专题04 正方形12大考点（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学下学期新教材湘教版

命学科网 www.zxxk.com 专题04 正方形 ☆12大高频考点概览 考点01正方形概念理解 考点02根据正方形的性质求角度 考点03根据正方形的性质求线段长 考点04根据正方形的性质求面积 考点05正方形的折叠问题 考点06根据正方形的性质证明 考点07正方形判定定理的理解 考点08添加添加成为正方形 考点09证明四边形是正方形 考点10正方形的性质和判定的综合运用 考点11根据正方形的性质与判定证明 考点12（特殊）平行四边形中的动点问题 目目 考点01 正方形概念理解 1.(24-25八年级下·湖南娄底期中)如图，在正方形ABCD中，O 别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF,连接EF,若∠COE=30°， D B E A.2 B.2+2 C.22 1/64 让教与学更高效 为对角线AC、BD的交点，E、F分 DF=√，则EF的长为() D.V2+1 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，含30°的直角 三角形的性质等知识，掌握正方形的性质及勾股定理是解题关键 证明△BOE≌△COF(ASA)得OE=OF;过点F作FG⊥OD,解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出 EF的长. 【详解】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线， ∠DOC=∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°=∠ODC,OB=OC, ∠COE=30°， ∠B0E=90°-∠C0E=90°-30°=60°， ×OE⊥OF, ∠B0F=∠B0C=90°， ∠COF=60°=∠BOE, 在△BOE和△COF中， ∠BOE=∠COF OB=OC ∠OBE=∠OCF .△BOE≌ACOF(ASA) ..OB=OF, 过点F作FG⊥OD,如图， G ∠OGF=∠DGF=90°， ∠ODC=45°，DF=2, .∠DFG=45°=∠ODC, ∴GF=DG, 2=DF=DG2+GF2-GF2+GF2=2GF, ..DG=GF=1, 2/64 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ~∠G0F=90°-∠C0F=90°-60°=30°， 0F=2GF=2×1=2, ∴ER=VOE2+0F2=V22+22=2√2. 故选：C 2. (24-25八年级下·湖南郴州期中)下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形.其中对 角线一定相等的是() A.①②③ B.①②③④ C.①② D.②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正 方形的性质是解题的关键；因此此题可根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质进行求解即可， 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂 直；正方形的对角线互相平分相等且垂直；所以对角线一定相等的是②③： 故选D. 3.(24-25八年级下·湖南永州期中)下列说法正确的是() A.平行四边形的邻边平行且相等 B.矩形的对角线互相垂直 C.菱形的四个内角都是直角 D,正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】本题考查（特殊）平行四边形的性质，根据相关四边形的性质，进行判断即可 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意； D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意； 故选D. 4.(24-25八年级下·湖南长沙期中)下列命题的逆命题是假命题的是() A.平行四边形的对角线互相平分 B.正方形的四边相等 C.矩形的四个角相等 D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】B 3/64 耐学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、直角三角 形的性质，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，再进行判断，先写出各个选项的逆命题，逐个进行 判断即可 【详解】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故选项不符合题意： B、逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”，是假命题，故选项符合题意； C、逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”，是真命题，故选项不符合题意； D、逆命题为“如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形”，是真命题，故选 项不符合题意； 故选：B 5.(24-25八年级下·湖南株洲期中)下列说法正确的是（) A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有一个角是直角的矩形是正方形 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可 确定正确的选项， 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法 错误，本选项不符合题意； B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，原说法错误，本选项不符合题意： C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，本选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，原说法错误，本选项不符合题意， 故选：C 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方 形的判定定理，难度一般 6.(24-25八年级下·湖南株洲期中)下列命题中，假命题的是() A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半 C.矩形的对角线互相垂直平分 D,对角线互相平分相等且垂直的四边形是正方形 4/64 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是平行四边形的性质，矩形的性质，菱形和正方形的性 质，即可. 【详解】A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意： B、菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，是真命题，不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，故原命题是假命题，符合题意； D、对角线互相平分相等且垂直的四边形是正方形，是真命题，不符合题意. 故选：C. 目目 考点02 根据正方形的性质求角度 1. (24-25八年级下·湖南株洲·期中)如图，己知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC,则 ∠ACP的度数为() D B A.30° B.45° C.22.5° D.25° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正方形性质得 ∠DBC=∠BCA=45°，结合等腰三角形的性质得∠BCP=∠BPC=67.5°，即可求得答案. 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， ·∠DBC=∠BCA=45°. .BP=BC, ∴.∠BCP=∠BPC=67.5°， ∠ACP=∠BCP-∠BCA=67.5°-45°=22.5°， 故选：C 2.(24-25八年级下·湖南株洲·期中)如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形ADE,则∠ABE的度数 为() 5/64 耐学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.60° B.65° C.70° D.75° 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理； 首先求出AB=AD=AE,∠BAE=30°，再在等腰△ABE中利用三角形内角和定理求出∠ABE的度数即可. 【详解】解：在正方形ABCD的内部作等边三角形ADE, AB=AD=AE,∠EAD=60°，∠BAD=90°， .∠BAE=∠BAD-∠EAD=30°， ∠AEB=∠ABE=180°-∠BAE=75°， 2 故选：D 3.(24-25八年级下·湖南永州期中)如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接BE, 且AB=AE,则LEBC的度数是() D B A.45° B.30° C.22.5 D.20° 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得出∠B4C=45°，再利用等腰三角形的性质得出答案。 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， BAC=45°， .AB=AE, ∴LABE=LAEB= 180°-45° =67.5°. 2 ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=90-67.5°=22.5°. 故选：C 【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，正确得出BAE度数是解题 关键. 6/64 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八年级下·湖南衡阳期中)如图，点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，连接BD、 DE,则∠BDE= B 【答案】30 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形 的性质得出∠DAE=30°，AD=AE,∠ADB=45°，进而求得∠ADE=75°，即可求解 【详解】解：~点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，BD是正方形的对角线， ·∠DAE=90°-60°=30°，AD=AE,∠ADB=45°， ∠ADE=1(180-∠D4AE)=75°， 2 .∠BDE=∠ADE-∠ADB=75°-45°=30° 故答案为：30 5.(24-25八年级下·湖南株洲·期中)如图，正方形ABCD的对角线AC为边作菱形AEFC,则 ∠AGB= D A G B E 【答案】67.5°167.5度 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出∠BAC=45°，∠ABC=90°，根据 菱形的性质得出∠FAE=∠B4C=22.5°，即可求解。 【详解】解：：四边形BACD是正方形， ∴.∠BAC=45°，∠ABC=90°， :四边形AEFC是菱形， 7/64 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FAE=1∠BAC=22.5°， .∠AGB=90°-∠FAE=90°-22.5°=67.5°. 故答案为：67.5°， 目目 考点03 根据正方形的性质求线段长 1. (河南省郑州市第十一初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学卷)如图，在正方形ABCD和正 方形CEFG中，B,C,G三点在同一条直线上，点D在边CE上.若AB=2,CB=5,连接AF,P是AF 的中点，连接CP,则CP的长是() E A.V58 B.V10 c.58 D.2V17 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，连接AC, CF,由正方形的性质得出△ACF是直角三角形，再根据勾股定理求出AF,最后根据直角三角形斜边的中 线等于斜边的一半即可得出答案 【详解】解：连接AC,CF,如下图， E D G ~ABCD和CEFG都是正方形， ∠ACD=∠ECF=45°，AB=BC=2,CE=EF=5, ~B,C,G三点在同一条直线上， .∠ACF=∠ACD+∠EDF=90°， ∴.△ACF是直角三角形， 8/64 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF=VAC2+CF2, AC=AB2+BC2=22,CF=CE+EF2=52, AF=V4C+CF=22+52=58, ~P是AF的中点， CP=1 2 故选：C, 2.(24-25八年级下湖南永州期中)如图，在正方形ABCD内一点E,连接BE,CE,过C作C⊥CE与 BE的延长线交于点F,连接DF,DE,且CE=CF=1,DE=V6,下列结论中：①△CBE≌△CDP;② BF⊥DF;③点D到CF的距离为V2;④S四边形DacR=V2+l. 其中正确的结论有() D B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【分析】…本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾 股定理，四边形的面积，掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键；由正方形的性质可 得BC=DC,∠BCD=90°，进而得∠BCE+∠DCE=90°，由垂直得∠ECF=90°，即得∠DCF+∠ECD=90°， 即可得∠BCE=∠DCF,进而由SAS得到△CBE≌△CDR,即可判断①；由全等三角形的性质得 ∠BEC=∠DFC,由等腰直角三角形的性质得∠CEF=∠CFE=45°，即可得 ∠BEC=∠DFC=180°-45°=135°，得到∠BFD=∠DFC-CFE=90°，即可判断②；由勾股定理可得 EF=VP+1P=V5,进而得DF=VDE?-EF=2,过点D作DH⊥CF的延长线于点H,则∠DHF=90°， ∠D阳H=180°-135°=45，由勾股定理得DH=FH=5DF:V5,即可判新③：由Su0c=8.+S. 计算即可判断④， 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， .BC=DC,∠BCD=90°， 9/64 耐学科网 www zxxk.com ∠BCE+∠DCE=90°， CR⊥CE, ∠ECF=90°， .∠DCF+∠ECD=90°， ∠BCE=∠DCF, 又CE=CF, ·△CBE2aCDF(SAS),故①正确； △CBE≌△CDF, ∠BEC=∠DFC, ∠ECF=90°，CE=CF, .∠CEF=∠CFE=45°， ∠BEC=∠DFC=180°-45°=135°， ∴∠BFD=∠DFC-CFE=135°-45°=90°， 即BF⊥DF,故②正确： ∠ECF=90°，CE=CF=1, “EF=1+1P=V5, ~∠DFE=90°，DE=6 DF=vDE-EF-6)-(2=2, 过点D作DH⊥CF的延长线于点H,则∠DHF=90°，∠DFH DH=FH-2DF-5×2=5, 2 ∴点D到CF的距离为√2，故③正确； D H S边形D80P=S,DR+SBCr= LDF-EF B 故④错误： 综上，正确结论的为①②③， 10/64 让教与学更高效 =180°-135°=45°， 专题04 正方形 12大高频考点概览 考点01正方形概念理解 考点02根据正方形的性质求角度 考点03根据正方形的性质求线段长 考点04 根据正方形的性质求面积 考点05 正方形的折叠问题 考点06 根据正方形的性质证明 考点07 正方形判定定理的理解 考点08 添加添加成为正方形 考点09 证明四边形是正方形 考点10 正方形的性质和判定的综合运用 考点11 根据正方形的性质与判定证明 考点12 （特殊）平行四边形中的动点问题 ( 考点 01 正方形概念理解 ) 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形．其中对角线一定相等的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．②③ 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形的邻边平行且相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个内角都是直角 D．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．正方形的四边相等 C．矩形的四个角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）下列说法正确的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角的矩形是正方形 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．对角线互相平分相等且垂直的四边形是正方形 ( 考点 02 根据正方形的性质求角度 ) 1．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在正方形的内部作等边三角形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（    ） A．45° B．30° C．22.5° D．20° 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则______． 5．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． ( 考点 0 3 根据正方形的性质求线段长 ) 1．（河南省郑州市第十一初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学卷）如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 4．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 （      ） A． B． C．8 D．10 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）正方形的对角线长为，则其周长为（    ） A．8 B． C． D．16 6．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，，点P为对角线 上一动点，则的最小值是________． 7．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为______． 8．（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）如图，已知正方形，，则__________． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 10．（湖北省襄阳市四校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图 2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若 ，，求线段的长； ②如图 3，连接，若点O是的中点，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 11．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且，连接DE，DF，BE，BF． (1)证明：． (2)若，，求四边形BEDF的周长． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF， (1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由． (2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由． (3)若AC=6，AB=8，求BF的长． ( 考点 0 4 根据正方形的性质求面积 ) 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为______（用n的代数式表示）． ( 考点 0 5 正方形的折叠问题 ) 1．（湖南省株洲市攸县震林中学2019-2020学年八年级下学期期中数学试题）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）    A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3 ( 考点 0 6 根据正方形的性质证明 ) 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示的正方形图案是我国古代数学著作《周髀算经》中的“赵爽弦图”，它是用4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连结，交、于P、M两点．已知正方形的面积为25，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知正方形，点M是边延长线上的动点（不与点A重合）且，由平移得到，若过点E作，H为垂足，则有以下结论： ①点M位置变化，使得时，； ②无论点M运动到何处，都有； ③在点M的运动过程中，四边形可能成为菱形； ④无论点M运动到何处，一定大于． 以上结论正确的有____（把所有正确结论的序号都填上）． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，已知：等腰梯形中，，，、、、分别是、、、的中点． (1)求证：； (2)四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． (3)连接，当四边形是正方形时，线段与有什么数量关系？请说明理由． 5．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，求证：四边形正方形． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，E是正方形的对角线上一点，连接，．求证：． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，其中a，c满足． (1)直接写出点B的坐标； (2)如图1，在线段上有一动点E（点E不与O、C重合），连接，在下方以E为直角顶点作等腰直角，若点F恰好落在直线上，求点F的坐标； (3)如图2，点D是上的一点，于点F，E是的中点，连接，线段交于点M，求的值． 8．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． ( 考点 0 7 正方形判定定理的理解 ) 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 2．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．三个内角为直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 4．（24-25八年级下·湖南常德·期中）下列四个命题中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形； C．两条对角线相等的四边形是矩形； D．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 ( 考点 0 8 添加添加 成为正方形 ) 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（    ） A．添加“”，则四边形是菱形 B．添加“”，则四边形是矩形 C．添加“”，则四边形是菱形 D．添加“”，则四边形是正方形 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是_____．（只填一个条件即可） ( 考点 09 证明四边形是正方形 ) 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)当时，请问四边形是什么特殊的四边形？并说明理由． 2．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌； (2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； (3)如图1，若的面积为72，，请直接写出的长． ( 考点 10 正方形的性质和判定的综合运用 ) 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）综合与探究： 在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G． (1)如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长； (2)如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长； (3)如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长． ( 考点 11 根据正方形的性质 与判定 证明 ) 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）【问题情境】 如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且． 【基础探究】（1）如图1，求证：． 【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明． 【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）综合与实践 【教材情境】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到． 【观察思考】 在八年级下册，我们学习了平行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以为边在正方形外作矩形，连接，且． （1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程． 【实践探究】 （2）希望小队提出：若P是边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程． 【拓展迁移】 （3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论． ( 考点 12 （ 特殊）平行四边形中的动点问题 ) 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)若，两点同时出发． ①若为何值时，四边形为平行四边形？ ②若为何值时，四边形为矩形？ (2)若点先运动3秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为__________时，为直角三角形（直接写出答案）． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连接PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）． (1)BP=________（用含t的代数式表示）； (2)当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值； (3)当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值； 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网 www.zxxk.com 专题04正方形 目目 考点01 正方形概念理解 2 3 4 5 6 D D ⊙ C 目目 考点02 根据正方形的性质求角度 2 3 C D 4.30 5. 67.5°167.5度 目目 考点03 根据正方形的性质求线段长 2 3 4 5 A A D A 6.17 7.3 8.3V2 9 【详解】(I)证明：过点P作PG⊥BC于G,过点P作PH⊥DC于H, 1/27 让教与学更高效 如图， 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D H B G C ~四边形ABCD是正方形，PG⊥BC,PH⊥DC, ∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°. ∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90° ~PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠BPG=90°-∠GPE=∠EPH. 在△PGB和△PHE中， ∠PGB=∠PHE PG=PH ∠BPG=∠EPH △PGB≌△PHE(ASA), :.PB=PE; (2)解：能，理由如下： ①若点E在线段DC上，如图， D p ----H ∠BPE=∠BCE=90°，∠PBC+∠PEC=180°. ∠PBC<90°，∠PEC>90° 若△PEC为等腰三角形，则EP=EC, ∠EPC=∠ECP=45°， ∠PEC=90°，与∠PEC>90°矛盾， 2/27 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形. ②若点E在线段DC的延长线上，如图 D 若△PEC是等腰三角形， 此时∠PCE=180°-∠ACD=135°， ..CP=CE, .∠CPE=∠CEP=22.5°， ∠APB=180°-90°-22.5°=67.5°. ∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER, .∠PBR=∠CER=22.5°， ∠ABP=90°-∠PBR=67.5°， ∴.∠ABP=∠APB. .AP AB=2. AP的长为2. 10. 【详解】(I)证明：在正方形ABCD和正方形CEFG中， ∠BCD=∠ECG=90°，BC=CD,CE=CG, .∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG, 即∠BCG=∠DCE, △BCG2△DCE(SAS); (2)解：①如图2，作CP⊥DB于点P, 3/27 丽学科网 www zxxk.com 图2 在正方形ABCD和正方形CEFG中，CD=AB=VI0,CE=CG=EF= EG=VCE2+CG2=√2CE=2, CP⊥DB,CE=CG=V2, PC-PE-PG-EG=1,/CPD-90, .PD=CD2-PC2 io)-F=3. ∴DE=PD+PE=4, 由(1)可得△BCG2△DCE, ..BG=DE=4; ②0G=54B,理由如下 2 如图，连接BD, D B 图3 在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠CGE=∠CEG=∠ABD=∠ADB: 六BD=VAB2+AD=V2AB, ~点O是AC的中点， ∴点O是BD的中点 由(1)可得△BCG≌△DCE, ∠CGB=∠CEG=45°， ∴.∠BGE=∠CGB+∠CGE=90°， ∠BGD=180°-∠BGE=90°， 4/27 让教与学更高效 5, 45°，AB=AD, 命学科网 www.zxxk.com OG=1BD ∴OG= 反AB· 11 【详解】(1)证明：依题意∠DAE=∠BCF=45°，AD=BC 在△ADE和△CBF中， AD=BC ∠DAE=∠BCF, AE=CF △ADE≌△CBF(SAS), (2)解：AB=AD=4, BD=VAB+AD=4+4=4v2. 由正方形性质可得：AC=BD=4V2,DO=BO=2V2,OA 又AE=CF=V2, ∴.OE=OF=V2, 四边形BEDF为平行四边形， 又~BD⊥EF, :四边形BEDF为菱形， 在Rt△DOE中，DO=2W5,E0=√2， ..DE=DO2+OE=10 菱形BEDF的周长为4DE=4V10, 12. 【详解】(1)△4BC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线， ∴AD=CD=DB, E是AD的中点， ∴AE=DE. AF∥BC, ∠EFA=∠EBD. 又∠FEA=∠BED, 5/27 让教与学更高效 =0C=2N2, 学科网 www zxxk.com ∴△AEF≌△DEB(AAS), AF=DB, AF=CD. AF∥CD, “四边形ADCF是平行四边形. 又AD=CD, :四边形ADCF是菱形. (2)BF=2V5AE,理由如下： 四边形ADCF是正方形， .FC=CD=AD,∠FCD=90°， 又AD=DB, ..FC=CD=DB, ..BC=2CF, BF=BC2+C2=(CF)+CF2=5CF, .BF =5AD, AD=2AE, BF=V5●2AE=2N5AE, (3) B 如图，连接FD交AC于O点，延长BA,过F点作FG垂直于 ~四边形ADCF是菱形， ∴.∠AOF=90 ∠CAB=90°， ∴.∠CAG=90. 又FG⊥AG, 6/27 让教与学更高效 BA的延长线于G点， 命学科网 www.zxxk.com 4G=90°， :四边形OFGA是矩形， FG=OA,GA=FO. 4C=6,O是AC的中点， 40=3, FG=3. O点、D点是AC、BC的中点， 0D1 B4, GA-OF-OD-4 GB=4+8=12, BF=VFG2+FB2=V32+122=317. 目目 考点04 根据正方形的性质求面积 C n-1 2 目目 考点05 正方形的折叠问题 B 目目 考点06 根据正方形的性质证明 2 C B 3. ①②④ 7/27 让教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 【详解】(1)证明：由题意可得ABCD是等腰梯形， ∴.∠A=∠D, 在△ABE和△DCE中，AE=ED,∠A=∠D,AB=DC, .△ABE≌△DCE. (2)四边形EGH是菱形. 证明：：GR、FH是△EBC的中位线，且由(1)得EB=EC, ∴.GF‖EH,GE‖HF,GR=GB, .四边形EGFH是菱形. (3)EF⊥BC,且EF= 证明：连接EF, A E EFGH是正方形， ∴，∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形， .EF⊥BC, 且EF-3BC 5. 【详解】(1)证明：四边形ABCD为正方形， ∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD, 在△ABE和△ADE中， AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE ·△ABE≌△ADE(SAS), ..BE DE (2)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD 8/27 让教与学更高效 点N, 丽学科网 ~四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90°，∠ECN=∠ECM=45°， :∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， ..NE NC 四边形EMCN为正方形， EM=EN,∠MEN=90°， ~四边形DBFG是矩形， .∠DBF=90°， :.∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°， .∠DEN=∠FEM, 在△DEN和△FEM中， ∠DNE=∠FME=90° EN=EM ∠DEN=∠FEM △DEN≌△FEM(ASA), ..ED=EF, 矩形DEFG为正方形 【详解】证明：~四边形ABCD是正方形， AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°， 在△ABE和△CBE中， AB=CB ∠ABE=∠CBE, BE=BE .△ABE≌△CBE(SAS). www.zxxk.com 让 BD是正方形的对角线， 9/27 教与学更高效 耐学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7. 【详解】(1)解：Va-6+c2-12c+36=0, Va-6+(c-6)}=0, ∴.a-6=0,c-6=0, ∴.a=6,c=6, :点B的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点B的坐标为B(6,6)； (2)如图，作FH⊥y轴于H, B E ○ ~四边形OABC是正方形，△BEF是等腰直角三角形， BE=EF,∠BEF=90°，∠BCE=90°. ∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC+∠FEH=90°， ∠CBE=∠FEH. 在△BCE和△EHF中， ∠CBE=∠FEH, ∠BCE=∠EHIF, BE=EF」 .△BCE≌△EHF(AAS), ..FH=CE,BC=EH, ∴.OC=EH, ..OC-OE EH-OE, 即CE=OH, ..FH =OH 设FH=OH=a, 10/27