圆锥曲线01：椭圆的方程与几何性质【知识梳理+13大题型归纳】讲义-2026届高三数学二轮复习

2026年高考二轮复习强化讲义 【圆锥曲线01：椭圆的方程与几何性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求椭圆的轨迹方程】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹两个定点叫焦点两焦点间距离叫焦距 2椭圆的标准方程： 焦点在轴上：焦点满足 焦点在轴上：焦点满足 3轨迹方程的核心：找到动点满足的几何条件转化为坐标等式化简得到方程 常考结论 1椭圆定义式：（为椭圆上任意一点） 2椭圆的一般方程：可表示焦点在任意轴上的椭圆 解题方法 1定义法：优先用椭圆定义若动点满足到两定点距离和为定值（大于两定点距离）直接确定写出标准方程 2直接法：建系设点列几何等式坐标化化简去杂（剔除不符合条件的点） 3相关点法（代入法）：动点的运动由另一动点带动用的坐标表示的坐标代入的轨迹方程得到的轨迹 4参数法：用参数表示动点坐标消参得到普通方程 5待定系数法：设椭圆标准方程代入已知条件求解 （2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线．经典例题1例题 (1)证明为定值，并求曲线的方程； （2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值．小试牛刀1 (1)求动点的轨迹的方程； （25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高三下·重庆·月考）已知圆和点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（   ）小试牛刀3 A．当时，点的轨迹为圆 B．当时，点的轨迹为抛物线 C．当时，点的轨迹为椭圆 D．当时，点的轨迹为双曲线 【题型2：通过几何条件求椭圆的标准方程】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆标准方程的确定：需确定焦点位置（轴/轴）求解核心关系 2常见几何条件：焦点坐标顶点坐标离心率焦距长轴长短轴长过定点等 3椭圆的参数方程：（为参数）可用于简化计算 常考结论 1椭圆的长轴长短轴长焦距 2椭圆的顶点坐标：焦点在轴上顶点；焦点在轴上顶点 解题方法 1定位：根据焦点位置设对应标准方程（焦点位置不确定时分两种情况讨论或设一般方程） 2定量：利用已知几何条件列方程求解 3验证：验证确保方程符合椭圆定义 4技巧：已知离心率可设用简化计算 （2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______.经典例题1例题 （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若 ，则到轴的距离为___________．经典例题2例题 （25-26高二上·北京·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是__________.小试牛刀1 （25-26高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为______.小试牛刀2 （2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：椭圆上的点到焦点的距离最值】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆上任意一点到焦点的距离（焦半径） 焦点在轴上：（为离心率） 焦点在轴上： 2椭圆的有界性： 常考结论（核心秒杀结论） 1椭圆上的点到焦点的最大距离：（对应长轴端点） 2椭圆上的点到焦点的最小距离：（对应长轴端点） 3焦半径公式：（焦点在轴上）可直接计算距离 解题方法 1焦半径公式法：直接用焦半径公式结合的范围求最值 2定义法：利用转化为求另一焦半径的最值 3坐标法：设用距离公式表示结合椭圆方程转化为二次函数求最值 4几何法：利用椭圆的几何性质长轴端点到焦点距离取最值直接得出结果 （25-26高三下·河北沧州·月考）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （2023·陕西西安·三模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （22-23高三·云南·月考）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A．9 B．16 C．25 D．50 （22-23高二上·吉林·期末）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（    ）小试牛刀2 A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 （24-25高二下·上海·月考）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________.小试牛刀3 【题型4：椭圆上的点到焦点与定点的距离和差最值】 【解题策略】 知识梳理 1核心原理：椭圆定义结合三角形三边关系（两边之和大于第三边两边之差小于第三边） 2常见最值类型：（为焦点为定点）等 常考结论 1若为椭圆内定点为焦点则的最小值为最大值为 2若为椭圆外定点为焦点则的最小值为（为另一焦点利用定义转化） 解题方法 1和的最值：利用椭圆定义将转化为则再用三角形三边关系求最值 2差的最值：直接用三角形三边关系当共线时取最值 3对称法：定点在椭圆外时作焦点关于直线的对称点转化为两点间距离求最短路径 4验证：验证取最值时点的位置是否在椭圆上确保结果有效 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______.经典例题1例题 （23-24高三上·福建厦门·月考）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.经典例题2例题 （25-26高二上·重庆荣昌·月考）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ）小试牛刀1 A． B． C．3 D． （25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高二上·湖南株洲·月考）设实数满足的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．前三个答案都不对 【题型5：椭圆焦点三角形面积问题】 【解题策略】 知识梳理 1焦点三角形定义：椭圆上一点与两焦点构成的 2核心关系： 常考结论（高考高频秒杀结论） 1焦点三角形面积公式：（） 2当为短轴端点时最大面积最大最大值为 3面积的另一种表达：（为点纵坐标的绝对值） 解题方法 1公式法：直接用已知时快速求面积 2坐标法：用结合椭圆方程求的最值 3余弦定理法：在中用余弦定理结合求再用面积公式 4技巧：求最大面积时直接用为短轴端点面积 （2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·湖北·模拟预测）设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·陕西西安·月考）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ）小试牛刀3 A． B． C．的周长为 D．面积为 【题型6：椭圆焦点三角形周长问题】 【解题策略】 知识梳理 1焦点三角形的周长： 2椭圆定义： 常考结论 1焦点三角形的周长：（定值与点位置无关） 2过焦点的弦则的周长为（为焦点） 解题方法 1定义法：直接用椭圆定义周长 2弦长周长问题：过焦点的弦构成的三角形用周长 3验证：结合的关系确保周长计算正确 （25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2022·湖南长沙·二模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上， ，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （22-23高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ）小试牛刀1 A．10 B．14 C．18 D．20 （23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·天津南开·月考）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______．小试牛刀3 【题型7：通过椭圆的有界性求范围或最值】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆的有界性：焦点在轴上；焦点在轴上 2核心应用：将椭圆上点的坐标用参数表示或用椭圆方程转化结合有界性列不等式求参数范围或最值 常考结论 1椭圆上点的坐标范围： 2椭圆离心率范围： 解题方法 1坐标法：设在椭圆上用椭圆方程将用表示代入目标表达式结合的范围求最值 2参数法：用椭圆参数方程将目标表达式转化为三角函数求最值 3判别式法：将直线与椭圆联立由列不等式求参数范围 4不等式法：利用基本不等式结合椭圆方程求最值 （24-25高二上·湖北荆州·期末）已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.经典例题1例题 （2022·安徽淮北·一模）已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____.小试牛刀1 （2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________．小试牛刀2 （24-25高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：通过几何条件求椭圆的离心率】 【解题策略】 知识梳理 1离心率定义：（）反映椭圆的扁平程度越大椭圆越扁 2核心关系：离心率的变形公式： 常考结论 1离心率公式： 2焦点三角形中当为短轴端点时（） 3椭圆的离心率与的比例关系： 解题方法 1定义法：根据几何条件找到的关系直接求 2公式法：用找到的关系求 3几何法：利用椭圆的几何性质（如焦点三角形通径中点弦等）建立的等式求 4技巧：将等式两边同除以转化为关于的方程求解 （2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·四川雅安·二模）已知曲线：（），曲线：的离心率分别为，，且，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：通过几何代数条件求椭圆离心率范围】 【解题策略】 知识梳理 1离心率范围的核心：找到的不等式关系结合求解范围 2常见条件：焦点三角形的角度范围点与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系有界性等 常考结论 1椭圆离心率范围： 2若为锐角则；若为直角则；若为钝角则（为短轴端点） 解题方法 1几何法：利用焦点三角形的角度关系列不等式结合余弦定理求的范围 2有界性法：利用椭圆上点的坐标范围列不等式转化为的不等式 3判别式法：直线与椭圆有交点由列不等式求的范围 4函数法：将表示为关于某参数的函数求函数的值域得到的范围 5验证：最终范围需满足剔除不符合的部分 （25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖北十堰·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B．16 C．7 D．8 （25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：求椭圆的焦点弦长】 【解题策略】 知识梳理 1焦点弦定义：过椭圆焦点的直线与椭圆相交所得的弦 2核心公式：弦长公式（联立直线与椭圆方程用韦达定理） 3焦点弦的焦半径公式：（焦点在轴右焦点） 常考结论 1焦点弦长公式：（为焦点弦的倾斜角） 2通径（垂直于长轴的焦点弦）是最短的焦点弦长度为 3焦点弦的焦半径和：（左焦点） 解题方法 1韦达定理法：设直线方程联立椭圆方程用韦达定理求代入弦长公式 2焦半径公式法：用简化计算 3倾斜角公式法：已知倾斜角直接用快速求弦长 4验证：通径长度可用于验证弦长计算的正确性 （23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ）经典例题1例题 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． （24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高二下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （22-23高三上·浙江·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型11：求椭圆的弦长】 【解题策略】 知识梳理 1弦长公式：设直线与椭圆交于联立得一元二次方程则 （） 2特殊情况：直线斜率不存在时弦长为 常考结论 1弦长公式的变形：（适用于斜率不存在的情况） 2椭圆的中点弦长：结合点差法可求弦长的最值 解题方法 1韦达定理法：通用方法设直线方程联立椭圆求用韦达定理代入弦长公式 2焦半径法：焦点弦用焦半径公式简化计算 3参数法：用直线参数方程联立椭圆弦长为适用于过定点的弦 4注意：斜率不存在的情况单独讨论避免漏解 （2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则______.经典例题2例题 （24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则___________．小试牛刀1 （25-26高二上·重庆·期中）记椭圆C：（）的离心率为，一个顶点坐标为，则直线被椭圆截得的弦长__________.小试牛刀2 （24-25高三·全国·二轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作斜率为的直线，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且，则________．小试牛刀3 【题型12：椭圆的中点弦（点差法）】 【解题策略】 知识梳理 1点差法原理：设弦的端点中点代入椭圆方程两式相减得到斜率与中点的关系 2椭圆中点弦斜率公式： 焦点在轴上： 焦点在轴上： 常考结论（秒杀结论） 1椭圆中点弦斜率公式：（为原点为弦中点） 2以为中点的弦所在直线方程：（焦点在轴上） 解题方法 1点差法步骤： ①设弦端点中点 ②将代入椭圆方程两式相减 ③因式分解结合 ④求出斜率用点斜式写直线方程 ⑤验证确保直线与椭圆有两个交点 2公式法：直接用中点弦斜率公式快速求直线方程 3韦达定理法：联立直线与椭圆用韦达定理求中点坐标验证结果 （25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________．经典例题1例题 （25-26高三·上海·二轮复习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______.经典例题2例题 （2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______.小试牛刀1 （2025·浙江·二模）已知斜率大于零的直线交椭圆 于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为______．小试牛刀2 （24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为___________．小试牛刀3 【题型13：椭圆的通径】 【解题策略】 知识梳理 1通径定义：过椭圆焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦 2通径的端点坐标：焦点在轴上右焦点通径端点 常考结论（核心结论） 1通径长度：（椭圆最短的焦点弦） 2通径的端点坐标： 3通径与离心率的关系： 解题方法 1直接代入法：将（焦点在轴上）代入椭圆方程求出弦长为 2焦点弦公式法：通径倾斜角代入焦点弦长公式 3应用：通径是最短的焦点弦常用于焦点弦长的最值问题 （2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________．经典例题1例题 （24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____.经典例题2例题 （24-25高二上·江西·月考）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为___________.小试牛刀1 （24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·广东广州·月考）已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 7．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2007·湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 三、填空题 13．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 14．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 15．（2021·上海·高考真题）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________ 16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考二轮复习强化讲义 【圆锥曲线01：椭圆的方程与几何性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求椭圆的轨迹方程】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹两个定点叫焦点两焦点间距离叫焦距 2椭圆的标准方程： 焦点在轴上：焦点满足 焦点在轴上：焦点满足 3轨迹方程的核心：找到动点满足的几何条件转化为坐标等式化简得到方程 常考结论 1椭圆定义式：（为椭圆上任意一点） 2椭圆的一般方程：可表示焦点在任意轴上的椭圆 解题方法 1定义法：优先用椭圆定义若动点满足到两定点距离和为定值（大于两定点距离）直接确定写出标准方程 2直接法：建系设点列几何等式坐标化化简去杂（剔除不符合条件的点） 3相关点法（代入法）：动点的运动由另一动点带动用的坐标表示的坐标代入的轨迹方程得到的轨迹 4参数法：用参数表示动点坐标消参得到普通方程 5待定系数法：设椭圆标准方程代入已知条件求解 （2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线．经典例题1例题 (1)证明为定值，并求曲线的方程； 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而， 所以，即为定值, 由题设得， 由椭圆的定义可得，所求曲线的方程为. （2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. （25-26高三上·安徽·月考）在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值．小试牛刀1 (1)求动点的轨迹的方程； 【详解】（1）设，由题意得，整理得，即，         又点在轴上方，故的方程为． （25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【多选题】（24-25高三下·重庆·月考）已知圆和点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（   ）小试牛刀3 A．当时，点的轨迹为圆 B．当时，点的轨迹为抛物线 C．当时，点的轨迹为椭圆 D．当时，点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【分析】作出图形，结合中垂线的性质、圆、椭圆、双曲线的定义判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 对于A选项，如下图所示： 当时，点与圆心，此时点为线段的中点， 由题意可知，此时点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，A对； 对于B选项，当时，点与原点重合，如下图所示： 因为，由中垂线的性质可知，点与点重合，此时点的轨迹为圆心，B错； 对于C选项，当时，点在圆内，如下图所示： 此时点在线段上，由中垂线的性质可得， 所以， 由椭圆的定义可知，此时点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，C对； 对于D选项，当时，点在圆外，如下图所示： 此时，点直线上（除去线段），由中垂线的性质可得， 则， 此时点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，D对. 故选：ACD. 【题型2：通过几何条件求椭圆的标准方程】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆标准方程的确定：需确定焦点位置（轴/轴）求解核心关系 2常见几何条件：焦点坐标顶点坐标离心率焦距长轴长短轴长过定点等 3椭圆的参数方程：（为参数）可用于简化计算 常考结论 1椭圆的长轴长短轴长焦距 2椭圆的顶点坐标：焦点在轴上顶点；焦点在轴上顶点 解题方法 1定位：根据焦点位置设对应标准方程（焦点位置不确定时分两种情况讨论或设一般方程） 2定量：利用已知几何条件列方程求解 3验证：验证确保方程符合椭圆定义 4技巧：已知离心率可设用简化计算 （2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______.经典例题1例题 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设，则，。 因为，所以。 根据椭圆的定义可得，得​， 因此，。 在中，； 在​中，​，​，， 由，得， 对​用余弦定理： ， 对​用余弦定理：， 所以化简得：， 又椭圆中， 所以，即。 因此椭圆的方程为 （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若 ，则到轴的距离为___________．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】首先画出图形，利用数形结合转化为点也在另一个椭圆上，通过联立方程，即可求解. 【详解】如图，正方形是曲线表示的图形，，，，， 椭圆的焦点分别为，，， 所以，所以点也在以点，为焦点的椭圆上，椭圆方程为， 联立，解得：，则 所以点到轴的距离为. 故答案为： （25-26高二上·北京·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是__________.小试牛刀1 【答案】或（二选一即可） 【分析】由椭圆的对称性确定椭圆必经过，然后设椭圆方程，由在椭圆上或在椭圆上即可求出椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的对称性可知，必在椭圆上， 设椭圆方程为， 若在椭圆上，则，解得，即椭圆方程为， 若在椭圆上，则，解得，即椭圆方程为， 故答案为：或（二选一即可） （25-26高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理来计算，即可求解. 【详解】 因为，所以， 设，则， 根据椭圆定义可知： 由可得：， 所以有，则， 即，而，则， 所以为椭圆的短轴端点，且是等腰直角三角形， 即，又因为，所以， 因为，所以的值为， 故答案为： （2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 【题型3：椭圆上的点到焦点的距离最值】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆上任意一点到焦点的距离（焦半径） 焦点在轴上：（为离心率） 焦点在轴上： 2椭圆的有界性： 常考结论（核心秒杀结论） 1椭圆上的点到焦点的最大距离：（对应长轴端点） 2椭圆上的点到焦点的最小距离：（对应长轴端点） 3焦半径公式：（焦点在轴上）可直接计算距离 解题方法 1焦半径公式法：直接用焦半径公式结合的范围求最值 2定义法：利用转化为求另一焦半径的最值 3坐标法：设用距离公式表示结合椭圆方程转化为二次函数求最值 4几何法：利用椭圆的几何性质长轴端点到焦点距离取最值直接得出结果 （25-26高三下·河北沧州·月考）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . （2023·陕西西安·三模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值. 【详解】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且， 又，， 则 由于，所以， 于是可得，，所以椭圆C的离心率. 故选：B. （22-23高三·云南·月考）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A．9 B．16 C．25 D．50 【答案】C 【分析】由椭圆定义有，再应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 所以，即，故最大值为. 故选：C （22-23高二上·吉林·期末）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（    ）小试牛刀2 A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求出，可得的最大值为，的最小值为，求出答案. 【详解】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为， 由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和， 由椭圆定义可知：， 所以的最大值为，的最小值为. 故选：C （24-25高二下·上海·月考）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 【题型4：椭圆上的点到焦点与定点的距离和差最值】 【解题策略】 知识梳理 1核心原理：椭圆定义结合三角形三边关系（两边之和大于第三边两边之差小于第三边） 2常见最值类型：（为焦点为定点）等 常考结论 1若为椭圆内定点为焦点则的最小值为最大值为 2若为椭圆外定点为焦点则的最小值为（为另一焦点利用定义转化） 解题方法 1和的最值：利用椭圆定义将转化为则再用三角形三边关系求最值 2差的最值：直接用三角形三边关系当共线时取最值 3对称法：定点在椭圆外时作焦点关于直线的对称点转化为两点间距离求最短路径 4验证：验证取最值时点的位置是否在椭圆上确保结果有效 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】先求解的最小值，结合圆的特点可得答案. 【详解】椭圆的左焦点，圆化为， 圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以; 的最小值为； 因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而， 所以的最小值为. 故答案为： （23-24高三上·福建厦门·月考）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.经典例题2例题 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义结合图形得出当四点共线时，取得最小值，从而可得出答案. 【详解】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. （25-26高二上·重庆荣昌·月考）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ）小试牛刀1 A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义将化为，再结合即可求出答案. 【详解】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. （25-26高二上·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆定义将问题转化为求的最小值问题，结合图形分析即可得解. 【详解】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A （23-24高二上·湖南株洲·月考）设实数满足的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可求代数式的最小值. 【详解】设，则在椭圆上， 又， 设，则为椭圆的右焦点， 如图，设椭圆的左焦点为，则： ， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的在最小值为， 故选：A.    【题型5：椭圆焦点三角形面积问题】 【解题策略】 知识梳理 1焦点三角形定义：椭圆上一点与两焦点构成的 2核心关系： 常考结论（高考高频秒杀结论） 1焦点三角形面积公式：（） 2当为短轴端点时最大面积最大最大值为 3面积的另一种表达：（为点纵坐标的绝对值） 解题方法 1公式法：直接用已知时快速求面积 2坐标法：用结合椭圆方程求的最值 3余弦定理法：在中用余弦定理结合求再用面积公式 4技巧：求最大面积时直接用为短轴端点面积 （2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . （2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. （2025·湖北·模拟预测）设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出的外接圆与内切圆半径，根据构造齐次式，求椭圆的离心率. 【详解】如图： 的外接圆半径： . 设，，所以 . 所以. 又，所以. 由得 . 又，所以 ， 又，所以. 故选：B （2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    （25-26高二上·陕西西安·月考）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ）小试牛刀3 A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【分析】利用椭圆定义可判断C选项；利用余弦定理结合椭圆定义可判断B选项；利用三角形面积公式可判断D选项；利用三角形的面积公式可求出的值，结合椭圆方程可求出的值，可判断A选项. 【详解】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 【题型6：椭圆焦点三角形周长问题】 【解题策略】 知识梳理 1焦点三角形的周长： 2椭圆定义： 常考结论 1焦点三角形的周长：（定值与点位置无关） 2过焦点的弦则的周长为（为焦点） 解题方法 1定义法：直接用椭圆定义周长 2弦长周长问题：过焦点的弦构成的三角形用周长 3验证：结合的关系确保周长计算正确 （25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义计算周长后判断选项即可. 【详解】因为椭圆C：， 所以，， 所以， 故的周长为． 故选：C （2022·湖南长沙·二模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上， ，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，可得，，三点共线，且，根据的周长为4，结合椭圆的定义求得，设，根据，求得点坐标，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以，，三点共线，且. 因为，分别为和的中点， 所以，所以. 设，，， 由，可得， 求得，，所以. 因为点在椭圆上，所以，求得，， 所以椭圆的方程为. 故选：B. （22-23高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ）小试牛刀1 A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得. 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D （23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D （25-26高二上·天津南开·月考）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】利用椭圆的离心率确定形状，设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式计算求解. 【详解】设椭圆半焦距为，由其离心率为，得， 则椭圆的方程为，而的上顶点为，为其焦点， 则，为等边三角形，又，因此直线垂直平分， ，且直线的倾斜角为， 直线方程为，设， 由，得，则， ，解得，， 所以的周长为. 故答案为： 【题型7：通过椭圆的有界性求范围或最值】 【解题策略】 知识梳理 1椭圆的有界性：焦点在轴上；焦点在轴上 2核心应用：将椭圆上点的坐标用参数表示或用椭圆方程转化结合有界性列不等式求参数范围或最值 常考结论 1椭圆上点的坐标范围： 2椭圆离心率范围： 解题方法 1坐标法：设在椭圆上用椭圆方程将用表示代入目标表达式结合的范围求最值 2参数法：用椭圆参数方程将目标表达式转化为三角函数求最值 3判别式法：将直线与椭圆联立由列不等式求参数范围 4不等式法：利用基本不等式结合椭圆方程求最值 （24-25高二上·湖北荆州·期末）已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得. 【详解】由题可得，， 设，因为点P在线段AB上， 所以， ∴ ， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. （2022·安徽淮北·一模）已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得 ，再结合条件及二次函数的性质即求. 【详解】由题可得， ∴，即椭圆， ∴，直线方程为， ∴，又， 设，则，， ∴ ，又， ∴当时，有最小值为. 故选：C. （2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： （2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可． 【详解】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：． （24-25高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据平方关系得到，即可得到点在椭圆上，则当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值，设切线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，即可得解. 【详解】因为，即，所以， 又，所以，即点在椭圆上， 又点在椭圆外，所以当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值， 设切线方程为，由，消去整理得， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出点在椭圆上，从而将问题转化为过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值. 【题型8：通过几何条件求椭圆的离心率】 【解题策略】 知识梳理 1离心率定义：（）反映椭圆的扁平程度越大椭圆越扁 2核心关系：离心率的变形公式： 常考结论 1离心率公式： 2焦点三角形中当为短轴端点时（） 3椭圆的离心率与的比例关系： 解题方法 1定义法：根据几何条件找到的关系直接求 2公式法：用找到的关系求 3几何法：利用椭圆的几何性质（如焦点三角形通径中点弦等）建立的等式求 4技巧：将等式两边同除以转化为关于的方程求解 （2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，记的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是， 则，，， 由，，两式相减可得， 即，得. 又，所以E为的中点，则，可得. 又因为，即， 所以，可得，即 解得离心率. （2026·四川雅安·二模）已知曲线：（），曲线：的离心率分别为，，且，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解. 【详解】由椭圆：（）可得：， ，离心率； 由双曲线：可得：， ，离心率； 又，即，两边同时平方得：， 化简得：，计算得：. （2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. （2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，在中，由正弦定理得， 又因为，所以，整理得， 因为为三角形内角，，所以，则， 故，即是以为直角顶点的直角三角形， 在中， ，由勾股定理得，代入，得，解得，所以， 根据椭圆的定义，有，所以， 因此，椭圆的离心率. （25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助椭圆的定义与余弦定理可得与、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】，，设，则， 又由，则，可得，则， 又由，在中，由余弦定理， 有，则，故. 【题型9：通过几何代数条件求椭圆离心率范围】 【解题策略】 知识梳理 1离心率范围的核心：找到的不等式关系结合求解范围 2常见条件：焦点三角形的角度范围点与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系有界性等 常考结论 1椭圆离心率范围： 2若为锐角则；若为直角则；若为钝角则（为短轴端点） 解题方法 1几何法：利用焦点三角形的角度关系列不等式结合余弦定理求的范围 2有界性法：利用椭圆上点的坐标范围列不等式转化为的不等式 3判别式法：直线与椭圆有交点由列不等式求的范围 4函数法：将表示为关于某参数的函数求函数的值域得到的范围 5验证：最终范围需满足剔除不符合的部分 （25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【详解】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D （25-26高二上·湖北十堰·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】设交轴于点，则， ， 则，即， 即，结合椭圆离心率， 得， 则离心率的最小值为. 故选：D. （25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B．16 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先分别设出椭圆和双曲线的基本量，再分别由椭圆和双曲线的定义及焦点三角形的面积综合可得进而再由基本不等式可得所求和式的最小值. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为，所以. 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，如图： 设，则由椭圆和双曲线定义可得——①，——②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得——③， ③得——④，由面积公式可得， 即，代入④整理得，即，所以， 即，因为，所以， 所以，得，所以， 即，所以， 即 ， 当且仅当时等号成立，即，再代入 解得，故的最小值为. 故选：A （25-26高二上·四川眉山·期末）已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆上一点，利用平面向量数量积以及椭圆的范围得出不等式即可求出离心率的取值范围. 【详解】依题意设椭圆上一点，所以，可得； 所以， 因此，即， 也即，所以， 因为，所以可得，因此， 即，即， 因此离心率为. 故选：B （25-26高二上·河北·月考）若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 【题型10：求椭圆的焦点弦长】 【解题策略】 知识梳理 1焦点弦定义：过椭圆焦点的直线与椭圆相交所得的弦 2核心公式：弦长公式（联立直线与椭圆方程用韦达定理） 3焦点弦的焦半径公式：（焦点在轴右焦点） 常考结论 1焦点弦长公式：（为焦点弦的倾斜角） 2通径（垂直于长轴的焦点弦）是最短的焦点弦长度为 3焦点弦的焦半径和：（左焦点） 解题方法 1韦达定理法：设直线方程联立椭圆方程用韦达定理求代入弦长公式 2焦半径公式法：用简化计算 3倾斜角公式法：已知倾斜角直接用快速求弦长 4验证：通径长度可用于验证弦长计算的正确性 （23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ）经典例题1例题 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】结合椭圆性质以及光学性质得，再结合即可得解. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设， 则. 故，解得. 又，所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是充分结合光学性质以及椭圆定义，将线段长度都用来表示，由此即可顺利得解. （24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D （23-24高二下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D （2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，，求出和，由条件得，依次求得线段的中点坐标和其中垂线斜率，写出中垂线方程，令，求得点横坐标即得. 【详解】 如图，由题意知，设，， 根据点A，B在C上，则，， 所以， 同理可得，所以， 所以， 因线段的中点为，， 则的垂直平分线的斜率为， 又由，，作差化简得：， 则线段垂直平分线的方程为， 令，得：， 解得，所以. 故选：A. （22-23高三上·浙江·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出，设点，其中，，根据两点间的距离公式求出点的坐标，进而可求得直线的斜率. 【详解】在椭圆中，，，则，所以，点、， 因为，可得， 设点，其中，且， ， 解得，则，可得，即点， 因此，直线的斜率为. 故选：C. 【题型11：求椭圆的弦长】 【解题策略】 知识梳理 1弦长公式：设直线与椭圆交于联立得一元二次方程则 （） 2特殊情况：直线斜率不存在时弦长为 常考结论 1弦长公式的变形：（适用于斜率不存在的情况） 2椭圆的中点弦长：结合点差法可求弦长的最值 解题方法 1韦达定理法：通用方法设直线方程联立椭圆求用韦达定理代入弦长公式 2焦半径法：焦点弦用焦半径公式简化计算 3参数法：用直线参数方程联立椭圆弦长为适用于过定点的弦 4注意：斜率不存在的情况单独讨论避免漏解 （2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则______.经典例题2例题 【答案】 【分析】由，得，不妨设点为上顶点，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，求出交点的横坐标，再由弦长公式求解． 【详解】依题意得，，得 则，而，得， 则点为椭圆的短轴的一个端点，不妨设点为上顶点，即 则直线的方程为：， 即， 由，消去，得， 得或， 得， 故答案为： （24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则___________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为，整理得， 联立，得，则， 所以， 故答案为：. （25-26高二上·重庆·期中）记椭圆C：（）的离心率为，一个顶点坐标为，则直线被椭圆截得的弦长__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】由已知条件可得椭圆方程，与直线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】由题可得：解得：，所以椭圆方程为：, 设直线与椭圆的交点为, 联立，可得：, 所以,则； 故答案为： （24-25高三·全国·二轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作斜率为的直线，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且，则________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先设直线方程，再联立得出，，再应用弦长公式计算化简求值即可. 【详解】设直线AB的方程为， 联立 得，， 则，， ， 同理可得， 由， 化简得，则． 故答案为：. 【题型12：椭圆的中点弦（点差法）】 【解题策略】 知识梳理 1点差法原理：设弦的端点中点代入椭圆方程两式相减得到斜率与中点的关系 2椭圆中点弦斜率公式： 焦点在轴上： 焦点在轴上： 常考结论（秒杀结论） 1椭圆中点弦斜率公式：（为原点为弦中点） 2以为中点的弦所在直线方程：（焦点在轴上） 解题方法 1点差法步骤： ①设弦端点中点 ②将代入椭圆方程两式相减 ③因式分解结合 ④求出斜率用点斜式写直线方程 ⑤验证确保直线与椭圆有两个交点 2公式法：直接用中点弦斜率公式快速求直线方程 3韦达定理法：联立直线与椭圆用韦达定理求中点坐标验证结果 （25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内，故直线与椭圆相交， 设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，， 又，代入，可得，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. （25-26高三·上海·二轮复习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______.经典例题2例题 【答案】 【分析】设弦的中点E的坐标为，由题可得，，列式求出，进而求得答案. 【详解】设弦的中点E的坐标为，连接，. 因为，且为的中点，有， 又由椭圆中点弦的结论可得， 于是，，解得，. 于是直线l的方程为. 由于，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件. 所以直线l的方程为. 故答案为：. （2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. （2025·浙江·二模）已知斜率大于零的直线交椭圆 于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为______．小试牛刀2 【答案】/0.5 【分析】设直线为，，推出，联立椭圆方程，设，则，并求出的坐标，线段的中点为线段的中点，从而得到方程，求出答案. 【详解】设直线为，， 若，此时均与原点重合，，但，故不合要求， 所以， 与联立得， ，解得， 设，则，故， 中，令得，故，令得，故， 的中点坐标为， 是线段的三等分点，故线段的中点为线段的中点， 故，解得，负值舍去. 故答案为： （24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且 ，，则直线的方程为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由 ，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 【题型13：椭圆的通径】 【解题策略】 知识梳理 1通径定义：过椭圆焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦 2通径的端点坐标：焦点在轴上右焦点通径端点 常考结论（核心结论） 1通径长度：（椭圆最短的焦点弦） 2通径的端点坐标： 3通径与离心率的关系： 解题方法 1直接代入法：将（焦点在轴上）代入椭圆方程求出弦长为 2焦点弦公式法：通径倾斜角代入焦点弦长公式 3应用：通径是最短的焦点弦常用于焦点弦长的最值问题 （2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得. 【详解】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. （24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为_____.经典例题2例题 【答案】3 【分析】过焦点的弦长最短的是通径，通径为． 【详解】由已知，，通径长为， 则 的最小值． 故答案为：3. （24-25高二上·江西·月考）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为___________.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】由通径的求法得出，再由为直角三角形得出，建立方程求出即可得解. 【详解】因为当时，代入椭圆方程可得， 所以，不妨设在第一象限，则， 因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，， 所以，故，即， 可得，解得或（舍去）， 所以椭圆M的长轴长为. 故答案为： （24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程及a，b，c的关系，可得c值，不妨设l过右焦点，可得A，B点的横坐标，代入椭圆方程，可得纵坐标，即可得答案, 【详解】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. （25-26高三上·广东广州·月考）已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为椭圆的右焦点，将代入椭圆方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】在椭圆中，，，则. 不妨设点为椭圆的右焦点，则， 将代入椭圆的方程得，解得，故. 故选：B. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 7．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 9．（2007·湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可. 【详解】设点， 因为线段的中垂线过点，所以，即， 化简得， 因为，所以，即， 所以， 又因为，所以，解得. 故选：D. 10．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 11．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 二、多选题 12．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三、填空题 13．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】 【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于是，即，所以． 故答案为：；． 14．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 15．（2021·上海·高考真题）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________ 【答案】 【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解． 【详解】解：设，，则抛物线， 直线，联立方程组，解得，， 所以点的坐标为，所以，又，所以 所以，所以， 则， 所以抛物线的准线方程为：， 故答案为：． 16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 1 学科网（北京）股份有限公司 $