9.3 公式法课件 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

第9章 因式分解 9.3 公式法 第1课时 用平方差公式分解因式 课堂小结 获取新知 例题讲解 随堂演练 知识回顾 因式分解： 和→积 整式的乘法： 积→和 因式分解 整式乘法 整式乘法与因式分解有什么联系和区别？ 知识回顾 把 平方差公式、 完全平方公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 （a+b)2=a2+2ab+b2 （a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到 a2-b2=　　 　　, a2+2ab+b2=　　 　, a2-2ab+b2=　　 　. 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法. (a+b)2　 (a-b)2 (a+b)(a-b) 获取新知 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 （6）m2-1 做一做： ①a2－16＝a2－（ ）2＝（a＋ ）（a－ ） ②64－b2＝（ ）2－b2＝（ ＋b）（ －b） ③25 x2－49y 2＝（ ）2－（ ）2＝（ ＋ ）（ － ） 4 4 4 8 8 8 5x 5x 5x 7y 7y 7y 例1　(教材典例改编)把下列各式分解因式： （1）36－25x2； （2）16a2－9b2； （3）－16a2＋81b2； （4）9（a＋b）2－4（a－b）2． 例题讲解 解：（1）原式=62－(5x)2= (6+5x) (6-5x) ； （2）原式=(4a)2－(3b)2 = (4a+3b) (4a-3b) ； （3）原式=81b2－16a2= =(9b)2－(4a)2 = (9b+4a) (9b-4a) ； （4）原式=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2 =[3(a+b) +2(a-b)][3(a+b) -2(a-b)] =(5a+b)(a+5b) ． 方法总结：无论公式中的a、b表示的是数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例2 分解因式： 解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 有公因式的多项式分解因式，先提取公因式，再尝试用乘法公式分解因式，并一直分解到不能再分解为止． 归纳总结 例3 (教材典例)如图,有一个圆环形的观景台,已知R=12.5 m, r=7.5 m,求观景台(阴影部分)的面积S(π取3.14，结果精确到1 m2). 解：S=πR2-πr2=π(R+r)(R-r). 当R=12.5 m,r=7.5 m时, S=π(12.5+7.5)×(12.5-7.5)=π×20×5=100π≈314(m2). 例4 (教材典例)已知k是正整数,求证:(k+2)2-k2是4的倍数. 证明:(k+2)2-k2=(k+2+k)(k+2-k)=2(2k+2)=4(k+1), 因为k是正整数, 所以4(k+1)也是正整数,且是4的倍数. 所以(k+2)2-k2是4的倍数. 11 尝试探究 如果a≥0,b≥0,且a2=b2,那么a与b一定相等吗？为什么? 解:∵a2=b2， ∴a2-b2=0， (a+b)(a-b)=0， a+b=0或a-b=0， ∵a≥0,b≥0， ∴a=b=0，或a=b, ∴a=b. D D 随堂演练 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 2．计算852－152的结果为(　　) A．70 B．700 C．4900 D．7000   4.已知n为正整数,求证:(n+7)2-(n-5)2能被24整除. 证明:原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5) =24(n+1). 因为n为正整数, 所以(n+7)2-(n-5)2能被24整除. 15 5.先因式分解,再求值:()2-()2,其中a=6,b=. 解:原式=(+)(-)=ab. 当a=6,b=时,原式=6×=4. 16 课堂小结 用平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 注意 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 第9章 因式分解 9.3 公式法 第2课时 用完全平方公式分解因式 课堂小结 获取新知 例题讲解 随堂演练 知识回顾 1.因式分解： 把一个多项式表示成几个整式的乘积形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 知识回顾 获取新知 填空: (1)a2+6a+9=a2+2·(　　)·(　　)+(　　)2=(　　　　)2; (2)a2-6a+9=a2-2·(　　)·(　　)+(　　)2=(　　　　)2; (3)a2+(　　)+4b2=a2+2·(　　)·(　　)+(　　)2=(　　　　)2; (4)a2-8a+(　　)=a2-2·(　　)·(　　)+(　　)2=(　　　　)2. a 3 3 a+3 a　 3 3 a-3 4ab　 a　 2b 2b a+2b 16 a 4 4 a-4 × √ × × √ × 获取新知 能应用完全平方公式分解因式的多项式特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是两底数之积的±2倍. 归纳总结 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 口诀的整理，有助于让学生在应用中更能灵活记忆。完全平方公式在第16章的运用中还会用到，因此完全平方公式是很重要的内容。 Administrator (A) - 完全平方式的特点需要学生掌握，这是基本知识。 例1 (教材典例)把下列各式分解因式． （1）x2＋10x＋25； （2）4a2－36ab＋81b2． 例题讲解 解： (1) x2+ 10x +25 = (x + 5)2； = x2 + 2·5·x + 52 (2) 4a2－36ab＋81b2 = （2a）2－2·2a·9b＋（9b)2 =(2a- 9b)2. 例2 (教材典例)把下列各式分解因式． （1） 25a4＋10a2＋1； （2）（m＋n）2－4（m＋n）＋4． 解： (1)25a4+ 10a2+1 = (5a 2 + 1)2； = (5a 2)2 + 2·5a·1 + 12 (2)原式 = (m＋n)2 - 2·(m＋n)·2 + 22 =(m+n-2)2. 有两张边长分别为a,b的正方形纸片,两张长、宽分别为a,b的矩形纸片.你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗? 尝试探究 解:能拼成一个大矩形,如图所示. 26 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y B 2.若关于x的多项式x2－8x＋m是完全平方式，则m的值为__________ ． 16 随堂演练 3.把下列多项式因式分解. (1) y2+2y+1; （2）x2－12x+36; （3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1. (3)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+1² =(4a+2b -1)2. (2)原式 =x2－2·x·6+62 =(x－6)2. 解：(1)原式=(y+1)² . 课堂小结 用完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 第9章 因式分解 9.3 第3课时 因式分解的综合应用 例题讲解 随堂演练 课堂小结 知识回顾 知识回顾 提取公因式法： （关键是确定公因式） 因式分解 运用公式法 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 例1 (教材典例)把下列各式分解因式． （1）18a2－50； （2）2x2y－8xy＋8y； （3）a2（x－y）－b2（x－y）． 例题讲解 解：（1）原式=2(9a2－25)=2(3a+5)(3a-5)； （2）原式= 2y(x2－4x+4)=2y(x－2)2； （3）原式=(x－y)(a2－b2) =(x－y)(a+b)(a-b) ． Administrator (A) - 在例题讲解中一定给学生重复提起：有公因式，先提公因式 一提 （提公因式） 二套 （两项套平方差公式，三项套完全平方公式） 三查 （检查每一个因式是否分解到底） 因式分解的步骤： 归纳总结 例2 (教材典例) 把下列各式分解因式． （1）a4－9； （2）81x4－72x2y2＋16y4． 解：（1）a4－9 =(a2)2-32 =(a2+3)(a2-3) =(a2+3)(a+)(a-) ； （2）81x4－72x2y2＋16y4 =(9x2)2-2·9x2·4y2+(4y2)2 =(9x2-4y2)2 =[(3x+2y)(3x-2y)2 =(3x+2y)2(3x-2y)2． 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． Administrator (A) - 在此处老师要强调的是因式分解的顺序：先提公因式，再用公式法 x2+2x-3=(x+1)2-22成立吗?你能将x2+2x-3分解因式吗? 尝试探究 解:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22,故原等式成立. 可把x2+2x-3分解因式如下: x2+2x-3=(x+1)2-22=[(x+1)+2]·[(x+1)-2]=(x+3)(x-1). 37 C 随堂演练 x(2x－1)2 (x2＋5)(x＋)(x－) 课堂小结 说说如何把多项式进行因式分解？ 一般有哪些步骤？ 3．分解因式： (1)x2－9； (2)4m2－9n2； (3)(x＋5)2－4； (4)(a＋1)2－(b－1)2. 解：(1)原式＝(x＋3)(x－3)． (2)原式＝(2m＋3n)(2m－3n)． (3)原式＝(x＋5＋2)(x＋5－2)＝(x＋7)(x＋3)． (4)原式＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)＝(a＋b)(a－b＋2)． 例3 已知x－y＝－1，xy＝3，求x3y－2x2y2＋xy3的值． 解：原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2＝3×(－1)2＝3. 1.把2a2－8分解因式，结果正确的是(　　) A．2(a2－4) B．2(a－2)2 C．2(a＋2)(a－2) D．2(a＋2)2 2．分解因式：x4－25＝____________________． 3．将4x3－4x2＋x分解因式的结果是___________． 4．将下列各式分解因式： (1)4x2－16y2； (2)9a(x－y)＋3b(y－x)； (3)(x2＋4)2－16x2. 解：(1)原式＝4(x2－4y2)＝4(x＋2y)(x－2y)． (2)原式＝3(x－y)·3a－3(x－y)·b＝3(x－y)(3a－b)． (3)原式＝(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝(x＋2)2(x－2)2. $