广西玉林市第一中学2025-2026学年下学期高二自主测试数学试卷（4.16）

高二数学自主训练（2026.4.16) 命题人：杨涵 审题人：黄明、杨涵 姓名： 班级： 一、单选题 1.(5a-b)的展开式的第7项为() A.35ab5 B.35 C.-35ab6 D.-b7 2.函数f()-血x的单调递减区间为() A.(-1,1) B.(0,1)C.(1,+0)D.(0,+∞) 3.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人， 则甲、乙在同一组的概率为() A君 B.} c. D.2 4. 已知随机变量X的分布列为 X 0 m 1 它 3 2 若(0= 则D(X)的值为() A.2 B D. 9 5.已知等比数列{a}的前n项和为S。,且满足a1=2S。+3(neN),则数列{a,}的前10项和 为() A.30+3 B.3"3C.3+3D.3"3 4 4 2 2 6.某知识过关题库中有A,B,C三种难度的题目，数量分别为300,200,100.已知小明做对A,B,C 型题且的概率分别为，}，，若小明从该思库中任选一道思作答，则他儆对该题的概率为( c.3 D. 7.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对Deep Seek、豆包、通义千问这3种 人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型.若 高二数学自主训练(2026.4.16)试卷第1页，共4页 小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为() A.144 B.114 C.94 D.72 二、多选题 8.一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X, 则下列说法正确的是() A.PX=0-号 B.P c.(-月 D.0-g 9.以下结论正确的是() A.从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有4种不同的送法 B.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数为480 C.将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是175 D.若aeN且a<20,则(27-a(28-a)(34-a)=A4-。, 10.已知函数y-血（©+刊，则下列结论中正确地是《） A.当x<0时，f(x)<0 B.f(x)的图象关于(0,1)中心对称 C.若m+n=0,则f(m)-f(n>1 D.f(x)在(0，+o)上单调递减 三、填空题 11.已知离散型随机变量X,Y满足E(X)=2,Y=2X-3,则E(Y)= 12.从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取到的 2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为 13.已知函数f(x)=x+x-sinx,则关于t的不等式f(-t)+f(-t)<f(0)的解集为 高二数学自主训练(2026.4.16)试卷第2页，共4页 四、解答题 14.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,公差d为整数，S,=21,且a,a+1,a,成等比数列. (1)求{a}的通项公式： (2)求数列 5 的前n项和Tn. a.a+1 15.为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在A、B、C三个区域开展定点投篮比赛.某同 学在A区域投篮命中的概率是号，有：和C区域投篮命中的既率都是；，它们之间相互不影响。 (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域 全部投中，可获得6分：如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得 1分：否则没有得分.求该同学得分X的数学期望. 高二数学自主训练(2026.4.16)试卷第3页，共4页 16.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (②证明：当a>号时，)在（行2a+刊上有且仅有一个零点 高二数学自主训练（2026.4.16)试卷第4页，共4页 《高二数学自主训练(2026.4.16)》参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A 0 D B AC BC ACD 1.A由题意可得二项式展开式的通项为：T1=C,(5a)(-b)=(-1)(5a).C,b,将r=6代入上式，可得： (-1)°.(5a)-6.Cb=35ab,所以(5a-b)7的展开式的第7项为35ab. 2.B1)的定义域为0+切，解不等式了)=X=《-G+少<0，可得0<x<1,故函数/心)-血 的单调递减区间为(0,1). 3.A设“甲、乙在同一组”为事件A,教师随机分成三组，每组至少一人的分法为C:=6,而甲、乙在同一组的 分法有1，故P(A)= 6 4.D由题意可知}++n=1,解得=，因为B(x)）=0x+1×+m× 23 6 2 3 X。=,解得m=2,所以 -+52日 5.D因为a4+1=2Sn+3(neN),所以当n≥2时，有a.=2Sn-1+3,两式相减：a1-a=2(Sn-Sn-1)=2a,即 a1=3a;当n=1时，4=2S+3=2a+3,因为{a}为等比数列，所以4=3a,代入可得4=3，数列{an}是 39=1=33”-1_3-3 首项为3、公比为3的等比数列，所以前10项和为S。=4·3-1 22 6.C设小明选1道A类试题为事件A,小明选1道B类试题为事件B，小明选1道C类试题为事件C,设小明 答对%件，两国P-2测O--名010-R01风D1-号 山全改率公武：P叫小Rr0P@NP@)PDO,号}片行号 7.B现将5位同学分成三组有(2,2..1,3)两种情况，共有CCC+CCC-15+10=25种方法，再将这三组 A;A; 分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能，有A;=6种方法，所以共有25×6=l50种方法，若小李和小 赵调研同一种模型，则有：CCA+CA=18+18=36,所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排 方案总数为：150-36=114种方法. ®AC对于A:任取2个中有0个白球的概率是P严X=0C}A正确：对于B:由思意知x=012,历 以P(X<0)=PX=0)=子，B错误：对于C:由盟意知X=0L2 Pr-oPr-)图8P-习是六以u=o+ 1号+2x5C正确：对于D 高二数学自主训练（2026.4.16)答案第1页，共4页 K=0l4,因为PX=0)-号P(X=)-=P(X=2刘-5所以P(X=0-号P(K--Px=4到-5 所以E(K)=0x2+1x 8 5 4结号期以2(-()-（®-号召8D淡 9.BC【详解】对于A中，从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有A种不同的送法，所以A 错误；对于B中，由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数，可得先对数字2,4,5,6全排， 再将1,3插入5个空隙中的两个位置，所以数字的个数为AA=480,所以B正确：对于C中，将7人分成3 组，要求每组至多3人，可得其分组有两类：13,3和22,3，当分为13,3的三组时，有CCC=70种分法； A 当分为2,23的三组时，有CSCC=105种分法，综上可得，共有0+105=15种不同的分法，所以C正确， A 对于D中，若aeN且a<20,则(27-)(28-a…(34-a)=A4a,所以D不正确. 10.ACD【详解】对A:当x<0时，e+1>1,所以n(e+1)>0,所以血(e+<0,故A正确；对B:因为 f0)-ae+).f(-)-h(e+-h（ =1-n(e+1).由f(1)+f(-1)=1≠2，所以(1，f(1)与 (-1,f(-1)不关于点(0,1)对称，所以B错误；对C:若m+=0,不妨设>0，则f(m)-f(n=f()-f(-m =pfm-又当m>0时，叫-c+血e-1,所以/m)-f>1,放c正确：对D:当>0时， f)-c-e+e+刊c0,所以fN在(Q,+o)上单润递藏救D正流 (e+1)x2 11.1因为E(X)=2,Y=2X-3,所以E(Y)=2E(X)-3=2×2-3=1. 12. 0625记事件A为取到的2个球都是红球”，事件8为取到的2个球级色相时： P(AB)-CB)CC(B)-PCB)-C5 P(B)C+C8 13.(0,2）f(x)=x3+x-sinx,得f(-x)=(-x)-x-sin(-x)=-（x3+x-sinx)=-f(x),故f(x)为定义在R上 的奇函数.f(t-t)+f(-t)<f(0)可写为f(t2-t)+f(-t)<0,即f(2-t)<-f(-t),根据奇函数易得 f(t-t)<f(t).函数f(x)=x3+x-sinx的导数为f'(x)=3x2+1-cosx,而cosx∈[-1,1]，x2≥0，所以 f'(x)=3x2+1-cosx≥0，f(x)在R上单调递增，不等式f(t2-t)<f(t)的解集等价于t2-t<t的解集，解得 高二数学自主训练(2026.4.16)答案第2页，共4页 te(0,2) 5n 14.(1)a=5n-3(2) 10n+4 【详解】(1)因为S,=3a+3d=21,所以4+d=7,又因为a,a+1,a,成等比数列，所以(a,+1)=4a, 即(a+d+1)=a2+6a,d,所以a2+6ad=64, 联立 4+6a1=4解得=2 4+d=7 9{d=5,所以a=4+5n-1)=5m-3. 5 5 11 (2)由(1)可得 aa1(5n-3)(5n+2)5n-35n+2 所以x-g》G品品》+ 11）115n 5n-35n+225n+210n+4 150品四8 【详解】（1)设“该同学投篮命中”为事件M,“该同学选择A区域投篮为事件N,“该同学选择B区域投篮”为 事件N,,“该同学选择C区域投篮”为事件N, 因为该同学等可能墙选择三个区域中的一个区域投篮，所以P(N)=P()=P®凶) 己知在A区城投篮命中的概率是号，在B和C区域投篮命中的概率都是}， 所以PM)-号PM)=子PMN)子 4 所以P(M)=立P(N)P(MV)=3×+34+3410 12,1、1,113 所以该同学投篮命中的概率为0： 3 (2)由题意可知，得分X的可能取值为0,1,3,6， 所以x-)-)品 x)到引时 =-》-片1-引片号品 P(X=6)= 2××1-2 544801 所以E()=0 2+1x36+3x5+6x 2_36+45+1293 80808080 80 801 所以，该同学得分X的数学期望为 80 高二数学自主训练（2026.4.16)答案第3页，共4页 16. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=x2-3x+lnx(x>0), 所以了)=2x-3+1-②x-0x-, 1“ 所当x0分1+o)时，a)0,当xe（号时，f)<0, 即/)在(0)和L+)上单润递增，在[上单润递减。 2易如r树=2x-a+1+g-a2x》,a心为>0 、1 当0<x<号时，了)>0：当号x<a时，f)k0:当a<<2a+1时，f)>0, 所以因在o》上单调运瑞，（侵上*调遥减。在a2a+)上单词道， 1. 2 所以当(Ga时，f0,所以@目)0： 又f(2a+1)=(2a+1)2-(2a+1)+aln(2a+1)>0, 所以了心)在行2a+刊上有零点 又因为f)在(a,2a+1上单调递增，所以f()在22a+1上有且仅有一个零点 高二数学自主训练（2026.4.16)答案第4页，共4页