精品解析：辽宁沈阳市第十中学2025-2026学年高一下学期4月质量检测数学试题

沈阳市第十中学高一数学质量检测 满分：100分，时长：40分钟 一、单选题（每题8分，共48分） 1. 在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得. 【详解】在直角梯形中，且，过作于， 则，故，从而. 因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 2. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解. 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 3. 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 4. 已知向量满足，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即与的夹角为. 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 6. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 二、多选题（每题8分，漏选4 分，错选0分，共16分） 7. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 的取值范围是 D. 在区间可能有个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，对D，直接求出的解，进而可得时，在区间至少有个解，即可求解.. 【详解】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C正确； 不妨取，则，所以， 因为，此时不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B正确， 对于D，由，即，得到或， 即或， 因为，所以从小到大的个非负根为， 当，即时，在区间至少有个解， 又，且，所以D正确. 8. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若．则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，如图 因为，所以，取中点， 则有，所以点三点共线，则为三角形中线， 同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确. 对于B，因为，所以， 所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确 对于C，由B可知，选项C错误. 对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 由平行四边形法则，在的角平分线上， 又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形， 又因为， 所以，所以， 所以为等边三角形，D正确. 三、填空题（每题8分，共16分） 9. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量. 【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养. 由，得，解得，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 10. 已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解. 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 由函数在上既有最大值，也有最小值，得， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 四、解答题（本题20分） 11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，其中点，. （1）求的解析式： （2）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用图象上的点，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）设，结合正弦函数的对称性将原问题转化为与的图象只有一个交点，数形结合求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，， 将点代入得，即， 因为，所以， 将点代入得，即， 结合正弦函数图象和性质可知，， 解得，又，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，，， 令，结合正弦函数图象的对称性可知对于任意，有两个不同的解， 则原问题等价于方程在内有一个根或两个相等的实根， 作出与的图象， 根据图象可知当时，方程在内有一根， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第十中学高一数学质量检测 满分：100分，时长：40分钟 一、单选题（每题8分，共48分） 1. 在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 3. 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 4. 已知向量满足，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题8分，漏选4 分，错选0分，共16分） 7. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 的取值范围是 D. 在区间可能有个解 8. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若．则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，且，则为等边三角形 三、填空题（每题8分，共16分） 9. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 10. 已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本题20分） 11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，其中点，. （1）求的解析式： （2）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $