7.3.2 离散型随机变量的方差-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

P(X=220)=P(EF)=2X 3 3. 故所求X的分布列为 4.2 2[B(x0=-1X+0X号+1=号 0 100 120 220 D(X)= 合×(1+号)+子×(+号)广+合×(+号)广 15 gtDx0=2×吾-9] 均值为E(X)=0X5 +100× +120×15 关键能力·合作探究 +220× 5 =140. 题点一 对点训练 解(1)X的所有可能取值有6,2,1，一2， 典例解析由题意知，E(X)=-1×十0X号+1×-一子 P(X=6)=26=0.68. 200 数Dx)=（1+安)广×合+(+宁)×号+(+号)）× P(X-2)品-5， 吉-号D0)=D2x+2)=4D0=4X号-9 px=D2品-a.1. 答案D :对点训练 4 P(X=-2)=200=0.02, CD[因为0.2十m=1,所以m=0.8,由两点分布，知E(X)=0.8, D(X)=0.8X0.2=0.16.因为Y=aX十b(a,b∈R),E(Y)=10, 故X的分布列为 D(Y)=4,所以aE(X)十b=0.8a十b=10,a2D(X)=0.16a2=4,解 6 2 1 -2 之得a=5,b=6或a=-5,b=14.」 题点二 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元). 典例解析（①由题意知，(X0=1X+2×号+3×+4× (3)设技术革新后的三等品率为工，则此时]件产品的平均利润为！ 2 E(X)=6×0.7十2×(1-0.7-0.01-x)+1×x十(-2)×0.01= 器故Dx)=(登)×+（器）×+()× 4.76-x(0x0.29), 29 依题意，知E(X)≥4.73，即4.76-x≥4.73， (2)依题意知，X服从两点分布，所以D(X)=0.8X(1一0.8)=0.16. 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. 答案(1)C(2)0.16 素养演练·提升技能 ·对点训练 1.D[当n≥20时，X=500×20+200×(n-20)=200n+6000,当 ≤19时，X=5000(20)=6001”200,射可知X的可能1.D[由题意知E()=0X1号+1X号+2×号=+号 2 取值为8800,9400,10000,10200,10400，∴.P(X=8800)=0.1, P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,p(X=10200)=0.3, )=[-(+])x学+-(+])x+ P(X=10400)=0.1,E(X)=0.1×8800十0.2×9400十0.3× 10000+0.3×10200十0.1×10400=9860（元）.] [2-(+2])×号 2.C[依题意X的可能取值为1,2,3，P(X=1)=p,P(X=2)=(1 p)p,P(X=3)=(1-p)2,.E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2= (+)广×2+()x安+(2-)×名 g-30十8>子，解得B<号或p>吾又0<<1，所以0<p< ++=-(0合）广+号 之.故选C] ∴D)在(0，受)上递增，在（受1）上递减，即当力在(01）内增 3.B[由题知，甲生产废品的期望是0×0.4十1×0.3十2×0.2十3× 大时，D()先增大后减小，] 0.1=1,乙生产废品的期望是0×0.3十1×0.5十2×0.2十3×0= :2.D[随机变量的分布列为 0.9,所以甲生产废品的期望大于乙生产废品的期望，故乙的产品质 0 量比甲的产品质量好一些，故选B.」 P 一77 4.A[X的可能取值为1,3，X=3表示这三个景点都游览了或都没 有游览，所以P(X=3)=0.4×0.5×0.6十0.6×0.5×0.4=0.24,1 .E()=0×(1-m)十1×m=. P(X=1)=1-0.24=0.76, .D()=(0-m)2×(1-m)十(1-m)2×m=m(1-m).] 所以X的分布列为 题点三 典例解E()=0×0.7+1×0.2十2×0.06+3×0.04=-0.44， E(2)=0×0.8十1×0.06十2×0.04+3×0.10=0.44. 0.760.24 它们的期望相同，再比较它们的方差。 所以E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.故选A.] D(6)=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+ 3 1 (3-0.44)2×0.04=0.6064, 5.6 [设P(X=1)=p:国为P(X=0)=号，B(X)=1,故0X D()-(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2× 1×p+2×(1-号-p）=1,即p计号-2p=1,解得p=号] 0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264. 因为D()<D(2),所以A机床加工零件较稳定，质量较好 7.3.2离散型随机变量的方差 :对点训练 必备知识·自主梳理 解(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 3.a2D(X)4.p(1-p) a+0.1+0.6=1,∴.a=0.3. 即学即练 同理0.3十b十0.3=1，∴.b=0.4. 1.(1)×(2)√(3)/ (2)E()=1×0.3十2×0.1+3×0.6=2.3 2.B[E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3, E(7)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2, .D(X)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×1 D()=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6= 0.2=0.61.] 、 0.81, 167 D(7)=(1-2)2×0.3+(2-2)×0.4十(3-2)2×0.3=0.6. P=C%×0.25+C×0.8×0.2=0.00672. 由于E()>E(),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但 所以所求概率为1一P=1一0.00672≈0.99. D()>D(),说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 平都不够全面，各有优劣」 ·对点训练 素养演练·提升技能 解(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1, 1,B[样本数据X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望 由题意，知射击3次，相当于3重伯务利试验， E(X)=1×p1+2×p2十3×p3十4Xp1都为2.5，方差D(X)=-[1 故P(A1)=1-P(A1)=1 (传)品 E(X)]2×p1+[2-E(X)]×p2+[3-E(X)]×p3+[4-E(X)]21 (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A,“乙射击2次，恰 ×p1,标准差为√D(X).A选项的方差D(X)=0.65:B选项的方差 有1次击中目标”为事件B2, D(X)=1.85:C选项的方差D(X)=1.05:D选项的方差D(X)= 1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大.故选B.] 期PA)=c×(号)广-子 2,D[随执交量X服从两点分布，且PX=0=号P(X=D PB)=Cx(停)）×（子）-是. =令0=0x号+1X号-号D(x0=(0吉）广×号+ 由于甲、乙射击相互独立， (-号)×号-号E8X+D=3E(X0+1=3x号+1=2， PAB,)=×- 题点二 D(3X+1)=32DX)=9X号=2.故选D.] ·典例解(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A,(i=0,1, 3.C[赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X的可能值！ 23周PA号·号 为2,3，P(X=2)=p2十(1-p)2=2p2一2p+1,A错误：P(X=3) ②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A2UA3, =(1-p)p2+(1-)b+p(1-)2+(1-)(1-p)=-2p2+ 2p,B错误：E(X)=2(2p2-2p十1)十3(-2p2+2p)=-2p2+ 又P(A2) 得得+器·号女1AAE东 2p+2=-2(p合）+号，因为分<p<1,所以E(X)∈ 所以P》=PA:)+PA,)音+宁-品 (2,号）C正确：记-2p+2p+2=,te（2,号)E(X3)=4× (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2， (2p2-2p+1)+9X(-22+2)=-10p2+10p+4=5t-6,D(X)= 则P(X=0)= 7 9 （1-i0)=00 BX)E(W=516f=-（号)+子，国为1e(2.号)所 以D(X)<,D错误.] P(X=2)= (品)-鵠 49 4.C[由高散型随机变量的分布列的性质得0.5十m十0.2=1，解得 所以X的分布列为 m=0.3,.E(X)=1×0.5+3×0.3十5×0.2=2.4，.D(X)=(1 2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3十(5-2.4)2×0.2=2.44.] X 0 1 2 5.了号[由a6c成孝差载列得2h=a十c,① P 100 又由分布列得a十b十c=1,② ·对点训 E()=-a+c=3,③ 解 由题意知X~B(3,子） 联立①②③解得a=,b=3,c=立， ∴.P(X=)=C ()×() ,k=0,1,2,3, 期)=(1-)×6+(0)）×号+(1-号)× 即PX=0)=cGx()）广×()'=高 7.4.1二项分布 Px=n=cx子×()广= 必备知识·自主梳理 PX=2)=c×()'× 2 (一) 1.两个2.(2)相互独立 pX=8=c×()）-器 即学即练 .X的分布列为 (1)/(2)/(3)×(4)/ 0 2 (二) 1.Cip (1-p)"B(n.p)2.npnp(1-p) 27 7 即学即练 64 64 64 64 1.A[设A=“树苗成活”，则P(A)=0.9.用X表示事件A发生的次！题点三 数，则X~B(5,0.9).恰好成活4棵等价于X=4,于是P(X=4)=!典例解 记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件 C×0.91×0.1≈0.33.] B 2.子[旅题意XB(5,）则0=5x子=子B2x+1D= 1)易知P(A)= (合)+（合）子 2Ex+1=2x+1=子] 二，由题意 3 (2)由(1)知P(A)=,则P(B)=1-P(A)=1- 4 关键能力·合作探究 题点一 知X~B(4,子)P(X=)=C()广() ,k=0,1,2,3,4, 典例解(1)记“预报一次准确”为事件A,则P(A)=0.8 则X的分布列为 5次预报相当于5重伯努利试验， 0 1 2 3 “恰有2次准确”的概率为 P=C%×0.82×0.23=0.0512≈0.05， P 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. ②5次预报中至少有2次准璃”的对立事件为“5次预报全事不准 3 3 确或只有1次准确”，其概率为 E(X)=4X =3,D(X)=4× 41 168第七章随机变量及其分布 3.甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，两人：4.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览 的日产量相等，每天生产出废品的情况如表 这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人 所示： 是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开 工人 甲 乙 该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之 废品数 0 2 3 0 差的绝对值，则E(X)等于 ( 3 概率 0.40.30.20.10.30.50.2 0 A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1 则下列结论正确的是 ( A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 5.随机变量X的取值为0,1,2，若P(X=0)= B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些 E(X)=1,则P(X=1)= C.两人的产品质量一样好 温馨提示 请做课时分层检测（十三） D.无法判断谁的产品质量好一些 7.3.2 离散型随机变量的方差 【素养要求】通过研究离散型随机变量的方差，发展数学抽象及数据分析素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.离散型随机变量的方差、标准差 :[即学即练] 设离散型随机变量X的分布列如下表所示， 1.判断正误 X … (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越 p2 稳定 (2)若a是常数，则D(a)=0. ( 则称D(X)=(知一E(X)21十(.2一E(X)22十… (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离 +u,-E(X)Ph,=2(x-EX)PA为随机变量 于期望的平均程度. X的方差，有时也记为Var(X),并称D(X)为：2.已知随机变量X的分布列为 随机变量X的标准差，记为σ(X) X -1 0 1 2.方差与标准差的意义 0.5 0.3 0.2 (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机： 则D(X)等于 变量取值偏离于均值的平均程度， A.0.7 B.0.61 C.-0.3D.0 (2)离散型随机变量的方差越小，随机变量越 :3.D(X-D(X))的值为 稳定 A.无法求 B.0 (3)方差与期望之间的关系： C.D(X) D.2D(X) D(X)=E(X2)-[E(X)]2. :4.已知X的分布列为 3.离散型随机变量方差的性质 (1)设a,b为常数，则D(aX十b) X -1 0 (2)D(c)=0(其中c为常数) 1 1 1 P 4.服从两点分布的随机变量的方差 3 6 若X服从两点分布，则D(X)= (其中饣： 若)=2X+2,则D(7)的值为 为成功概率). 39 数学 选择性必修第三册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一离散型随机变量方差的性质 听课记录 [典例们 设随机变量X的分布列为 X 0 P 1 6 若Y=2X+2,则D(Y)等于 A司 C. D20 9 /方法技巧/ 听课记录 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X): (4)根据公式计算方差， 对点训练 1.设0<p<1,随机变量的分布列是 /方法技巧/ 0 1 2 求随机变量函数Y=aX+b方差的方法 1一p 1 卫 求随机变量函数Y=aX十b的方差，一种是先 2 2 求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一 则当p在(0,1)内增大时， 种是应用公式D(aX十b)=a2D(X)求解. A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小 对点训练 2.设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=m, (多选)若随机变量X的分布列为 1,A发生， 令随机变量= 则ξ的方差D() X 0 1 0,A不发生， 0.2 m 等于 A.m B.2m(1-m) 已知随机变量Y=aX十b(a,b∈R)且E(Y)=10,: C.m(m-1) D.m(1-m) D(Y)=4,则a与b的值可以分别为 ( 方差的实际应用 A.a=10,b=3 B.a=3,b=10 题点三 C.a=5,b=6 D.a=-5,b=14 [典例]A,B两台机床同时加工零件，每生产一批 题点二 求离散型随机变量的方差 数量较大的产品时，出现次品1,2的概率分别 [典例](1)设随机变量X的分布列为 如下表： A机床 4 0 1 2 3 6 4 P 0.7 0.2 0.06 0.04 则D(X)等于 B机床 A器 R c器 D.12 52 0 1 3 (2)某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在： 0.8 0.06 0.04 0.10 次投篮中命中次数X的方差为 问：哪一台机床加工零件质量较好？ 40 第七章随机变量及其分布 听课记录 对点训练 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独 立的随机变量与)，且，？的分布列如下表 所示 2 3 0.1 0.6 2 3 0.3 0.3 (1)求a,b的值； (2)计算，”的均值与方差，并以此分析甲、乙的 技术状况. /方法技巧/ :(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随 机变量的均值和方差得出结论， (2)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两： 种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，！ 还需比较它们取值的离散型程度，即通过比较 方差，才能准确地得出更恰当的判断， 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4 数为随机变量X,则 ( 出现的频率分别为p1,p2,p3p4,且空p:=1,则 A.P(X=2)=2 B.P(X=3)=p(1-p) 下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一： C.EX<号 D.DX) 组是 ( ):4.已知离散型随机变量X的分布列为 A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 3 5 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 P 0.5 m 0.2 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 则其方差D(X)等于 ( D.1=p4=0.3,p2=p3=0.2 A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 2.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)= 3’5.已知随机变量的分布列为 则E(3X+1)和D(3X+1)的值分别是 A.3和4 B.3和2 6 C.2和4 D.2和2 3.某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制 若a,bc成等差数列，且()=号，则b的值是 为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局 ,D(E)的值是 获胜的疑率都是P分<记比赛的最终局 温馨提示 请做课时分层检测（十四） 41