专题01 多边形和平行四边形11大考点（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学下学期新教材湘教版

专题01 多边形和平行四边形 11大高频考点概览 考点01 多边形有关的计算 考点02 利用平行四边形点的性质求解 考点03 利用平行四边形点的性质证明 考点04 判断能否构成平行四边形 考点05 证明四边形是平行四边形 考点06 平行四边形性质与判定求解 考点07 平行四边形性质与判定证明 考点08 中心对称和中心对称图形 考点09 三角形中位线有关的求解 考点10 三角形中位线有关的证明 考点11 三角形中位线实际应用 ( 考点 01 多边形有关的计算 ) 1．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 2．（24-25八年级下·湖南常德·期中）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（    ）条对角线． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（第03讲多边形及其内角和（知识解读 真题演练 课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版））一个八边形的内角和的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）过n边形一个顶点的对角线把这个n边形分成3个三角形，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 7．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）用正三角形和正六边形作平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 8．（辽宁省葫芦岛市连山区第六初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 9．（湖南省永州市祁阳市茅竹镇中心学校2024-2025学年下学期期中监测八年级数学试卷）如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则___． 10．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 11．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）2025边形的外角和等于_____． 12．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 13．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）2025边形的外角和等于______． 14．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求． 15．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 16．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）若一个正多边形的内角和比外角和多． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形每个角的度数． ( 考点 02 利用平行四边形点的性质求解 )1．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，则 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，平行四边形的面积是，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）平行四边形具有的性质而一般的四边形不一定具有的特征是（    ） A．不稳定性 B．对边平行且相等 C．内角和为 D．外角和为 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）平行四边形中，，的平分线交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）在中，的值可以是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，是的平分线，，则___． 12．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，、相交于点O，若，，与的周长差为__________． 13．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）在中，分别平分，分别交于点．若，则的长为_______． 在 14．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为_____． 15．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）在平行四边形中，，则平行四边形的周长为______． 16．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，平分交边于点，则线段_________． 17．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）在平行四边形中，，则______°． 18．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有_____________个. 19．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ______________．     20．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，则t的值为______． 21．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为______． 22．（24-25八年级下·湖南永州·期中）（1）计算：． （2）如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且．求证：． 23．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 24．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图在中，于点E，，，． 求证：平分． 25．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，平分，交于点E．，． (1)求，，的度数； (2)求的周长． 26．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）如图，是平行四边形的边的中点，延长交的延长线于点．，求的长． 27．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积． 28．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长和的长． 29．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 30．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： (1)线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求的长； (3)当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 31．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点.    (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长. ( 考点 0 3 利用平行四边形点的性质证明 )1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形是平行四边形，点，是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平行四边形中，是的中点，连接，，延长交的延长线于点．    (1)求证：； (2)当时，求证：平分； 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，． (1)求证：． (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，是对角线上的两点，且． 求证：． 7．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，E，F是平行四边形的对角线上的两点，且，连接．    (1)求证：； (2)连接交于点O，若，求的长． ( 考点 0 4 判断能否构成平行四边形 )1．不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（     ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ( 考点 0 5 证明四边形是平行四边形 )1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的面积． 3．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，点D、E、F分别足的边AB、BC、AC的中点，延长DE至点G．使得，连接AE，FG． (1)求证：四边形AEGF是平行四边形． (2)若，，求FG的长． ( 考点 06 平行四边形性质与判定求解 )1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 2．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． ( 考点 0 7 平行四边形性质与判定证明 )1．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知E，F是平行四边形对角线上的点，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，点E，F分别在边上，与对角线交于O．求证：O是的中点． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平行四边形中，连接，过点B作于点E，过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． ( 考点 0 8 中心对称和中心对称图形 )1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列图形中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）流感人数增多，下列关于防范流感的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．戴口罩图标 B．勤洗手图标 C．早就医图标 D．少聚集图标 9．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）作图题．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图，在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置． (2)如图，作出关于点A成中心对称的图形． ( 考点 0 9 三角形中位线有关的求解 )1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A，B两点均可直接到达，测量找到和的中点D，E，测得的长为，则隧道的长度为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，垂直平分交于点E，则的长为（   ） A．6 B．7.5 C．4 D．3 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接． (1)求的度数； (2)取的中点，连接．若，，求的长． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点是线段的勾股分割点，且．若，求的长； (2)如图2，若点、、、分别是、、、边上的中点，点是线段的勾股分割点，且，求证：点是线段的勾股分割点． ∴是线段的勾股分割点． ( 考点 10 三角形中位线有关的证明 )1．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． ( 考点 11 三角形中位线实际应用 )1．如图，、两处被池塘隔开，小明想要知道、两处的距离．小明先在外选一点，然后分别步测出，的中点，，并测出的长为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是______． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，，，则的长是 ________． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 多边形和平行四边形 ( 考点 01 多边形有关的计算 ) 1 2 3 4 5 B C A C B 6. 7. 8. 6 9. 10. 11. 12. /1440度 13. /度 14. 15. 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 16. 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． （2）解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． ( 考点 02 利用平行四边形点的性质求解 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B C B C B D B A 11.2 12.2 13.1 14.5 15.18 16.4 17.70 18.3 19.1 20.3或 21.4 22. 【详解】解：（1）原式； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在与中， ， ， ． 23. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 24. 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 又， ， ， ， ， ，即平分． 25. 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 26. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵是平行四边形的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27. 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 28. 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； （2）解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 29. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 30. 【详解】（1）∵点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ； ∵点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵是边上的高， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 故当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 31. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴ ． ( 考点 0 3 利用平行四边形点的性质证明 ) 1. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ， ． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 2. 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 3. 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4. 【详解】（1）证明：是平行四边形， ，，， ， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：是的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， 平分． 5. 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴． （2）证明：连接、． 由（1）得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 6. 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ∴． 7. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 考点 0 5 证明四边形是平行四边形 ) 1. 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的面积． 2. 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为，如图： 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ． 3. 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 4. 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 5. 【详解】（1）证明：∵D，E分别是AB，BC的中点 ∴，， ∵， ∴，， ∵F为AC的中点， ∴， ∴， ∴四边形AEGF是平行四边形． （2）∵D是AB中点， ∴， ∵， ∴， ∵E是BC的中点， ∴， 由（1）得四边形AEGF是平行四边形 ∴． ( 考点 06 平行四边形性质与判定求解 ) 1.【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 2. 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； （2）∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． ( 考点 0 7 平行四边形性质与判定证明 ) 1.【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2. 【详解】证明：如图：连接， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴O是的中点． 3. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 4. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴． ( 考点 0 8 中心对称和中心对称图形 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A A D C C 9． 10． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求． （2）如图，即为所求． ( 考点 0 9 三角形中位线有关的求解 ) 1 2 3 4 D C A C 5. 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵，分别是，的中点， ∴． 6. 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴； （2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点， ∴、、分别是、、的中位线， ∴， ∵点是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点． ( 考点 10 三角形中位线有关的证明 ) 1. 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形， 所以 又因为E是的中点， 所以是的中位线， 所以； （2）解：由（1）是的中位线， 所以． 2. 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3. 【详解】（1）如图，取的中点P，连接， ∵E，F分别是的中点，， ∴，且，且． 又∵， ∴， ∴． 在中，． （2）证明：如图，取的中点P，连接． ∵E，F分别是的中点， ∴，且，，且． ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． ( 考点 11 三角形中位线实际应用 ) 1 2 3 C B B 4.13 5.100 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 多边形和平行四边形 11大高频考点概览 考点01 多边形有关的计算 考点02 利用平行四边形点的性质求解 考点03 利用平行四边形点的性质证明 考点04 判断能否构成平行四边形 考点05 证明四边形是平行四边形 考点06 平行四边形性质与判定求解 考点07 平行四边形性质与判定证明 考点08 中心对称和中心对称图形 考点09 三角形中位线有关的求解 考点10 三角形中位线有关的证明 考点11 三角形中位线实际应用 ( 考点 01 多边形有关的计算 ) 1．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，解题的关键是熟记如果一个多边形有条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成个三角形． 设多边形有条边，然后根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式，求出边数即可． 【详解】解：设多边形有条边，则， 解得， 故多边形的边数为，即它是八边形， 故选：． 2．（24-25八年级下·湖南常德·期中）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究问题．从四边形、五边形、六边形等对角线的条数进行分析，总结规律即可得到n边形的对角线条数． 【详解】解：四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条）， …， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条）， 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（    ）条对角线． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n-2）×180=360，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案． 【详解】解：设这个多边形有n条边，由题意得： （n-2）×180=360， 解得：n=5， 从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是5-3=2， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 4．（第03讲多边形及其内角和（知识解读 真题演练 课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版））一个八边形的内角和的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据多边形的内角和公式列式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 5．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）过n边形一个顶点的对角线把这个n边形分成3个三角形，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握多边形的性质是解题的关键．根据多边形的性质列式计算即可． 【详解】解：过n边形一个顶点的对角线把这个n边形分成3个三角形， ． 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）用正三角形和正六边形作平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】 【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌． 【详解】解：正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度， 而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°， 根据题意可知60°×m+120°×n=360°， 化简得到m+2n=6． 故答案为：m+2n=6． 【点睛】本题考查平面镶嵌，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合． 8．（辽宁省葫芦岛市连山区第六初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形的内角和是外角和的2倍， ，解得， 故答案为：． 9．（湖南省永州市祁阳市茅竹镇中心学校2024-2025学年下学期期中监测八年级数学试卷）如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则___． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出的度数是解题的关键，根据题意求出的度数，从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， 在中，， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和． 直接根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和的度数为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）2025边形的外角和等于_____． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 根据多边形的外角和等于即可求解． 【详解】解：2025边形的外角和等于， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 【答案】/1440度 【分析】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数． 求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线7条，则多边形的边数为10， 则内角和等于： 故答案为： 13．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）2025边形的外角和等于______． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和为是解题的关键，根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】解：多边形外角和为， ∴边形的外角和等于， 故答案为： ． 14．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，点，，在直线上，分别以，为边向直线同侧作正五边形 和正六边形，和相交于点．求． 【答案】． 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角．利用正多边形内角和定理求得和的度数，利用正多边形外角和定理结合平角的定义求得的度数，利用四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：在正五边形中， 每个内角的度数为， ∴， 同理可得正六边形每个内角的度数为， ∴，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 16．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）若一个正多边形的内角和比外角和多． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形每个角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． （2）解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． ( 考点 02 利用平行四边形点的性质求解 )1．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的性质以及平行线的性质是解本题的关键． 首先根据题意得到，则，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，平行四边形的面积是，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形的面积，解题的关键是根据线段之间的数量关系得出图形面积之间的数量关系． 根据线段之间的数量关系得出图形面积之间的数量关系，结合等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∵平行四边形的面积是，点为的中点， ∴， ∴ 故选：． 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）平行四边形具有的性质而一般的四边形不一定具有的特征是（    ） A．不稳定性 B．对边平行且相等 C．内角和为 D．外角和为 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形与一般四边形性质的区别．需逐一分析选项，结合平行四边形特有性质进行判断，即可解答． 【详解】解：选项A：不稳定性．平行四边形具有不稳定性，一般四边形（如梯形、不规则四边形）可能具有不稳定性，因此该性质并非平行四边形独有． 选项B：对边平行且相等．平行四边形的定义即为两组对边分别平行且相等，而一般四边形（如梯形仅一组对边平行，不规则四边形对边可能不平行）不一定满足此条件，故该性质为平行四边形特有． 选项C：内角和为．任意四边形的内角和均为，与是否为平行四边形无关，因此该性质为所有四边形共有． 选项D：外角和为．任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此该性质也为所有四边形共有． 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）平行四边形中，，的平分线交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边等知识，熟练应用各性质、定义是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，再结合角平分线的定义可证得，然后根据线段之间的关系即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理、勾股定理以及角的直角三角形的性质熟练掌握以上知识是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，根据角的直角三角形的性质求得，然后根据勾股定理求得，进而得出，所以求得的周长为． 【详解】解：作，交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等，邻角互补进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）在中，的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个． 【详解】解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选：D． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，由平分得到，继而得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：在四边形中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 10．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质 由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选A． 11．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，是的平分线，，则___． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，由平行四边形的性质可得，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，据此由线段的和差关系可得答案． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 12．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，、相交于点O，若，，与的周长差为__________． 【答案】2 【分析】本题 要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分这一性质，确定已知条件中两三角形周长的差也是平行四边形两邻边边长的差，即可求解． 【详解】解：∵在中，、相交于点O，若，， ∴， ∴与的周长差， 故答案为：2． 13．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）在中，分别平分，分别交于点．若，则的长为_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，利用角平分线得到等腰三角形是解题的关键．利用平行四边形的性质和平分线的定义，得出等腰三角形，进而求出线段、的长度，再结合的长度计算 ． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平分， ， 又， ， ， ， 同理，平分，可得， ， ， ， ， ，且， ． 故答案为：． 在 14．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可知当点M与重合时，的值最小，即为的长．再结合平行四边形的性质，含的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接， ∴，，， ∴当点M与重合时，的值最小，即为的长． ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查轴对称的性质，平行四边形的性质，含的直角三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线，理解点M与重合时，的值最小是解题关键． 15．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）在平行四边形中，，则平行四边形的周长为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查平行四边形的性质问题，掌握平行四边形的对边相等成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得然后再求平行四边形的周长即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：18． 16．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，平分交边于点，则线段_________． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，，再根据等腰三角形的性质，利用即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 平分交边于点E，平分交边于点F， ，， ，， ， ， 故答案为：4． 17．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）在平行四边形中，，则______°． 【答案】70 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解题的关键； 根据平行四边形的对角相等即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， 故答案为：70． 18．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有_____________个. 【答案】3 【分析】由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等，⑤假设是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 在和中，只有三个角相等，没有边相等， ∴与不全等，故④错误． 若点是的中点， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵点不一定是的中点， 则不一定成立 则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和行，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 19．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ______________．     【答案】1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 过作，则、、上的高相同，根据平行四边形的性质并结合题意可得，然后分别表示出三角形的面积，最后进行变形即可解答． 【详解】解：如图，过作， ∵点是平行四边形的边上任意一点， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 20．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，则t的值为______． 【答案】3或 【分析】此题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解此方程即可求得答案． 【详解】解：依题意得：， ， ， ， 若，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时， 即， ， 解得：， 综上：当或时，． 故答案为3或． 21．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．先证明，，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分交于F，平分交于E， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 22．（24-25八年级下·湖南永州·期中）（1）计算：． （2）如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据有理数的乘方，化简绝对值以及零指数进行计算即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】解：（1）原式； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在与中， ， ， ． 23．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据内错角相等两直线平行得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据角平分线的性质得到，则，根据30度角的性质到，根据平行四边形的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，30度角的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图在中，于点E，，，． 求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的性质及勾股定理的应用，先求出，证明，再结合平行线的性质证明结论． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 又， ， ， ， ， ，即平分． 25．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，平分，交于点E．，． (1)求，，的度数； (2)求的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质即可求解． （2）由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，等量代换可得出，再根据等角对等边可得出，进而可求出，最后根据平行四边形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 26．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）如图，是平行四边形的边的中点，延长交的延长线于点．，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵是平行四边形的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到，等积法得到，求出的长，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 28．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长和的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； （2）解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 29．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再由得出，确定，即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 30．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： (1)线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求的长； (3)当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)t， (2) (3)或 【分析】（1）根据点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段 ；点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； 解答即可． （2）过点A作于点E，先计算，再利用三角形面积不变，面积公式计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意， ，列式计算即可． 【详解】（1）∵点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ； ∵点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵是边上的高， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 故当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解有一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 31．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点.    (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长. 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为11 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，继而可证得，则可证得结论； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． ( 考点 0 3 利用平行四边形点的性质证明 )1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形是平行四边形，点，是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“”证明，得； （2）根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ， ． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平行四边形中，是的中点，连接，，延长交的延长线于点．    (1)求证：； (2)当时，求证：平分； 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、平行的性质、角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质、平行的性质、角平分线的性质，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再通过三角形全等的判定即可证明全等； （2）由是的中点得到，又由得到，再根据平行的性质得到，从而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：是平行四边形， ，，， ， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：是的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， 平分． 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，． (1)求证：． (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据四边形的性质得出，，证明，得出即可； （2）根据，得出，，证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴． （2）证明：连接、． 由（1）得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，是对角线上的两点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ∴． 7．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，E，F是平行四边形的对角线上的两点，且，连接．    (1)求证：； (2)连接交于点O，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先由平行四边形的性质推出，，再根据垂直的定义得到，由此证明，进而证明； （2）先证明四边形为平行四边形，得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知平行四边形对边相等且平行，反之亦然是解题的关键． ( 考点 0 4 判断能否构成平行四边形 )1．不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题； C．不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确； 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确； 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确； 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形要求边、角、对角线成立的条件逐个判断，即可解决问题． 【详解】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C. ，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（     ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定；根据平行四边形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项不正确，符合题意； C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． ( 考点 0 5 证明四边形是平行四边形 )1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理．熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再由，即可得出结论； （2）首先根据勾股定理求出，，然后利用四边形的面积代数求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的面积． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的面积． 【答案】(1)详见解析； (2)15． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再由，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得，再由角平分线的性质得，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为，如图： 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ． 3．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)① (2)见解析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，点D、E、F分别足的边AB、BC、AC的中点，延长DE至点G．使得，连接AE，FG． (1)求证：四边形AEGF是平行四边形． (2)若，，求FG的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质结合已知条件，可得，即可得证； （2）根据勾股定理，求得的长，根据直角三角形斜边上的中线可得的长，进而根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是AB，BC的中点 ∴，， ∵， ∴，， ∵F为AC的中点， ∴， ∴， ∴四边形AEGF是平行四边形． （2）∵D是AB中点， ∴， ∵， ∴， ∵E是BC的中点， ∴， 由（1）得四边形AEGF是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． ( 考点 06 平行四边形性质与判定求解 )1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为12，四边形的面积为 【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明． （2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； （2）∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． ( 考点 0 7 平行四边形性质与判定证明 )1．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知E，F是平行四边形对角线上的点，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了 平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质准备条件，根据证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据平行线的判定证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求证即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，点E，F分别在边上，与对角线交于O．求证：O是的中点． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，灵活运用平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图：连接，由平行四边形的性质可得，则；再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴O是的中点． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平行四边形中，连接，过点B作于点E，过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据，得到，根据平行四边形的性质，证明，得到，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，进而求出的度数，根据全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴． ( 考点 0 8 中心对称和中心对称图形 )1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意． B． 该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． C． 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B选项是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意； C选项是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．解题的关键是理解轴对称图形（沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合）和中心对称图形（绕某一点旋转后能与自身重合）的定义，并据此对图形进行判断． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项依次分析：判断图形是否沿某条直线折叠后两旁部分能重合（轴对称），以及是否绕某点旋转后能与自身重合（中心对称），选出同时满足两个条件的图形． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后，能与自身重合的图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是中心对称图形，不存在一条直线使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 选项沿某条直线折叠后两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合条件． 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列图形中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 6．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义是关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 7．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；如果一个图形绕着某点旋转后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心． 依据轴对称图形与中心对称的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级下·湖南永州·期中）流感人数增多，下列关于防范流感的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．戴口罩图标 B．勤洗手图标 C．早就医图标 D．少聚集图标 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识点，解答本题的关键是能够熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义直接判断即可． 【详解】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵与关于中心对称， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）作图题．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图，在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置． (2)如图，作出关于点A成中心对称的图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图-角平分线以及旋转旋转，掌握角平分线的性质，中心旋转的性质是解决本题的关键． （1）作的角平分线与交于点O，根据角平分线的性质可得点O到公路和公路的距离相等． （2）根据中心对称变换的性质分别作出的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求． （2）如图，即为所求． ( 考点 0 9 三角形中位线有关的求解 )1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A，B两点均可直接到达，测量找到和的中点D，E，测得的长为，则隧道的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中位线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理进行求解即可． 【详解】解：∵和的中点D，E， ∴是的中位线， ， 故选D． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线，平行四边形，勾股定理．解题关键是中位线性质．由已知可得，是三角形的中位线，所以，当时，最短，此时最小． 【详解】如图，连接， E、F分别为、的中点， 是三角形的中位线， ， 当时，最短，此时最小． ，， ， 由勾股定理可得， 解得：， 此时． 故选C． 3．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，垂直平分交于点E，则的长为（   ） A．6 B．7.5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的中位线定理等知识； 连接，如图，先证明，得到是三角形的中位线，再求出即可. 【详解】解：连接，如图， ∵垂直平分交于点E， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是三角形的中位线， ∴； 故选：A. 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到，再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：． 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接． (1)求的度数； (2)取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． （1）先由三角形中位线可得，则可求出，最后利用角度和差即可求解； （2）由直角三角形斜边中线的性质得出，再由勾股定理即求出，再利用中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵，分别是，的中点， ∴． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点是线段的勾股分割点，且．若，求的长； (2)如图2，若点、、、分别是、、、边上的中点，点是线段的勾股分割点，且，求证：点是线段的勾股分割点． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄清题中的新定义及勾股定理的性质是解答本题的关键． （1）由、为线段的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将与的长代入求出的长即可； （2）由、、、分别为各边中点，得到、、分别为中位线，利用中位线定理得到，再利用题中新定义列出关系式，即可得证． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴； （2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点， ∴、、分别是、、的中位线， ∴， ∵点是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点． ( 考点 10 三角形中位线有关的证明 )1．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理， （1）由平行四边形的性质可得，然后证明出是的中位线，即可得到； （2）根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形， 所以 又因为E是的中点， 所以是的中位线， 所以； （2）解：由（1）是的中位线， 所以． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1)13 (2)见解析 【分析】（1）取的中点P，连接，由三角形中位线定理得，且，且＝12，再证，然后由勾股定理即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得，且，，且，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）如图，取的中点P，连接， ∵E，F分别是的中点，， ∴，且，且． 又∵， ∴， ∴． 在中，． （2）证明：如图，取的中点P，连接． ∵E，F分别是的中点， ∴，且，，且． ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键． ( 考点 11 三角形中位线实际应用 )1．如图，、两处被池塘隔开，小明想要知道、两处的距离．小明先在外选一点，然后分别步测出，的中点，，并测出的长为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：连接，如图，    ，的中点分别是，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，能熟记三角形的中位线性质是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴之间的距离是， 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖南湘潭·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是______． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，，，则的长是 ________． 【答案】100 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：100． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $