7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点) 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点) 3.掌握复平面上两点间的距离公式.(重点) 【例题精练】 【例1】（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）5；（2） 【分析】利用复数的加减运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【例2】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【例3】已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 【例4】已知为复数，则的最小值为______． 【答案】 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，，则. 2．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】计算出，根据对应的点在实轴上得到方程，求出的值. 【详解】，， ， 又所对应的点在实轴上， ，． 故选：C 3．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 4．已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 【答案】D 【分析】直接计算复数的和，逐项判断. 【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确； ，B错误. 故选：D 5．设复数满足，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的加减法运算以及复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由，则，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 6．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 二、多选题 7．已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【答案】ACD 【分析】根据复数的几何意义确定复数，再根据复数运算与复数的基本概念逐项判断即可. 【详解】∵复数在复平面上对应的点的坐标为， ∴复数， ∵是纯虚数，故A项不正确，B项正确； ∵不是实数，也不是纯虚数，故C，D项都不正确. 故选：ACD. 8．表示 A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 【答案】ACD 【解析】由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确, 故选:ACD 【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模 三、填空题 9．已知复数，其中为虚数单位，则______． 【答案】 【分析】化简复数，再利用复数的求模公式计算. 【详解】由题意得. 故答案为：. 10．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可. 【详解】由题意可得，即， 根据两个复数相等的充要条件可得，解得， 故答案为：. 四、解答题 11．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由复数的加减运算，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 12．设，（，），且，求. 【详解】因为，，， 所以， 所以，解得， 所以. 【B组能力提升】 1．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的几何意义，模长即为对应向量模长，即可求解. 【详解】在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为， 即， 解得，即． 2．已知复数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 【答案】A 【详解】设，则， 由，得，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以有最小值1，无最大值. 3．（多选）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】化简给定复数，结合三角函数的有界性求解范围，最后得到取值即可. 【详解】． ， ． 而，在取值范围内，故B，D正确. 故选：BD 4．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求: （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积. 【答案】（1）4-2i，5；（2）7. 【分析】（1）根据复数的坐标运算求出点C，D对应的复数； （2）利用向量求出角B的正弦值，进一步利用面积公式求出答案. 【详解】(1)因为向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i， 所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又， 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. 因为， 所以向量对应的复数为3-i，即=(3，-1). 设D(x，y)，则=(x-2，y-1)=(3，-1)， 所以解得 故点D对应的复数为5. (2)因为=||||cos B， 所以cos B=， 即sin B=. ||=,||= 于是S=||||sin B==7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 5．已知复数，其中m、n均为实数，在复平面中对应的点分别为，且为实数. (1)求n的值； (2)若与的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）由复数加法及复数类型求参数值即可； （2）写出复数对应向量的坐标表示，根据夹角为钝角及向量夹角的坐标运算求参数范围，注意反向共线情况. 【详解】（1）由题设为实数，则； （2）由题设及（1）知，则， 由与的夹角为钝角， 则，所以， 若与反向共线时，有， 综上，且. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点) 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点) 3.掌握复平面上两点间的距离公式.(重点) 【例题精练】 【例1】（1）计算； （2）计算． 【例2】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【例3】已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【例4】已知为复数，则的最小值为______． 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 3．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（    ） A．为实数 B． C．的虚部为2 D．为纯虚数 5．设复数满足，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 8．表示 A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 三、填空题 9．已知复数，其中为虚数单位，则______． 10．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______． 四、解答题 11．计算： (1) (2) (3) 12．设，（，），且，求. 【B组能力提升】 1．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知复数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 3．（多选）复数，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，求: （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积. 5．已知复数，其中m、n均为实数，在复平面中对应的点分别为，且为实数. (1)求n的值； (2)若与的夹角为钝角，求m的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $