专题02 矩形9大考点（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学下学期新教材湘教版

专题02 矩形 ( 考点 01 矩形性质理解 ) 1 2 3 C D C ( 考点 0 2 利用矩形性质求角度 ) 1 2 D B 3.50 4.35° ( 考点 0 3 利用矩形性质求线段 ) 1 2 3 4 5 6 B A C B C C 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 【详解】（1）解：在矩形中，有， ， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 平分， ，则， ，则为等腰三角形， ， ． （2）解：过点作，如图所示： ，， ， ∵，， ， 的面积． 16. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形面积． 17. 【详解】解：面积为正方形纸片的边长是cm； 面积为的正方形纸片的边长是cm； ∴图中空白部分矩形的长为，宽为cm， ∴图中空白部分矩形的周长是cm，面积是． 18. 【详解】（1）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴与是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即是的中点； （3）是定值，理由如下： 由（2）得， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ( 考点 0 4 利用矩形性质求面积 ) 1 B 2. 3. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形即矩形， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴，， 设，则：， 在中， 即，解得：， ∴， ∴． ∴图中的面积为． ( 考点 0 5 利用矩形性质证明 ) 1. 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴，． ， ∴，． 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点． 矩形， ， 是的中点， 是的中位线，有． 在中，，， ． ( 考点 0 6 矩形与折叠问 题 ) 1 2 A D 3.5cm 4.3 5. 6. 【详解】（1）解：由折叠得：， ∵四边形是矩形， ， ， ； （2）解：由折叠得：，， 设，则 在中，， 解得：， ． 7. 【详解】解：（1）由翻折的性质得，， 矩形的对边， ， ， ； （2）由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 又由（1）可知，， ， 由翻折的性质得，． 8. 【详解】（1）∵AB=8cm，BC=10cm， ∴DC=8cm，AD=10cm， 又∵将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， ∴AF=AD=10cm，DE=EF， 在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=10cm， ∴BF=(cm)， ∴FC=10-6=4(cm)， 设DE=xcm，则EF=xcm，EC=(8-x)cm， 在Rt△CEF中，EF2=FC2+EC2，即x2=42+(8-x)2，解得x=5， 即DE的长为5cm， EC=8-x=8-5=3， 即EC的长为3cm； （2）S△AEF=EF×AF=×5×10=25(cm2)． 故△AFE的面积是25cm2． ( 考点 0 7 添加条件使四边形是矩形 ) 1 2 3 D D C 4.（答案不唯一） 5.（答案不唯一） 6.或（答案不唯一） ( 考点 08 证明四边形是矩形 ) 1.90 矩 2.【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解∶ ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， 在中，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长． 3. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， 是矩形． （2）解：，， 是等边三角形， ， ， 是矩形， ， 在中 ，， ． 4. 【详解】（1）解：平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 5. 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 6. 【详解】（1）四边形是平行四边形，   ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． （2）， ， ， ， ， 矩形的面积． 7. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． ( 考点 09 与矩形性质与判定有关的综合问题 ) 1. 2. 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 3. 【详解】（1）解：根据题意，得， 则， 点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形， 则， ∴， 解得， ∴当四边形是平行四边形时，t的值是2； （2）如图①，若，过点P作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 如图②，若，过点Q作于点F， 同理可证四边形为矩形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上所述：当或时，是等腰三角形． 4. 【详解】（1）如图，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∴． ∵，， ∴≌， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）如图，连接，作，于点G， 在中，，， 根据勾股定理，得， ∴． 可知， 即， ∴， 则， 即， 解得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形 9大高频考点概览 考点01 矩形性质理解 考点02 利用矩形性质求角度 考点03 利用矩形性质求线段 考点04 利用矩形性质求面积 考点05利用矩形性质证明 考点06 矩形与折叠问题 考点07 添加条件使四边形是矩形 考点08 证明四边形是矩形 考点09 与矩形性质与判定有关的综合问题 地 城 考点01 矩形性质理解 1．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形（    ） A．是菱形 B．是矩形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，矩形的性质和判定，由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形． 【详解】解：依题意，∵、、、分别是、、、的中点， ∴由三角形中位线定理得：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，即， ， 故选：D． 故选：D． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，将的顶点E放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（    ）地 城 考点02 利用矩形性质求角度 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求出，再利用矩形的性质求出可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ； 故选：B 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理；证出是解题关键． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是______． 【答案】50 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是由矩形的性质推出，，得到，．连接，由矩形的性质推出，，得到，推出，因此，由三角形外角的性质得到，于是得到，再根据矩形即可之答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：50． 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____． 【答案】35° 【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， 又∵∠AOB＝70°， ∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 地 城 考点03 利用矩形性质求线段 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，由为的中点可知，进一步得出，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 为的中点， 点为圆心，长为半径的圆弧经过点 在中， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，由矩形对角线性质可得，又，可证为等边三角形，得，即可得解． 【详解】：∵矩形， ∴， ∵ ∴为等边三角形． ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则矩形的周长为（    ）    A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【分析】先由矩形的性质得到，，，进而利用勾股定理求出，如图所示，取中点N，连接，则 ，由平行的唯一性可证明点M和点N重合，由此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取中点N，连接， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴点M和点N重合， ∴，， ∴矩形的周长为， 故选C．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的一动点，、分别是、的中点，随着点的运动，线段长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】C 【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN＝AP，问题得解． 【详解】解：连接AP， ∵矩形ABCD中，AB＝DC＝2，AD=，P是CD边上的中点， ∴DP＝1， ∴AP＝= ， ∵M，N分别是AE、PE的中点， ∴MN是△AEP的中位线， ∴MN＝AP＝，保持不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的值是解题的关键． 7．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）将一个相邻两边之比为的矩形分成四部分，其中有两个全等的等腰直角三角形，其腰长与矩形较长边之比为，如图1，它是一个中心对称图形．现拼成不重叠、无缝隙的轴对称的“鱼”形，如图2，寓意“鱼跃龙门”．若对称中心到矩形较长边的距离为4，则图1矩形较短边的长为________，图2中“鱼”首尾高的值为________． 【答案】 【分析】过点作直线垂直矩形长边，交点为，如图所示，由矩形性质及题意即可得到答案；由题意中的比例关系求出矩形的边长、等腰直角三角形腰长，再由等腰直角三角形性质及勾股定理求出，数形结合表示出“鱼”首尾高，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作直线垂直矩形长边，交点为，如图所示： 对称中心到矩形较长边的距离为4， 图1矩形较短边的长为； 即矩形的短边长为， 矩形相邻两边之比为， 矩形的长边长为， 等腰直角三角形的腰长与矩形较长边之比为， 等腰直角三角形的腰长为， 过点作，如图所示： ， 由等腰直角三角形性质可得， 在等腰中，由勾股定理得到斜边长为，则， 图2中“鱼”首尾高的值为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形性质、比例求线段长、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．数形结合，根据比例求出相关线段长度是解决问题的关键． 9．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点O作关于的对称点，连接交于点Q，连接，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， 则， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴点G是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，根据三角形中位线求出，在中，利用勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，根据直角三角形斜边的中线的性质可求，从而求出周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得， 10． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴周长为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，负值舍去， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，，连接，若，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为：2． 13．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，点的坐标特征以及勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质将求的长转化为求对角线的长． 根据点坐标得到两直角边长度，运用勾股定理计算出的长度，利用矩形对角线相等的性质，将求的长转化为求的长即可． 【详解】解：如图所示： 连接、，过点向轴作垂线，垂足为，向轴作垂线，垂足为 ， ∵点D的坐标是，O是原点， ∴， ， 在中， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 14．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质证明是等边三角形，从而求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 15．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，矩形中，对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，． (1)求的度数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，证明为等边三角形，得出，证明为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出，即可得出答案； （2）过点作，根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：在矩形中，有， ， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 平分， ，则， ，则为等腰三角形， ， ． （2）解：过点作，如图所示： ，， ， ∵，， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 16．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，长方形中，，，求长方形面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，先根据矩形的性质得，，再结合等腰三角形的性质得，然后含角的直角三角形的性质和勾股定理，求得，最后根据矩形的面积公式得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形面积． 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积． 【答案】周长：8cm，面积： 【分析】本题考查了矩形的周长与面积的计算以及二次根式的应用，正确求出矩形的长与宽是关键； 先求出空白部分矩形的长与宽，再计算周长与面积即可． 【详解】解：面积为正方形纸片的边长是cm； 面积为的正方形纸片的边长是cm； ∴图中空白部分矩形的长为，宽为cm， ∴图中空白部分矩形的周长是cm，面积是． 18．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点． (1)若，请求出的值； (2)求证：是的中点； (3)请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． （1）根据矩形的性质及角平分线得出是等腰直角三角形，结合题意及线段长即可得出结果； （2）根据题意及各角之间的关系确定，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）由（2）得，设，则，确定，，，再由全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，由勾股定理得出，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴与是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即是的中点； （3）是定值，理由如下： 由（2）得， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（    ）地 城 考点04 利用矩形性质求面积 A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，已知点是矩形的对称中心，分别是边上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 ____． 【答案】 【分析】根据矩形性质得到，由三角形全等的判定定理得到，从而根据三角形全等的性质得到，再由矩形对角线性质即可得到． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 在与中， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及全等三角形的判定与性质求图形面积，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求图中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而得到可得到结论； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形即矩形， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴，， 设，则：， 在中， 即，解得：， ∴， ∴． ∴图中的面积为． 【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 地 城 考点05 利用矩形性质证明 1．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知矩形，延长至点E，使得，对角线，交于点F，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论； （2）过点作于点，根据矩形性质，等腰三角形性质以及中位线定理可求出的长度，然后根据勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴，． ， ∴，． 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点． 矩形， ， 是的中点， 是的中位线，有． 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练运用以上知识点是解决本题的关键． 地 城 考点06 矩形与折叠问题 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿 对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据矩形与折叠的性质可得出，，利用证明，设，则，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵翻折， ∴，，， 在与中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故选A． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， 根据折叠可得：，， 设，则，，， 在中：， ， 解得：， 故选：D 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上，则__________． 【答案】5cm 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据矩形的性质和折叠的性质结合勾股定理可求出，进而可得，然后设，在直角三角形中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上， ∴cm，，cm，， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得cm， ∴cm， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：，即cm； 故答案为：5cm． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，先根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，根据折叠得出，，，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3 5．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接BF，交交于点O，由折叠可知：，，可得，，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接，交于点O，如下图： 由折叠可知： ，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕分别交、于点E、F，连接，点D的对应点为点，若，， (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查的是勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，利用轴对称的性质得到边与角的相等是解本题的关键． （1）根据折叠的性质可得，根据平行线的性质得到，即可得到； （2）设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：由折叠得：， ∵四边形是矩形， ， ， ； （2）解：由折叠得：，， 设，则 在中，， 解得：， ． 7．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合． （1）求证：AE＝AF； （2）求GF的长． 【答案】（1）详见解析；（2）3． 【分析】（1）根据翻折的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得； （2）根据翻折的性质可得，设，则，再根据勾股定理有：，于是有，进而得到． 【详解】解：（1）由翻折的性质得，， 矩形的对边， ， ， ； （2）由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 又由（1）可知，， ， 由翻折的性质得，． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出的长度是解题的关键． 8．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示，沿折叠长方形使点恰好落在边上的点处，已知，． （1）求的长 （2）求的面积． 【答案】（1）cm；（2）cm2 【分析】（1）根据矩形的性质得DC=8cm，AD=10cm，再根据折叠的性质得到AF=AD=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理易得BF=6cm，设DE=xcm，则EF=xcm，EC=(8-x)cm，在Rt△CEF中，利用勾股定理可求出x的值，进一步得到EC的长； （2）根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）∵AB=8cm，BC=10cm， ∴DC=8cm，AD=10cm， 又∵将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， ∴AF=AD=10cm，DE=EF， 在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=10cm， ∴BF=(cm)， ∴FC=10-6=4(cm)， 设DE=xcm，则EF=xcm，EC=(8-x)cm， 在Rt△CEF中，EF2=FC2+EC2，即x2=42+(8-x)2，解得x=5， 即DE的长为5cm， EC=8-x=8-5=3， 即EC的长为3cm； （2）S△AEF=EF×AF=×5×10=25(cm2)． 故△AFE的面积是25cm2． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理． 地 城 考点07 添加条件使四边形是矩形 1．（2013·四川泸州·中考真题）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（  ） A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC 【答案】D 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 3．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】A：， 为平行四边形而非矩形 故A不符合题意 B：， 为平行四边形而非矩形 故B不符合题意 C： ∴∥ 四边形为矩形 故C符合题意 D： 不是平行四边形也不是矩形 故D不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据题意，推出，得到四边形为平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵两个完全相同的三角尺和， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形； 故答案为：（答案不唯一） 5．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键； 根据矩形的判定定理即可解答． 【详解】四边形为平行四边形，， 四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 地 城 考点08 证明四边形是矩形 1（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当_____时，四边形的面积最大，此时四边形是_______形． 【答案】 90 矩 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在平行四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）等角对等边，以及平行四边形的性质，得到，即可得证； （2）利用30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解∶ ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， 在中，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，利用平方根解方程等知识，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，继而得到，即可得到结论； （2）先证明是等边三角形，得到，根据勾股定理得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， 是矩形． （2）解：，， 是等边三角形， ， ， 是矩形， ， 在中 ，， ． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【答案】(1)平行四边形是矩形；理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可； （2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 6．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，点是的中点，过点作，交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形，   ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． （2）， ， ， ， ， 矩形的面积． 7．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先根据四边形是平行四边形和为的中点，判定四边形是平行四边形，再结合，推出，即可得出结论； （）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形对角线的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 地 城 考点09 与矩形性质与判定有关的综合问题 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 3．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在四边形中，，点Q从点A出发，以的速度向点D运动，点P从点B出发，以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为． (1)若以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (2)当时，连接，若，则当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形，则，列出方程求解即可； （2）分两种情况讨论：若，过点P作于点E，若，过点Q作于点F，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 则， 点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形， 则， ∴， 解得， ∴当四边形是平行四边形时，t的值是2； （2）如图①，若，过点P作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 如图②，若，过点Q作于点F， 同理可证四边形为矩形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上所述：当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程，解决本题的关键是综合运用以上知识． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图1，是斜边上的中线． (1)求证：； (2)如图2，，，点P是上一个点，过点P分别作和的垂线，垂足为E、F．当P在上移动时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1），过点A作，交的延长线于点E，连接，再证明≌，可得四边形是矩形，然后根据矩形的性质得出答案； （2），连接，根据勾股定理求出，进而得出，，并求出，可知，然后根据三角形面积相等得出答案． 【详解】（1）如图，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∴． ∵，， ∴≌， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）如图，连接，作，于点G， 在中，，， 根据勾股定理，得， ∴． 可知， 即， ∴， 则， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，求三角形的面积等，构造矩形是证明直角三角形斜边的性质的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形 9大高频考点概览 考点01 矩形性质理解 考点02 利用矩形性质求角度 考点03 利用矩形性质求线段 考点04 利用矩形性质求面积 考点05利用矩形性质证明 考点06 矩形与折叠问题 考点07 添加条件使四边形是矩形 考点08 证明四边形是矩形 考点09 与矩形性质与判定有关的综合问题 地 城 考点01 矩形性质理解 1．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形（    ） A．是菱形 B．是矩形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，将的顶点E放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（    ）地 城 考点02 利用矩形性质求角度 A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是______． 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____． 地 城 考点03 利用矩形性质求线段 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（    ） A． B． C．6 D． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则矩形的周长为（    ）    A．16 B．18 C．24 D．32 6．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的一动点，、分别是、的中点，随着点的运动，线段长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 7．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 8．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）将一个相邻两边之比为的矩形分成四部分，其中有两个全等的等腰直角三角形，其腰长与矩形较长边之比为，如图1，它是一个中心对称图形．现拼成不重叠、无缝隙的轴对称的“鱼”形，如图2，寓意“鱼跃龙门”．若对称中心到矩形较长边的距离为4，则图1矩形较短边的长为________，图2中“鱼”首尾高的值为________． 9．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最小值为______． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为___________． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，，连接，若，则长为______． 13．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 14．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长． 15．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，矩形中，对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，． (1)求的度数； (2)求的面积． 16．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，长方形中，，，求长方形面积． 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积． 18．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点． (1)若，请求出的值； (2)求证：是的中点； (3)请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（    ）地 城 考点04 利用矩形性质求面积 A． B．2 C． D．4 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，已知点是矩形的对称中心，分别是边上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 ____． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求图中的面积． 地 城 考点05 利用矩形性质证明 1．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知矩形，延长至点E，使得，对角线，交于点F，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 地 城 考点06 矩形与折叠问题 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿 对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上，则__________． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为______． 5．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为________． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕分别交、于点E、F，连接，点D的对应点为点，若，， (1)求证：； (2)求线段的长度． 7．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合． （1）求证：AE＝AF； （2）求GF的长． 8．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示，沿折叠长方形使点恰好落在边上的点处，已知，． （1）求的长 （2）求的面积． 地 城 考点07 添加条件使四边形是矩形 1．（2013·四川泸州·中考真题）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（  ） A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）． 5．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 地 城 考点08 证明四边形是矩形 1（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当_____时，四边形的面积最大，此时四边形是_______形． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在平行四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，点在上且平分，求出线段的长度． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 6．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，点是的中点，过点作，交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 7．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 地 城 考点09 与矩形性质与判定有关的综合问题 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 3．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在四边形中，，点Q从点A出发，以的速度向点D运动，点P从点B出发，以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为． (1)若以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (2)当时，连接，若，则当t为何值时，是等腰三角形？ 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图1，是斜边上的中线． (1)求证：； (2)如图2，，，点P是上一个点，过点P分别作和的垂线，垂足为E、F．当P在上移动时，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $