第二十四章　数据的分析 课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

第二十四章　数据的分析 第8课时　数据的四分位数 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.（2022新课标）会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义. 2.（2022新课标）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 四分位数 （1）百分位数：一组数据按从小到大的顺序排列，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数. （2）四分位数：在百分位数中，我们关注25%分位数、50%分位数、75%分位数，它们把一组按由小到大排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的　　 　 　 （下四分位数）、第二四分位数（中位数）、　　　　 （上四分位数），分别记为Q1，Q2，Q3.  第一四分位数 第三四分位数 1.已知一组数据：20，30，50，70，90，120. （1）这组数据的中位数为　　　　；  （2）这组数据的上四分位数为　　　　；  （3）这组数据的下四分位数为　　　　.  2.从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：kg）如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5， 8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0， 则这组数据的四分位数Q1=　　　　，Q2=　　　　，Q3=　　　　.  60　 90 30 8.15 8.5　 8.75 箱线图 （1）计算出一组数据的最小值、第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数和最大值，将这些数据绘制成的统计图叫作箱线图. （2）整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. （3）箱线图可以按水平方向画，也可以按竖直方向画. 3.如图是张老师根据全班40名学生1 min跳绳的次数的情况绘制的箱线图. （1）全班学生1 min跳绳次数的最小值为 ，最大值为　　　　；  （2）全班学生1 min跳绳次数的中位数是 ，上四分位数是　　　　；  （3）四分位距是　　　　.  115 162 136 144 12 箱线图的特点 由箱线图，容易看出数据分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等，特别适用于多组数据整体分布情况的比较. 4.继续对第3题进行分析. （1）哪个范围内的数据分布最集中？ （2）全班学生1 min跳绳次数的平均数和中位数哪个大？ 解：（1）132-136范围内的数据分布最集中. （2）因为中位数更靠近下四分位数，说明中位数到上四分位数之间的数据分散，且数值更大，所以平均数更大. 5.【例1】现有一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104， 112，则上四分位数是（　　） A.113　 B.112 C.106　 D.109 D 8.现有一组数据分别为4.77，3.95，4.95，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，4.11，4.10，则这组数据的四分位数Q1=　　　　，Q2=　　　　， Q3=　　　　.  3.21 3.9　 4.11 6.【例2】（人教8上P180，教材新增）某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示. （1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ 解：（1）这个月空气质量指数的最大值为110，最小值为30，下四分位数为40，中位数为50，上四分位数为80. （2）请分析这个月的空气质量特点.（提示：空气质量指数越高，空气质量越差，0—50为良好，50—100为适中，100—150为差） （2）这个月大部分时间的空气质量处于良好到适中范围，有少量天数为差，整体空气质量较好.（答案合理即可） 9.（人教8上P180，教材新增）一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：12，10，3，9，10，12，2，6，14. （1）计算汽车销售数量的四分位数； 解：（1）汽车销售数量的下四分位数为4.5，中位数为10，上四分位数为12. （2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点. （2）箱线图如图所示： 这个月销售人员的汽车销售数量大部分处于五到十二辆，有少数销 售人员销量较差，整体销售情况尚可.（答案合理即可） 7.【例3】（北师8上P176）小明抽样调查了两个不同年龄段人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： （1）这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ 解：（1）①A年龄段入睡时间的最大值、最小值与四分位数均晚于B年龄段，所以A年龄段的平均入睡时间更晚； ②A年龄段的入睡时间的分布更为集中. （2）如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ （2）我认为A有可能是青年组. ★10.（数据观念、思维能力）（人教8下P181，教材新增）八年级两个班男生的身高（单位：cm）分别如下： 甲班：164　171　163　158　167　175　168 181　168　176 乙班：172　170　163　161　179　160　176 174　170　178 请结合男生身高的四分位数和箱线图比较这两个班级男生的身高差异. 解：甲班：Q1=164，Q2=168，Q3=175， 乙班：Q1=163，Q2=171，Q3=176， 甲班男生身高、乙班男生身高的箱线图如下： 乙班男生的身高比甲班男生的身高更集中，乙班男生身高的中位数大于甲班的中位数.在甲班中身高较矮的男生比在乙班中身高较矮的男生更矮.（答案合理即可） $第二十四章　数据的分析 第5课时　中位数和众数（2） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.（2022新课标）知道平均数、中位数、众数是对数据集中趋势的描述. 2.了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异. 3.（2022新课标）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 平均数、中位数、众数的巩固 （1）加权平均数：=. （2）中位数：指数据从小到大（或从大到小）排列，处于　　　　位置的数.注意：若有偶数个数据，则中位数是指中间两个数的　　　　.  （3）众数：指一组数据中出现次数　　　　的数据.  中间 平均数 最多 1.某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，做了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12，13，14，15，15，15，则这组数据中的众 数、平均数分别是（　　） A.12，14　 B.12，15　 C.15，14　 D.15，13 C　 2.（2025黑龙江）第九届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”.某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（套）分别为136，140，129，180，136，154，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A.136，136 B.138，136 C.136，129 D.136，138 D　 平均数、中位数、众数的优缺点 类别 优点 缺点 联系 平均数 平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用 平均数受极端值（一组数据中与其余数据差异较大的数据）的影响较大 （1）平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量； （2）实际问题中求得的平均数、中位数和众数的单位与原数据的单位一致 中位数 中位数只需要很少的计算，它不易受极端值影响 中位数不能充分利用数据提供的信息 众数 众数的大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值影响 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性 3.（2025广州一模）在春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞（售价、利润均相同）在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是 　　　　.  包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 15 28 16 10 众数 4.（人教8下P163，教材新增）王芳在记录乙组同学的跳绳成绩时，把242错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解释其中的原因. 乙组跳绳成绩（次/min）：199 148 242 170 141 解：乙组跳绳成绩的平均数为180，中位数为170， 看错后，乙组跳绳成绩的平均数为176.4，中位数为170， 因此乙组跳绳成绩的平均数受影响，中位数不受影响， 原因：计算平均数时要用到所有的数据，故改变其中一个数据，平均数就会受影响；计算中位数时，只用到最中间的1个或2个数据，计算简 单，故改变最大数据242后，中位数不会受影响. 5.【例1】（跨学科融合）在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下： 11.2　10.5　11.4　10.2　11.4　 11.4　11.2　 9.5　 12.0　10.2 （1）样本数据的平均数是多少？ 解：（1）平均数为 （11.2+10.5+11.4+10.2+11.4+11.4+11.2+9.5+12.0+10.2）÷10=10.9（厘米）. （2）样本数据的中位数是　　　　厘米，众数是　　　　厘米；  （3）根据（2）中数据，如果一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由. 11.2 11.4 （3）在这次坐位体前屈的测试中，全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘米，有一半学生的成绩小于11.2厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于中位数11.2厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好. 7.（人教8下P161改编）某商场服装部有营业员20名，为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月的销售额目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖惩.为此，商场统计了这20名营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 25　26　21　17　28　26　20　25　26　30 20　21　20　26　30　25　21　19　28　26 （1）上述数据中，众数是　　　　万元，中位数是　　　　万元，平均数是　　　　万元；  （2）如果将众数作为月销售额目标，能否让至少一半的营业员都能达到目标？请说明理由. 26 25 24 （2）不能，因为此时众数26万元>中位数25万元（或因为从数据统计中可知20名营业员中，只有9名达到或超过目标，不到半数）. 6.【例2】东明商场日用品柜台10名售货员11月完成的销售额情况如 下表： （1）计算销售额的平均数、中位数、众数； 销售额（千元） 3 4 5 8 10 售货员（人） 1 2 4 2 1 解：（1）平均数为=5.7（千元）； 将这些数据按从小到大的顺序排列（3，4，4，5，5，5，5，8，8，10），处于中间位置的两个数字分别为5和5，故中位数为5千元； 该组数据中出现次数最多的是5，故众数为5千元. （2）商场为了完成年度的销售任务，调动售货员的积极性，在一年的最后月份采取超额有奖的办法.你认为根据上面计算结果，每个售货员统一的销售额标准是多少？ （2）为了调动售货员积极性，商场准备采取超额有奖措施，把标准定为5千元时最合适，这样多数人都能达到这个标准. ★8.（数据观念、应用意识）某校教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了下表： 零花钱数额（元） 5 10 15 20 学生人数 10 15 20 5 （1）求出这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数、众数和中位数； 解：（1）平均数是=12（元）； 数据15出现次数最多，故众数是15元； 中位数是=12.5（元）. （2）你认为（1）中的哪个数据代表这50名学生每人一周内的零花钱数额的一般水平较为合适？简要说明理由. （2）用众数代表这50名学生每人一周内的零花钱数额的一般水平较为合适，因为15元出现次数最多，所以能代表每人一周内零花钱数额的一般水平. $第二十四章　数据的分析 第1课时　平均数（1） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.（2022新课标）理解平均数的意义，知道它是对数据集中趋势的描述. 2.（2022新课标）能计算加权平均数，知道它是对数据集中趋势的描述. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 算术平均数 （1）一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，我们把叫作这n个数据的平均数，记作“”. （2）平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量.如果需要了解一组数据的平均水平，计算这组数据的平均数即可.根据计算主体的不同，也可分为样本平均数与总体平均数. （3）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动. 1.一组数据19，12，15，14，7，23的平均数是（　　） A.14 B.15 C.14.5 D.15.5 2.（跨学科融合）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在5块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：kg）：12，13，15，17，18，那么这5块稻田的田鱼平均产量是　　　　kg.  3.（2025江苏三模）已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为5，则a=　　　 .  B 15　 2 加权平均数 （1）当n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn时，叫作这n个数的加权平均数，其中=. （2）算术平均数与加权平均数的区别：算术平均数是指一组数据的和除以数据个数；加权平均数是指在实际问题中，每个数据的“重要程度”未必相同，即每个数据的权未必相同，因而在计算上与算术平均数有所不同. （3）算术平均数与加权平均数的联系：若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因此算术平均数实质上是加权平均数的一种特例. 4.某艺术团招聘演员，对应聘者进行表演能力、演唱水平、外表形象等三方面测评，每个项目满分均为100分，其中表演能力占50%，演唱水平占30%，外表形象占20%；根据三个项目的综合得分择优录用.“表演能 力”的权是　　　　　，“演唱水平”的权是　　　　　，“外表形象”的权是　　　　　；艺术团对演员最看重的是　　　　　　.  5.（2025宿迁）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按6∶4计算最终成绩.小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为　　　　分.  50% 30%　 20%　 表演能力 87 6.【例1】（人教8下P149，教材新增）甲、乙两组同学的跳绳成绩（次/min）如下： 甲组　182 194 143 185 156 乙组　199 148 242 170 141 则甲、乙跳绳成绩的平均数分别为　　　　，　　　　，你认为 组的跳绳成绩更好.  172 180 乙 9.某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均 每组植树　　　　株.  5 7.【例2】（人教8下P152改编）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表： 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，并判断谁将被录取. 应聘者 面试 笔试 甲 87 90 乙 91 82 解：甲的平均成绩为（87×6+90×4）÷10=88.2（分）， 乙的平均成绩为（91×6+82×4）÷10=87.4（分）， 因为甲的平均成绩较高，所以甲将被录取. 10.（人教8下P150）一家公司招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示： （1）如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，甲的平均成绩为 　　　，乙的平均成绩为　　　 ，从他们的成绩看，应该录取 ；  应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 80.25 79.5 甲 （2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩.从他们的成绩看，应该录取谁？ （2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5（分）， =（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4（分）， ∵79.5<80.4，∴应该录取乙. 8.【例3】（人教8下P152、北师8上P150）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.刘伟的三项成绩（百分制）依次是95，90，85.他这学期的体育成绩是多少？ 解：（95×20%+90×30%+85×50%）÷（20%+30%+50%）=88.5（分）. 答：刘伟这学期的体育成绩是88.5分. ★11.（运算能力）（人教8下P165）某商场招聘一名员工，现有甲、 乙、丙三人竞聘.通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示.若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，从平均成绩看，应该录取谁？ 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 90 75 45 丙 50 60 85 解：甲：（70×50%+50×30%+80×20%）÷（50%+30%+20%）= 66（分）， 乙：（90×50%+75×30%+45×20%）÷（50%+30%+20%）= 76.5（分）， 丙：（50×50%+60×30%+85×20%）÷（50%+30%+20%）=60（分）. ∵60<66<76.5，∴应该录取乙. $第二十四章　数据的分析 第2课时　平均数（2） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.（2022新课标）会计算加权平均数，知道它是对数据集中趋势的描述. 2.了解计算分组数据的平均数或百分数的方法. 3.掌握用组中值代表各组数据的方法. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 计算分组数据的平均数或百分数的方法 （1）计算分组（两组或更多组）数据的平均数或百分数，只需知道两类信息： 一是每组数据的平均数或百分数， 二是每组数据的个数（频数），或每组数据个数所占的比值（频率）. 根据这两类信息，以频数或频率为权，通过计算加权平均数就可以得到结果. （2）像这样先按数据分组分别计算，再通过一定算法由各组计算出最后结果的方法属于分布式计算.利用分布式计算不仅可以节约整体计算时间，提高计算效率，还可以减少大量数据传输和存储带来的时间、经济成本. 1.在一组数据中，有2个8，4个10，2个6. （1）这组数据中共有　　　　个数；  （2）数据8，10，6的频数分别是　　　 　　；  （3）这组数据的平均数是　　　　.  2.（人教8下P154改编）某跳水队为了解运动员的年龄情况，调查如 下：13岁2人，14岁1人，15岁2人，则这个跳水队运动员的平均年龄为 　　　　.  8 2，4，2 8.5　 14岁 3.（2025济宁一模）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是 　　　　小时.  睡眠时间 8小时 9小时 10小时 人数 6 24 10 9.1　 4.（2025乐山）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为　　　　元.  7.8 组中值 （1）数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数. （2）例如：小组1≤x<21的组中值为=11. 5.在表中填写各个小组的组中值： 分组 0≤x <50 50≤x <100 100≤x <150 150≤x <200 组中值         25 75 125　 175 6.【例1】下表是校女子排球队队员的年龄分布. 求校女子排球队队员的平均年龄（结果取整数）. 年龄/岁 13 14 15 16 频数 1 4 5 2 解：校女子排球队队员的平均年龄约为 （13×1+14×4+15×5+16×2）÷（1+4+5+2）≈15（岁）. 9.为了建设“书香校园”，某校八年级的同学积极捐书，如下表统计了八 （1）班40名学生的捐书情况，该班学生平均每人捐书多少本？ 捐书（本） 3 4 5 7 10 人数 5 7 10 11 7 解：该班学生平均每人捐书 =6（本）. 7.【例2】（人教8下P152，教材新增）某天访问A，B两个新闻类网站的用户数分别为3×107和1×107，下表是用户在每个网站的停留时间和关于军事话题调查的统计结果.这天两个网站所有用户停留时间的平均数和对军事话题感兴趣的百分比分别是多少？ 网站 停留时间的平均数/h 对军事话题感兴 趣的百分比/% A 0.5 24 B 0.7 32 解：（1）两个网站所有用户停留时间的平均数是 =0.5×+0.7×=0.55. （2）两个网站所有用户对军事话题感兴趣的百分比是 =24%×+32%×=26%. 10.（人教8下P154，教材新增）某超市有5家分店，其中一天的营业情况统计结果如下表所示.这家超市的每人次平均消费金额和非现金结账百分比分别是多少？ 分店 结账人数 每人次平均 消费金额/元 非现金结账 百分比/% A 4 000 46 70 B 2 000 32 76 C 3 000 68 73 D 7 000 95 85 E 4 000 80 82 解：4 000+2 000+3 000+7 000+4 000=20 000， 这家超市的每人次平均消费金额是 （4 000×46+2 000×32+3 000×68+7 000×95+4 000×80）÷20 000 =71.85， 这家超市的非现金结账百分比是 （4 000×70%+2 000×76%+3 000×73%+7 000×85%+4 000×82%）÷20 000=78.7%. 8.【例3】（人教8下P153）为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天该车每个运行班次的载客量，得到下表： 这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少（结果取整数）？ 载客量（人） 1≤x <21 21≤x <41 41≤x <61 61≤x <81 81≤x <101 101≤x <121 班次（频数） 3 5 20 22 17 15 解：先求出每组的组中值：11，31，51，71，91，111， =≈73（人）. 答：这天5路公共汽车平均每班的载客量大约是73人. ★11.（数据观念、应用意识）对某班学生上学路上所需的时间进行了调查，统计结果如下表. （1）将统计表补充完整； 所需时间x/min 人数 百分比/% 1≤x<11 18 36 11≤x<21   46 21≤x<31 7   31≤x<41 2 4 23　 14 （2）这个班级学生上学路上平均所需时间为多少（结果取整数）？ （2）=14.6≈15（min）. 答：这个班级学生上学路上平均所需时间约为15 min. $第二十四章　数据的分析 第3课时　平均数（3） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.（2022新课标）会计算加权平均数，知道它是对数据集中趋势的描述. 2.（2022新课标）体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数. 3.（2022新课标）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 样本平均数、总体平均数 （1）根据样本数据计算得到的平均数，叫作样本平均数. （2）根据总体数据计算得到的平均数，叫作总体平均数. （3）加权平均数： =. （4）对于通过简单随机抽样获取的数据，可以用样本的平均数估计总体的平均数. 1.（人教8下P155，教材新增）从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：cm）如下： 162 152 166 185 167 175 169 163 168 184 177 162 157 154 171 169 171 169 175 164 估计这所学校八年级学生的平均身高. 解：这20名学生的身高的平均数为 ==168. 可以估计这所学校八年级学生的平均身高大约为168 cm. 用样本平均数估计总体平均数 （1）当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.取样必须具有尽可能大的代表性，否则将影响到样本对总体估计的精确度. （2）一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因 此，在实际工作时，样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 2.（人教8下P155改编、北师8上P158改编）某电池厂为测量一批电池的使用寿命，从中抽查了100只电池，它们的使用寿命如下表所示： 求这批电池的平均使用寿命. 使用寿命x/h 60≤x<100 100≤x<140 140≤x<180 电池只数 30 30 40 解：这100只电池的平均使用寿命是 =124（h）. 可以估计这批电池的平均使用寿命是124 h. 3.【例1】（2025江西期末）2025年4月24日是第十个中国航天日.为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“海上生明月，九天揽星河”为主题的绘画大赛，现从全校作品中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成下表. 成绩/分 7 8 9 10 份数 30 40 25 5 （1）求此次被抽取的参赛作品成绩的平均数； 解：（1）此次被抽取的参赛作品成绩的平均数为 =8.05. （2）请估计此次大赛全校作品的平均得分. （2）估计此次大赛全校作品的平均得分为8.05分. 5.（2025内蒙古期末）某校开展了“让阅读滋养心灵”的读书活动.为了解该校学生在此次活动中的课外阅读情况，从中随机抽取50名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如图所示的统计图. （1）求这组数据的平均数； 解：（1）这组数据的平均数为=2.3（本）. （2）该校共有800名学生，估计该校全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量是多少本. （2）估计该校全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量是800×2.3=1 840（本）. 4.【例2】（人教8下P156改编、北师8上P175改编）某中学八年级有400名学生，学校为了增强学生的安全意识，在本年级进行了一次安全知识测验.为了解这次测验的成绩状况，抽取了50名学生的成绩，将所得数据整理后，画出频数分布直方图如图所示. （1）第四个小组的频数为　　　　，第五个小组的频数为　　　　；  13 10 （2）估计这次测验中八年级全体学生的平均成绩是多少. （2）抽取的50名学生的平均成绩为 （5×55+9×65+13×75+13×85+10×95）÷50=77.8（分）. 答：估计这次测验中八年级全体学生的平均成绩是77.8分. ★6.（数据观念、应用意识）（人教8下P157，教材新增）学校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一星期课外阅读的时间，用了两个不同的表进行统计. （1）根据表1和表2分别估计这所学校所有学生的平均阅读时间； 解：（1）表1：平均阅读时间为 =5.8（h）； 表2：平均阅读时间为 =6（h）. （2）用这两个表估计的结果相同吗？如果不同，用哪个表估计更合 适？为什么？ （2）不同，用表1更合适，原因是表1的组距更小，组中值更有代表性，估计的结果更准确. $第二十四章　数据的分析 第4课时　中位数和众数（1） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.（2022新课标）理解中位数、众数的意义. 2.（2022新课标）能计算中位数、众数. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 中位数 （1）定义：一组数据按大小依次排列，处于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的 ）叫作这组数据的中位数. （2）学法指导： ①一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； ②在确定中位数时，一定要先把一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，一组数据的中位数是唯一的； 平均数 ③一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧数据的个数相同，因此中位数反映了一组数值取值的中间水平； ④当一组数据中的个别数据差异较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势. 1.数据5，3，2，1，4的中位数是　　　　.  2.数据6，8，4，2，10，0的中位数是　　　　.  3.（2025甘孜州）某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24.这组数据的中位数为（　　） A.18 B.20 C.22 D.23 3 5　 C 4.射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）的中位数为　　　　.  9　 众数 （1）定义：一组数据中出现次数　　　　的数据叫作这组数据的众数.  （2）学法指导： ①一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关； ②众数是刻画一组数据集中趋势的一种统计量； ③如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数.如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数，如：在2，3，1，2，3中，众数是2和3；在3，4，7，8，10中，就没有众数； 最多 ④众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数， 如：在一组数据2，2，3，3，3，3，4中，数据3出现的次数最多是4 次，所以这组数据的众数是3，而不是4. 5.数据5，2，5，4，3的众数是 . 6.（人教8下P159改编）（2025西藏）一家鞋店在一段时间内销售了某款 女鞋50双，各种尺码的销售量如下表所示： 根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是　　　　.  尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 4 7 19 10 6 2 5　 23.5　 7.（2025苏州模拟）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图所示，则得分的众数为　　　　分.  9 8.【例1】（跨学科融合）东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为85，87，89，91， 85，92，90，则这组数据的中位数为　　　　.  89 12.学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 则这12位队员身高的中位数是（　　） A.176 cm B.178 cm C.179 cm D.180 cm 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 C 9.【例2】（2025广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大 赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95.这组数据的中位数、众数分别是（　　） A.92，94 B.95，95 C.94，95 D.95，96 B 13.（2025深圳三模）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表，则本次测试成绩的中位数和众数分别是（　　） A.172和172 B.172和173 C.173和172 D.173和173 成绩/次 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 C 10.【例3】（人教8下P160改编）如图所示的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况.请找出这些工人日加工零件数的中位数，并说明这个中位数的意义. 解：这些工人日加工零件数的中位数是6. 意义：将37人的日加工零件数按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数6就是这组数据的中位数. 14.（人教8下P160，教材新增）为研究不同类型软饮料的市场销售情 况，市场调查员在一家超市随机观察并记录了50名顾客购买的软饮料类型，如图.顾客购买的软饮料类型的众数是什么？请你为这家超市提出进货建议. 解：顾客购买的软饮料类型的众数是乳类软饮料. 因为乳类的购买人数最多，茶类的购买人数最少， 所以建议这家超市可以多进乳类饮料，少进茶类饮料. 11.【例4】（人教8下P165）下表是某养鸡场的一批鸡出售时质量的统计数据. 分别求这批鸡质量的平均数（结果保留小数点后一位）、中位数和众数. 质量/kg 1.3 1.6 1.9 2.1 2.3 频数 53 108 348 275 216 解：这批鸡质量的平均数为 ÷ ≈2.0（kg）， 中位数为1.9 kg，众数为1.9 kg. ★15.（运算能力）下表是某校八年级（1）班20名学生某次测验的成绩统计表，已知这20名学生的平均分是84分. 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 1 5 x y 2 （1）求x和y的值； 解：（1）由题意得 解得 即x的值为1，y的值为11. （2）这20名学生本次测验成绩的众数和中位数分别是多少？ （2）∵成绩为90分的人数最多，∴众数为90分. ∵共有20人， ∴第10和11名的学生的成绩平均数为中位数， ∴中位数为=90（分）. $第二十四章　数据的分析 第6课时　数据的离散程度（1） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.了解方差的定义和计算公式.理解方差概念的产生和形成过程. 2.（2022新课标）体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差. 3.（2022新课标）体会样本与总体的关系，知道可以用样本方差估计总体方差. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 离差、离差平方和、方差 （1）离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均 数，我们把xi-叫作xi关于平均数的离差. （2）离差平方和：先对离差进行平方，然后求和，即d2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2. （3）方差：离差的平方的　　　　　， 即 s2= . 平均数 1.已知一组数据：2，3，3，4. （1）2关于平均数的离差是　　　　；  （2）这4个数据关于平均数的离差平方和为　　　　；  （3）这组数据的方差为　　　　.  -1 2　 2.已知一组数据的方差可以用式子表示为 s2=， 则式子中的数字5所表示的意义是（　　） A.个数 B.平均数 C.众数 D.中位数 B 用方差刻画数据的离散程度 （1）方差反映了每个数据与平均数的平均　　　　程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.  （2）①方差越大，数据的离散程度　　　（即波动越大，越不稳定）；  ②方差越小，数据的离散程度　　　　（即波动越小，越稳定）.  （3）离差平方和、方差的比较： 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. （4）根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.在实际问题中，也可以用样本方差来估计总体方差. 差异 越大 越小 3.（2025德阳）甲、乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差=1.3，乙运动员训练 成绩的方差=0.6，你认为应该选择　　　　参加比赛.（填“甲”或“ 乙”）  乙 4.（人教8下P174改编）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10 个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作，，则　　　 .（填“>”“=”或“<”） <  5.【例1】已知一组数据：2，0，1，4，3，求这组数据的方差. 解：平均数=（2+0+1+4+3）÷5=2， 则方差s2=［（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2］÷5=2. 8.在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为7，8，10，8， 9，6，求这组数据的方差. 解：平均数=×（7+8+10+8+9+6）=8， 所以方差s2=×［（7-8）2+（8-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（6-8）2］=. 6.【例2】（2025兰州）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定.甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是　　　　（填“甲”或“乙”）.    甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差s2 6.91 0.72 甲 9.（2025青岛）为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为100 g.甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量（单位：g）如下： 甲：103，99，100，101，97； 乙：99，103，105，95，98 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是　　 （填“甲”或“乙”）.  甲 7.【例3】新赛季的篮球联赛开打了.下面是甲、乙两支篮球队的五位主力球员的身高，哪队的主力球员的平均身高较高？哪队的主力球员的身高较为整齐？ 甲队主力球员身高（cm） 194 203 187 192 189 乙队主力球员身高（cm） 196 190 207 185 192 解：=×（194+203+187+192+189）=193（cm），　 =×（196+190+207+185+192）=194（cm）， =×［（194-193）2+（203-193）2+…+（189-193）2］=30.8， =×［（196-194）2+（190-194）2+…+（192-194）2］=54.8， 由<可知乙队的主力球员的平均身高较高； 由<可知甲队的主力球员的身高较为整齐. ★10.（运算能力、创新意识）在一次投篮比赛中，甲、乙两人共进行了五轮比赛，每轮各投10个球，他们每轮投中的球数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 甲投中（个） 6 8 7 5 9 乙投中（个） 7 8 6 7 7 （1）计算两人在五轮比赛中的平均数和方差； 解：（1）=×=7， =×=2； =×=7， =×=0.4. （2）通过以上计算，你认为在比赛中甲、乙两人谁的发挥更稳定些？ （2）由>可知，乙的发挥更稳定些. （3）若乙再投两轮，分别投中6个和8个，则乙这七轮投篮成绩的方差如何变化？ （3）'乙=×（7+8+6+7+7+6+8）=7， s=×=， ∵0.4<，∴方差变大. $第二十四章　数据的分析 第10课时　《数据的分析》单元复习 03 精典范例 02 对点训练 01 知识要点 04 变式练习 数据的集中趋势 （1）平均数： ①算术平均数： =（x1+x2+…+xn）. ②加权平均数： 当n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn时，叫作这n个数的加权平均数，其中=.   （2）中位数： 指数据从小到大（或从大到小）排列，处于　　　　位置的数.注意：若有偶数个数据，则中位数是指中间两个数的　　　　　.  （3）众数： 指一组数据中出现次数　　　　的数据.  （4）平均数、中位数、众数的优缺点： 中间 平均数 最多 类别 优点 缺点 平均数 平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用 平均数受极端值（一组数据中与其余数据差异较大的数据）的影响较大 中位数 中位数只需要很少的计算，它不易受极端值的影响 中位数不能充分地利用各数据的信息 众数 众数的大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响 当各数据重复出现的次数大致相等时，众数往往就没有什么特别意义 1.（2025广州模拟）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是　　　　小时. 9 2.（2025河南一模）某校拟招聘一名数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 　　　　分.  3.（2025眉山）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练.已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为7，8，5，8，9，10，6.这组数据的中位数是　　　　.  85.8 8 4.（2025盐城）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销.“最畅销”涉及的统计量是（　　） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 D　 5.小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图.在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（　　） A.50，50 B.50，30 C.80，50 D.30，50 A 6.（2025德阳）德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里.若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（　　） A.25公里 B.28公里 C.29公里 D.30公里 A 数据的离散程度 （1）方差的定义：各数据与它们的　　　　的差的　　　　的平均数.  （2）方差的计算公式： 设有n个数据x1，x2，…，xn，通常用表示一组数据的平均数，用s2表示一组数据的方差，则s2=［（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2］. （3）方差用来刻画一组数据的　　　　大小（即每个数据与平均数的平均差异程度）.  （4）方差越大，说明数据的离散程度　　 　　，波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的离散程度　　　　，波动越小，越稳定.  平均数 平方 波动 越大 越小 7.（2025江西模拟）数据-3，0，1，2的方差是　　　　.  8.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，，则　　 　 （填“>”“<”或“=”）. 3.5 >  四分位数与箱线图 （1）25%分位数、50%分位数、75%分位数把一些数据分为个数相等的四部分，因此分别称为第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数（中位数）和第三四分位数（上四分位数），记为Q1，Q2，Q3，统称四分位数. （2）由一组数据的最小值、第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数（中位数）和第三四分位数（上四分位数）和最大值绘制的统计图（如图）叫作箱线图. 9.（1）某考生参加某高中的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（　　） A.79 B.80　 C.81　 D.82 B （2）为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，8名同学的射击环数如下（单位：环）： 9，8，6，10，9，7，6，9，则这组样本数据的（　　） A.第二四分位数是8　 B.平均数是9 C.上四分位数是9　 D.方差是16 C 组内离差平方和 设有n个数据x1，x2，…，xn，如果把这组数据分成两组，前m个数据为一组，后个数据为一组，它们的平均数分别记为和，离差平方和分别为 =（x1-）2+（x2-）2+…+（xm-）2， =（xm+1-）2+（xm+2-）2+…+（xn-）2， 则+称为组内离差平方和. 10.把5个数据2，4，6，8，10分成｛2，4｝和｛6，8，10｝两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　　　　，组间离差平方和为 ，  整组数据的方差为　　　　.  10　 30　 8 11.【例1】（2025宜宾）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为6，则a的值是（　　） A.7　 B.8　 C.9　 D.10 D 17.（2025江苏一模）一组数据含有三个不同的数：3，8，7，它们的频数分别是3，5，2，则这组数据的平均数是　　　　.  6.3 12.【例2】（2025辽宁）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：cm）的平均数和方差如下表，则这两名运动员测试成绩更稳定的是　　　　（填“甲”或“乙”）.  运动员 平均数 方差 甲 601 95.4 乙 601 243.4 甲 18.（2025扬州三模）在评选活动中，6位评委的打分为10，8，9，8， 6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则　　　 （填“>”“<”或“=”）. >　 13.【例3】（2025巴中）有一组数据：1，2，3，3，4，5.在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（　　） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 B 19.（2025绥化）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10.工作人员根据评委所打的分数进行了统计.如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　） A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 D 14.【例4】（1）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数，某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数是　　　　；  （2）8位同学在某天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）分别为65， 65，66，70，74，73，81，80，则它们的上四分位数是　　　　分钟.  7.85 77 20.某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法错误的是（　　） A.三个班级中，甲班分数的方差最小 B.三个班级中，乙班分数的中位数最大 C.丙班得分低于80的学生人数少于得分高于80的学生人数 D.若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高 B 15.【例5】中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了如下两幅不完整的统计图： （1）写出扇形图中a=　　　　%，并补全条形图；  （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是　　　　个、 　　　　个.  25 （1）条形图补充如图： 5　 5　 21.（2025安徽）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x（分）表示，将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 45≤x<55 55≤x<65 65≤x<75 75≤x<85 85≤x≤95 人数 3 3 15 a 10 （1）a=　　　　；  （2）这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在　　　　组；  （3）若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好.分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由. 19　 D （3）由题意知，游客评分的平均数为 =76（分）， 因为76>75，所以该景区5月份的服务质量良好. 16.【例6】某学院甲、乙两名学生参加操作技能培训.从他们在培训期间参加的多次测试成绩中随机抽取8次，记录如下： 学生 8次测试成绩（分） 平均 数 中位 数 方差 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 85   35.5 乙 83 92 80 95 90 80 85 75   84   （1）请你在表中补全甲、乙两名学生这8次测试成绩的平均数、中位数和方差； 解：（1）甲的成绩从小到大排列为78，79，81，82，84，88，93，95，则甲的中位数为83. 乙的平均数为×（83+92+80+95+90+80+85+75）=85， 乙的方差为×［（83-85）2+（92-85）2+（80-85）2+（95-85）2+（90-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（75-85）2］=41. （2）现要从中选派一人参加操作技能大赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名同学参加合适，请说明理由. （2）从平均数上看甲、乙相同，说明甲、乙的平均水平即他们的实力相当，但是甲的方差比乙小，说明甲的成绩比乙稳定，因此我们应该选派甲去参加比赛.（答案不唯一） ★22.（推理能力）某中学举行“唱红歌”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手参加学校决赛，这10名选手的决赛成绩如下： （1）根据图示填表； 代表队 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部   85   高中部 85   100 85 85 80 （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，　　　　的决赛成绩较好；  （3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定. 初中部 （3）由题意得=×［（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2］=70， =×［（70-85）2+（75-85）2+（80-85）2+（100-85）2+（100-85）2］=160， ∵70<160，∴初中部代表队选手成绩较为稳定. $第二十四章　数据的分析 第9课时　数据的分组 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 （2022新课标）经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 组内离差平方和 一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为，则离差平方和为d2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2. 如果把这组数据分成两组，前m个数据为一组，后个数据为一组，它们的平均数分别记为和，离差平方和分别为 =（x1-）2+（x2-）2+…+（xm-）2， =（xm+1-）2+（xm+2-）2+…+（xn-）2， 那么d2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2 =+ +…++ ++…+ =++…++++…++m+ =++m+， 其中+称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记 =m+， 称为组间离差平方和，表示两个组间的差异.根据组内离差平方和最小的的原则进行分组时，由于d2不变，即可以按+最小来分组，也可以按最大来分组. 1.把4个数据-1，3，1，5分成｛-1，1｝和｛3，5｝两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　　　　，组间离差平方和为　　　　，这组数据的离差平方和为　　　　.  2.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（　　） A.使每组数据量相等 B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C.减少计算复杂度　　 D.保证组间均值相等 4 16 20 B 3.如图是10个苹果的直径大小.若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？ （1）将10个苹果按直径的大小排列.若想把这10个苹果分成两组，则共有　　　　种分类情况；  （2）若有两种分组如下：甲种分组为，；乙种分组为，，请计算哪种分组的组内离差平方和更小. 9 （2）甲种分组：的平均数为67， ∴=（65-67）2+（69-67）2=8， 计算的平均数为77， ∴=（70-77）2+（75-77）2+…+（81-77）2=90， ∴甲种分组的组内离差平方和+=98； 同理计算可得乙种分组：的平均数为68， ∴=14，的平均数为78，∴=34， ∴乙种分组的组内离差平方和+=48； ∵98>48，∴乙种分组的组内离差平方和更小. 4.【例】（人教8下P186改编，教材新增）某镇6家企业去年的产值如下表所示. 把6家企业分为两组｛A，C，D｝和｛E，B，F｝，或｛A，C，D，E｝和｛B，F｝，根据年产值的组内离差平方和最小的原则，从中挑选一种分法. 企业 A B C D E F 产值/亿元 3 12 4 8 9 15 解：第一种分组：｛A，C，D｝和｛E，B，F｝，平均数分别为5，12， 组内离差平方和为++=32； 第二种分组：｛A，C，D，E｝和｛B，F｝，平均数分别为6，13.5， 组内离差平方和为++=30.5； ∵32>30.5，∴根据组内离差平方和最小的原则，选择分组方式为｛A， C，D，E｝和｛B，F｝. 5.（传统文化）打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂、七点漂、漂瓦.它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧.广东小伙小周连续打水漂4次的成绩如下：8，7，9，16.请按照组内离差平方和最小的原则，将成绩分成两组. 解：将4个数据从小到大排列：7，8，9，16， 把4个数据分成两组，共有3种情况： ①｛7｝，｛8，9，16｝，平均数分别为7，11， 组内离差平方和为0++=38； ②｛7，8｝，｛9，16｝，平均数分别为7.5，12.5， 组内离差平方和为++=25； ③｛7，8，9｝，｛16｝，平均数分别为8，16， 组内离差平方和为+++0=2. ∵38>25>2， ∴根据组内离差平方和最小的原则，选择分组方式为｛7，8，9｝，｛16｝. ★6.（数据观念、应用意识）（2025北京模拟）某校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了他们的身高（单位：cm），数据整理如下： a.18名学生的身高： 170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186. b.18名学生身高的平均数、众数： （1）填空：n=　　　　；  平均数 众数 178 n 179 （2）国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组： 如果同一组学生身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好，据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是　　　　（填“甲组”或“乙组”）；  甲组学生的身高 176 177 177 178 179 182 乙组学生的身高 174 175 177 178 179 183 甲组 （3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，已确定4名执旗手的身高分别为176，177，178，179.若计划在乙组选另外两名执旗手，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的平均身高增大但方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为　　　　和 　　　　.  178　 179 $第二十四章　数据的分析 第7课时　数据的离散程度（2） 01 学习目标 04 精典范例 03 对点训练 02 知识要点 05 变式练习 1.进一步理解方差的定义和计算公式. 2.（2022新课标）体会样本与总体的关系，知道可以用样本方差估计总体方差. 3.（2022新课标）能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流. 抽象能力　运算能力 数据观念　应用意识 方差的巩固 （1）方差定义：指离差的平方（各数据与它们的平均数的差的平方）的平均数. （2）方差公式： s2=［（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2］. 1.甲、乙两个组的学生的平均身高相同，若=1.5，=2.5，则 　　　　组学生的身高更整齐.  2.样本数据1，1，2，3，3的平均数是　　　　，方差是　　　　.  甲 2 0.8 有关方差的重点解读与拓展 （1）方差是用来刻画一组数据的离散程度大小的统计量. （2）方差反映的是每个数据与平均数的平均差异程度. （3）对于同类问题的两组数据，方差较大的离散程度较大，方差较小的离散程度较小. （4）方差的单位是原数据单位的平方. （5）一组数据的每一个数据都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （6）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍. （7）可以用样本方差来估计总体方差. 3.题2中数据都加1，则这组数据的平均数为　　　　，方差为　　　　.  4.（人教8下P175改编、北师8上P156改编）为了考察甲、乙两种小麦的 长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下： 甲：6，8，9，9，8；　乙：10，7，7，7，9. （1）分别计算两种小麦的平均苗高； 3 0.8 解：（1）=×（6+8+9+9+8）=8（cm）， =×（10+7+7+7+9）=8（cm）， ∴两种小麦的平均苗高均为8 cm. （2）哪种小麦的长势比较整齐？为什么？ （2）=×［（6-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（8-8）2］=1.2（cm2）， =×［（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（9-8）2］=1.6（cm2）， ∵<，∴根据样本估计总体，甲种小麦的长势比较整齐. 5.【例1】（2025泸州）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位： 个2）如表所示： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁   甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 B 7.（2025扬州一模）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时投掷成绩的平均数是20 m，方差是 m2.若小丽第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后投掷成绩的方差是 m2，则　　　 （填“>”“=”或“<”）. >  6.【例2】（北师8上P156改编）为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下（单位：环）： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4； 乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7. （1）求，，，； 解：（1）=（7+8+6+8+6+5+9+10+7+4）÷10=7， =（9+5+7+8+6+8+7+6+7+7）÷10=7， =×［2×（7-7）2+2×（8-7）2+2×（6-7）2+（5-7）2+（9-7）2+（10-7）2+（4-7）2］=3， =×［4×（7-7）2+2×（8-7）2+2×（6-7）2+（5-7）2+（9-7）2］=1.2. （2）你认为该选拔哪名同学参加射击比赛？为什么？ （2）∵=，>，∴乙较稳定， ∴该选拔乙同学参加射击比赛. ★8.（运算能力、推理能力）（人教8下P175）在体操比赛中，往往在所有裁判员给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分.6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.4，8.9，8.8，8.9，8.6，8.7. （1）如果不去掉最高分和最低分，分别求这组数据的平均数（结果保留小数点后一位）和方差（结果保留小数点后两位）； 解：（1）这组数据的平均数为÷6≈8.9，方差为×［+］≈0.07. （2）如果去掉一个最高分和一个最低分，分别求这组数据的平均数（结果保留小数点后一位）和方差（结果保留小数点后两位）； （2）去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数为 ÷4≈8.8， 方差为×［］≈0.01. （3）你认为哪种计算平均分的方法更合理？ （3）（2）计算平均分的方法更合理，原因是0.01<0.07，（2）中数据方差更小，数据的离散程度更小，更稳定. $