精品解析：辽宁大连市某校2025-2026学年高二下学期4月学情诊断数学试卷

2025－2026学年度下学期4月学情反馈 高二年级数学学科试卷 时间：90分钟 分值：100分 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量表示这6人中共产党员的人数，则式子表示下列概率 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据超几何概型公式，分析所给表达式，即可得答案. 【详解】因为12名志愿者中有5名党员，7名非党员， 所以表示从5名党员中选3名，7名非党员中选3名的概率 所以. 故选：D 2. 已知正项等比数列满足，若，则数列的前19项和为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 44 【答案】B 【解析】 【详解】数列的前19项和为 . 3. 甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球， 则有：， 所以， 故选：B 4. 某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用表示事件“第一次取到甲级药材”，用表示事件“第二次取到乙级药材”，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件互斥 B. C. D. 事件相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，第一次摸到甲级药材，第二次摸到乙级药材可判断；对于C，由条件概率公式即可验算；对于B，由全概率公式即可计算即可；对于D，由独立乘法公式即可验算. 【详解】对于A，第一次摸到甲级药材，第二次摸到乙级药材，则事件A，事件B可同时发生， 故事件A与事件B不互斥，故A错误； 对于C，，故C不正确； 对于B，， 所以，故B正确； 对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误． 故选：B． 5. 某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）（附参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用原则求出的值，利用正态曲线的对称性求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题知，事件为“该同学的成绩满足”， 因为， 所以 ， 又，所以， 故选：A． 6. 下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 【答案】B 【解析】 【分析】对两边取自然对数得，令，则，由回归直线必过样本点的中心即可求得，进而得解. 【详解】由两边取自然对数得，令， 则，即与呈线性相关关系， ，， 回归直线必过样本点的中心，，解得， ，则，当时，． 故选：B 7. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项. 【详解】已知， 时，，是斜率为的一次函数，单调递增， ，函数为开口向下的二次函数， 对正整数，递增，即相邻的项满足：， 代入得：，解得：， 故要使时数列递增，需， 同时分段点处需满足， 即， 综上取值范围是. 故选：C 8. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 二、多选题（每题6分，共12分） 9. 已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ） A. n＝4，p＝0.6 B. n＝6，p＝0.4 C. P(ξ≥1)＝0.46 D. P(ξ＝0)＝0.66 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据二项分布期望方差的性质即可计算判断. 【详解】由， 由ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知 ，所以，故B正确． 又，，故D正确． 故选：BD. 10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 的前n项和中最小 C. 使时n的最大值为9 D. 数列的前10项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. 三、填空题（每题4分，共8分） 11. 已知数列满足，，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解. 【详解】因为，所以， 累加可得： ， 则． 故答案为：70 12. 甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为．甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为，若核心球员在每局比赛受伤的概率为，则甲队获得冠军的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】比赛甲队获得冠军有如下三种情况：I：前两局甲队赢，II：甲队赢第一局和第三局，第二局输，III：甲队赢第二局和第三局，第一局输，分别计算每种情况下，甲队核心成员没受伤、第一局受伤、第二局受伤、第三局受伤时，甲队赢的概率，综合即可的答案. 【详解】比赛甲队获得冠军有如下三种情况： I：甲队赢前两局， （1）：若两局中甲队核心球员都没有受伤，则甲队赢的概率为； （2）：若第一局核心球员受伤，则甲队赢的概率为； （3）：若第一局核心球员未受伤第二局受伤，则甲队赢的概率为； II：甲队赢第一局和第三局，则第二局输， （1）：若三局中甲队核心球员都没有受伤，则甲队赢的概率为； （2）：若第一局核心球员受伤，则甲队赢的概率为； （3）：若第一局核心球员未受伤，第二局受伤，则甲队赢的概率为； （4）：若前两局核心球员未受伤，第三局受伤，则甲队赢的概率为； III：甲队赢第二局和第三局，则第一局输， （1）：若三局中甲队核心球员都没有受伤，则甲队赢的概率为； （2）：若第一局核心球员受伤，则甲队赢的概率为； （3）：若第一局核心球员未受伤，第二局受伤，则甲队赢的概率为； （4）：若前两局核心球员未受伤，第三局受伤，则甲队赢的概率为； 综上：甲队获胜的概率为. 故答案为： 四、解答题（每题12分，共48分） 13. 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由去分布进行即可. （2）根据等差数列性质数列是等差数列，求前n项和用公式计算即可. 【小问1详解】 由题： 当时，； 当时，； 所以不满足，所以. 【小问2详解】 由（1）及题意可知数列是首项为3，公差为16的等差数列， 所以，所以. 14. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. （1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故， 事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故， 故所求. 【小问2详解】 易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. 15. 2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统G内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立． （1）当时，记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X，回答以下问题： ①若，求X的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性．为改善时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统G的可靠性？请给出你的结论并证明． （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 45 10 55 地面实验室 30 15 45 合计 75 25 100 请根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）①分布列： X 0 1 2 3 4 P ； ②能，证明如下： 当时记系统G中正常工作的元件数为随机变量X，则， 当时记系统G中正常工作的元件数为随机变量Y，则， 记时系统G的可靠性为，记时系统G的可靠性为， 故， ， 故， 故时增加一个量子芯片元件即，能提高系统G的可靠性； （2）没有 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，则可利用二项分布的概率公式计算出的所有可能及其对应概率，即可得其分布列，即可得其期望； ②分别求出时系统G的可靠性与时系统G的可靠性，两者作差比大小后即可得； （2）计算出卡方后，与6.635比较即可得. 【小问1详解】 ①由题意可知， 所以， ，， ，， ， 则X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 故； ②略 【小问2详解】 由已知有， 故没有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联． 16. 设数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的最大项. 【答案】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，进而得到的表达式，然后通过作差法比较与的大小， 判断数列的单调性，从而求出最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 因此，， . 当时，，得，即. 又因为，所以， 即当时，， 所以的最大项是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期4月学情反馈 高二年级数学学科试卷 时间：90分钟 分值：100分 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量表示这6人中共产党员的人数，则式子表示下列概率 的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项等比数列满足，若，则数列的前19项和为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 44 3. 甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用表示事件“第一次取到甲级药材”，用表示事件“第二次取到乙级药材”，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件互斥 B. C. D. 事件相互独立 5. 某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）（附参考数据：，，） A. B. C. D. 6. 下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 7. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 二、多选题（每题6分，共12分） 9. 已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ） A. n＝4，p＝0.6 B. n＝6，p＝0.4 C. P(ξ≥1)＝0.46 D. P(ξ＝0)＝0.66 10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 的前n项和中最小 C. 使时n的最大值为9 D. 数列的前10项和为 三、填空题（每题4分，共8分） 11. 已知数列满足，，则______． 12. 甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为．甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为，若核心球员在每局比赛受伤的概率为，则甲队获得冠军的概率为________． 四、解答题（每题12分，共48分） 13. 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前项和. 14. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. （1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望. 15. 2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统G内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立． （1）当时，记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X，回答以下问题： ①若，求X的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性．为改善时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统G的可靠性？请给出你的结论并证明． （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 45 10 55 地面实验室 30 15 45 合计 75 25 100 请根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 设数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的最大项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $