专题06 几何模型：一线三等角模型和手拉手模型48种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题06几何模型：一线三等角模型和手拉手模型 48种题型全归纳 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一坐标系+反比例函数+一线三垂直+相似 题型二正方形+旋转90°+一线三垂直+面积最值 题型三正方形+一线三垂直+等腰直角三角形+相似三角形 题型四坐标系+反比例函数+一线三垂直+45°角+相似 题型五旋转90°+一线三垂直+全等三角形+实际应用 题型六正方形+一线三垂直+相似三角形+面积计算 题型七直角三角形+平行线+一线三垂直+相似三角形+最值问题 题型八正方形+折叠+一线三垂直+相似三角形 题型九坐标系+正方形+折叠+一线三垂直+坐标计算 题型十直角梯形+一线三等角+相似三角形+动点问题 题型十一角平分线+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 题型十二一线三垂直（一线三等角）+相似三角形+动点最值问题 题型十三正方形/矩形/直角四边形+一线三垂直+相似（全等）三角形+线段比例 题型十四正方形+一线三垂直+全等三角形+角平分线 题型十五赵爽弦图+旋转90°+一线三垂直+全等三角形+面积计算 题型十六双正方形+一线三垂直+相似三角形+动点最值问题 题型十七正方形+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 题型十八等腰直角三角形+旋转90°+一线三垂直+全等三角形 题型十九坐标系+旋转90°+一线三垂直+坐标计算 题型二十正方形+一线三垂直+全等三角形+线段长度计算 题型二十一反比例函数+一线三垂直+相似三角形+三角函数计算 题型二十二反比例函数+一线三垂直+相似三角形+坐标计算 题型二十三二次函数+等腰直角三角形+一线三垂直+坐标计算2 题型二十四反比例函数+一线三垂直+相似三角形+30°直角三角形性质 题型二十五一线三等角度+等边三角形+三角形周长 题型二十六三垂直问题+坐标系+比例最大 题型二十七三垂直问题+中点全等+等腰直角三角形+相似 题型二十八矩形+锐角三角函数+一线三垂直+实际应用 题型二十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+面积最值+角度代换+特殊角度+线段计算 题型三十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+角平分线+特殊角度 题型三十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段和差+动点探究+直角三角形存在性 题型三十二等腰三角形+半角模型+旋转全等+线段和差+勾股定理+特殊角度 题型三十三直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+位置关系+动点探究 题型三十四等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段最值+翻折变换+面积计算 题型三十五正方形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+特殊角度+线段和差+动态探究 题型三十六矩形+手拉手模型+旋转相似+线段比例+中点构造+线段最值 题型三十七等边三角形+等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+勾股定理+线段计算 题型三十八等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+中点构造+角平分线性质 题型三十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+线段最值+动点探究 题型四十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+特殊角度+勾股定理逆用 题型四十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+平行线性质+角平分线性质 题型四十二等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段关系+动态探究+勾股定理 题型四十三等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+线段相等证明+角度关系推导+中点性质 题型四十四等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段关系+动态探究 题型四十五等腰三角形+手拉手模型+旋转相似+中点构造+线段比例+黄金分割 题型四十六等腰三角形 + 圆内接三角形 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 线段和差 + 特殊角度到一般角度推广 题型四十七等腰三角形 + 直角三角形 + 等边三角形 + 手拉手模型 + 旋转相似 + 线段比例 + 动态探究 题型四十八直角四边形 + 角平分线 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 相似三角形 + 线段计算 题型一坐标系+反比例函数+一线三垂直+相似 1．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 题型二正方形+旋转90°+一线三垂直+面积最值 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 题型三正方形+一线三垂直+等腰直角三角形+相似三角形 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【详解】解：如图1，过点作，交于点， ∵在正方形中， ∴，，，， ∴、是等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴，故结论②正确； ∴，即是等腰三角形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故结论①正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确， 过点作，如图2； 设，由可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， ∵，， ∴不一定等于，， ∴ 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选C． 题型四坐标系+反比例函数+一线三垂直+45°角+相似 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 题型五旋转90°+一线三垂直+全等三角形+实际应用 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 题型六正方形+一线三垂直+相似三角形+面积计算 6．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 题型七直角三角形+平行线+一线三垂直+相似三角形+最值问题 7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B．    【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 题型八正方形+折叠+一线三垂直+相似三角形 8．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 题型九坐标系+正方形+折叠+一线三垂直+坐标计算 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 题型十直角梯形+一线三等角+相似三角形+动点问题 10．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)的长为或 (2)关于的函数解析式及的取值范围为： 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）如图所示，过点作延长线于点，则，可证四边形是矩形，由勾股定理得到，再证明，得到，联立方程，解一元二次方程即可； （2）如图所示，在上取点，使得，则，，根据解直角三角形的计算得到，则，再证明，即可得到关于的函数解析式，结合（1）中的长为或即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∴， 整理得，，则， 解得，或， ∴当时，； 当时，； ∴的长为或； （2）解：如图所示，在上取点，使得，则，， ∴， ∴，， ∴，， 由（1）得，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合， ∴， ∴关于的函数解析式及的取值范围为：． 题型十一角平分线+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 11．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析；不成立，，证明见解析 (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 题型十二一线三垂直（一线三等角）+相似三角形+动点最值问题 12．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ∴，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 故答案为：；；；；；； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ．即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵设长为，则， ∴，解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 题型十三正方形/矩形/直角四边形+一线三垂直+相似（全等）三角形+线段比例 13．（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； (2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即． 【详解】（1）解：猜想，理由如下： 设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ∴； （3）解：如图，过点F作， ∴， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， ∴, ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型十四正方形+一线三垂直+全等三角形+角平分线 14．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②；③． 【分析】（1）利用即可证明； （2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 题型十五赵爽弦图+旋转90°+一线三垂直+全等三角形+面积计算 15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述， 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型十六双正方形+一线三垂直+相似三角形+动点最值问题 16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型十七正方形+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 17．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 题型十八等腰直角三角形+旋转90°+一线三垂直+全等三角形 18．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 题型十九坐标系+旋转90°+一线三垂直+坐标计算 19．（2025望花区一模）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 题型二十正方形+一线三垂直+全等三角形+线段长度计算 20．（2025·天津·一模）如图，正方形边长为6，点E在边上，，且，G为的中点，则：    （1）的度数为 ； （2）的长为 ． 【答案】 45° 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性强，难度较大． （1）过F作于H，证明，得到 进而证明为等腰直角三角形，即可求出，； （2）过G作于M，于N，得到G为中点，进而求出，，证明四边形为矩形，得到，，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）如图，过F作于H，    ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过G作于M，于N，    ∴， ∵G为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，． 故答案为： 题型二十一反比例函数+一线三垂直+相似三角形+三角函数计算 21．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二十二反比例函数+一线三垂直+相似三角形+坐标计算 22．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 题型二十三二次函数+等腰直角三角形+一线三垂直+坐标计算2 23．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 24．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 题型二十四反比例函数+一线三垂直+相似三角形+30°直角三角形性质 25．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 (2)存在，周长的最小值为，理由见解析 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 题型二十五一线三等角度+等边三角形+三角形周长 26．（20255枣庄15中模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°， ∵CE=BD=2，AB=AC=6， ∴AE=4， ∴， ∴BF=4， ∴， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB， ∴△BDP∽△ADB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABP的周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 题型二十六三垂直问题+坐标系+比例最大 27．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形等，当的值最大时，则值最大，即当最大时，的值最大，设，由，得到，进而求解． 【详解】解：过点A作轴于点M，作交于点N， ∵直线与x轴平行， ∴， 当的值最大时，则值最大， 故最小，即最大时，最大， 即当最大时，的值最大， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，m取得最大值， 故， 故答案为：． 题型二十七三垂直问题+中点全等+等腰直角三角形+相似 28．（2024陕西模拟预测）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=． 【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH． 【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG． 【答案】（1）见解析  （2）见解析    （3）见解析 【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论； （3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°， ∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°， ∴∠BEC=∠EAD， ∴Rt△AED∽Rt△EBC， ∴； （2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M， 同（1）的理由可知：， ∵，， ∴， ∴CB=GM， 在△BCH和△GMH中， ， ∴△BCH≌△GMH（AAS）， ∴BH=GH； （3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE， 过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG， ∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB， ∴∠EAF=∠BEM， ∴△AEF∽△EBM， ∴， ∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°， 而∠EFA=∠AEB， ∴∠CED=∠EFD， ∵∠BMG+∠BME=180°， ∴∠N=∠EFD， ∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°， ∴∠EDF=∠CEN， ∴△DEF∽△ECN， ∴， 又∵， ∴， ∴BM=CN， 在△BGM和△CGN中， ， ∴△BGM≌△CGN（AAS）， ∴BG=CG． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型二十八矩形+锐角三角函数+一线三垂直+实际应用 29．（2024怀安县模拟）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角，木箱的长()为2米，高()和宽都是1.6米．通过计算判断：当，木箱底部顶点与坡面底部点重合时，木箱上部顶点会不会触碰到汽车货厢顶部． 【答案】木箱上部顶点不会触碰到汽车货厢顶部． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BJ+EK的长度，再与2比较大小即可解答本题． 【详解】∵米，， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， 作于点，作于点， ∵米，，， ∴， ∴，， ∵,, ∴, ∴ , 即， ∴ , ∴， ∴木箱上部顶点不会触碰到汽车货厢顶部． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 题型二十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+面积最值+角度代换+特殊角度+线段计算 30．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又 ， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． 题型三十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+角平分线+特殊角度 31．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 题型三十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段和差+动点探究+直角三角形存在性 32．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（） ，理由见解析； ，理由见解析；（）或． 【分析】（） ．证明可得，即得，进而可得； ．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（） ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 题型三十二等腰三角形+半角模型+旋转全等+线段和差+勾股定理+特殊角度 33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 题型三十三直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+位置关系+动点探究 34．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 题型三十四等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段最值+翻折变换+面积计算 35．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 题型三十五正方形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+特殊角度+线段和差+动态探究 36．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 题型三十六矩形+手拉手模型+旋转相似+线段比例+中点构造+线段最值 37．（2025·广西·一模）【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值，_____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）的值没有发生变化，证明见解析； （3）的最大值为5，最小值为3 【分析】（1）延长交于点，由矩形的性质以及勾股定理求出的值即可； （2）连接、，由矩形的性质以及勾股定理先求出的值，然后证明，由相似三角形的性质即可求解； （3）连接，取的中点为，连接，证明是的中位线，得出在以为圆心，1为半径的圆上，即可求出线段长度的最大值和最小值． 【详解】（1）解：延长交于点，如图所示， ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，． 由题意得，，， ， ，故答案为：； （2）的值没有发生变化，理由如下： 如图2，连接、． ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，， ，， ，． 矩形绕点顺时针旋转， ， ， ； （3）如图3，连接，取的中点为，连接， 是的中点， 是的中位线， ， 在以为圆心，1为半径的圆上． ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键． 题型三十七等边三角形+等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+勾股定理+线段计算 38．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 题型三十八等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+中点构造+角平分线性质 39．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是熟练掌握几何图形的性质． ①根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到；故①正确； ②设与交于F，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设与交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴ 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②④． 题型三十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+线段最值+动点探究 40．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．取的中点，连接，设交于点，在中，由勾股定理得到，由旋转可知：，从而，，由，可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在中，当在一条直线上时，有最大值为． 【详解】解：取的中点，连接，设交于点， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 当在一条直线上时，有最大值， ∴线段的最大值为． 故答案为：． 题型四十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+特殊角度+勾股定理逆用 41．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 题型四十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+平行线性质+角平分线性质 42．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合“有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形”可得为等边三角形，进一步可知，可证明，即可判定结论②；证明，易得，结合三角形外角的定义性质可得，即可判定结论①；过作，垂足分别为，利用面积法证明，证明平分，即可判断结论③；在上取点，使得，证明为等边三角形，进一步证明，可知，进一步可得，即可判断结论④． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 如图，过作，垂足分别为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； 如图，在上取点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，综合性较强，熟练运用相关知识是解题关键． 题型四十二等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段关系+动态探究+勾股定理 43．（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)仍然具有的数量关系，理由见详解 (3)的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （2）根据等边三角形的性质，利用 “”证明即可； （3）根据等边三角形的性质，利用 “”证明，得到，然后证明是直角三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）解： 和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （3）解：以为边作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． ，， ， 是直角三角形， 在中，根据勾股定理， ， ． 题型四十三等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+线段相等证明+角度关系推导+中点性质 44．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）通过“”证明即可得证； （2）取的中点M，连接，先证明，得到，再由，得到，进而证明，得到，由得到，即可证明，得到，因此，得到，最后由即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵由旋转有， 又， ∴， ∴ （2）证明：取的中点M，连接， 由旋转可得， ∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 题型四十四等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段关系+动态探究 45．（2025·山东·模拟预测）【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问题：如图1，在四边形中，，当点O为的中点时，则易证． 【类比分析】 （1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片与（其中），拼摆成点C ，B， E共线时，如图2，连接，取的中点O，连接，请直接写出与的数量关系； （2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将绕点B逆时针旋转角度α（），如图3，小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由； 【拓展应用】 （3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将绕点B逆时针旋转α（），若，，当时，请求出线段的长． 【答案】（1） （2）相同，证明见解析 （3）线段的长为或3 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可； （2）设M，N分别是的中点，连接，证明，，，可得，即得； （3）当E在右侧时，设M是的中点，连接，作交的延长线于点P，求出， ，得，得，，即得；当点E在左侧时，设M是的中点，连接，作， 求出，得，，即得． 【详解】解：（1）． 理由：如图2，在和中，O是的中点， ∴， ∴； （2）小阳得到的结论与小青相同． 证明：如图3，设M，N分别是的中点，连接， ∵与都是等腰直角三角形，， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）当点E在右侧时，如图4，设M是的中点，连接，作交的延长线于点P， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理， 由（2）可得， 在中， ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在左侧时，如图5，设M是的中点，连接，作，垂足为点P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或3． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边上中线性质，添加辅助线，是解题关键． 题型四十五等腰三角形+手拉手模型+旋转相似+中点构造+线段比例+黄金分割 46．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！ 【Ⅰ．“手拉手”模型】 如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接． （1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ． （2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 【Ⅱ．“黄金三角形”】 （3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比． （4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比． 满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值． 【答案】（1）垂直，（2）见解析（3）（4）①② 【分析】（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果； （2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证； （3）根据黄金比的定义进行求解即可； （4）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比，在，，底边与腰的长度之比为，，过点作于点，根据等腰三角形三线合一得，再根据正弦的定义可得解． 【详解】解：（1）连接并延长交于，      ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴与垂直； ∵是的中点， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：垂直，； （2）作于，作，交的延长线于点，连接，连接交于点， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，四点共圆， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3），设，，则， ∵，即， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴黄金比为； （4）①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时： 如图，在，，底边与腰的长度之比为，， 过点作于点， ∴，， 在中，， ∴的值为． ②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时： 如图，在，，腰与底边的长度之比为，， 过点作于点， ∴，， 在中，， ∴的值为． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，黄金分割，全等三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 题型四十六等腰三角形 + 圆内接三角形 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 线段和差 + 特殊角度到一般角度推广 47．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 题型四十七等腰三角形 + 直角三角形 + 等边三角形 + 手拉手模型 + 旋转相似 + 线段比例 + 动态探究 48．（2025·河南商丘·模拟预测）综合与实践 初步探究 (1)如图1，在等腰中，，，，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到．连接，则______． 类比探究 (2)如图2，在中，，．是斜边的中点，，是线段上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，求的值．（用含的式子表示） 拓展延伸 (3)如图3，已知等边的边长为10，是边的中点，是边上一点，，将绕点旋转，得到，连接，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】（1）由旋转的性质得，，，先证明，得到，，进而证出，利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据斜边中线定理得到，得出，由旋转的性质得，，，先证明，得到，，进而证出，利用相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意分①绕点逆时针旋转；②绕点顺时针旋转两种情况讨论，利用等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、解直角三角形等相关知识，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，，， ，， ， ， ， ，， ，，即， ， ． 故答案为：． （2）解：，是斜边的中点， ， ， 由旋转的性质得，，， ，， ， ， ， ，， ，，即， ， ． （3）解：①若将绕点逆时针旋转，得到， 取的中点，连接、，如图： 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， 等边边长为10， ，， 分别是的中点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， ， ， ，， ， ； ②若将绕点顺时针旋转，得到， 以为边在左侧构造等边，作交延长线于点，连接、，如图： 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， 等边边长为10， ，， 是边的中点， ， 等边， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， ，， ， ， ； 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质与判定、斜边中线定理、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理，结合图形正确找出相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型四十八直角四边形 + 角平分线 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 相似三角形 + 线段计算 49．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，与交于点E，平分，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，过作，交延长线于点，则，然后证明，即可得到，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：平分， . 过作，交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 或. ， ． 故答案为： $专题06几何模型：一线三等角模型和手拉手模型 48种题型全归纳 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一坐标系+反比例函数+一线三垂直+相似 题型二正方形+旋转90°+一线三垂直+面积最值 题型三正方形+一线三垂直+等腰直角三角形+相似三角形 题型四坐标系+反比例函数+一线三垂直+45°角+相似 题型五旋转90°+一线三垂直+全等三角形+实际应用 题型六正方形+一线三垂直+相似三角形+面积计算 题型七直角三角形+平行线+一线三垂直+相似三角形+最值问题 题型八正方形+折叠+一线三垂直+相似三角形 题型九坐标系+正方形+折叠+一线三垂直+坐标计算 题型十直角梯形+一线三等角+相似三角形+动点问题 题型十一角平分线+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 题型十二一线三垂直（一线三等角）+相似三角形+动点最值问题 题型十三正方形/矩形/直角四边形+一线三垂直+相似（全等）三角形+线段比例 题型十四正方形+一线三垂直+全等三角形+角平分线 题型十五赵爽弦图+旋转90°+一线三垂直+全等三角形+面积计算 题型十六双正方形+一线三垂直+相似三角形+动点最值问题 题型十七正方形+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 题型十八等腰直角三角形+旋转90°+一线三垂直+全等三角形 题型十九坐标系+旋转90°+一线三垂直+坐标计算 题型二十正方形+一线三垂直+全等三角形+线段长度计算 题型二十一反比例函数+一线三垂直+相似三角形+三角函数计算 题型二十二反比例函数+一线三垂直+相似三角形+坐标计算 题型二十三二次函数+等腰直角三角形+一线三垂直+坐标计算2 题型二十四反比例函数+一线三垂直+相似三角形+30°直角三角形性质 题型二十五一线三等角度+等边三角形+三角形周长 题型二十六三垂直问题+坐标系+比例最大 题型二十七三垂直问题+中点全等+等腰直角三角形+相似 题型二十八矩形+锐角三角函数+一线三垂直+实际应用 题型二十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+面积最值+角度代换+特殊角度+线段计算 题型三十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+角平分线+特殊角度 题型三十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段和差+动点探究+直角三角形存在性 题型三十二等腰三角形+半角模型+旋转全等+线段和差+勾股定理+特殊角度 题型三十三直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+位置关系+动点探究 题型三十四等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段最值+翻折变换+面积计算 题型三十五正方形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+特殊角度+线段和差+动态探究 题型三十六矩形+手拉手模型+旋转相似+线段比例+中点构造+线段最值 题型三十七等边三角形+等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+勾股定理+线段计算 题型三十八等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+中点构造+角平分线性质 题型三十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+线段最值+动点探究 题型四十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+特殊角度+勾股定理逆用 题型四十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+平行线性质+角平分线性质 题型四十二等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段关系+动态探究+勾股定理 题型四十三等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+线段相等证明+角度关系推导+中点性质 题型四十四等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段关系+动态探究 题型四十五等腰三角形+手拉手模型+旋转相似+中点构造+线段比例+黄金分割 题型四十六等腰三角形 + 圆内接三角形 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 线段和差 + 特殊角度到一般角度推广 题型四十七等腰三角形 + 直角三角形 + 等边三角形 + 手拉手模型 + 旋转相似 + 线段比例 + 动态探究 题型四十八直角四边形 + 角平分线 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 相似三角形 + 线段计算 题型一坐标系+反比例函数+一线三垂直+相似 1．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 题型二正方形+旋转90°+一线三垂直+面积最值 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 题型三正方形+一线三垂直+等腰直角三角形+相似三角形 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 题型四坐标系+反比例函数+一线三垂直+45°角+相似 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 题型五旋转90°+一线三垂直+全等三角形+实际应用 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 题型六正方形+一线三垂直+相似三角形+面积计算 6．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 题型七直角三角形+平行线+一线三垂直+相似三角形+最值问题 7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 题型八正方形+折叠+一线三垂直+相似三角形 8．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 题型九坐标系+正方形+折叠+一线三垂直+坐标计算 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 题型十直角梯形+一线三等角+相似三角形+动点问题 10．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 题型十一角平分线+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 11．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 题型十二一线三垂直（一线三等角）+相似三角形+动点最值问题 12．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 题型十三正方形/矩形/直角四边形+一线三垂直+相似（全等）三角形+线段比例 13．（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； (2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 题型十四正方形+一线三垂直+全等三角形+角平分线 14．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值．   题型十五赵爽弦图+旋转90°+一线三垂直+全等三角形+面积计算 15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 题型十六双正方形+一线三垂直+相似三角形+动点最值问题 16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 题型十七正方形+一线三垂直+全等三角形+线段数量关系 17．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 题型十八等腰直角三角形+旋转90°+一线三垂直+全等三角形 18．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值． 题型十九坐标系+旋转90°+一线三垂直+坐标计算 19．（2025望花区一模）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二十正方形+一线三垂直+全等三角形+线段长度计算 20．（2025·天津·一模）如图，正方形边长为6，点E在边上，，且，G为的中点，则：    （1）的度数为 ； （2）的长为 ． 题型二十一反比例函数+一线三垂直+相似三角形+三角函数计算 21．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 题型二十二反比例函数+一线三垂直+相似三角形+坐标计算 22．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 题型二十三二次函数+等腰直角三角形+一线三垂直+坐标计算2 23．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 题型二十四反比例函数+一线三垂直+相似三角形+30°直角三角形性质 25．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型二十五一线三等角度+等边三角形+三角形周长 26．（20255枣庄15中模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 题型二十六三垂直问题+坐标系+比例最大 27．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为 ． 题型二十七三垂直问题+中点全等+等腰直角三角形+相似 28．（2024陕西模拟预测）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=． 【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH． 【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG． 题型二十八矩形+锐角三角函数+一线三垂直+实际应用 29．（2024怀安县模拟）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角，木箱的长()为2米，高()和宽都是1.6米．通过计算判断：当，木箱底部顶点与坡面底部点重合时，木箱上部顶点会不会触碰到汽车货厢顶部． 题型二十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+面积最值+角度代换+特殊角度+线段计算 30．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 题型三十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+角平分线+特殊角度 31．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 题型三十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段和差+动点探究+直角三角形存在性 32．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 题型三十二等腰三角形+半角模型+旋转全等+线段和差+勾股定理+特殊角度 33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 题型三十三直角三角形+手拉手模型+旋转相似+旋转全等+线段关系+位置关系+动点探究 34．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 题型三十四等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段最值+翻折变换+面积计算 35．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 题型三十五正方形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+特殊角度+线段和差+动态探究 36．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 题型三十六矩形+手拉手模型+旋转相似+线段比例+中点构造+线段最值 37．（2025·广西·一模）【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值，_____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 题型三十七等边三角形+等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+勾股定理+线段计算 38．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 题型三十八等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+中点构造+角平分线性质 39．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有 ． 题型三十九直角三角形+手拉手模型+旋转相似+线段最值+动点探究 40．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 题型四十等边三角形+手拉手模型+旋转全等+特殊角度+勾股定理逆用 41．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 题型四十一等边三角形+手拉手模型+旋转全等+多结论判断+平行线性质+角平分线性质 42．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 题型四十二等边三角形+手拉手模型+旋转全等+线段关系+动态探究+勾股定理 43．（2025·江西赣州·一模）【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由； (3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 题型四十三等腰三角形+手拉手模型+旋转全等+线段相等证明+角度关系推导+中点性质 44．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 题型四十四等腰直角三角形+手拉手模型+旋转全等+中点构造+线段关系+动态探究 45．（2025·山东·模拟预测）【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问题：如图1，在四边形中，，当点O为的中点时，则易证． 【类比分析】 （1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片与（其中），拼摆成点C ，B， E共线时，如图2，连接，取的中点O，连接，请直接写出与的数量关系； （2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将绕点B逆时针旋转角度α（），如图3，小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由； 【拓展应用】 （3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将绕点B逆时针旋转α（），若，，当时，请求出线段的长． 题型四十五等腰三角形+手拉手模型+旋转相似+中点构造+线段比例+黄金分割 46．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！ 【Ⅰ．“手拉手”模型】 如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接． （1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ． （2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 【Ⅱ．“黄金三角形”】 （3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比． （4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比． 满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值． 题型四十六等腰三角形 + 圆内接三角形 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 线段和差 + 特殊角度到一般角度推广 47．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 题型四十七等腰三角形 + 直角三角形 + 等边三角形 + 手拉手模型 + 旋转相似 + 线段比例 + 动态探究 48．（2025·河南商丘·模拟预测）综合与实践 初步探究 (1)如图1，在等腰中，，，，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到．连接，则______． 类比探究 (2)如图2，在中，，．是斜边的中点，，是线段上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，求的值．（用含的式子表示） 拓展延伸 (3)如图3，已知等边的边长为10，是边的中点，是边上一点，，将绕点旋转，得到，连接，请直接写出的长． 题型四十八直角四边形 + 角平分线 + 手拉手模型 + 旋转全等 + 相似三角形 + 线段计算 49．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，与交于点E，平分，若，，，则线段的长为 ． $