求一个)； (3)直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近？ (1)从题图象，可知甲用2.5小时骑行了50 km；乙用2小时骑行了60 km， 所以甲的速度是50÷2.5＝20(km/h)；乙的速度是60÷2＝30(km/h)； (2)设甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为s＝at＋b(a≠0)， 由题图象，知甲的函数图象经过(0，50)，(2.5，0)两点， 则有解得 所以甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为s＝－20t＋50； 同理即可得出乙距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为s＝60－30t； (3)从题图象，可知在1～2.5小时这段时间内，乙比甲离A地更近． 【母题P122例5】 一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示． (1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； (2)记者出发后多长时间到达采访地？ (1)当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y＝k1x.因为它的图象过点A(2，180)，所以180＝2k1，解得k1＝90. 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y＝90x； 当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分．我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式．设这个一次函数的解析式为y＝k2x＋b2，把点A，B的坐标分别代入y＝k2x＋b2，得解这个方程组，得 因此，当x>2时，函数的解析式为y＝60x＋60. 综上，当0≤x≤2 时，y＝90x；当x>2时，y＝60x＋60. (2)由图象可知，当y＝360时，x>2. 由360＝60x＋60，解得x＝5. 因此，记者在出发5 h后到达采访地． 【变式】甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量y(单位：吨)与生产时间x(单位：天)之间的函数图象如图所示． (1)乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料270吨； (2)乙组调离后，求y与x之间的函数关系式； (3)当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数． (2)甲组每天消耗的原材料为(390－270)÷(6－3)＝40(吨)，则y＝270＋40(x－3)＝40x＋150， ∴乙组调离后，y与x之间的函数关系式为y＝40x＋150(3≤x≤6). (3)当y＝350时，得40x＋150＝350， 解得x＝5，5－3＝2(天). 答：当消耗原材料350吨时，乙组已调离2天． 15．(运算能力)某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间x(单位：min) … 5 15 … 海拔高度y(单位：m) … 10 20 … 乙飞行器从海拔15 m的高度，以0.5 m/min的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)之间的函数解析式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升40 min后，减速为0.3 m/min继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为h(单位：m).请直接写出：当40≤x≤80，h最多为多少米？ (1)设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0). 将x＝5，y＝10和x＝15，y＝20分别代入y＝kx＋b， 得解得∴y＝x＋5； 根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝0.5x＋15； ∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝x＋5，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝0.5x＋15； (2)①当x＝0时，y＝5，∴甲飞行器的初始高度是5 m； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度． 当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得x＋5＝0.5x＋15，解得x＝20，20＋5＝25(m)，∴此时两个飞行器的高度为25 m； (3)当x＝40时，甲飞行器所在位置的海拔高度y＝40＋5＝45，y＝0.3(x－40)＋45＝0.3x＋33， ∴当40≤x≤80时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝0.3x＋33. h＝|0.3x＋33－(0.5x＋15)|＝|0.2x－18|， ∵当40≤x≤80时，0.2x－18＜0，∴h＝18－0.2x. ∵－0.2＜0，∴h随x的减小而增大． ∵40≤x≤80，∴当x＝40时，h最大，h最大＝18－0.2×40＝10，∴h最多为10 m． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23．2　一次函数的图象和性质 第1课时　一次函数的图象和性质 1．正比例函数的图象及其图象的性质 一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线y＝kx经过 象限，从左向右 ，即y随着x的增大而 ；当k＜0时，直线y＝kx经过 象限，从左向右 ，即y随着x的增大而 ． 2．一次函数的图象及其画法 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移 个单位长度得到(当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移).一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b. 3．一次函数图象的性质 当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右 ；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右 ． 当k＞0时，y随x的增大而 ； 当k＜0时，y随x的增大而 ． 考点1　一次函数图象平移规律的应用 【典例1】将直线y＝kx－1向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为( ) A．y＝kx－3 B．y＝kx＋1 C．y＝kx＋3 D．y＝kx－1 【变式训练】 1．把函数y＝－2x＋3的图象向下平移4个单位长度后的函数图象的解析式为( ) A．y＝－2x＋7 B．y＝－6x＋3 C．y＝－2x－1 D．y＝－2x－5 考点2　一次函数图象与系数的关系 【典例2】已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx－k的图象可能是下图中的( ) 一次函数的图象与系数的关系：函数值y随x的增大而增大⇔k>0；函数值y随x的增大而减小⇔k<0. 【变式训练】 2．若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k图象是( ) 考点3　一次函数图象与几何图形的综合 【典例3】如图，直线y＝－x＋4交坐标轴于D，E两点，等边三角形OBC的边OB在x轴上，且B为线段OD的中点，若将△OBC沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线DE上时，点C平移的距离为( ) A．3－ B． C．3－ D． 利用一次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，找出点C的原坐标及平移后的坐标是解题的关键． 【变式训练】 3．如图，点A，B，C在一次函数y＝－3x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 ． 知识点1　一次函数图象的平移 1．对于一次函数y＝－2x＋5，下列结论错误的是( ) A．函数图象与y轴的交点坐标是(0，5) B．函数图象经过第一、二、四象限 C．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数y＝－8x＋5的图象 D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数的图象上，且x1＞x2，则y1＜y2 2．在平面直角坐标系中，将直线y＝2x＋b沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过原点，则b的值为 ． 知识点2　一次函数的图象和性质 3．关于x的一次函数y＝kx＋2(k≠0)，y的值随x值的增大而减小，则它的图象可能是( ) 4．已知一次函数y＝－2x＋4，解答下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当0≤y≤4时，写出x的取值范围． 易错易混点　忽视正比例函数是特殊的一次函数 5．若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是( ) A．k＜0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b≤0 D．k＜0，b≥0 6．一次函数y＝x＋2的图象不经过的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．两个y关于x的一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 8．点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1，y2的大小关系是( ) A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 9．已知一次函数y＝－x＋3，当－3≤x≤4时，y的最大值是 ． 10．画出函数y＝2x的图象． (1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)描点并连线． 【母题P117例1】分别画出下列正比例函数的图象： (1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x. 【变式】已知函数y＝x＋3. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标． ①横坐标是－4； ②和x轴的距离是2个单位长度． 11．(运算能力) 综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x＋1|－3的图象． (1)列表： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y … 3 m －1 －3 －1 n 3 … 表格中m＝ ，n＝ ； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1： ； 结论2： ． 第2课时　用待定系数法求一次函数的解析式 1．待定系数法 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的 ，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 2．用待定系数法确定一次函数的解析式 (1)先设一次函数的解析式为y＝ ； (2)找出两对x，y的对应值或直线上两点的坐标分别代入y＝ ，得出关于 的二元一次方程组； (3)解方程组得出 的值，确定一次函数的解析式． 3．一次函数的应用 一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题，建立 模型，通过解决 问题从而解决实际问题． 考点1　用待定系数法求函数解析式 【典例1】已知直线y＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( ) A．y＝－2x＋3 B．y＝3x－2 C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3 利用待定系数法确定一次函数的解析式，可以简单记为：一设；二代；三解；四定(确定函数解析式). 【变式训练】 1．已知一次函数的图象经过点(2，3)，(－2，－5).求一次函数的解析式． 考点2　与两条直线交点有关的问题 【典例2】如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P，且分别交y轴于A，B两点． (1)根据图象分别求出a，b的值； (2)求△APB的面积． 解题关键是掌握用待定系数法求函数解析式，同时知道凡是函数图象经过的点都能满足解析式． 【变式训练】 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点B(－6，0)和点C(a，2)，与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D(0，1)，与x轴交于点E. (1)求点C的坐标及直线CD的解析式； (2)求四边形OBCD的面积． 知识点1　待定系数法求一次函数的解析式 1．若一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为( ) A．y＝－x－2 B．y＝－x－6 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10 2．已知直线y＝kx－4(k＜0)与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则直线的解析式为( ) A．y＝－x－4 B．y＝－2x－4 C．y＝－3x＋4 D．y＝－3x－4 3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)当x＝10时，y的值是多少？ (3)当y＝12时，x的值是多少？ 知识点2　一次函数的应用 4．“千里游学，古已有之．”两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为40元，每位学生的费用为20元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为( ) A．y＝20x＋40 B．y＝40x＋80 C．y＝20x＋80 D．y＝40x＋40 5．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水14 t，应缴水费( ) A．22元 B．33元 C．39元 D．42元 6．已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm，在一定的弹性限度内，每挂1 kg重物弹簧伸长0.3 cm.则该弹簧总长y(单位：cm)随所挂物体质量x(单位：kg)变化的函数关系式为 ． 7．某市规定了每月用水18 m3以内(含18 m3)和用水18 m3以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(单位：元)与用水量x(单位：m3)之间的函数关系如图所示． (1)当用水18 m3以上时，求y与x之间的函数解析式． (2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 易错易混点　求一次函数解析式忽略分类讨论的情况 8.已知一次函数y＝ax＋b，当－4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a＋b的值是( ) A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0.符合上述两个条件的一次函数解析式可以为( ) A．y＝x＋1 B．y＝－2x＋4 C．y＝－x＋1 D．y＝2x＋4 10．劳动节期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260 km的某目的地，下面是她们离家的距离y(单位：km)与汽车行驶时间x(单位：h)之间的函数图象，她们出发2.3 h，离目的地还有( ) A．22 km B．32 km C．238 km D．228 km 11．在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝4，则直线l的解析式是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点O(0，0)，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交CB于点D(4，6)，则直线OC的解析式为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴、y轴分别相交于点A(1，0)，点B. (1)求一次函数的解析式和点B的坐标； (2)点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标． 14．甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h； (2)求出甲或乙距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式(任求一个)； (3)直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近？ 【母题P122例5】 一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示． (1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； (2)记者出发后多长时间到达采访地？ 【变式】甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量y(单位：吨)与生产时间x(单位：天)之间的函数图象如图所示． (1)乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料 吨； (2)乙组调离后，求y与x之间的函数关系式； (3)当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数． 15．(运算能力)某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间x(单位：min) … 5 15 … 海拔高度y(单位：m) … 10 20 … 乙飞行器从海拔15 m的高度，以0.5 m/min的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)之间的函数解析式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升40 min后，减速为0.3 m/min继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为h(单位：m).请直接写出：当40≤x≤80，h最多为多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $