2026年中考数学一轮复习【几何模型：“A字”+“8字”型+一线三等角+射影定理+手拉手+“飞鱼”模型（相似）】

常考的重难点几何模型 九年级下册 初中数学 目录 九年级下册 · 相似 模型1：“A字”相似型……………………………………………………… 2 模型2：“8字”相似型……………………………………………………… 4 模型3：“一线三等角”相似型……………………………………………… 5 模型4：“射影定理”模型…………………………………………………… 7 模型5：“手拉手”相似型…………………………………………………… 8 模型6：“飞鱼”模型………………………………………………………… 9 实战演练………………………………………………………………………… 11 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“A字”相似型 题目条件中的三角形含有平行线，且整体形状像英文字母“A”时，考虑用此模型 一、“A字”相似型 已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC 结论：（1）△ADE∽△ABC；A B C D E 1 2 （2） 依据：平行线的性质，相似三角形的性质 证明：∵ DE∥BC ∴ ∠1=∠B，∠2=∠C ∴ △ADE∽△ABC ∴ 二、反“A字”相似型（不平行共角） 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠1=∠B或∠2=∠C 结论：（1）△AED∽△ABC；A B C D E 1 2 （2） 依据：平行线的性质，相似三角形的性质 证明：∵ ∠1=∠B，∠A=∠A ∴ △AED∽△ABC ∴ 三、反“A字”相似型（共边共角） 已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠1=∠B或∠2=∠ACB敲黑板，记重点 有些题目没有给出平行线，需要我们作出平行线来构造相似图形. 注意作平行线时，要结合题目中的结论或条件中的已知线段. 结论：（1）△ADC∽△ACB；A B C D 1 2 （2） ； （3） 依据：平行线的性质，相似三角形的性质 【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【例2】如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 模型2：“8字”相似型 题目条件中含有一组对顶角，且有一组边平行（或另一组角相等），形似阿拉巴数字“8”要解决线段问题时，考虑用此模型 一、“8字”相似型 已知：如图，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC 依据：对顶角相等B A C D E 结论：（1）△AED∽△ABC； （2） 证明：∵ DE∥BC ∴ ∠D=∠C，∠E=∠B ∴ △AED∽△ABC ∴ 二、反“8字”相似型（蝴蝶型） 已知：如图，D，E分别是CA，BA延长线上的点，∠B=∠D或∠E=∠C 结论：（1）△ABC∽△ADE；B A C D E 1 2 （2） 证明：∵ ∠B=∠D，∠1=∠2 ∴ △ABC∽△ADE ∴ 三、反“8字”相似型（燕尾型） 已知：如图，B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC相交于点F，∠A=∠C或∠ABF=∠CDF 结论：（1）△ABF∽△CDF；F E D C A B （2） 证明：∵ ∠A=∠C，∠ABF=∠CFD ∴ △ABF∽△CDF ∵ ∠A=∠C，∠E=∠E ∴ 【例1】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 模型3：“一线三等角”相似型 题目条件中含有两个三角形中有一条边共线且有三个角相等时，考虑用此模型 一、同侧型 已知：如图，两个三角形在直线的同侧，点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3 结论：△CAP∽△PBD 依据：平角等于180°，三角形的内角和等于180°，三角形外角定理 证明：∵ ∠CPB是△ACP的外角 ∴ ∠CPB=∠1+∠C，即∠2+∠BPD=∠1+∠C 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠BPD=∠C ∵ ∠1=∠3 ∴ △CAP∽△PBDB C D P 1 2 3 A 3 2 1 P D B C A 3 2 1 P D C B A 二、异侧型 已知：如图，两个三角形在直线的异侧，点P在AB的延长线上，∠1=∠2=∠3（∠1，∠2居两边，∠3跨中间） 结论：△CAP∽△PBD 证明：如图，连接BD，BC，连接BO并延长与⊙O交于点E，连接CE ∵ ∠2=∠1=∠C+∠APC，∠3=∠APC+∠BPD，∠2=∠3 ∴ ∠C=∠BPD ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAP=∠PBD ∴ △CAP∽△PBD3 2 1 P D C B A 3 2 1 P D C B A 3 2 1 P D B C A 三、拓展方向：由一线三垂直的一半情况到特殊情况 图示 敲黑板，记重点 当“一线三等角”相似型中有一组对应边相等时，就可以转化为“一线三等角”全等模型. 特点 ∠1=∠2=∠3=90° 结论 △ACP∽△BED 【例1】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 【例2】如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ． 模型4：“射影定理”模型 题目条件中含有直角三角形，且存在斜边上的高时，考虑用此模型 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点DA B C D 1 2 结论：（1）△ADB∽△BDC，； （2）△ADB∽△ABC，； （3）△BDC∽△ABC， 依据：相似三角形的判定与性质 证明：∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC ∴ ∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90°敲黑板，记重点 射影定理只在直角三角形中存在，且斜边上的高必须存在. ∴ ∠2=∠A ∵ ∠ADB=∠BDC=90° ∴ △ADB∽△BDC ∴ ∴ 同理可证△ADB∽△ABC，；△BDC∽△ABC， 【例1】如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 模型5：“手拉手”相似型 题目条件中含有两个三角形共顶点的两个角相等，且等角的两边成比例时，考虑用此模型 已知：如图1，△ABC∽△ADE，将△ADE绕顶点A逆时针旋转一定角度，如图2 结论：（1）△ABD∽△ACE； （2）两条拉手线BD，CE交于点F，∠BAC=∠BFC 证明：∵ △ABC∽△ADE ∴ ∠BAC=∠DAE， ，即 ∴ ∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE ∴ △ABD∽△ACE ∴ ∠ABD=∠ACE ∵ ∠BGA=∠CGF ∴ 180°－ ∠ABG－ ∠BGA= 180°－ ∠ACE－ ∠CGF，即∠BAC=∠BFC A B C D E G F 图2 敲黑板，记重点 若原来两个三角形相似，则旋转后的两个三角形也是相似，利用旋转角得到一组对应角相等，转化比例关系可得由“手拉手”构成的两个三角形相似. A B C D E 图1 模型拓展 已知：如图，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线交AD于点P，交AB于点F 结论：（1）△ABD∽△CBE，且相似比为；A B C D E P F （2）AD与CE的夹角为45° 证明：∵ ∠DBA=45°－∠ABE，∠EBC=45°－∠ABE ∴ ∠DBA=∠EBC ∵ △BDE和△ABC都是等腰直角三角形 ∴ ∴ △ABD∽△CBE ∴ ，∠DAB=∠BCE ∵ ∠PFA=∠BFC ∴ ∠APF=∠ABC=45°，即AD与CE的夹角为45° 【例1】如图，与，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，，则长为（   ） A． B． C． D． 模型6：“飞鱼”模型 题目条件中含有两个三角形共顶点，且过顶点的两条边共线，形似“鱼”型时，考虑用此模型 已知：如图，①；②；③；④ 结论：从上述四个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个 依据：相似三角形的判定与性质A B C D E F G 证明：如图，过点D作DG∥BE交AC于点G ∵ DG∥BE ∴ △CEB∽△CDG，△AGD∽△ABF ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ∴ ∴ 敲黑板，记重点 “飞鱼”模型问题的解题方法： 作平行线，构造“8字”相似型或者“A字”相似型求解. ∵ ，即 ∴ 拓展方向：解决“飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线（点E同理） 过点B作辅助线 过点C作辅助线 过点F作辅助线 【例1】如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（　　） A． B．2 C． D． 实 战 演 练 【“A字”相似型】 1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 3．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于 ． 4．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 5．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 6．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【“8字”相似型】 7．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 8．如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为 cm． 9．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD 相交于点 E，H 为 BD 的中点．若 CE＝1，则 CH 长为 ． 10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 11．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 12．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【“一线三等角”相似型】 13．如图，已知和均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，已知，C是线段的中点，且，，那么的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．如图，直角三角形AOB的直角顶点在坐标原点，，点A在反比例函数图象上，若反比例函数经过点B，那么k的值为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为 ．    17．已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2， （1）如图：P为AD上的一点，满足； ① ； ② 求AP的长 （2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程） 【“射影定理”模型】 18．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 19．如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 20．如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①； ②； ③图中互余的角共有3对； ④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 21．如图，已知是等边三角形，于点，于点，若，则 ． 22．【问题情境】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD·AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 【结论运用】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． （1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED； （2）若DE=2CE，求OF的长． 【“手拉手”相似型】 23．如图，四边形和四边形均为正方形，连接CF，DG，则（  ） A． B． C． D． 24．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB′C′重合，那么△ABB′与△ACC′的面积之比为 ． 25．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到，点A、点C的对应点分别是点、点． 感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 ___________（不需要证明）； 探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 应用：如图③，若，交于点E，则___________度． 26．问题背景： （1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用： （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值； 灵活运用： （3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD，直接写出AD的长． 【“飞鱼”模型】 27．如图，在中，在边上，：：，点是的中点，连接并延长交于点，则：（   ）    A．： B．： C．： D．： 28．如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（） A． B． C． D． 29．如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 ．    30．综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：， ， ， ，即， 请补全余下的证明过程． 【学以致用】如图③，在中，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，则的长为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 九年级下册 初中数学 目录 九年级下册 · 相似 模型1：“A字”相似型……………………………………………………… 2 模型2：“8字”相似型……………………………………………………… 5 模型3：“一线三等角”相似型……………………………………………… 8 模型4：“射影定理”模型…………………………………………………… 11 模型5：“手拉手”相似型…………………………………………………… 12 模型6：“飞鱼”模型………………………………………………………… 15 实战演练………………………………………………………………………… 17 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“A字”相似型 题目条件中的三角形含有平行线，且整体形状像英文字母“A”时，考虑用此模型 一、“A字”相似型 已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC 结论：（1）△ADE∽△ABC；A B C D E 1 2 （2） 依据：平行线的性质，相似三角形的性质 证明：∵ DE∥BC ∴ ∠1=∠B，∠2=∠C ∴ △ADE∽△ABC ∴ 二、反“A字”相似型（不平行共角） 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠1=∠B或∠2=∠C 结论：（1）△AED∽△ABC；A B C D E 1 2 （2） 依据：平行线的性质，相似三角形的性质 证明：∵ ∠1=∠B，∠A=∠A ∴ △AED∽△ABC ∴ 三、反“A字”相似型（共边共角） 已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠1=∠B或∠2=∠ACB敲黑板，记重点 有些题目没有给出平行线，需要我们作出平行线来构造相似图形. 注意作平行线时，要结合题目中的结论或条件中的已知线段. 结论：（1）△ADC∽△ACB；A B C D 1 2 （2） ； （3） 依据：平行线的性质，相似三角形的性质 【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵AE=2，EC=3， ∴AC=AE+EC=5， ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【例2】如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 模型2：“8字”相似型 题目条件中含有一组对顶角，且有一组边平行（或另一组角相等），形似阿拉巴数字“8”要解决线段问题时，考虑用此模型 一、“8字”相似型 已知：如图，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC 依据：对顶角相等B A C D E 结论：（1）△AED∽△ABC； （2） 证明：∵ DE∥BC ∴ ∠D=∠C，∠E=∠B ∴ △AED∽△ABC ∴ 二、反“8字”相似型（蝴蝶型） 已知：如图，D，E分别是CA，BA延长线上的点，∠B=∠D或∠E=∠C 结论：（1）△ABC∽△ADE；B A C D E 1 2 （2） 证明：∵ ∠B=∠D，∠1=∠2 ∴ △ABC∽△ADE ∴ 三、反“8字”相似型（燕尾型） 已知：如图，B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC相交于点F，∠A=∠C或∠ABF=∠CDF 结论：（1）△ABF∽△CDF；F E D C A B （2） 证明：∵ ∠A=∠C，∠ABF=∠CFD ∴ △ABF∽△CDF ∵ ∠A=∠C，∠E=∠E ∴ 【例1】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 模型3：“一线三等角”相似型 题目条件中含有两个三角形中有一条边共线且有三个角相等时，考虑用此模型 一、同侧型 已知：如图，两个三角形在直线的同侧，点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3 结论：△CAP∽△PBD 依据：平角等于180°，三角形的内角和等于180°，三角形外角定理 证明：∵ ∠CPB是△ACP的外角 ∴ ∠CPB=∠1+∠C，即∠2+∠BPD=∠1+∠C 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠BPD=∠C ∵ ∠1=∠3 ∴ △CAP∽△PBDB C D P 1 2 3 A 3 2 1 P D B C A 3 2 1 P D C B A 二、异侧型 已知：如图，两个三角形在直线的异侧，点P在AB的延长线上，∠1=∠2=∠3（∠1，∠2居两边，∠3跨中间） 结论：△CAP∽△PBD 证明：如图，连接BD，BC，连接BO并延长与⊙O交于点E，连接CE ∵ ∠2=∠1=∠C+∠APC，∠3=∠APC+∠BPD，∠2=∠3 ∴ ∠C=∠BPD ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAP=∠PBD ∴ △CAP∽△PBD3 2 1 P D C B A 3 2 1 P D C B A 3 2 1 P D B C A 三、拓展方向：由一线三垂直的一半情况到特殊情况 图示 敲黑板，记重点 当“一线三等角”相似型中有一组对应边相等时，就可以转化为“一线三等角”全等模型. 特点 ∠1=∠2=∠3=90° 结论 △ACP∽△BED 【例1】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案． 【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵∠BOA=90°， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∵∠AOD+∠OAD=90°， ∴∠BOC=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90°， ∴△BCO∽△ODA， ∵=tan30°=， ∴， ∵×AD×DO=xy=3， ∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1， ∵经过点B的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：y=﹣． 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键． 【例2】如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ． 【分析】根据一线三等角证明，列出比例式代入数值计算即可． 【详解】△ABC为等边三角形， ， ∠ADE＝60°， , BD：DC＝1：2，AD＝2， 设 则 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 模型4：“射影定理”模型 题目条件中含有直角三角形，且存在斜边上的高时，考虑用此模型A B C D 1 2 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D 结论：（1）△ADB∽△BDC，； （2）△ADB∽△ABC，； （3）△BDC∽△ABC， 依据：相似三角形的判定与性质 证明：∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC ∴ ∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90°敲黑板，记重点 射影定理只在直角三角形中存在，且斜边上的高必须存在. ∴ ∠2=∠A ∵ ∠ADB=∠BDC=90° ∴ △ADB∽△BDC ∴ ∴ 同理可证△ADB∽△ABC，；△BDC∽△ABC， 【例1】如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余写出各角的关系，然后选择答案即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确． 故选：C． 模型5：“手拉手”相似型 题目条件中含有两个三角形共顶点的两个角相等，且等角的两边成比例时，考虑用此模型 已知：如图1，△ABC∽△ADE，将△ADE绕顶点A逆时针旋转一定角度，如图2 结论：（1）△ABD∽△ACE； （2）两条拉手线BD，CE交于点F，∠BAC=∠BFC 证明：∵ △ABC∽△ADE ∴ ∠BAC=∠DAE， ，即 ∴ ∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE ∴ △ABD∽△ACE ∴ ∠ABD=∠ACE ∵ ∠BGA=∠CGF ∴ 180°－ ∠ABG－ ∠BGA= 180°－ ∠ACE－ ∠CGF，即∠BAC=∠BFC A B C D E G F 图2 敲黑板，记重点 若原来两个三角形相似，则旋转后的两个三角形也是相似，利用旋转角得到一组对应角相等，转化比例关系可得由“手拉手”构成的两个三角形相似. A B C D E 图1 模型拓展 已知：如图，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线交AD于点P，交AB于点F 结论：（1）△ABD∽△CBE，且相似比为；A B C D E P F （2）AD与CE的夹角为45° 证明：∵ ∠DBA=45°－∠ABE，∠EBC=45°－∠ABE ∴ ∠DBA=∠EBC ∵ △BDE和△ABC都是等腰直角三角形 ∴ ∴ △ABD∽△CBE ∴ ，∠DAB=∠BCE ∵ ∠PFA=∠BFC ∴ ∠APF=∠ABC=45°，即AD与CE的夹角为45° 【例1】如图，与，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，，则长为（   ） A． B． C． D． 【分析】由，得，进而求，证，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、三角形的相似、勾股定理，证是解本题的关键． 模型6：“飞鱼”模型 题目条件中含有两个三角形共顶点，且过顶点的两条边共线，形似“鱼”型时，考虑用此模型 已知：如图，①；②；③；④ 结论：从上述四个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个 依据：相似三角形的判定与性质A B C D E F G 证明：如图，过点D作DG∥BE交AC于点G ∵ DG∥BE ∴ △CEB∽△CDG，△AGD∽△ABF ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ∴ ∴ 敲黑板，记重点 “飞鱼”模型问题的解题方法： 作平行线，构造“8字”相似型或者“A字”相似型求解. ∵ ，即 ∴ 拓展方向：解决“飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线（点E同理） 过点B作辅助线 过点C作辅助线 过点F作辅助线 【例1】如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（　　） A． B．2 C． D． 【分析】过C点作CP∥AB，交DE于P，依据相似三角形的性质，即可得到PC=AE，进而得出，可得BD=3CD，即可得到BC=2CD． 【详解】解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P， ∵PC∥AE， ∴△AEM∽△CPM， ∴， ∵M是AC的中点， ∴AM=CM， ∴PC=AE， ∵AE=AB， ∴CP=AB， ∴CP=BE， ∵CP∥BE， ∴△DCP∽△DBE， ∴， ∴BD=3CD， ∴BC=2CD， ∴； 故选择：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，过A作AG∥BC，构造相似三角形是解决此题的关键． 实 战 演 练 【“A字”相似型】 1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 2．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：， 解得PF＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 3．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于 ． 【分析】设之间的距离为x米，根据题意可得，，即，，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度． 【详解】如图，设之间的距离为x米， 根据题意可得，， ∴ ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得，经检验是所列方程的解， ∴，解得， 经检验是所列方程的解， 故路灯的高为4.5米． 故答案为：4.5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键． 4．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵∠ADE=∠C， 而∠DAE=∠CAB， ∴△DAE∽△CAB， ∴S△DAE：S△CAB=， ∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16， ∴△ABC的面积=9+16=25， ∴， ∴AC=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． 6．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 【“8字”相似型】 7．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD ∵E为CD的中点， ∴DE：CD=1：2 ∵AB//DE ∽， ：：：4，EF:AF=1:2 设，则， ：：2， ：：：2， ， ， 是平行四边形ABCD的对角线， ， ， ：：：5． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 8．如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为 cm． 【分析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到 设求出FE，AH，AG，证明 得到 最后求值即可． 【详解】如图，过F作于I点，连接FE和FA， ，四边形为正方形， 为BC的三等分点， 为 BC的三等分点， 设 为等腰直角三角形， 为AE的中点， 四边形ABCD为正方形， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE= 2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的熟记． 9．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD 相交于点 E，H 为 BD 的中点．若 CE＝1，则 CH 长为 ． 【分析】证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝4，过点B作∠ABF＝∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，则AN＝CN＝2，BN＝AB=，证明△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE＝1，求出CF＝3，FE＝AC−AF−CE＝2，FN＝EN＝EF＝1，得出BF＝BE，得出∠BFE＝∠BEF，证出BF∥CD，得出△FEB∽△CED，得出，求出CD＝BF＝，连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，得出DM＝DF，证明CH是△BDM的中位线，得出CH＝DM＝DF，证明DC＝DE，作DG⊥AC于G，得CG＝EG＝CE＝，得出FG＝EF＋EG＝，由勾股定理得出DG＝，DF＝，即可得出答案． 【详解】∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝4， 过点B作∠ABF＝∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，如图所示： 则 AN＝CN＝2，， 在△ABF和△CBE中，， ∴△ABF≌△CBE（ASA）， ∴AF＝CE＝1， ∴CF＝3，FE＝AC﹣AF﹣CE＝4﹣1﹣1＝2，FNEN， ∴BF＝BE，BF， ∴∠BFE＝∠BEF， ∵∠ABD+∠BCD＝180°， ∴∠ABD＝∠CBD+∠CDB， ∵∠ABD＝∠ABF+∠FBE＝∠CBD+∠FBE， ∴∠FBE＝∠CDB ∴BF∥CD， ∴△FEB∽△CED CD=BF= 连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线， ∴DM＝DF， ∵H为BD的中点， ∴CH是△BDM的中位线， ， ∵BF∥CD， ∴∠DCE＝∠BFE， ∵∠BEF＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠DEC， DCDE， 作DGAC于G， CGEGCE， FGEFEG， DG DF， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 10．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 11．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 12．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 【“一线三等角”相似型】 13．如图，已知和均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等边三角形的性质可得，，继而可求△ABD∽△AEF，得到，同理证得，得到，继而可求答案. 【详解】∵和均为等边三角形，，， ∴，， ∴∴． ∵∠C=∠E，∠CFD=∠EFA，∴， ∴，∴， 即，∴．故选D． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，能够多次利用相似三角形的判定与性质是解题的关键. 14．如图，已知，C是线段的中点，且，，那么的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是证明解答．根据已知条件能证明，则，代入数值从而求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵C是线段的中点，， ∴， 即， 解得． 故选：D． 15．如图，直角三角形AOB的直角顶点在坐标原点，，点A在反比例函数图象上，若反比例函数经过点B，那么k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，由，可知，从而解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， 又， ∴， ， ， ， ， 经过点的反比例函数图象在第二象限， 反比例函数的解析式为：， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 16．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为 ．    【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了等边三角形的性质．先根据等边三角形的性质得到，，再利用比例的性质得到，接着证明，然后根据相似三角形的判定方法得到，最后利用相似比可计算出的长． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2， （1）如图：P为AD上的一点，满足； ① ； ② 求AP的长 （2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程） 【分析】（1）①当∠BPC＝∠A时，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似． ②利用相似三角形的性质可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC． ∴∠A＝∠D ∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A ∴∠ABP＝∠DPC， ∴△ABP∽△DPC． ②∵△ABP∽△DPC， ∴，即：， 解得：AP＝1或AP＝4． （2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ ∴，即：， ∴y＝−x2＋x−2（1＜x＜4）． ②当CE＝1时， ∵△PDQ∽△ECQ， ∴，即或， ∵y＝−x2＋x−2， 解得：x＝2或3−， ∴PA＝2或3−． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了图形的性质，相似三角形的判定和性质，二元二次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 【“射影定理”模型】 18．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 19．如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 根据题意易得：，然后根据角的直角三角形的性质先在中求出，再在中即可求出，即可求出答案． 【详解】解：中， ∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故选：D 20．如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①； ②； ③图中互余的角共有3对； ④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】本题考查了点到直线的距离，余角，对直角三角形的有关性质熟练掌握并能灵活运用是解题关键．根据直角三角形的有关性质求解．因为，所以，①符合题意，，因为，即，可得，②符合题意，数出图中互余的角可证③，因为，已知，，，可得的长，即证④． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意， ∴， ∵，即， ∴，故②符合题意， ∵，， ∴，，，， ∴图中互余的角共有4对， 故③不符合题意， ∵，，，， ∴，故④符合题意， 故正确的结论是①②④， 故选：B． 21．如图，已知是等边三角形，于点，于点，若，则 ． 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形． 根据等边三角形的性质可得,再根据得，根据含的直角三角形三边关系可计算出然后再利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：3． 22．【问题情境】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD·AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 【结论运用】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． （1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED； （2）若DE=2CE，求OF的长． 【分析】(1)可根据相似三角形的判定得到△ABC∽△BED； （2）先计算出DE,CE，BE，OB的长度，再利用（1）中结论△ABC∽△BED结合比例性质解出OF． 【详解】（1）如图1． ∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°， 而∠CAD=∠BAC， ∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∴ 如图2． ∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°， ∴ ∵CF⊥BE，∴， ∴BO•BD=BF•BE，即=， 而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED； （2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2． 在Rt△BCE中，BE==2．在Rt△OBC中，OB=BC=3． ∵△BOF∽△BED， ∴=，即=，∴OF=． 【点睛】本题考查的知识点是射影定理，解题的关键是熟练的掌握射影定理. 【“手拉手”相似型】 23．如图，四边形和四边形均为正方形，连接CF，DG，则（  ） A． B． C． D． 【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得的值． 【详解】连接AC和AF， 则， ∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC， ∴∠DAG=∠CAF． ∴△DAG∽△CAF． ∴． 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形． 24．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB′C′重合，那么△ABB′与△ACC′的面积之比为 ． 【详解】试题分析：△ABC绕着点A旋转后能与△AB′C′重合， ∴AB=AB′，AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′， ∵,∠BAB′=∠CAC′ ∴△ABB′∽△ACC′， ∵， ∴△ABB′与△ACC′的面积之比= 故答案为 考点：旋转的性质 25．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到，点A、点C的对应点分别是点、点． 感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 ___________（不需要证明）； 探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 应用：如图③，若，交于点E，则___________度． 【分析】感知：由旋转知，是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案； 探究：由旋转知，可证明，从而结论不变； 应用：设与相交于点O，由，得，则，再利用三角形内角和解决问题．本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：感知：∵将绕点B逆时针旋转得到，落在边上时， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， 故答案为：相等； 探究：，证明如下： ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； 应用：∵， ∴， ∴， 设与相交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 26．问题背景： （1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用： （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值； 灵活运用： （3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD，直接写出AD的长． 【分析】（1）由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论； （2）连接EC，根据题意得出，由（1）得，在证明，然后根据相似三角形性质求的值即可； （3）过D作，过点A作，两线相交与点M，先证明，在证明，然后由相似三角形性质、勾股定理以及直角三角形角的性质可得结果． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE； （2）如图2，连接EC， ， ， 由（1）知， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， 作于H， ，， ， ， 由得， 又， ， ； （3）如图，过D作，过点A作， 两线相交与点M， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即AD的长为． 【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【“飞鱼”模型】 27．如图，在中，在边上，：：，点是的中点，连接并延长交于点，则：（   ）    A．： B．： C．： D．： 【分析】过点作的平行线交于点，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，：：，：：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出：的比． 【详解】解：过点作，交于点，如图所示：    点是的中点，， 点是的中点， 又：：， ， ：：， ， ， ：：， ， 设，又点是的中点， ， ：：， ，，， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式． 28．如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（） A． B． C． D． 【分析】连结DE，先由等腰三角形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线的性质得到，然后证出DE是△ABC的中位线，得到，，则，即可解决问题． 【详解】解：连结DE，如图所示， 在Rt△ABC中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中心性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键． 29．如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 ．    【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点； 则； 而，， ； 为边的中点， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键． 30．综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：， ， ， ，即， 请补全余下的证明过程． 【学以致用】如图③，在中，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，则的长为___________． 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识点，添加辅助线、全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）已说明，由等边对等角可得，运用等量代换可得，依据等角对等边得到，最后运用等量代换即可证明结论； （2）如图：取的中点G，连接，则，再根据三角形中位线可得，；再根据平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：取的中点G，连接，则 ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：，解得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $