精品解析：北京市海淀区育英学校2025-2026学年八年级下学期期中模拟考试数学试题（四年制）

四年制初二第二学期数学期中模拟练习一 一．选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（　　） A. B. C. D. 3. 画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的周长和面积分别相等 C. 所有的等边三角形都是全等三角形 D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上 5. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是的高，它们相交于点．且，则图中全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 7. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 9或12 D. 12 8. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）.若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ） A. 0＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. m＜3 D. m＞3 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 如图，在中，，，，则___________． 12. 如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是_______． 13. 如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是___________． 14. 如图所示的网格是正方形网格，则__________． 15. 如图三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看两岛的视角是___________度，从岛看两岛的视角是___________度． 16. 已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 17. 如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________． 18. 在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ___． 三．解答题（本题共46分，19、20、21、22题5分，23、24题6分，25、26题7分） 19. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点D作于点E，连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 又∵， ∴（ ）（填推理的依据） 21. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）作关于直线（直线上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点，，的对称点分别为点； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 22. 已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）连接，若，求的周长． 23. 如图，在中，D是上一点，．求的度数． 24. 如图，为上一点，分别过作的垂线．垂足分别，求证：． 25. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题 （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD＝CE，BD⊥CE． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）．先画出相应图形，再说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为___________，二次反射点为___________； （2）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数． （3）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年制初二第二学期数学期中模拟练习一 一．选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边m的取值范围求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：，即， 故选B 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题． 3. 画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据三角形高的定义逐一分析，即可得到答案． 【详解】选项A是中BC边上的高，故不符合题意； 选项B不是的高，故不符合题意； 选项C是中AC边上的高，故符合题意； 选项D为中边上的高，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，从而完成求解． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的周长和面积分别相等 C. 所有的等边三角形都是全等三角形 D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质解答． 根据相关定理逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵ 两边及其中一边的对角对应相等时，无法判定两个三角形全等，只有两边及其夹角对应相等才能判定全等，故此选项错误； B、∵ 全等三角形可以完全重合，对应边都相等，∴ 全等三角形的周长和面积分别相等，故此选项正确； C、∵ 全等三角形要求对应边长度相等，等边三角形的边长不一定相等，∴ 不是所有等边三角形都是全等三角形，故此选项错误； D、∵ 只有在角的内部，到角两边距离相等的点才在角的平分线上，选项缺少“在角的内部”的前提，故此选项错误． 故选：B． 5. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 6. 如图，和是的高，它们相交于点．且，则图中全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，高、相交于点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 综上，共5对全等三角形． 7. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 9或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】需分情况讨论，①当为腰长，为底边长时，②当为腰长，为底边长时，验证能否构成三角形后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，2，5无法构成三角形，此情况舍去． ②当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，5，5可以构成三角形， 则它的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 8. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形内角和定理列式计算，得，又因为平分，所以，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， 故选：A 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）.若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ） A. 0＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. m＜3 D. m＞3 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO=BD=2，BO=CD=n=a，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D， ∵点A（0，2）， ∴AO=2， ∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC， ∴∠ABC=90°=∠AOB=∠BDC， ∴∠ABO+∠CBD=90°=∠ABO+∠BAO， ∴∠BAO=∠CBD， 在△AOB和△BDC中， ， ∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴AO=BD=2，BO=CD=n=a， ∴0＜a＜1， ∵OD=OB+BD=2+a=m， ∴ ∴2＜m＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】易得，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，轴， ∵点是的中点， ∴， ∵是腰长为5的等腰三角形， ∴①当时，则， ∴； ②当，点在点左侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 当，点在点右侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 综上点共有3个. 二．填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 如图，在中，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据含直角三角形的性质直接得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 12. 如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框， 使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ． 【详解】解：如图， 由垂线段最短定理可知： 当CE⊥OB时，CE 的长度最小， ∵点C在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA， ∴CE=CD=2， 故答案为：2 ． 【点睛】本题是基础题目，解题的关键是熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理． 14. 如图所示的网格是正方形网格，则__________． 【答案】45° 【解析】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】如图，延长AP交格点于D，连接BD， ， ∵PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 如图三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看两岛的视角是___________度，从岛看两岛的视角是___________度． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的概念，平行线的性质以及三角形内角和定理．首先根据方位角的定义求出  的度数，然后利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出  的度数，进而求得  的度数，最后利用三角形内角和定理求出  的度数． 【详解】解：由题意可知，，， 所以   因为   所以   所以     在  中  ． 16. 已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查坐标平面内关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，即可分别求出点B和点C的坐标． 【详解】解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数， 且点坐标为，点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为， 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为． 17. 如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：过F作FG⊥BC于G， ∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB， ∴FG=EF=2， ∵AD为△ABC的BC边上的中线， ∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8， ∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 18. 在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ___． 【答案】64°或28° 【解析】 【分析】分三种情况：①AB=AC时；②BA=BC时；③CA=CB时；分别由等腰三角形的性质和“黄金三角形”的定义求出∠BAC的度数，即可求解． 【详解】解：当△ABC为“黄金三角形”时，分三种情况： ①AB=AC时，∠ACB=∠ABC=2∠BAC， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=36°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-36°=64°； ②BA=BC时，∠BAC=∠BCA=2∠ABC， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=72°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°； ③CA=CB时，∠BAC=∠ABC=2∠ACB， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=72°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°； 综上所述，∠OAC的度数等于64°或28°， 故答案为：64°或28°． 【点睛】本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握黄金三角形的定义、等腰三角形的性质，求出∠BAC的度数是解题的关键，注意分类讨论． 三．解答题（本题共46分，19、20、21、22题5分，23、24题6分，25、26题7分） 19. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ， 20. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点D作于点E，连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 又∵， ∴（ ）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据 过程即可补全图形； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明． 【小问1详解】 解：如图，即为补全的图形； 【小问2详解】 证明：过点D作于点E， 连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）作关于直线（直线上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点，，的对称点分别为点； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）观察平面直角坐标系，即可解答； （3）推断出轴，且 点到的为距离为，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知； 【小问3详解】 解：∵， ∴轴，且 点到的为距离为， ∴． 22. 已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）连接，若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，再根据角平分线的性质得到； （2）判定是等边三角形，即可求出周长． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∴平分， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴的周长为9． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键． 23. 如图，在中，D是上一点，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角定理，解得的关键是设未知数，构建方程求解． 根据题意，设，则，，再利用求解即可． 【详解】解：设，则（三角形外角定理）， 则， ， 解得， ． 24. 如图，为上一点，分别过作的垂线．垂足分别，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知和三角形内角和定理求出根据证出 ，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】证明：∵过作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，解此题的关键是推出． 25. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题 （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD＝CE，BD⊥CE． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）．先画出相应图形，再说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②结论成立，证明见解析；（2）画图见解析，当∠BCA=45°时，CE⊥BD，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立； （2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）①证明：CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD． 理由：如图2中， ∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， 又 BA=CA，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD， ∵∠ACB=∠B=45°， ∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD． 故答案为：CE⊥BD；CE=BD． ②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立． 如图3中， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， 又AB=AC，AD=AE， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 即 CE⊥BD； （2）如图4中，当∠BCA=45°时，CE⊥BD． 理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G， ∴AC=AG，∠AGC=45°， 即△ACG是等腰直角三角形， ∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC， ∴∠GAD=∠CAE， 又∵DA=EA， ∴△GAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠AGD=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 即CE⊥BD． 【点睛】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． 26. 在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为___________，二次反射点为___________； （2）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数． （3）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 【答案】（1）， （2）射线与轴所夹锐角的度数为或； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）分两种情况：当点A靠近y轴在第二象限时，当点A靠近x轴在第二象限时，作出相应图形，然后利用各角之间的关系及轴对称的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时；分别利用等腰直角三角形的性质及轴对称的性质求解即可． 【小问1详解】 解：点关于y轴的对称点为， 所以一次反射点为， 关于直线l的对称点为， 所以二次反射点为； 【小问2详解】 解：如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示： 点，关于直线l对称，点A、关于y轴对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线与轴所夹锐角的度数为； 同理当点A靠近x轴在第二象限时， 射线与轴所夹锐角的度数为， 综上可得：射线与轴所夹锐角的度数为或； 【小问3详解】 解：设点，则，， ∵是等腰直角三角形， ∴分三种情况： ①当时， ，即, 且，即， 解得：，即上的点均满足，如图所示： ②当时，不存在； ③当时，，且，即， 解得,即在x轴的负半轴上，如图所示： 综上所述，点A在轴的负半轴上或直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $