7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝ （ ） A．8－7i B．5－3i C．11－7i D．8＋7i 2．若z1，z2∈C，则“z1，z2至少有一个是虚数”是“z1－z2是虚数”的 （ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝ （ ） A．－1＋2i B．－2－2i C．1＋2i D．1－2i 4．已知复数z满足z＋＝2，z－＝－2i，则|z|＝ （ ） A． B． C．2 D． 5．已知z∈C，且|z－2－2i|＝1(i为虚数单位)，则|z＋2－i|的最大值为 （ ） A．＋1　B．　C．－1　D． 二、多项选择题 6．下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的表述正确的是 （ ） A．表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离 B．表示点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离 C．表示点(2，1)到原点的距离 D．表示坐标为(－2，－1)的向量的模 7．已知复数z1＝－2＋ai，z2＝a－4i，a∈R，则下列说法正确的是 （ ） A．若z1＋z2为纯虚数，则a＝2 B．若z1－z2为实数，则a＝4 C．若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第二或第四象限，则2<a<4 D．复数z1－z2在复平面内对应的点不可能在直线y＝x上 三、填空题 8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________． 9．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________． 四、解答题 10．计算： （1）(2－i)＋(－2i)； （2）(3＋2i)＋(－2)i； （3）(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； （4）(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i). 11．已知复数z1＝1＋(10－a2)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，1＋z2∈R. （1）求实数a的值； （2）若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围． 能力提升练 12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中所求的点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为 （ ） A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 13．已知M，N分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，则△MON是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”). 14．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积． 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝ （ ） A．8－7i B．5－3i C．11－7i D．8＋7i 解析：解法一：z＝(8－2i)－(－3＋5i)＝11－7i. 解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋bi－3＋5i＝(a－3)＋(b＋5)i＝8－2i，所以解得即z＝11－7i，故选C. 答案：C 2．若z1，z2∈C，则“z1，z2至少有一个是虚数”是“z1－z2是虚数”的 （ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 解析：若z1，z2皆是实数，则z1－z2一定不是虚数，因此当z1－z2是虚数时，“z1，z2中至少有一个是虚数”成立，即必要性成立；当z1，z2中至少有一个是虚数时，z1－z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，z1－z2＝0，即充分性不成立．故选D. 答案：D 3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝ （ ） A．－1＋2i B．－2－2i C．1＋2i D．1－2i 解析：解法一：z1－z2对应的向量为－＝＝(－2，－1)－(0，1)＝(－2，－2)，所以z1－z2＝－2－2i. 解法二：由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B. 答案：B 4．已知复数z满足z＋＝2，z－＝－2i，则|z|＝ （ ） A． B． C．2 D． 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，所以z＋＝2a＝2，z－＝2bi＝－2i，解得a＝1，b＝－1，即z＝1－i，所以|z|＝＝.故选A. 答案：A 5．已知z∈C，且|z－2－2i|＝1(i为虚数单位)，则|z＋2－i|的最大值为 （ ） A．＋1　B．　C．－1　D． 解析：|z－2－2i|＝1表示以C(2，2)为圆心，1为半径的圆，则圆心C到点(－2，1)的距离d＝＝，则|z＋2－i|的最大值为＋1.故选A. 答案：A 二、多项选择题 6．下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的表述正确的是 （ ） A．表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离 B．表示点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离 C．表示点(2，1)到原点的距离 D．表示坐标为(－2，－1)的向量的模 解析：由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确，B错误；|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|，表示点(2，1)到原点的距离，|(1＋i)－(3＋2i)|＝|－2－i|，表示坐标为(－2，－1)的向量的模，故C、D正确．故选ACD. 答案：ACD 7．已知复数z1＝－2＋ai，z2＝a－4i，a∈R，则下列说法正确的是 （ ） A．若z1＋z2为纯虚数，则a＝2 B．若z1－z2为实数，则a＝4 C．若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第二或第四象限，则2<a<4 D．复数z1－z2在复平面内对应的点不可能在直线y＝x上 解析：对于A，z1＋z2＝(a－2)＋(a－4)i，由z1＋z2为纯虚数，得a＝2，正确；对于B，z1－z2＝(－2－a)＋(a＋4)i，由z1－z2为实数，得a＝－4，错误；对于C，若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第二或第四象限，则(a－2)(a－4)<0，解得2<a<4，正确；对于D，z1－z2＝(－2－a)＋(a＋4)i，当a＝－3时，z1－z2＝1＋i在复平面内对应的点(1，1)在直线y＝x上，错误． 答案：AC 三、填空题 8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________． 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为|z|＝3，所以a2＋b2＝9.因为z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，所以即又a2＋b2＝9，所以所以z＝3i. 答案：3i 9．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________． 解析：由|z－2|＝|z＋2|知复数z在复平面内对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点的集合，即虚轴．|z－1|表示复数z在复平面内对应的点与(1，0)的距离，∴|z－1|min＝1. 答案：1 四、解答题 10．计算： （1）(2－i)＋(－2i)； （2）(3＋2i)＋(－2)i； （3）(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； （4）(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i). 解：（1）原式＝(2＋)－(＋2)i＝－i； （2）原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i； （3）原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋ ＝(1－1＋5)＋(2＋1)i ＝5＋3i； （4）原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i. 11．已知复数z1＝1＋(10－a2)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，1＋z2∈R. （1）求实数a的值； （2）若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围． 解：（1）由题意得1＝1－(10－a2)i，所以1＋z2＝1－(10－a2)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i， 因为1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a>0，所以a＝3. （2）由（1）知z2＝i，所以满足条件|z－z2|＝2的点的集合是以(0，1)为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以|z|的取值范围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤|z|≤2＋1，即1≤|z|≤3.故|z|的取值范围为[1，3]. 能力提升练 12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中所求的点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为 （ ） A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点Z(x，y)到△ABC三个顶点A(2，0)，B(－2，0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，如图，此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B. 答案：B 13．已知M，N分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，则△MON是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”). 解析：因为|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，所以|z1－z2|＝|z1＋z2|，即|－|＝|＋|，故以OM，ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等，即该平行四边形为矩形，所以△MON是直角三角形． 答案：直角 14．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积． 解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－， ∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又＝＋， ∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵＝， ∴向量对应的复数为3－i， ∵＝＋， ∴点D对应的复数为(2＋i)＋(3－i)＝5. （2）∵cos B＝＝＝＝，B∈(0，π)， ∴sin B＝. ∴S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7， 故▱ABCD的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $