6.3 二元一次方程组的应用 课件 2025--2026学年冀教版 数学 七年级下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，通过植树节植树、车间零件配套等实际问题导入，引导学生从情境中找等量关系，搭建“问题引导—列方程组—求解检验”的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，如“复兴号”过桥问题引导画示意图分析路程关系，结合“审设列解验答”步骤培养数学思维，通过表格、公式归纳强化数学语言表达，助力学生提升模型意识和应用能力，教师可直接使用分层例题与练习，提高教学效率。

6.3 课时1 二元一次方程组的应用 3月12日是我国的植树节.这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动.如果平均每人每天挖树坑6个或植树10棵，那么怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？ 问题1 上面的问题中，存在哪两个等量关系？ ① 挖树坑的人数+植树的人数=240 ②挖树坑的人数×6=植树的人数×10 问题2 假设每天安排x名学生挖树坑，y名学生植树，那么列出的二元一次方程组是怎样的？ ① ② 问题3 试着解问题2中的所列的二元一次方程组 将①变形为x=240-y. ③ 将③代入②，得6（240-y）=10y. 解这个方程，得y=90. 将y=90代入①，得x=150. 所以方程组的解为 答：每天安排150名学生挖树坑，90名学生植树，才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗. ① ② 与同学交流，你能说说用二元一次方程组解决实际问题一般有哪些步骤吗？ 实际问题 寻找适当的等量关系 建立二元一次方程组 解二元一次方程组 检验 实际问题的解 交流讨论 根据题意，得 某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件.已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1 个甲种零件与2个乙种零件为一套.如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套? 分析：上面的问题中，存在哪两个等量关系？试着解答这个问题. ①生产甲种零件的人数+生产乙种零件的人数=660 ②甲种零件的个数×2=乙种零件的个数 解：设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 答：设安排275人生产甲种零件，385人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 1.审清题意，找出题目中的等量关系 3.根据等量关系列方程组 4.解方程组 5.检验答案的正确性和合理性 6.写答 解得 ① ② 注意每套产品中各部分的比例 2.设未知数 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 1.审：审清题意，找出题目中的等量关系. 2.设：用字母表示题中的未知数. 3.列：根据等量关系列二元一次方程组. 4.解：利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，求出未知数的值. 5.验：检验答案的正确性和合理性. 6.答：写答. 练一练 1.小华4年后的年龄与小丽4年前的年龄相等.3年后，她们两人的年龄和等于她们年龄差的3倍.求小华和小丽今年的年龄. 分析：本题中的等量关系如下： ①小华今年的年龄+4=小丽今年的年龄-4 ②(小华今年的年龄+3)+(小丽今年的年龄+3)=3×两人的年龄差 根据题意，得 解：设小华今年x岁,小丽今年y岁. 答：小华今年5岁,小丽今年13岁. 解得 ① ② 注意：此处应用小丽的年龄减去小华的年龄. 练一练 2.某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.该市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 分析：本题中的等量关系如下： ①胜的场数+平的场数=11 ②胜场得分+平场得分=27 根据题意，得 解：设市第二中学足球队胜x场，平y场. 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. 解得 题中出现的量在表格中呈现如下 胜场 平场 合计 场数 x y 11 得分 3x y 27 ① ② 列方程组解决问题 关键：找出两个等量关系，列出两个方程组 一般步骤：审、设、列、解、验、答 1.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意如下：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出4钱；每人出 钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则下列方程组正确的为(　　) A. B . C. D. B 2.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23 cm，小红所搭的小树高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，那么x＋y＝______. 5 3.涟水河是涟源的母亲河，为打造涟水河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成.A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天. 根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 　乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义： 甲：x表示__________________________，y表示___________________________. 乙：x表示__________________________， y表示__________________________. A工程队整治河道所用的时间 B工程队整治河道所用的时间 A工程队整治河道的米数 B工程队整治河道的米数 4.某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后,余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后,余下的快件数是甲仓库余下的快件数的 还多210件.问甲、乙两个仓库原有快件各多少件？若设甲、乙两个仓库原有快件分别有x件和y件.你能列出方程组吗？ 第二课时 说一说：观察图片，你能说出“顺水”“逆水”是什么意思吗？你能求出船在静水中的速度和水流的速度吗? 我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动.他们分工合作，在一架3150 m长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为42.5 s,列车完全在桥上的时间约为32.5 s.你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗? (1)你能根据题意画出示意图吗？ 列车完全在桥上经过的路程 列车完全驶离桥经过的路程 思考 (2)列车从车头上桥，到车尾离开，所走过的路程是什么？ (3)列车从车尾上桥，到车头离开，所走过的路程是什么？ 桥长+车长 桥长-车长 桥长3150 m 车长 若用x、y分别表示火车的速度(单位：m/s) 和长度(单位：m)， 由此，你可以找出怎样的等量关系？列出怎样的方程组？ 桥长3150 m 车长 动画演示，形象直观，更容易理解题目. 17 列车42.5s内所行路程=桥长+车长 列车32.5s内所行路程=桥长-车长 等量关系： 可列方程组： 解：设“复兴号”列车过桥时的速度为x m/s,列车长度为y m. 根据题意，得 (4)解答上面的问题. 解这个方程组，得 答：“复兴号”列车过桥时的 速度为84 m/s，列车的长度为420 m. 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总数将比去年招生总数增加18%，今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？ 分析：你能找出等量关系吗？试着解决这个问题. 今年：七年级招生人数+高中一年级招生人数=500×(1+18%) 去年：七年级招生人数+高中一年级招生人数=500 今年七年级招生人数=去年七年级招生人数×(1+20%) 今年高中一年级招生人数=去年高中一年级招生人数×(1+15%) 活动1 利用二元一次方程组解决增长率问题 解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名. 解得 此时（1+20%）x=（1+20%）×300=360， （1+15%）y=（1+15%）×200=230. 答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名. 根据题意，得 注意：此时的x，y是去年的值，题干要求的是今年的值 若将今年的值设为未知数，应该如何列方程组呢？ 解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名. 解得 答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名. 根据题意，得 比较两种方法的解题步骤，你认为哪种方法更简单？ 设直接未知数求解的过程比较烦琐时，可设间接未知数. 也可额外引入变量（辅助未知数），使问题简单化. 增长率问题 基本关系式： 增长率＝（增长后的量－增长前的量）/增长前的量×100% 相等关系： 增长前的量×(1＋增长率) ＝增长后的量； 下降前的量×(1－降低率) ＝下降后的量． 要点归纳 23 甲、乙两人在 400 m的环形跑道上练习赛跑.若两人同时同地反向跑，则经过 25 s第一次相遇；若两人同时同地同向跑，则经过250 s甲第一次追上乙.甲、乙两人的速度各是多少？ 分析本题中的等量关系，并试着解决这个问题. 同时同地出发，同向而行(第一次追上)： 同时同地出发，相向而行： 甲跑的路程+乙跑的路程=400 甲跑的路程-乙跑的路程=400 400 m 即甲比乙多跑一圈 活动2 利用二元一次方程组解决相遇/追及问题 解：设甲的速度是x m/s，乙的速度是y m/s. 解得 答：甲的速度是8.8 m/s，乙的速度是7.2 m/s. 根据题意，得 当甲第二次追上乙时，甲比乙多跑了多少米呢？ 相遇/追及问题 环形路线： 相遇：一圈长度＝（v甲+v乙）×相遇时间 追及：（每追上一次，快者比慢者多跑一圈，n表示追及次数） n×一圈长度＝（v甲－v乙）×追及时间 直线路线： 相遇：总路程＝（v甲+v乙）×相遇时间 追及：追及路程（初始距离差）＝（v甲－v乙）×追及时间 要点归纳 26 一件商品,如果按定价打九折出售可以盈利20%,如果按定价打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价和进价是多少元? 解:设此商品的定价为x元,进价是y元, 答:此商品的定价为200元,进价是150元. 解得 由题意得 提示 售价=标价×折扣数÷10 售价=进价×（1+利润率） 利润=实际售价-进价 利润率=利润÷进价×100% 活动3 利用二元一次方程组解决销售率问题 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [二元一次方程（组）] 解方程（组） 数学问题的解 检 验 实际问题的答案 审、设、列、解、验、答 利用二元一次方程组解决问题的基本过程 28 二元一次方程组的应用 销售率问题 设元方法:直接法,间接法和设辅助元 利润= 实际售价—进价（或成本） 售价=进价×(1+利润率) 增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量 原量×（1-减少率）=减少后的量 行程问题 路程=速度×时间 行船问题(拓展) v顺水=v船在静水中的速度+v水流 v逆水=v船在静水中的速度-v水流 相遇/追及问题 环形路线 直线路线 如图,某型号动车由一节车头和若干节车厢组成,每节车厢的长度都相等.已知该型号动车挂8节车厢以38 m/s的速度通过某观测点用时6 s,挂12节车厢以41 m/s的速度通过该观测点用时8 s. (1)车头及每节车厢的长度分别是多少米? (2)小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时,如果车头进隧道5 s后他也进入了隧道,此时车内屏幕显示速度为180 km/h,请问他乘坐的是几号车厢? 解:(1)设车头x米,车厢每节y米, 根据题意得 解得 答:车头28米,车厢每节25米. (2)180 km/h=50 m/s, (50×5-28)÷25=8.88. 答:小明乘坐的是9号车厢. $