9.3 公式法 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

9.3 公式法 第九章 因式分解 22051 9.3 课时1 用平方差公式因式分解 第九章 因式分解 22051 1.能够正确识别适合运用平方差公式法因式分解的多项式,会运用 平方差公式法因式分解. 2.掌握运用平方差公式法因式分解的方法和步骤,并能进行相关变 形、计算或求值. 学习目标 22051 因式分解与整式乘法有什么关系？ a(b＋c＋d) ab＋ac＋ad 整式乘法 和 积 因式分解 是过程相反的变形． 新课导入 22051 我们学习了哪些乘法公式？ 平方差公式： 完全平方公式： (a－b)2＝a2－2ab＋b2 如果把上述公式反过来，是因式分解吗？ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 和 积 22051 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法． a2－b2＝(a＋b)(a－b) 公式中的字母既可表示 单项式也可以表示多项式． a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 新知讲解 22051 1. 完成下列填空： a2－16＝a2－( )2＝ (a＋____) (a－____)； 64－b2＝ ( )2－b2＝ (____＋b) (____－b)； 4m2－9n2＝( )2－( )2＝ (____＋____) (____－____)． 4 4 4 8 8 8 2m 3n 2m 3n 2m 3n 观察这些式子在结构上有哪些共同特征？ 左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式． □2－△2 (□－△) (□＋△) 新知探究 22051 1. 判断下列多项式是否能用平方差公式分解因式． (1) a2－16； (2) －x2－1； (3) 64－b； (4) －25a2＋49b2． 两项符号相反 两项都能用完全平方表示 ＝49b2－25a2 ＝(7b)2－(5a)2 跟踪训练 22051 例1 把下列各式分解因式： (1) 36－25x2 ； (2) 16a2－9b2 ； 解：(1) 36－25x2＝62－(5x)2＝(6＋5x)(6－5x)； (2) 16a2－9b2＝(4a)2－(3b)2＝(4a＋3b)(4a－3b)； 用平方差公式因式分解的一般步骤： 1. 变形：化成(□)2－(△)2的形式； 2. 分解：分解成(□－△) (□＋△)的形式. 思考：归纳用平方差公式因式分解的一般步骤. 典型例题 22051 (3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ． 例1 把下列各式分解因式： 解：(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2 ＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)] ＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b) ＝(5a＋b)(a＋5b)． [ ]内看成一个整体． 22051 1．把下列各式分解因式： (1) x2－25； (2) x2－16y2； 解：原式＝(x＋5)(x－5)； 原式＝(x＋4y)(x－4y)； 原式＝(a＋b)(a－b)； (3) a2－b2； (4) x2y2－z2； 原式＝(xy＋z)(xy－z)； 原式＝(x＋5)(x－1)； 原式＝(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)． (5) (x＋2)2－9； (6) (x＋a)2－(y－b)2． 跟踪训练 22051 2．计算： (1) 7582－2582； (2) 4292－1712． 解：(1) 7582－2582 ＝[758＋258][758－258] ＝1 016×500 ＝508 000； (2) 4292－1712 ＝[429＋171][429－171] ＝600×258 ＝154 800． 22051 例2 如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m, 求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）． 解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r) 当R＝12.5 m，r＝7.5 m时， S ＝ π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5) ＝ π×20×5＝100π≈314 (m3)． 典型例题 22051 例3 已知k是正整数，求证: (k＋2)2－k2 是4的倍数． 证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)， ∵k是正整数， ∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数， ∴(k＋2)2－k2是4的倍数． 22051 证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍． 证明：设这两个奇数分别为x，x＋2，则这两个奇数的平方差为 (x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2． ∵ (x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)， ∴ 两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍． 跟踪训练 22051 1. 如图，在Rt△ABC中，若斜边c＝25，直角边a＝24，求直角边b． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， a2＋b2＝c2， ∴ b2＝c2－a2 ＝252－242 ＝(25＋24)(25－24) ＝49， ∴ b＝7． A B C a b c 当堂检测 基础 22051 2. 已知a＞b＞0，求证：a2＞b2． 证法1：∵ a＞b＞0， ∴ a＋b＞0，a－b＞0， ∴ a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0， ∴ a2＞b2． 证法2：∵ a＞b＞0， ∴ a2＞ab，ab＞b2， 根据不等式的传递性，可得 ∴ a2＞b2. 22051 3. 已知：4m＋n＝90，2m－3n＝10，求(m＋2n)2 － (3m－n)2的值． 解： (m＋2n)2 － (3m－n)2 　　 ＝[(m＋2n)＋(3m－n)][(m＋2n)－(3m－n)] ＝(4m＋n)(－2m＋3n) ∵ 4m＋n＝90，2m－3n＝10， ∴ 原式＝90×(－10)＝－900． 22051 解：16x2－4 ＝(4x)2－22 ＝(4x＋2)(4x－2) 4. 判断下列做法是否正确，如有错误，请改正． 分解因式 16x2－4． 解：不正确．分解的结果中还有公因式没有提出． 原式＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)＝2(2x＋1)·2(2x－1)＝4(2x＋1)(2x－1)． 要分解到每个因式不能再分解为止． 22051 用平方差公式 因式分解 形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 特征：左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式． 一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简． 课堂小结 22051 9.3 课时2 用完全平方公式因式分解 第九章 因式分解 22051 1.能够正确识别适合运用完全平方公式因式分解的多项式,会运用 完全平方公式法因式分解. 2.掌握运用完全平方公式因式分解的方法和步骤,并能进行相关变 形、计算或求值. 学习目标 22051 (1) a2＋6a＋9＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (2) a2－6a＋9＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2； (3) a2＋( )＋4b2＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (4) a2－8a＋( )＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2． 3 a 3 a＋3 3 a 3 a－3 2b a 2b a＋2b 4ab 4 a 4 a－4 16 观察这些式子在结构上有哪些共同特征？ 1. 完成下列填空： 新知探究 22051 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍． 右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方． 公式中的字母既可表示 单项式也可以表示多项式． 知识归纳 22051 例4 把下列各式分解因式： (1) x2＋10x＋25； (2) 4a2－36ab＋81b2． 解： (1) x2＋10x＋25＝x2＋2·x·5＋52＝(x＋5)2； (2) 4a2－36ab＋81b2＝(2a)2－2·2a·9b＋(9b)2 ＝(2a－9b)2． 用完全平方公式因式分解的一般步骤： 1. 变形：化成(□)2±2□△＋(△)2的形式； 2. 分解：分解成(□±△) 2的形式. 典型例题 22051 (1) 25a4＋10a2＋1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4． 例5 把下列各式分解因式： 解：(1) 原式＝(5a2)2＋2·5a2·1＋12＝(5a2＋1)2； (2) 原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·2＋22 ＝[(m＋n)－2]2＝(m＋n－2)2． 注意：1.分解后，结果要化为最简形式； 2.整体思想的应用. 22051 1. 下列多项式能否分解因式？如果能，尝试把它们分解因式： (1) a2＋8a＋16； (2) 9a2－3a＋1； (3) a2－1； (4) a2－ab＋b2． 原式＝a2＋2·a·4＋42 ＝(a＋4)2 第三项应是两个平方项底数的积的－2倍 (3a)2－6a＋12 能 不能 能 能 原式＝a2－2·a·＋ ＝(a－)2 原式＝(a＋1)(a－1) 跟踪训练 22051 2．把下列各式分解因式： (1) 25x2＋10xy＋y2； (2) a2－12ab＋36b2； (3) 16a4＋24a2b2＋9b4； (4) (x＋y)2－10(x＋y)＋25． 解：(1) 原式＝(5x＋y)2； (2) 原式＝(a－6b)2； (3) 原式＝(4a2＋3b2)2； (4) 原式＝(x＋y－5)2． 22051 3. 已知a≠b，比较a2＋b2与2ab的大小，并说明理由． 解：∵ a≠b， ∴ a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0， ∴ a2＋b2 2ab． 22051 有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片．你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗？ b b a b ab a a a² b² a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a b ab 新知探究 22051 例1 用简便方法计算： (1) 101²＋202×99＋99²； (2) 20262－4052×2025＋20252． 解：(1)原式＝101²＋2×101×99＋99²＝(101＋99)2 ＝2002＝40000． (2) 原式＝2026²－2×2026×2025＋2025² ＝(2026－2025)2＝12＝1． 典型例题 22051 1.用简便方法计算：992＋199． 解：原式＝992＋198＋1＝992＋2×99＋12 ＝(99＋1)2＝1002＝10000． 跟踪训练 22051 例2 证明：无论x取何值，代数式x2＋2x＋5的值不小于4． 证明：x2＋2x＋5＝(x2＋2x＋1)＋4＝(x＋1)2＋4. ∵ (x＋1)2≥0， ∴ (x＋1)2＋4≥4． ∴无论x取何值，代数式x2＋2x＋5的值不小于4． 典型例题 22051 例3 运用分解因式a2－6ab＋9b2的结果，对(x＋3y)2－6(x＋3y)(x－y)＋ 9(x－y)²进行因式分解． 解： (x＋3y)2－6(x＋3y)(x－y)＋9(x－y)² ＝(x＋3y)2－2·(x＋3y)·3(x－y)＋[3(x－y)]² ＝[(x＋3y)－3(x－y)]2 ＝(x＋3y－3x＋3y)2 ＝(－2x＋6y)2 ＝4(x－3y)2． 进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止． 22051 用完全平方公式因式分解 形式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 特征：左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍． 右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方． 一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简． 课堂小结 22051 9.3 课时3 因式分解的综合 第九章 因式分解 22051 1.能够选择合适的公式法对代数式进行因式分解； 2.掌握因式分解的方法和步骤,并能进行相关变形、计算或求值. 学习目标 22051 因式分解有哪些方法？ 提公因式法： ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d) 定系数(先定符号)→定字母→定次数 公式法： a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2＝(a±b)2 变形→分解→化简 公式中的字母可以是具体的数，也可以是任意的单项式或多项式． 复习导入 22051 小组讨论，把下列各式分解因式： (1) 18a2－50； (2) 2x2y－8xy＋8y； 解：(1)原式＝2(9a2－25) ＝2(3a＋5)(3a－5)； (2)原式＝2y(x2－4x＋4) ＝2y(x－2)2； (3) a2(x－y)－b2(x－y)． (3) 原式＝(x－y) (a2－b2) ＝(x－y)(a＋b) (a－b)． 思考：代数式因式分解的一般步骤有哪些？ 新知探究 22051 1. 提：有公因式的先提出公因式； 2. 套：提出公因式后，如果能套用公式的(两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式)，要继续分解因式； 3. 查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 因式分解的一般步骤： 知识归纳 22051 (1) a4－16； 例7 把下列各式分解因式： 解：(1)原式＝(a2)2－(42)2 ＝(a2＋4) (a2－4) ＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)； —平方差公式 —检查分解是否彻底 —平方差公式 —写成平方差公式形式 典型例题 22051 (2) 81x4－72x2y2＋16y4． 例7 把下列各式分解因式： 解：(2)原式＝(9x2)2－2∙9x2 ∙4y2＋(4y2)2 ＝(9x2－4y2)2 ＝[(3x＋2y)(3x－2y)]2 ＝(3x＋2y)2(3x－2y)2． —写成完全平方公式形式 —完全平方公式 —平方差公式 —积的乘方 —检查分解是否彻底 22051 1．把下列各式分解因式： (1) 2x2＋4x＋2； (2) －2xy－x2－y2； (3) 2ax2－2ay4； (4) (a＋b)－ a2(a＋b)； (5) 3ax2＋6axy＋3ay2； (6) 12x2－60xy＋75y2． 解：原式＝2(x＋1)2； 原式＝－(x＋y)2； 原式＝2a(x＋y2)(x－y2)； 原式＝(a＋b)(1－a)(1＋a)； 原式＝3a(x＋y)2； 原式＝3(2x－5y)2． 跟踪训练 22051 思考：1.x2＋8x－9＝(x＋4)2－52成立吗？ 解：成立． x2＋8x－9 ＝x2＋2·x·4＋42－42－9＝(x＋4)2－52 2.如何将x2＋8x－9分解因式吗？ 解：由1可知，x2＋8x－9 ＝(x＋4)2－52 ＝(x＋4＋5)(x＋4－5) ＝(x＋9)(x－1)． 新知探究 22051 1.运用分解因式4x2－4x＋1的结果，对4x2－4x－15进行因式分解． 解：4x2－4x－15 ＝(2x)2－2·2x·1＋12－12－15 ＝(2x－1)2－42 ＝[(2x－1)＋4][(2x－1)－4] ＝(2x＋3)(2x－5)． 跟踪训练 22051 解： (1) 4x2－20xy＋25y2 ＝(2x)2－2·2x·5y＋(5y)2 ＝(2x－5y)2． ∵ x＝，y＝， ∴ 原式＝(2×－5× )2＝(－1 )2＝． 例8 先分解因式，然后计算求值： (1) 4x2－20xy＋25y2，其中x＝，y＝． 典型例题 22051 例8 先分解因式，然后计算求值： (2) 已知a－b＝，ab＝8，求－2a2b2＋ab3＋a3b的值． 解： (2) －2a2b2＋ab3＋a3b ＝ab(a2－2ab＋b2) ＝ab(a－b)2． ∵ a－b＝，ab＝8， ∴ 原式＝8×＝2． 22051 1.先分解因式，然后计算求值： (1) －，其中m＝－，n＝2． 解： (1) －＝＝mn． ∵ m＝－，n＝2， ∴ 原式＝－×2＝－． 跟踪训练 22051 1.先分解因式，然后计算求值： (2) 已知a＋b＝7，ab＝12，求2a2b＋2ab2的值． 解： (2) 2a2b＋2ab2 ＝2ab(a＋b)． ∵ a＋b＝7，ab＝12， ∴ 原式＝2×12×7＝168． 22051 思考：已知m＞0，且m是奇数，则m2－1能被8整除吗？说明理由． 解：∵m＞0，且m是奇数， ∴可设m＝2n＋1，n≥0，n为整数， ∴ m2－1＝(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)， ∵n≥0，∴n＋1≥1， 当n为奇数时，n＋1为偶数，n(n＋1)为偶数， 当n为偶数时，n＋1为奇数，n(n＋1)为偶数， ∴n(n＋1)能被2整除， ∴4n(n＋1)能被8整除，即m2－1能被8整除． 新知探究 22051 例9 准备若干块如图(1)～(3)所示的矩形硬纸片． (1) 分别用多少块如图(1)～(3)所示的纸片才能拼成一个边长为a＋2b，a＋b的矩形？ (2) 利用上述拼图的结果，分解因式a2＋3ab＋2b2． a a b b a b (1) (2) (3) 解：(1)∵拼成的边长为a＋2b，a＋b的矩形 的面积为(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2， ∴用3块图(1)，1块图(2)，2块图(3)才能拼成 一个边长为a＋2b，a＋b的矩形； (2) a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)． 22051 因式分解方法的综合运用 一般步骤：一提→二套→三检查 应用 计算求值 恒等变形 课堂小结 22051 $