7.3.2离散型随机变量的方差 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 同步练习 解答 细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于（ ） A．6 B．9 C．3 D．4 2．已知一组数据：的平均数是10，方差是4，则，的方差是（    ） A．16 B．14 C．12 D．18 3．随机变量的分布列如表所示，则当在内增大时，满足（    ） 0 1 A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．增大 D．减小 4．一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1甲股票收益的分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2乙股票收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列结论正确的是（    ） A．投资甲股票收益的均值较小 B．投资乙股票收益的均值较小 C．投资甲股票比投资乙股票的风险高 D．投资乙股票比投资甲股票的风险高 7．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 三、填空题 8．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________． 9．若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是______． X 0 1 2 P 10．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 四、解答题 11．为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动，行动中，监管部门对某品牌饼干随机抽取了100件产品，检测其防腐剂含量x（单位：mg/kg），并统计绘制了如图频率分布直方图， (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若从样本中防腐剂含量不低于100mg/kg的产品中按照等比例随机抽样的方法抽取7件产品，再从这7件产品中随机抽取4件产品进行检测，求这4件产品中防腐剂含量在区间内的件数Y的期望和方差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7.3.2 离散型随机变量的方差 同步练习 解答 细目表 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A A A AC BC ACD 1．A 【分析】根据分布列，分别由数学期望和方差公式，即可求解. 【详解】由题意得, . 故选：A. 2．A 【分析】利用方差公式计算即可求解. 【详解】由题意，数据的平均数为： ， 所以方差为 . 故选：A. 3．A 【分析】根据分布列计算随机变量的期望、方差后，利用二次函数求解. 【详解】由分布列可得： ， 所以， 因为对称轴方程为， 所以当在内增大时，先增大后减小. 故选：A 4．A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为， 则的可能取值是0，1，2， 则， ， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为， 则， 故， 方差为： ， 所以， 故，． 故选：A． 5．AC 【分析】根据期望及方差的性质即可求解. 【详解】，则,故A正确，B错误； ，则，故C正确，D错误. 故选：AC 6．BC 【分析】根据分布列计算期望及方差即得. 【详解】甲股票收益的均值， 方差, 乙股票收益的均值， 方差， 所以，， 则投资乙股票收益的均值较小，投资甲股票比投资乙股票的风险高． 故选：BC． 7．ACD 【分析】根据二项分布、超几何分布的相关概念及性质，分别计算出、的概率、期望和方差，再逐一分析选项. 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， 所以，故选项A正确. 选项B，方案一中，，. 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，， 则，. 当时，，， 所以，故选项B错误. 选项C，，，所以，故选项C正确. 选项D，， . 可得，即，故选项D正确. 故选：ACD. 8．/ 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， , 故答案为： 9．1 【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值. 【详解】，， ，， ， 当时，. 故答案为：1 10．/ 【分析】根据已知求出的值，比较得出大于的个数，进而得出可能取值情况，根据超几何分布概率公式求出分布列，根据期望公式得出，进而代入方差公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 11．(1) (2)， 【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出a的值； （2）根据比例抽样的方法结合频率分布直方图求出在区间和内抽取的数量，则可得随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出Y的期望和方差． 【详解】（1）由题知，，解得． （2）由题知，样本中防腐剂含量在区间与内的比例为4：3， 所以按照等比例抽样的方法抽取的7件产品中，在区间内的应抽取4件，在区间内的应抽取3件． 所以随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以， ． 考查范围：7.3.2 离散型随机变量的方差 双向细目表 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 离散型随机变量的方差与标准差 2 容易 方差的性质 3 较易 方差的期望表示 4 适中 超几何分布的方差 二、多选题 5 容易 方差的性质 6 较易 离散型随机变量的方差与标准差 7 适中 超几何分布的方差 三、填空题 8 容易 两点分布的方差 9 较易 方差的期望表示 10 适中 超几何分布的方差 四、解答题 11 适中 离散型随机变量的方差与标准差,超几何分布的方差 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $