专题02 圆锥曲线的标准方程与几何性质（选填题）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线专题，围绕标准方程、几何性质、基本量运算及位置关系等核心考点，按考情分析、知识框架、题型攻坚的逻辑组织知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络和解题思路。 讲义特色在于紧密结合北京卷考情，分层设计复习内容，如对比三种圆锥曲线定义与性质表培养数学眼光，通过联立方程判断位置关系训练数学思维。设置真题动向分析与模拟题分层练习，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题02圆锥曲线的标准方程与几何性质 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 1 03 破·题型攻坚 2 考点一 圆锥曲线的基本量运算 2 真题动向 必备知识 知识1圆锥曲线的概念 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 命题预测 题型1圆锥曲线的标准方程 题型2椭圆、双曲线的离心率 题型3双曲线的渐近线 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 考点二 直线与圆锥曲线的位置关系 25 真题动向 必备知识 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 命题预测 题型1直线与圆锥曲线位置关系判断 题型2弦长问题 题型3切线问题 题型4最值范围问题 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线的标准方程与几何性质这部分内容主要考基础考点和基本方法，多以5分选择题或填空题形式呈现（解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线性质综合）。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 圆锥曲线的标准方程与几何性质 北京T11填空题5分 北京T6选择题4分 北京T12填空题5分 直线与圆锥曲线的位置关系 北京T13填空题5分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，解析几何基础部分仍会考圆锥曲线的几何性质，大概率以4分单选题形式出现，侧重标准方程、基本量的运算。难度中等。 考点一 圆锥曲线的基本量运算 1．(2025年北京高考数学真题T11填空题5分)已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 2．(2024年北京高考数学真题T11填空题5分)抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 3.(2023年北京高考数学真题T6选择题4分)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则(    ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为，所以，故. 故选：D. 4.(2023年北京高考数学真题T12填空题5分)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 5.(2022年北京高考数学真题T12填空题5分)双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先得，可得双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 6.(2021年北京高考数学真题T5选择题4分)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 知识1圆锥曲线的概念 1.椭圆 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆表示为集合：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2.双曲线 (1)与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 3.抛物线 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上． 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比(以下是焦点在x轴的情况) 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM| 点F不在直线l上 标准方程 y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 通径 2p 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 (0<e<1) (e>1) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 无 无 题型1圆锥曲线的标准方程 1．(24-25高二上·北京西城·期末)已知椭圆的一个焦点与抛物线()的焦点重合，则等于(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右焦点，即可得出抛物线的焦点，从而得解. 【详解】因为抛物线的焦点在轴的正半轴， 所以抛物线焦点与椭圆的右焦点重合， 又椭圆方程为，所以，所以 所以椭圆的右焦点为，所以抛物线焦点也是这个，即 故选：C 2．(24-25高二上·北京房山·期末)条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据椭圆的方程特征即可结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】方程表示的曲线是椭圆,则需要满足且， 因此不能推出方程表示的曲线是椭圆， 当时方程表示的曲线是椭圆能得到， 故是必要而不充分条件， 故选：B 3．(23-24高二上·北京朝阳·期末)若方程表示椭圆，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 4．(23-24高二上·北京海淀·期末)已知P为椭圆上的动点，，且，则(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】P为椭圆上的动点，，且， P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即，， 所以， 故选：C． 5．(24-25高二上·北京·期中)与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出所求方程的椭圆长半轴长即可. 【详解】椭圆的焦点坐标为， 所求方程的椭圆长半轴长， 所以所求方程为. 故选：A 6．(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线的一个顶点为，焦距为4，则的值为(    ) A．7或1 B．或 C．7或 D．或1 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据方程表示双曲线求参数的范围、根据椭圆过的点求标准方程、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】先代入点坐标待定，再分类讨论根据焦距求即可. 【详解】将代入曲线方程，解得；故曲线方程为. 由焦距为4，得，.由题意知，且 ，方程可化为， 当时，曲线为椭圆， ；故椭圆焦点在轴上，故， 则有，解得； 当时，曲线为双曲线，且焦点在轴上，双曲线的标准方程为， 所以，则有，解得； 综上所述，或. 故选：B. 7．(20-21高三上·北京·强基计划)已知一圆锥曲面顶点S，其母线与轴所成的角为，在轴线上取一点C，使得，过点C作一个与轴线夹角为的截面，则截得的曲线方程可表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、圆锥曲线、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则可得截得的曲线为椭圆且离心率为，求出其长轴后可得曲线方程. 【详解】根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率， 且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长， 因此椭圆的半焦距，进而所求曲线方程为． 故选：D. 8．(2024·北京海淀·一模)若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线定义的理解 【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果. 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 9．(23-24高三上·北京通州·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案. 【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为， 故选：A 10．(2020·北京东城·一模)已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足， 即，，满足，即必要性成立， 即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 11．(23-24高三上·北京顺义·期中)已知方程表示椭圆，则实数的取值范围 【答案】【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，解得或， 即实数的取值范围为. 故答案为： 12．(24-25高三上·北京顺义·月考)已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，并且与圆相切，则圆的半径 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的焦点坐标 【分析】求得双曲线右焦点，进而求得直线，利用点到直线的距离公式可求得圆的半径. 【详解】由，可得，所以， 所以的右焦点坐标为，所以直线的方程为，即， 又圆的圆心为坐标原点，半径为，又直线与圆相切，所以. 故答案为：. 13．(2025·北京海淀·三模)抛物线的准线与圆相切，则p的值为 ． 【答案】4或8【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的准线方程，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可 【详解】抛物线的准线方程为， 又的圆心，半径为1， 又准线与圆相切，所以或， 故答案为：4或8 14．(23-24高三上·北京西城·月考)已知点在抛物线上，以为圆心作圆与抛物线的准线相切，且截得轴的弦长为4，则 . 【答案】2或6【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由题意可知：抛物线的准线为，根据抛物线方程结合弦长关系列式运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 由题意可得：， 消去可得，解得或. 故答案为：2或6. 题型2椭圆、双曲线的离心率 1．(2024·北京朝阳·二模)已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据条件求得，然后解直角三角形即可得答案. 【详解】设双曲线左焦点为，如图：，可得， 由双曲线的定义字， 在中，， 在中，，即，可得. 故选：A. 2．(24-25高二上·北京·期末)椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】设椭圆方程为：，双曲线方程为：，过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,结合勾股定理确定的关系即可求解； 【详解】画出简图：设椭圆方程为：，双曲线方程为：， 因为P为，，的一个公共点，则， 联立可得：， 又抛物线的方程为，所以焦点坐标为：，准线方程为：， 过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,则， 又，结合， 易得，所以, 结合勾股定理：，及可得： ， 联立方程可得：，所以， 由抛物线离心率为1，所以，，离心率的乘积为4， 故选：D 3．(24-25高二上·北京延庆·期末)已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】根据为等腰直角三角形，故, 故；， 故选：B 4．(24-25高二上·北京大兴·期末)已知椭圆的右焦点为 F ，过原点的直线l与C 交于 A，B 两点，若，且，则椭圆C 的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性以及题设条件可得四边形为矩形，结合题设和椭圆定义推出，利用勾股定理可求出关系式，即可求得答案. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，， 则四边形为平行四边形，结合，则四边形为矩形，则， 由，得，又，则， 在中，，即， 则，即椭圆C 的离心率为， 故选：C 5．(24-25高二上·北京·期末)设椭圆的焦点为，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、判断命题的必要不充分条件、数量积的坐标表示 【分析】利用数量数量积的坐标表示，结合椭圆的几何性质，求出椭圆上存在一点使得的等价条件，然后判断推出关系是否成立，从而可得答案. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，， 则 椭圆上存在一点使得即；等价于, 易知=， ， 若成立，不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，所以必要性成立， 所以“”是“上存在一点，使得”的必要而不充分条件. 故选：B. 6．(24-25高三上·北京海淀·月考)已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的公共点，且轴，那么椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、抛物线的焦半径公式 【分析】将代入抛物线的方程求出，将代入椭圆的方程求出，可得， 结合，即可得出答案. 【详解】抛物线的焦点，不妨设在一象限， 令，则，所以， 令代入可得：， 所以，所以，所以， 所以，即，解得：或(舍去)， 故选：C. 7．(2024高三·北京·专题练习)已知以原点为中心的椭圆的左焦点为，离心率为，则的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据题意，列出满足的方程组，求解即可. 【详解】设椭圆，因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以，解得，所以的方程是． 故选：D. 8．(22-23高三上·北京大兴·期末)某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出方程，代入坐标即可求解. 【详解】设曲线的方程为：，代入点得：①， 代入点得：②，联立①②解得：，， 所以曲线为双曲线，其方程为：，离心率， 故选：D. 9．(22-23高三上·北京丰台·月考)双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】将点代入得出关系，由离心率得出关系，结合双曲线关系式即可求解. 【详解】将代入双曲线标准方程得，又，，联立解得，故双曲线的标准方程为. 故选：C 10．(2024·北京·三模)已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的离心率为； 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到渐近线的距离为， 由圆的弦长公式，可得. 故答案为：；. 题型3双曲线的渐近线 1．(25-26高三上·北京海淀·月考)双曲线的一条渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】直接根据双曲线的渐近线方程的公式求解即可. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 2．(23-24高三上·北京西城·期末)已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】依题意设双曲线方程为，即可得到，从而求出、，即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点是，设双曲线方程为， 则双曲线的渐近线为， 所以，解得，所以的方程是. 故选：D 3．(2024·北京东城·二模)已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为，代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 4．(2022·北京顺义·二模)已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的焦点坐标求得，再求渐近线方程即可. 【详解】根据题意，，故可得，则， 故双曲线的渐近线方程为，故是其中一条渐近线. 故选：A. 5．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线方程及离心率得，进而写出其渐近线方程. 【详解】由题设，可得，故，所以双曲线的渐近线为. 故选：C 6.(22-23高三上·北京·期末)已知双曲线过抛物线的焦点，虚轴端点是圆与坐标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出抛物线的焦点坐标，以及圆与轴的交点坐标，可得出、的值，由此可得出该双曲线渐近线的方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为，由于双曲线过点，则， 圆与轴的交点坐标为，由题意可知， 所以，该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 7．(25-26高二上·北京西城·期中)双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】因为双曲线方程为，则， 所以渐近线方程为， 故选： 8．(25-26高三上·北京·期中)双曲线的渐近线为，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得出关于的等式，解之即可. 【详解】在双曲线中，，则，， 故该双曲线的渐近线方程为，即，解得. 故选：A. 9．(25-26高三上·北京房山·月考)已知双曲线的渐近线方程为，则实数(   ) A． B．3 C．6 D．9 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】求出渐近线方程为，从而得到答案. 【详解】的渐近线方程为， 又渐近线方程为，故. 故选：B 10．(25-26高三上·北京·开学考试)若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程. 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 11．(25-26高三上·北京房山·开学考试)双曲线的渐近线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线方程易求得，进而可求双曲线的渐近线方程. 【详解】由，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：C. 12．(25-26高三上·北京丰台·开学考试)已知双曲线 的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据离心率及的关系可求得，进而求解即可. 【详解】由题意，则， 所以，则，即， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 13．(2024·北京通州·二模)已知圆心为C的圆与双曲线E：()交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由题意画出图形，得到，代入双曲线方程，再求出渐近线方程即可. 【详解】由题意可得的圆心，半径， 显然适合和， 即为圆与双曲线E：的一个交点， 且为双曲线的左顶点，则轴；因为，所以， 所以，解得或(舍)，所以， 代入双曲线方程可得，双曲线E的渐近线方程为， 故选：A. 14．(2025·北京海淀·三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为， 可得，即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 15．(22-23高三下·北京·开学考试)如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为(    )． A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】不妨设渐近线方程为，根据点到直线的距离得到，，得到双曲线方程. 【详解】不妨设渐近线方程为，即，下焦点为， 下焦点到渐近线的距离为，离心率， ，解得，故双曲线方程为. 故选：D 16．(2025高三·北京·专题练习)双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为(   ) A． B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为，则，解得， 又，，，. 故选：C. 17．(2023·北京·三模)设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D．2 【答案】B【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线方程得到它的渐近线方程为，已知两条渐近线 为正三角形的边所在的直线，得出两条渐近线的夹角为，根据渐近线的 对称性得出渐近线与x轴的夹角为，求出，再根据结合 求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 正三角形中，，即两条渐近线的夹角为. 设渐近线与x轴的夹角为θ，因为，所以， 所以，则， 因为两条渐近线关于x轴对称，故. 渐近线的斜率. 双曲线的离心率. 故选：B. 18．(2024·北京西城·一模)双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得. 【详解】由，故其渐近线方程为； 令，由题意可得，即有，解得， 故，即. 故答案为：；. 19．(23-24高三上·北京房山·开学考试)已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可． 【详解】双曲线的离心率为， 可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：， 一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1， 圆的圆心到直线的距离为：，所以． 故答案为：． 20.(2023·北京·模拟预测)已知双曲线的渐近线与圆相切，则 ；双曲线的离心率为 . 【答案】 / /【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】写出双曲线的渐近线方程，根据直线与圆相切求出的值，可得出、、的值，进而可求得双曲线的离心率的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为双曲线的渐近线与圆相切， 则，解得， 所以，，，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故答案为：；. 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 1．(24-25高三上·北京海淀·期末)设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【难度】0.94 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 2．(25-26高三上·北京·开学考试)已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则(   ) A．3 B． C．6 D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】点在抛物线上，抛物线开口向右，， 又点到抛物线焦点的距离为4，，. 故选：C. 3．(25-26高三上·北京·开学考试)已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.94 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义及题意列出关系式即可. 【详解】抛物线的准线为，则由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为， 故由题意可得，，得. 故选：B 4．(25-26高三上·北京·月考)抛物线上一点的横坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点的横坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为. 所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：D 5．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的标准方程先确定F坐标，结合定义与正三角形的性质计算即可. 【详解】由抛物线的定义可知，且，过作，可知D为的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C    6．(24-25高三上·北京海淀·月考)设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又，所以可得的倾斜角为， 则可得，从而. 故选：C. 7．(25-26高三上·北京西城·月考)已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为(   ) A．或 B． C．或 D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线的对称性的应用、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】假设等边三角形的边长，然后利用抛物线的定义进行计算即可. 【详解】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 假设等边三角形的边长为，如图： 由于，根据抛物线关于轴对称可知：与也关于轴对称，且满足垂直于轴. 设，所以，即， 又或， 得：或，解得：或. 故选：A 8．(25-26高三上·北京·月考)设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据题意，得到，得到，求得，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】如图所示，因为与的面积比为，可得与的面积比为， 所以，则， 又因为点的纵坐标为，可得，即，所以， 由抛物线的定义，可得. 故选：B. 考点二 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2024年北京高考数学真题T13填空题5分)若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】(或，答案不唯一)【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：(或，答案不唯一). 2.(2021年北京高考数学真题T12填空题5分)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：， 或|AB|＝. 题型1直线与圆锥曲线的位置关系判断 1．(25-26高三上·北京·月考)已知双曲线的一个焦点为，直线，则“点到直线的距离不小于1”是“直线与双曲线没有公共点”(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先根据直线与双曲线无公共点求的取值范围，再根据点到直线的距离公式进行判断. 【详解】双曲线的一个焦点. 因为直线与双曲线无公共点， 等价于方程无解，即.又有 . 所以“点到直线的距离不小于1”与“直线与双曲线没有公共点”等价. 所以“点到直线的距离不小于1”是“直线与双曲线没有公共点”的充分必要条件. 故选：C 2．(23-24高二上·北京·期末)在平面直角坐标系中，过且斜为k的直线l的方程为 ，联立该直线l方程与椭圆方程，消去y，可以得到关于x的一元二次方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】由直线的点斜式方程可得；将直线方程代入椭圆方程消元化简可解. 【详解】根据题意，直线的点斜式方程为， 化简为， 联立方程组， 消去y，得. 故答案为：； 3．(22-23高二上·北京·期末)若点到直线的距离小于，则在下列曲线中：①；②；③；④；与直线一定有公共点的曲线的序号是 .(写出你认为正确的所有序号) 【答案】①②③④【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、讨论椭圆与直线的位置关系、讨论双曲线与直线的位置关系、判断直线与抛物线的位置关系 【分析】将问题转化为直线必经过圆的内的点，分别作出每个选项与圆的图象，根据包含关系可确定结果. 【详解】若点到直线的距离小于，则直线必经过以为圆心，为半径的圆的内部， 即直线必经过圆的内的点； 对于①，作出与图象如下图所示， 则过圆内的点的所有直线与都有交点，①正确； 对于②，作出与图象如下图所示， 则过圆内的点的所有直线与都有交点，②正确； 对于③，作出与图象如下图所示， 则过圆内的点的所有直线与都有交点，③正确； 对于④，作出与图象如下图所示， 则过圆内的点的所有直线与都有交点，④正确. 故答案为：①②③④. 题型2弦长问题 1．(2025·北京大兴·三模)已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则(    ) A． B．2 C． D．4 【答案】D【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线与轴交点为，则，故，所以. 故选：D 2．(2020·北京朝阳·二模)直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是(    ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【解析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得， 由抛物线的定义知：， 故选：A 3．(25-26高三上·北京西城·月考)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则(   ) A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C【难度】0.85 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用抛物线的准线与点的横坐标的关系，求出、横坐标之和，再结合焦点弦长公式计算. 【详解】抛物线的准线为，. 设、，则、到直线的距离之和为. 由题知该和为7，故. 根据抛物线焦点弦长公式，. 故选：C. 4．(2025·广西·模拟预测)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则(   ) A． B． C．6 D．4 【答案】D【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知，因为直线AF的倾斜角为，轴，， 所以为等边三角形，故，，所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 5．(25-26高三上·北京·月考)抛物线的焦点为，点在上，，则 (    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先利用点在抛物线上求的关系，求出抛物线的焦点和准线，根据抛物线定义解得参数的值. 【详解】因为抛物线，点在上，所以， 因为，所以，即， 因为抛物线的焦点为，准线，， 根据抛物线定义可知，解得， 故选：B. 6．(2023·北京朝阳·二模)已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为 ；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线的中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据抛物线方程求焦点或准线、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由题设有且半径，抛物线准线为，即可得A到抛物线C准线的距离，根据对称性令和在两侧，易知为中点，设直线联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求. 【详解】由题设且半径，抛物线准线为，则A到抛物线C准线的距离为， 又，故A在抛物线内部，若抛物线上任意点， 则其到A的距离 ， 所以圆A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令和在两侧， 由易知：为中点， 若直线为，联立抛物线得， 所以，则，， 而，即，经检验，此时，故， 所以. 故答案为：4，. 题型3切线问题 1．(2023·北京丰台·二模)已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则(    ) A． B． C． D．8 【答案】C【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、根据双曲线的渐近线求标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线，由相切关系列出方程，求出答案. 【详解】变形为，故圆心为，半径为1， 的渐近线方程为， 不妨取，由点到直线距离公式可得，解得，负值舍去. 故选：C 2．(24-25高二上·北京·期末)经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 (    ) A． B． C． D．不确定 【答案】B【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求抛物线的切线方程 【分析】先求点坐标，再利用求出直线的方程，最后利用设而不求的思想及抛物线的定义即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，把代入抛物线方程得，即点的坐标为， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线联立消去得：， 因为直线是抛物线的切线，所以，所以直线的方程为， 设点的坐标为，则点的坐标为，所以. 故选：B 3．(2025高三·北京·专题练习)阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形(抛物线与其弦所在直线围成的图形)面积等于此弓形的内接三角形(内接三角形的顶点在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上)面积的．现已知直线与抛物线：交于两点，且为第一象限的点，在处的切线为，线段的中点为，直线轴所在的直线交于点，下列说法错误的是(    ) A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B．切线的方程为 C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 D．若分别取的中点，过且垂直轴的直线分别交于，则 【答案】C【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、圆锥曲线新定义 【分析】由题目面积新定义求解判断A；联立值域与抛物线求出点坐标，求导确定切线斜率，求切线方程判断B；令求解即可判断C；根据条件依次求出各点的坐标，分别计算三角形的面积即可判断D. 【详解】根据题意作出示意图，如图所示． 对于A，内接三角形的面积为，故A正确； 对于B，联立得解得 又为第一象限的点，当时，， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，由，得，令 ， 弓形面积为不等式不成立，C错误； 对于D，由知，轴，， 又的中点分别为，，成立，D正确. 故选：C． 4．(24-25高三上·北京·月考)已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为(    ) A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、数量积的坐标表示、求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设，利用导数的几何意义可得直线与直线的方程，进而得到点的坐标，结合点在直线上，得，即,根据数量积的坐标运算化简后即可得解． 【详解】设，由求导得， 则直线方程为，即， 同理可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得， 由点在直线上，得，即 故选：A． 题型4最值范围问题 1．(2024·北京怀柔·模拟预测)圆C的圆心在抛物线上，且圆C过抛物线的焦点，则圆C上的点到直线距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】结合抛物线定义以及圆上点到定直线距离的最值即可求解. 【详解】设圆心为，半径为， 由抛物线的焦点为，准线方程为，可得， 所以圆C上的点到直线距离的最小值为， 当且仅当此点为圆与准线的切点时取最小值. 故选：A. 2．(2025·北京东城·模拟预测)设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为(   )． A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意可得直线与圆的位置关系，根据抛物线方程，可得焦点坐标，从而设出直线方程，利用点到直线距离公式，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可知直线与圆不相交，则圆心到直线的距离大于等于半径，即， 由抛物线可得焦点，易知直线的斜率存在，设为，则直线， 由，则，整理可得，解得， 所以直线的斜率的最大值为. 故选：B. 3．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点、， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点， . 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立．所以的最小值为. 故答案为：. 4．(23-24高三上·北京海淀·月考)已知椭圆的中心为，、是椭圆上的两个不同的点且满足，给出下列四个结论： ①点在直线上投影的轨迹为圆；②的平分线交于点，的最小值为； ③面积的最小值为；④中，边上中线长的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】根据斜率是否存在分类设直线方程，利用，可求得点到直线的距离为定值，即可判断①；根据椭圆的对称性，的平分线及边上中线最小值都为点到直线的距离可判断②④；对于③可三角形相似和基本不等式求出的最小值，进而得到面积的最小值. 【详解】对于①，如图，作于，则点在直线上投影为点， 当直线斜率不存在时，设直线的方程为， 因，根据椭圆的对称性可知，若在第一象限，则， 代入得，得， 故直线方程为，此时为直线与轴的交点，， 根据椭圆的对称性知，当直线方程为，也符合题意，， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设、，则，， 因，故，即， 化简得， 即，得， 即点到直线的距离，则， 综上可知为定值，故点的轨迹是以为圆心以为半径的圆，故①正确； 对于②，由①可知点到直线的距离为， 的平分线交于点， 因为点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即， 当且仅当时，即当时，即当点、关于坐标轴对称时，等号成立， 所以，的最小值为，故②正确； 对于③，因为，， 所以，，则，则， 故，当且仅当时等号成立， 此时，故③正确； 对于④，当直线斜率不存在时， 根据椭圆的对称性，中，边上中线长即为，故④错误， 故答案为：①②③. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 上好每一堂课 专题02圆锥曲线的标准方程与几何性质 目录 01析考情精解…1 02构知能框架 03破题型攻坚… 考点一圆锥曲线的基本量运算… 真题动向 必备知识 知识1圆锥曲线的概念 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 题型1圆锥曲线的标准方程 题型2椭圆、双曲线的离心率 命题预测 题型3双曲线的渐近线 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 考点二 直线与圆锥曲线的位置关系： …10 真题动向 必备知识 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1直线与圆锥曲线位置关系判断 题型2弦长问题 命题预测 题型3切线问题 题型4最值范围问题 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线的标准方程与几何性质这部分内容主要考基 础考点和基本方法，多以5分选择题或填空题形式呈现（解答题考查直线与圆锥曲线 轨迹 的位置关系、圆锥曲线性质综合)。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 圆锥曲线的标准方 北京T6选择题4分 频次 北京T11填空题5分 程与几何性质 北京T12填空题5分 总结 直线与圆锥曲线的 北京T13填空题5分 位置关系 2026 预计在2026年北京卷高考中，解析几何基础部分仍会考圆锥曲线的几何性质，大概 率以4分单选题形式出现，侧重标准方程、基本量的运算。难度中等。 命题 预测 N0.2 构·知能框架 第1页共13页 学科网·上好课 上好每一堂课 题型1圆锥曲线的标准方程 考点一 圆锥曲 知识点1圆锥曲线的概念 题型2椭圆、双曲线的离心 线的基本量运算 率 知识点2圆锥曲线的标 题型3双曲线的渐近线 准方程及几何性质 题型4圆锥曲线中的线段与 三角形问题 专题2圆锥曲线的标 准方程与几何性质 题型1直线与圆锥曲线的位 考点二直线与圆 知识点1直线与圆锥 置关系的判断 锥曲线的位置关系 曲线的位置关系 题型2弦长问题 题型3切线问题 题型4最值范围问题 NO.3 破·题型攻坚 考点一 圆锥曲线的基本量运算 动 向 1.(2025年北京高考数学真题T11填空题5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则 p= 2.(2024年北京高考数学真题T11填空题5分)抛物线y2=16x的焦点坐标为 3.(2023年北京高考数学真题T6选择题4分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3 的距离为5，则MF1=() A.7 B.6 C.5 D.4 4.(2023年北京高考数学真题T12填空题5分)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为V2,则C的 方程为 5(2022年北京高考数学真题T12填空题5分)双曲线y2+号=1的渐近线方程为y=±号x,则m=一· 6(2021年北京高考数学真愿T5选择愿4分若双曲线C号-兰-1离心率为2，过点(V亿，V同，则该双庙线 的方程为() A.2x2-y2=1 B.x2-号=1 3 C.5x2-3y2=1D.号-若=1 备 知 识 第2页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知识1圆锥曲线的概念 1.椭圆 (1)平面内与两个定点F1,F,的距离的和等于常数（大于FF)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)椭圆表示为集合：P={MMF1十MF2=2a,|FF=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2心FF时，M点的轨迹为椭圆；②当2a=FF2时，M点的轨迹为线段F1F2: ③当2aF1F时，M点的轨迹不存在. 2.双曲线 (1)与两个定点F1,F2(FF=2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(22c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， (2)双曲线表示为集合：P={MMF-MF2=2a,F1F=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2<FF时，M点的轨迹是双曲线；②当2a=F1F2时，M点的轨迹是两条射线： ③当2心FF2时，M点不存在. 3.抛物线 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线1的距离相等：(3)定点不在定直线上 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比（以下是焦点在x轴的情况） 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 PF+PF2=2a(2a>FiF2) PF-PF2=2a(2a<FiF2) P=PM点F不在直线I上 标准方程 x2 y2 =1(a>b>0) x2 y2 a2+62 a26京=1(a>b>0) y2=2p.x(>0) 图形 范围 x≤a,b≤b x≥a x≥0 顶点 (±a,0),(0,±b) (±a,0) (0,0) 通径 2b2 2b2 2p a a 几对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 何 焦点 (±c,0) (0) 性 轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b 质 离心率 e-f e-s-1+D) e=1 准线 lix-ta hix-a =为 渐近线 无 b y=± 无 第3页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 题型1圆锥曲线的标准方程 1.(24-25高二上北京西城期末)已知椭圆二+兰=1的一个焦点与抛物线y2=2px0>0)的焦点重合，则p 6 2 等于() A,2 B.3 C.4 D.6 2.(24-25高二上北京房山期末)条件p:m>0,n>0,条件q:方程mx2+y2=1表示的曲线是椭圆，则p 是q() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.(23-24高二上北京朝阳期末)若方程二-二-1表示椭圆，则实数m的取值范围是() 4-m m A.(-0,0) B.(0,4 C.(4,+o) D.(-0,0)U(0,4 4.(23-24高二上北京海淀期未)已知P为椭圆c号+发=1上的动点，A(-10,B(1,0,且1PA+1P=4, 则b2=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2425高二上北京期中)与椭圆号+￥=1有相同焦点，且短轴长为4W5的椭圆的方程是() A+后=1B+若=1C.+后=1D.盖+=1 6.(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线C:mx2+y2=1的一个顶点为(0，V3),焦距为4，则m的值 为() A.7或1 B.或-1 C.7或-1 D.或1 7.(20-21高三上·北京·强基计划)已知一圆锥曲面顶点S,其母线与轴所成的角为30°，在轴线上取一点C, 使得SC=5,过点C作一个与轴线夹角为45°的截面，则截得的曲线方程可表示为() A.x2+2y2=25B.x2+3y2=50C.2x2+5y2=50D.2x2+6y2=75 8.(2024北京海淀一模)若双曲线号-茶=1(a>0,b>0)上的一点到焦点(-V5.0)的距离比到焦点(5.0) 的距离大b,则该双曲线的方程为() A.-y2=1 B.÷-y2=1 C.x2-=1 D.2-号=1 9.(23-24高三上·北京通州·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),P为双曲线上一点，且 第4页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 lPF2-PF=2,则双曲线的标准方程为() A2-若=1B.x2-6=1c.若-2=1D.6-2=1 10.(2020北京东城一模已知自线C的方程为-号=1，则a>b~是由线C为焦点在x轴上的楼圆的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 1.23,24病三上北京顺义期中)已知方程品+二=1表示椭圆，则实数m的取值范国 12.(2425高三上北京顺义月考)已知斜率为1的直线经过双曲线号-y2=1的右焦点，并且与圆x2+y2= r2相切，则圆的半径r=一 13.(2025·北京海淀·三模)抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x+3)2+y2=1相切，则p的值为 14.(23-24高三上北京西城月考)已知点M(xo,2V3)在抛物线C:y2=2pxp>0)上，以M为圆心作圆与抛物 线C的准线相切，且截得x轴的弦长为4，则p= 题型2椭圆、双曲线的离心率 1.(2024北京朝阳二模)已知双曲线c三-茶=1(a>0,b>0)的右焦点为R,c是双曲线C的半焦距， 点A是圆x2+y2=c2上一点，线段A与双曲线C的右支交于点B.若|FA=a,FA=2FB,则双曲线C的 离心率为() A.号 B.33 C.√7 D.3吃 2 2.(24-25高二上北京·期末)椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点F1(-c,0),F2(c,0),c>0,抛物线C3的方程 为y2=4cx,P为C,C2,C3的一个公共点，若tan-PF2F1=手则C1,C2,C3离心率的乘积为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24.25高二上北京延庆期末)已知椭圆C:茶+茶=1a>b>0)的左右焦点为F,P2:上下顶点为B1,B2, 若△F1B1F2为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为() A.月 B.9 c. D. 2 4(24-25高二上：北京大兴期末已知椭圆C:号+发=1(a>b>0的右焦点为P,过原点的直线1与C交 于A,B两点，若AF1BF,且|AF=3引BF,则椭圆C的离心率为() 第5页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.⑩ 5 B. C.v1o 4 D. 5.(24-25高二上·北京·期末)设椭圆C的焦点为F1,F2,离心率为e,则“eE(2,1)”是“C上存在一点P,使得PF· PF2<0的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6.(2425高三上北京海淀月考)已知椭圆C1:兰+茶=1(a>b>0)的右焦点P与抛物线C2:y2=2px(0>0) 的焦点重合，P为椭圆C1与抛物线C2的公共点，且PF1x轴，那么椭圆C1的离心率为() A.号 B.号 C.V2-1 D.3-1 7.(2024高三·北京·专题练习)已知以原点为中心的椭圆C的左焦点为F(-1,0),离心率为则C的方程是() A.号+号=1 B.+=1 c.￥+号=1 D.￥+皆=1 8.(22-23高三上·北京大兴·期末)某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴， 且过A(-21)和B(仔-写两点，则曲线C的离心率等于() A.月 B.9 C. D.9 9.(2.23高三上北京丰台月考)双曲线C兰-茶=1过点(V2,V同)，且离心率为V2,则该双曲线的标准方 程为() A2-2=1B.2-号=1C2-2-1D.号-号-1 10.2024北京三模)已知双曲线C:兰-x2=1.则C的离心率是 若C的一条渐近线与圆D:(x一 1)2+y2=1交于A,B两点，则AB|= 题型3双曲线的渐近线 1.(25-26高三上北京海淀月考)双曲线-x2=1的一条渐近线方程为() A.y=号x B.y=v3x C.y=3x D.y=x 2.(23-24高三上·北京西城期末)已知双曲线C的一个焦点是F1(0,2),渐近线方程为y=士√3x,则C的方程 是() 第6页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.2-号-1B.号-y2=1C.y2-号-1D.号-2=1 3.(2024北京东城二模)已知双曲线号-兰-1(a>0,b>0)过点(3，V回，且一条渐近线的倾斜角为30，则 双曲线的方程为() A号-y2-1B.2-苦-1C.若号-1D.2-2-1 4.(2022北京顺义·二模)已知双曲线c:号-y2=1的一个焦点为(V5,0）,则双曲线C的一条渐近线方程为() A.y=x B.y=2x C.y=v6x D.y=%6x 6 5.(25-26高三上北京顺义月考)已知双曲线C:三-y2=1的离心率为，则双曲线c的渐近线方程为() A.y=士x B.y=士2x C.y=x D.y=±V2x 6(2223高三上北京期末)已知双曲线号-兰-1过抛物线y2-8x的焦点，虚轴端点是圆2+y2-1与坐 标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为() A.y=±4x B.y=±x C.y=±2x D.y=±2x 7.2526高二上北京西城期中)双曲线-苦=1的渐近线方程为() A.y=士V2x B.y=+V3x C.y=±2x D.y=±3x 8.25-26高三上北京期中)双曲线-兰=1m≠0)的渐近线为y=±2x,则m的值为(） 4 m A.1 B.2 C.-1 D.-2 925-26高三上北京房山-月考)已知双曲线鳄-盖=10m>0)的渐近线方程为=士号x,则实数m=() A.9 B.3 C.6 D.9 10.(2526高三上北京开学考试)若双曲线C:三-y2=1a>0)上的某点到两个焦点的距离之差为4，则 双曲线的渐近线的方程为() A.y=±2x B.y=士V3x C.y=x D.y=±x 11.(25-26高三上北京房山开学考试双曲线-兰=1的渐近线方程为() 4-3 A.3x±4y=0B.4x±3y=0 C.V3x±2y=0D.2x±V3y=0 第7页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 12.(25-26高三上北京丰台开学考试已知双曲线号-茶=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐 近线方程为() A.y=±2x B.y=t号x c.y=±2x D.y=士x 13.2024北京通州二模)已知圆心为C的圆x+2)2+0-42=16与双曲线：苦茶=16>0)交于， B两点，且CA1CB,则双曲线E的渐近线方程为() Ay=t号x B.y=±号x C.y=+v2x D.y=士2X 14.(2025·北京海淀·三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近 线的方程为2x-y=0,则它的离心率为() A.V5 C.3 D.2 15.(22-23高三下·北京·开学考试)如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似 看成双曲线下支的一部分，且此双曲线紫-三-1(Q>0,b>0)的下焦点到近线的距离为3，离心率为2， 则该双曲线的标准方程为()· A苦-2=1B.苦号=1c.号-号=1D.-号-1 16.(2025高三北京专思练习)双曲线号-兰=1a>b>0)两条南近线的夹角为60，则该双曲线的离心率 e为() A.√2 B.2 C.23 D.3 17.(2023北京三模)设0是坐标原点，双曲线号-三=1(a>b>0)的渐近线为正三角形0AB的边0A,0B 所在的直线，则该双曲线的离心率为() A.③ B.23 D.2 2 3 C.v3 18.(2024北京西城一模双曲线M:x2-号-1的渐近线方程为 :若M与圆0：x2+y2=r2(r>0) 第8页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 交于A,B,C,D四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r= 19.(Q3-24高三上北京房山开学考试已知双曲线号-兰-1(a>0,b>0)的离心率为V5,其中一条渐近线 与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点，则AB|= 20,2023北京模拟预测)己知双曲线2-三-10m>0)的渐近线与圆2+2-4+3=0相切，则 m=一；双曲线的离心率为 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 1.(24-25高三上·北京海淀·期末)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,己知点A(x,2V3)在C上，则AF=() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26高三上·北京·开学考试)已知抛物线y2=2px上一点A(1,m)到其焦点的距离为4，则p=() A.3 B.-3 C.6 D.±6 3.(25-26高三上：北京·开学考试)已知点P(xo,yo)在抛物线C:y2=4x上，且点P到抛物线C焦点的距离等于 点P到直线x=5的距离，则xo=() A.1 B.2C.3D.4 4.(25-26高三上·北京·月考)抛物线y2=4x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.(25-26高三上·北京顺义·期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点，作PM1l 于点M,若△PMF为等边三角形，则P点的横坐标为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25高三上·北京海淀·月考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上的一点P作l的垂线，垂 足为Q,若LPQF=30°，则PQ1=() A.月 B. c. D.3 7.(25-26高三上：北京西城月考)己知等边三角形的一个顶点是抛物线y2=4x的焦点，另外两个顶点在抛物 线上，则这个等边三角形的边长为() A.8-4W3或8+4v3 B.4v3+8 C.4-23或4+2v3 D.4+23 第9页共13页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 8.(25-26高三上·北京·月考)设抛物线M:y2=2x的焦点为F,不经过F的直线与M交于A,B两点，与y轴交 于点C,点A的纵坐标为4，且△BCF与△ABF的面积之比是1：3，则|BF=() A.2 B.月 C. D.8 考点二】 直线与圆锥曲线的位置关系 1(2024年北京高考数学真题T13填空思5分)若直线y=kc-3)与双曲线号-y2=1只有一个公共点，则k 的一个取值为 2.(2021年北京高考数学真题T12填空题5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上，MN垂直x 轴于点N若MF=6,则点M的横坐标为；△MNF的面积为 知 识 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：l4Bl=V1+k.x1-x2l=V1+k.√x1+x2)2-4x1x2, 或4B=1+(2bM1-yl=1+0V1+y22-4yw2 命 ●●● 题型1直线与圆锥曲线的位置关系判断 1.(25-26高三上北京月考)已知双曲线C号-y2=1的一个焦点为，直线x+my=0,则点F到直线 的距离不小于1”是“直线与双曲线C没有公共点”() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.(23-24高二上·北京·期末)在平面直角坐标系中，过(1,1)且斜为k的直线1的方程为 ,联立该直 线1方程与椭圆方程+y2=1,消去，可以得到关于x的一元二次方程为】 第10页共13页学科网·上好课 上好每一堂课 专题02圆锥曲线的标准方程与几何性质 目录 01析考情精解…1 02构知能框架 03破题型攻坚… 考点一圆锥曲线的基本量运算… 真题动向 必备知识 知识1圆锥曲线的概念 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 题型1圆锥曲线的标准方程 题型2椭圆、双曲线的离心率 命题预测 题型3双曲线的渐近线 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 考点二 直线与圆锥曲线的位置关系： …25 真题动向 必备知识 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1直线与圆锥曲线位置关系判断 题型2弦长问题 命题预测 题型3切线问题 题型4最值范围问题 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线的标准方程与几何性质这部分内容主要考基 础考点和基本方法，多以5分选择题或填空题形式呈现（解答题考查直线与圆锥曲线 轨迹 的位置关系、圆锥曲线性质综合)。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 圆锥曲线的标准方 北京T6选择题4分 频次 北京T11填空题5分 程与几何性质 北京T12填空题5分 总结 直线与圆锥曲线的 北京T13填空题5分 位置关系 2026 预计在2026年北京卷高考中，解析几何基础部分仍会考圆锥曲线的几何性质，大概 率以4分单选题形式出现，侧重标准方程、基本量的运算。难度中等。 命题 预测 N0.2 构·知能框架 第1页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 题型1圆锥曲线的标准方程 考点一 圆锥曲 知识点1圆锥曲线的概念 题型2椭圆、双曲线的离心 线的基本量运算 率 知识点2圆锥曲线的标 题型3双曲线的渐近线 准方程及几何性质 题型4圆锥曲线中的线段与 三角形问题 专题2圆锥曲线的标 准方程与几何性质 题型1直线与圆锥曲线的位 考点二直线与圆 知识点1直线与圆锥 置关系的判断 锥曲线的位置关系 曲线的位置关系 题型2弦长问题 题型3切线问题 题型4最值范围问题 NO.3 破·题型攻坚 考点一 圆锥曲线的基本量运算 动 向 1.(2025年北京高考数学真题T11填空题5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则 p= 【答案】6【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离岁=3，故p=6, 故答案为：6. 2.(2024年北京高考数学真题T11填空题5分)抛物线y2=16x的焦点坐标为 【答案】(4,0)【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】形如y2=2px≠0)的抛物线的焦点坐标为，0)， 由此即可得解 【详解】由题意抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐标为(4,0) 故答案为：(4,0) 3.(2023年北京高考数学真题T6选择题4分)己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3 的距离为5，则|MF=() A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】利用抛物线的定义求解即可 【详解】因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上， 第2页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 所以M到准线x=-2的距离为MF, 又M到直线x=-3的距离为5，所以|MF+1=5,故|MF=4. 故选：D. 4.(2023年北京高考数学真题T12填空题5分)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为V2,则C的 方程为 【答案】号-兰=1【难度】085 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答 【详解】显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c=2, 由双曲线C的离心率为√2，得=√2，解得a=√2，则b=√c2-a2=√2， 所以双曲线C的方程为号-苦=1 故答案为：号-兰=1 5(2022年北京高考数学真题T12填空题5分)双曲线y2+片-1的渐近线方程为y-土号x,则m= 【答案】-3【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先得m<0,可得双曲线的标准方程，从而得到a、b,再跟渐近线方程得到方程，解得即可： 【详解】解：对于双曲线y2+兰=1，所以m<0,即双曲线的标准方程为y2-兰=1， 一m 则a=1,b=Vm,又双曲线y2+兰=1的渐近线方程为y=土号x, 所以好=兽即六号解得m=-3, 故答案为：-3 62021年北京高考数学真题T5选择思4分若双曲线c学-茶=1离心率为2，过点(V2V同，则该双曲线 的方程为() A.2x2-y2=1 B2-苦=1 C.5x2-3y2=1D.-y 261 【答案】B【难度】0.8 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】分析可得b=V3a,再将点（√2，√3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程 【详解】e=三=2，则c=2a,b=V-a=3a,则双曲线的方程为号益=1 将点(V2V同的坐标代入双曲线的方程可得号-品-京=1，解得a=1,故b=V3, 因此，双曲线的方程为2-号=1 故选：B 第3页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知 识 知识1圆锥曲线的概念 1.椭圆 (I)平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常数（大于FF)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 (2)椭圆表示为集合：P={MMF1十MF2=2a,|FF=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2心F1F时，M点的轨迹为椭圆；②当2a=|FF2时，M点的轨迹为线段F1F2; ③当2<F1F2时，M点的轨迹不存在. 2.双曲线 (1)与两个定点F1,F2(F1F2=2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2aK2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)双曲线表示为集合：P={MMF1-MF=2a,1FF2=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2<F1F2时，M点的轨迹是双曲线：②当21=FF2时，M点的轨迹是两条射线： ③当2心>FF2时，M点不存在。 3.抛物线 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线1的距离相等；(3)定点不在定直线上. 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比（以下是焦点在x轴的情况） 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 PF1+PF2=2a(2a>FF2) PF-PF2=2a(2a<FF2) PA=|PM点F不在直线1上 标准方程 x2,y2 a2+62=1(a>b>0) x2 y2 a2-6z=1(a>b>0) y2=2p.xp>0) 仪 y ↑y 图形 飞c0Ex 范围 x≤a,y≤b x≥a x≥0 顶点 (±a,0),(0,±b) (±a,0) (0,0) 几 通径 2b2 2b2 2p 何 a a 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 性 焦点 (±c,0) (3,0) 质 轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 e==1-0se<1) b2 e-s-. b2 a 1+ (e>l1) e=1 第4页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 准线 l:x=a2 x 渐近线 无 b y=±。X 无 题型1圆锥曲线的标准方程 1.(Q4-25高二上北京西城期末)已知椭圆+兰=1的一个焦点与抛物线y2=2x0>0)的焦点重合，则p 等于() A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C【难度】0.85 【知识点】根据椭圆方程求ā、b、c、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由y2=2px得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右焦 点，即可得出抛物线的焦点，从而得解 【详解】因为抛物线y2=2印x>0)的焦点(（侵，0)在x轴的正半轴， 所以抛物线焦点与椭圆的右焦点重合， 又椭圆方程为若+号=1，所以2=6=2.所以c=Va-D=V6-2=2 所以椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线焦点也是这个，即号=2，p=4 故选：C 2.(24-25高二上·北京房山期末)条件p:m>0,n>0,条件q:方程mx2+y2=1表示的曲线是椭圆，则p 是q() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据椭圆的方程特征即可结合必要不充分条件的定义即可求解 【详解】方程mx2+y2=1表示的曲线是椭圆，则需要满足m>0,n>0且m≠n, 因此p:m>0,n>0不能推出q:方程mx2+y2=1表示的曲线是椭圆， 当时q:方程mx2+y2=1表示的曲线是椭圆能得到p:m>0,n>0, 故p是q必要而不充分条件， 故选：B 3.(23-24高二上北京朝阳期末)若方程，足-二=1表示椭圆，则实数m的取值范围是() 4-m m A.(-∞，0) B.(0,4) C.(4,+∞) D.(-∞，0)U(0,4) 【答案】A【难度】0.94 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 第5页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围 2+2=1, 【详解】方程足-兰1变形得：名+ 4-m m 4-m>0 该方程要表示椭圆，则需要满足 -m>0,解得：m<0, (4-m≠-m 故选：A 4.(Q3-24商二上：北京海淀期末)已知P为椭圆c:号+发=1上的动点，A(-10.B(1.0,且PA+1P=4 4 则b2=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义求解。 【详解】P为椭圆C号+若-1上的动点，A(-1,0),B(L,0),且PA+P81=4>ABl, P的轨迹是以A(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆，且2a=4,即a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3, 故选：C 5.(2425高二上·北京期中)与椭圆号+兰=1有相同焦点，且短轴长为4W5的椭圆的方程是() A若+后=1B.后+若=1c.后+后=1 D.荒+号=1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距、根据ā、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出所求方程的椭圆长半轴长即可 【详解】椭圆二+兰=1的焦点坐标为(-V5,0).(W5,0), 49 4 所求方程的椭圆长半轴长α= (2W5)2+(5)2=5, 所以所求方程为+号-1 故选：A 6.(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线C:mx2+y2=1的一个顶点为(0，V3),焦距为4，则m的值 为() A.7或1 B.或-1 C.7或-1 D.域1 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据方程表示双曲线求参数的范围、根据椭圆过的点求标准方 程、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】先代入点(0，V3)坐标待定n,再分类讨论根据焦距求m即可. 第6页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【详解】将(0，V代入曲线方程Cmx2+y2=1,解得n=子故曲线方程为mx2+号=1 由焦距为4，得c=2,c2=4由题意知m≠0，且m+专方程可化为号+号=1， m 3 当m>0时，曲线C为椭圆，c2=4>3:故椭圆焦点在x轴上，故a2=1,b2=3 则有c2--3=4,解得m=主 当m<0时，曲线C为双曲线，且焦点在y抽上，双曲线C的标准方程考-兰1，一 所以a2=3,b2=-点则有c2=3+()=4,解得m=-1 综上所述，m=或-1. 故选：B 7.(20-21高三上·北京·强基计划)已知一圆锥曲面顶点S,其母线与轴所成的角为30°，在轴线上取一点C, 使得SC=5,过点C作一个与轴线夹角为45的截面，则截得的曲线方程可表示为() A.x2+2y2=25B.x2+3y2=50C.2x2+5y2=50 D.2x2+6y2=75 【答案】D【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、圆锥曲线、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据平面彼圈锥所得曲线形状的判断法则可得截得的曲线为椭圆且离心率为®一二二求出其长销 后可得曲线方程 【详解】根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率e=c©s45°=5， cos30°3 且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长2a=SC·sn30(+)=56, 因此椭圆的半焦距c=5,进而所求曲线方程为号+兰-1→22+6y2=75。 2 故选：D 8.024北京海淀一模若双曲线号苦=1〔Q>0,b>0)上的一点到焦点(-V5,0)的距离比到焦点(5,0) 的距离大b,则该双曲线的方程为() A.￥-y2=1 B.号-2=1 c.2-兰=1 D.x2_y2 1 【答案】D【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线定义的理解 【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a=b,c=√5，再结合a2+b2=c2,求出a,b,即可求出结果 【详解】由题知c=√5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b,又a2+b2=c2, 所以5a2=5,得到a2=1b2=4,所以双曲线的方程为x2-兰=1， 故选：D. 9.(23-24高三上·北京通州期末)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),P为双曲线上一点，且 第7页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 lPF2-PF=2,则双曲线的标准方程为() A2-若=1B.x2-6=1c.看-2=1D.6-2=1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由题意可设双曲线标准方程为后-茶=1，(a>0,b>0),进面确定a,c的值，求得b2,即得答案 【详解】由题意可设双曲线标准方程为后-专-1(a>0,6>0).焦距为2， 则由双曲线的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),可知c=3,， 由lPF2-lPF1=2,知2a=2,a=1,故b2=c2-a2=8, 故双曲线的标准方程为2-苦=1， 故选：A 10.(2020北京东城一模)已知曲线C的方程为-号三1，则a>b是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若a>b>0,则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a>-b>0, 即a>0,b<0,满足a>b,即必要性成立， 即a>b是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 11.(23-24高三上北京顺义期中)已知方程 程千：十二=1表示椭圆，侧实数m的取值范用 【答案】(-2，-)u(21)【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 m+2>0 【分析】依题意可得 1-m>0,解得即可. m+2≠1-m 【详解】因为方程品：+兰-1表示椭圆， m+21-m m+2>0 所以 1-m>0，解得-2<m<-域-<m<1, m+2≠1-m 即实数m的取值范围为(-2，-)u(-1) 故答案为：（-2-)() 12.24-25高三上北京顺义·月考)已知斜率为1的直线经过双曲线号-y2=1的右焦点，并且与圆x2+y2= r2相切，则圆的半径r= 第8页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【答案】5【难度】094 2 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的焦点坐标 【分析】求得双曲线右焦点，进而求得直线，利用点到直线的距离公式可求得圆的半径 【详解】时-y2=1,可得a2=2,b2=1,所以c=a2+b=V3, 所以-y2=1的右焦点坐标为W3,0),所以直线的方程为y-0=c-V3),即x-y-V3=0, 又圆x2+y2=r2的圆心为坐标原点0(0,0)，半径为r,又直线与圆相切，所以r=00=5 2 故答案为：号 13.(2025·北京海淀·三模)抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x+3)2+y2=1相切，则p的值为 【答案】4或8【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的准线方程，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可 【详解】抛物线y2=2知x0>0)的准线方程为x=一是 又(x+3)2+y2=1的圆心(-3,0)，半径为1， 又准线x=-与圆(x+3)2+y2=1相切，所以+3-1→p=4或p=8, 故答案为：4或8 14.(23-24高三上·北京西城月考)已知点M(xo,2V3在抛物线C:y2=2px(p>0)上，以M为圆心作圆与抛物 线C的准线相切，且截得x轴的弦长为4，则p= 【答案】2或6【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由题意可知：抛物线C的准线为x=-二，根据抛物线方程结合弦长关系列式运算求解。 【详解】由题意可知：抛物线C的准线为x=一 12=2px0 由题意可得： (2同+4=（+9 x0≥0 消去x可得p2-8p+12=0,解得p=2或p=6. 故答案为：2或6. 题型2椭圆、双曲线的离心率 1.(2024北京朝阳二模)已知双曲线c三-茶=1(a>0,b>0)的右焦点为R,c是双曲线C的半焦距， 点A是圆x2+y2=c2上一点，线段A与双曲线C的右支交于点B.若|FA=a,FA=2FB,则双曲线C的 离心率为() A. B.33 C.√7 D.3 2 第9页共36页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【答案】A【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据条件求得FBL,IF1B引，然后解直角三角形即可得答案 【详解】设双曲线左焦点为F1,如图：lFA=a,FA=2FB,可得FB=a, 由双曲线的定义字=2a+a-a, 在△ABF1中，1AFP=|BF2-AB2=空a2-a2=6a2, 在△AF1F中，IFF2=|AF12+AF,即42=6a2+a2=7a2,可得e=三=5 故选：A 2.(24-25高二上·北京·期末)椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点F1(-c,0),F2(c,0),c>0,抛物线C3的方程 为y2=4cx,P为C1,C2,C3的一个公共点，若tan4PF2F1=子则C1,C2,C,离心率的乘积为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方 程求焦点或准线 【分析】设椭圆方程为：三+兰=1，双曲线方程为：兰-兰-1，过点P分别向x=c,及x触作垂线，垂 足分别为A,B,结合勾股定理确定a,C,m的关系即可求解： 【详解】画出简图：设椭圆方程为：学+学=1，双曲线方程为：导-片=1： 因为P为C1,C2,C3的一个公共点，则|PF+IPF21=2a,lPFl-IPF21=2m, OB F 联立可得：IPF1=a+m,IPF2l=a-m, 又抛物线C3的方程为y2=4cx,所以焦点坐标为：Fz(c,0),准线方程为：x=-c, 过点P分别向x=-c,及x轴作垂线，垂足分别为A,B,则PA=PF2l=|BF1I=Q-m, 又tan_PF2R1=手结合cos2∠PF,F1+sin2∠PF,R=1, 第10页共36页 专题02圆锥曲线的标准方程与几何性质 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 1 03 破·题型攻坚 2 考点一 圆锥曲线的基本量运算 2 真题动向 必备知识 知识1圆锥曲线的概念 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 命题预测 题型1圆锥曲线的标准方程 题型2椭圆、双曲线的离心率 题型3双曲线的渐近线 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 考点二 直线与圆锥曲线的位置关系 10 真题动向 必备知识 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 命题预测 题型1直线与圆锥曲线位置关系判断 题型2弦长问题 题型3切线问题 题型4最值范围问题 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线的标准方程与几何性质这部分内容主要考基础考点和基本方法，多以5分选择题或填空题形式呈现（解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线性质综合）。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 圆锥曲线的标准方程与几何性质 北京T11填空题5分 北京T6选择题4分 北京T12填空题5分 直线与圆锥曲线的位置关系 北京T13填空题5分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，解析几何基础部分仍会考圆锥曲线的几何性质，大概率以4分单选题形式出现，侧重标准方程、基本量的运算。难度中等。 考点一 圆锥曲线的基本量运算 1．(2025年北京高考数学真题T11填空题5分)已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 2．(2024年北京高考数学真题T11填空题5分)抛物线的焦点坐标为 ． 3.(2023年北京高考数学真题T6选择题4分)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则(    ) A．7 B．6 C．5 D．4 4.(2023年北京高考数学真题T12填空题5分)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 5.(2022年北京高考数学真题T12填空题5分)双曲线的渐近线方程为，则 ． 6.(2021年北京高考数学真题T5选择题4分)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 知识1圆锥曲线的概念 1.椭圆 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆表示为集合：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2.双曲线 (1)与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 3.抛物线 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上． 知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比(以下是焦点在x轴的情况) 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM| 点F不在直线l上 标准方程 y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 通径 2p 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 (0<e<1) (e>1) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 无 无 题型1圆锥曲线的标准方程 1．(24-25高二上·北京西城·期末)已知椭圆的一个焦点与抛物线()的焦点重合，则等于(   ) A． B． C． D． 2．(24-25高二上·北京房山·期末)条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(23-24高二上·北京朝阳·期末)若方程表示椭圆，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．(23-24高二上·北京海淀·期末)已知P为椭圆上的动点，，且，则(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25高二上·北京·期中)与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的方程是(   ) A． B． C． D． 6．(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线的一个顶点为，焦距为4，则的值为(    ) A．7或1 B．或 C．7或 D．或1 7．(20-21高三上·北京·强基计划)已知一圆锥曲面顶点S，其母线与轴所成的角为，在轴线上取一点C，使得，过点C作一个与轴线夹角为的截面，则截得的曲线方程可表示为(    ) A． B． C． D． 8．(2024·北京海淀·一模)若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 9．(23-24高三上·北京通州·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 10．(2020·北京东城·一模)已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．(23-24高三上·北京顺义·期中)已知方程表示椭圆，则实数的取值范围 12．(24-25高三上·北京顺义·月考)已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，并且与圆相切，则圆的半径 ． 13．(2025·北京海淀·三模)抛物线的准线与圆相切，则p的值为 ． 14．(23-24高三上·北京西城·月考)已知点在抛物线上，以为圆心作圆与抛物线的准线相切，且截得轴的弦长为4，则 . 题型2椭圆、双曲线的离心率 1．(2024·北京朝阳·二模)已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为(    ) A． B． C． D． 2．(24-25高二上·北京·期末)椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高二上·北京延庆·期末)已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 4．(24-25高二上·北京大兴·期末)已知椭圆的右焦点为 F ，过原点的直线l与C 交于 A，B 两点，若，且，则椭圆C 的离心率为(    ) A． B． C． D． 5．(24-25高二上·北京·期末)设椭圆的焦点为，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高三上·北京海淀·月考)已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的公共点，且轴，那么椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 7．(2024高三·北京·专题练习)已知以原点为中心的椭圆的左焦点为，离心率为，则的方程是(    ) A． B． C． D． 8．(22-23高三上·北京大兴·期末)某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于(    ) A． B． C． D． 9．(22-23高三上·北京丰台·月考)双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 10．(2024·北京·三模)已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ． 题型3双曲线的渐近线 1．(25-26高三上·北京海淀·月考)双曲线的一条渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 2．(23-24高三上·北京西城·期末)已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是(    ) A． B． C． D． 3．(2024·北京东城·二模)已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 4．(2022·北京顺义·二模)已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 5．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 6.(22-23高三上·北京·期末)已知双曲线过抛物线的焦点，虚轴端点是圆与坐标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 7．(25-26高二上·北京西城·期中)双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 8．(25-26高三上·北京·期中)双曲线的渐近线为，则的值为(   ) A． B． C． D． 9．(25-26高三上·北京房山·月考)已知双曲线的渐近线方程为，则实数(   ) A． B．3 C．6 D．9 10．(25-26高三上·北京·开学考试)若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为(    ) A． B． C． D． 11．(25-26高三上·北京房山·开学考试)双曲线的渐近线方程为(   ) A． B． C． D． 12．(25-26高三上·北京丰台·开学考试)已知双曲线 的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 13．(2024·北京通州·二模)已知圆心为C的圆与双曲线E：()交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 14．(2025·北京海淀·三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为(    ) A． B． C． D． 15．(22-23高三下·北京·开学考试)如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为(    )． A． B． C． D． 16．(2025高三·北京·专题练习)双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为(   ) A． B．2 C． D． 17．(2023·北京·三模)设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D．2 18．(2024·北京西城·一模)双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ． 19．(23-24高三上·北京房山·开学考试)已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则 . 20.(2023·北京·模拟预测)已知双曲线的渐近线与圆相切，则 ；双曲线的离心率为 . 题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题 1．(24-25高三上·北京海淀·期末)设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．(25-26高三上·北京·开学考试)已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则(   ) A．3 B． C．6 D． 3．(25-26高三上·北京·开学考试)已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．(25-26高三上·北京·月考)抛物线上一点的横坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4    6．(24-25高三上·北京海淀·月考)设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则(   ) A． B． C． D． 7．(25-26高三上·北京西城·月考)已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为(   ) A．或 B． C．或 D． 8．(25-26高三上·北京·月考)设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则(    ) A． B． C． D． 考点二 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2024年北京高考数学真题T13填空题5分)若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 2.(2021年北京高考数学真题T12填空题5分)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 知识1直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：， 或|AB|＝. 题型1直线与圆锥曲线的位置关系判断 1．(25-26高三上·北京·月考)已知双曲线的一个焦点为，直线，则“点到直线的距离不小于1”是“直线与双曲线没有公共点”(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高二上·北京·期末)在平面直角坐标系中，过且斜为k的直线l的方程为 ，联立该直线l方程与椭圆方程，消去y，可以得到关于x的一元二次方程为 . 3．(22-23高二上·北京·期末)若点到直线的距离小于，则在下列曲线中：①；②；③；④；与直线一定有公共点的曲线的序号是 .(写出你认为正确的所有序号) 题型2弦长问题 1．(2025·北京大兴·三模)已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则(    ) A． B．2 C． D．4 2．(2020·北京朝阳·二模)直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是(    ) A．4 B．5 C．6 D．8 3．(25-26高三上·北京西城·月考)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则(   ) A．3 B．4 C．5 D．7 4．(2025·广西·模拟预测)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则(   ) A． B． C．6 D．4 5．(25-26高三上·北京·月考)抛物线的焦点为，点在上，，则 (    ) A．2 B．4 C．6 D．8 6．(2023·北京朝阳·二模)已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为 ；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则 . 题型3切线问题 1．(2023·北京丰台·二模)已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则(    ) A． B． C． D．8 2．(24-25高二上·北京·期末)经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 (    ) A． B． C． D．不确定 3．(2025高三·北京·专题练习)阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形(抛物线与其弦所在直线围成的图形)面积等于此弓形的内接三角形(内接三角形的顶点在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上)面积的．现已知直线与抛物线：交于两点，且为第一象限的点，在处的切线为，线段的中点为，直线轴所在的直线交于点，下列说法错误的是(    ) A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B．切线的方程为 C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 D．若分别取的中点，过且垂直轴的直线分别交于，则 4．(24-25高三上·北京·月考)已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为(    ) A．0 B．1 C．-2 D．-1 题型4最值范围问题 1．(2024·北京怀柔·模拟预测)圆C的圆心在抛物线上，且圆C过抛物线的焦点，则圆C上的点到直线距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 2．(2025·北京东城·模拟预测)设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为(   )． A． B． C． D．1 3．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 4．(23-24高三上·北京海淀·月考)已知椭圆的中心为，、是椭圆上的两个不同的点且满足，给出下列四个结论： ①点在直线上投影的轨迹为圆；②的平分线交于点，的最小值为； ③面积的最小值为；④中，边上中线长的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $