专题04二元一次方程组专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题04二元一次方程组专项训练（不含应用） ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.二元一次方程定义及解 题型02.二元一次方程组定义及解 题型03.由二元一次方程组的解求参数 题型04.代入消元法 题型05.加减消元法 题型06.二元一次方程组特殊解法 题型07错解复原问题 题型08构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.新定义运算 题型14.数论新定义阅读理解压轴题 解答题9题 ☆ 重要知识 ■■■■ 知识点01：二元一次方程组相送概念 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c(a≠0，b≠0) 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对（区，y)。 2.二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的 方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解， 通常只有唯一一组解。 解的检验：将(x,y)代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02：代入消元法 试卷第1页，共3页 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转 化为一元一次方程。 步骤 具体做法 目的 注意事项 用含一个未知数的式子表示 变形为=ar十b(或x=y十b) 般选未知数系数比较简单的方 ①变形 另一个未知数 (a,b是常数，a≠0)的形式 程变形 ②代入 把y=ar+b(或x=ay十b)代入 消去一个未知数，将二元一次 变形后的方程只能代入另一个方 另一个没有变形的方程 方程组转化为一元一次方程 程（或另一个方程变形后的方程） 去括号时不能漏乘，移项时所移的 ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 项要变号 把求得的未知数的值代入步 ④回代 般代入变形后的方程 骤①中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 表示为 用“(”将未知数的值联立起来 把两个未知数的值用大括号 可代入原方程组进行检验 ⑤写解 联立起来 y=… 的形式. 知识点03：加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等， 再将两方程相加/减，消去该未知数。 步骤 具体做法 目的 注意事项 根据绝对值较小的未知数的系数的最 使该未知数在两个方程中 给某个方程乘一个数时，方 (1变形 小公倍数，给方程的两边都乘适当的数 的系数相等或互为相反数 程两边的每一项都要和这 个数相乘 两个方程中同一个未知数的系数互为 消去一个未知数，将二元 把两个方程相加（减）时， (2)加减 相反数时，将两个方程相加：同一个未 次方程组转化为一元一次 定要把两个方程两边分别 知数的系数相等时，将两个方程相减 方程 相加（减） (3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 (4回代 把求得的未知数的值代入方程组中某 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的 个较简单的方程 方程 (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 用“(”将未知数的值联立 表示为 X= 的形式 y=... 起来 知识点04核心结论与拓展 1.解的情况（期中拓展） 试卷第1页，共3页 ax+by=C 对于方程组 ax+b2y=C2 若费+总， 则有唯一解； 若贵=总+号，则无解： 若器=合=合，则有无数组解。 知识点05.三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做 三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d(a、b、c、d为常数，a≠0，b≠0，c≠0)。 2.三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程 组。 aix+b1y+ciz=d 一般形式： a2x十b2y+c2z=d2(系数不全为0) a3x+b3y c3z d3 3.解法（核心：消元一二元一一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二 元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： ①消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ②解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值； ④写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 ☆ 题型突破考点突破 mcmmmmmmmn 题型01.二元一次方程定义及解 试卷第1页，共3页 1.己知2x-3-2y=1是关于x,y的二元一次方程，则a= 2.将方程x-3y=21变形为用含y的式子表示x,那么x= 3.下列方程：①4x+5=1;②3x-2y=1;③x-2=1;④xy+y=14.其中二元一次方程 的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 x=6 4.若关于x、y的方程5x-ay=28有一组解是 y=-2'则a的值是() A.29 B.-29 C.1 D.-1 5.将方程4x-2y=3改写成用含x的式子表示y的形式，则y= 6.如果 ,二6是方程x3y3的一个解，那么代数式5+a-3b的值是 题型02.二元一次方程组定义及解 7.下列方程组，其中是二元一次方程组的有 (填序号) 2m-n=1 x-2y=0 x=1 3a+2b=1 ①X Π② Ⅲ③ ④ m+n=8 3z+2y=8 x+2y=5 a-b2=8 ax+by=G的解为 x=12 1 8.己知二元一次方程组 ax+bay=C2 =18’ 请问方程组2ar+36y-39的解 3a2x=2c2-18b2y 是() x=6 x=8 c. x=4 x=8 A. y=54 B. (y-2 y=1 D. y=162 9.下列方程组是二元一次方程组的有() @/3r-y=0 3x+y=0.3x+4y=5。「x=2 y=2x+1'9 ④ x2+2y=1©2x+1=z y=1 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.若x=1和x=-1 -2和=4是某二元一次方程的解，则这个方程为（） A.x+2y=-3 B.2x-y=0 C.y=3x-5 D.x-3=y 题型03.由二元一次方程组的解求参数 试卷第1页，共3页 少=-2是二元一次方程m+y=4的解，则m的值()。 x=1 11.若 A.5 B.6 C.7 D.8 x+2y=& =。'由于不小心，两滴墨水遮住了两个数⑧和。， x=4 12.芳芳解方程组 r-2y=2的解为 则⑧与⊙表示的数分别是() A.6,1 B.-6,-1 C.-6,1 D.6,-1 13.若 r=2 y=-1 是方程组 x-=的解，则a+6的值为() r+y=3 A.1 B.2 C.3 D.4 x+y=1 x=-1 14.已知二元一次方程组 米 的解是 则在①2x-y=-3;②x+y=4;③ v=a x-y=-3;④2x-y=-4中，“*”表示的方程可以是 ·(填写符合题意方程的序号) 题型04.代入消元法 x=1-2y① 15.已知二元一次方程组 3y-2x=5② ，把①代入②消元正确的是() A.3y-2-2y=5B.3y-2-4y=5 C.3y-2+2y=5D.3y-2+4y=5 16.用代入法解方程组 2x+y=4① 3x-2y=-1② 时，有以下过程： (1)由①，得y=4-2x③. (2)将③代入②，得3x-2(4-2x)=-1. (3)去括号，得3x-8-2x=-1,解得x=7. (4)将x=7代入③，得y=-10 x=7 所以原方程组的解是 y=-10 其中开始出现错误的一步是】 (请填写序号) 17.如下表，是小明同学探究关于x的代数式ax+b(其中a,b为常数)的值变化规律的 情况，则2023a+b的值是 试卷第1页，共3页 -3 -2 3 ax +b -1 -10 18.解方程组 x=2y+1① 下列做法正确的是() x-y+1=0② A.将①代入②，消去y B.将①代入②，消去x C.①十②，消去x D.①+②，消去y 题型05.加减消元法 19.己知关于x、y的二元一次方程组 4x-2y=5 3x-y=3,则x-y的值为 2x+3y=2a 20.己知关于x、y的方程组 的解满足x+y=3,则a的值为() 2y+x=1 A.-2 B.2 C.-1 D.1 x+y=5k 21.若关于x,y的二元一次方程组 x-y=9k 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则 k的值为 22.对于代数式x+b,小明分别计算了当x=1,2,3,4时该代数式的值，得到以下四个结论， 嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是() ①k+b=-1;②2k+b=3;③3k+b=5;④4k+b=8. A.① B.② C.③ D.④ 题型06.二元一次方程组特殊解法 3x+2y=2a+1 23.己知关于x,y的方程组 的解满足x-y=2,则a的值是 2x+3y=a-1 2a-3b=13 a=8.3 2(x+2)-3(y-1)=13 24.若方程组 13a+5b=30.9 的解是 b=1.2’ 则方程组 3(x+2)+5y-1)=30.9的解是() A. x=8.3 B. x=10.3 y=1.2 y=1.2 C.=6.3 y=2.2 D.t10.3 'y=0.2 ax+by=9 25.已知：a,b是常数，若二元一次方程组 3ar+2y=6的解是 x=3 y=2'则关于x,y的 试卷第1页，共3页 a(x+1)+b(y-2)=-18 二元一次方程组 的解是 3a(x+1)+2by-2)=-12 题型07错解复原问题 ax+y=10 6乙看 x=1 26.甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组 x+by=7 中的a,得到的解为 x=-1 错了方程组中的b,得到的解为 y=12’ 则原方程组的解为() x=-1 x=3 x=2 x=-1 A. y=12 B. D. y=4 y=1 y=8 27.在解关于x,y的方程组 4r-=1时，甲把方程组中的a看成了-4，求得的解为 ax+5y=c x=4 x=-3 乙看错了方程组中的b,求得的解为 y=1’则a+b+c= ax+by=3 x=2 28.已知方程组 (5x-cy=1' 小明同学正确解得 而小红同学因粗心把C看错了，解 得/3 =6'由此可判断a,b,c的值为() A.a=3,b=-1,c=-3 B.a=3,b=-1,c=3 C.a=3,b=-1,c=7 D.a=-3,b=1,c=3 3 题型08构造方程组求解 29.在等式y=x+b中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，y=-4,则k=,b= 30.若x-m)(x+2)=x2+nx-8,则m-n的值为 31.关于x、y的方程2xm+2+3y2m-"=5是二元一次方程，则m+n=· 题型09.由方程组解的情况求参数 2x+3y=7 32.方程组 x+k-y=5的解中，的值比)的值大1，则k的值为() A.-2 B.1 C.2 D.3 试卷第1页，共3页 33.若关于x,y的二元一次方程组 x+y=5k-2 x-少=k+4的解也是二元一次方程2x-y=1的解，则 k的值为 34.己知关于x,y的方程组 x-2y=a+1“，则下列结论中正确的个数为() 3x-5y=2a+15 ①当a=10时，方程组的解是 {=2:②当x,y的值互为相反数时，a=185:③存在3个 x=15 实数a,使得(x+y)°=1；④当24=16时，a=15 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型10.方程组相同解问题 x=4 35.若方程组 y=3 与方程组 ax+by=9 bx+=5的解相同，则a+b的值为() A.2 B.7 C.1 D.0 ax+by=2 x=2 a(x+2)+b(y-1=2 36.已知方程组 cx+山=3的解是 y=3' 则方程组 c(x+2+dy-1)=3的解为 2x+3y=3 3x-2y=11 37.若关于x、y的方程组 ax-by=-5 和 bx-ay=1 有相同的解，则(a+b)225的值为() A.0 B.-1 C.1 D.2021 题型11.三元一次方程组的定义及解 38.下列方程组中，是三元一次方程组的是() L+=2 3x+2y=4 x y A. y+z=5 B.3x-4y+z=-1 x2+y=2 x+z=2 3x+y+z=-2 x-y=2 C.y-3z=5 D. y+4x=5 x+7z=9 2x+y=0 x+y=5 39.三元一次方程组 y+z=1的解为 x+z=2 试卷第1页，共3页 2x+y=23 40.方程组 2y+z=28消去字母z后得到的二元一次方程组为 2z+x=27 题型12.三元一次方程组的应用 41.在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）.若 处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我“中“国“梦”这四个字表示的 数之和是 -2 中 国 -1 我 -5 梦 0 -2 b -1 a -5 0 42.为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种.其中塑料花 盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而 成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成.这些花盆一共用了2900朵红 花，3750朵粉花，则黄花一共用了朵. 43.福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主 题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200元钱购买A,B,C三种奖品，其中A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情 况下（三种奖品均购买），则有购买方案() A.12种 B.15种 C.16种 D.14种 题型13.新定义运算 44.对于x、y定义一种新运算“※”：x※y=ax-by,其中a、b为常数，等式右边是通常 的乘法和减法的运算.已知：2※1=7,1※-3=7，求5※3的值 试卷第1页，共3页 45.定义：数对x,y)经过运算p可以得到数对(x',y,记作0x,y)=（x',y）,其中 [x'=ax+by y'=ax-by (a,b为常数).如当a=1,b=1时，p-2,3=(1,-5). (1)当a=2,b=1时，0(1,0)= (2)若p2,1=0,4,则a= ,b= 46.定义一种新运算：x⊕y=ax+by,其中a、b为常数，若1⊕2=5,2⊕1=6，则a+b= 47.对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=axy+bx-4(其中a,b均为非零常数)， 这里等式右边是通常的四则运算.例如：T(0,1=a×0×1+b×0-4=-4,若T(3,1)=11, T-1,3)=-13则下列结论正确的有() ①a=2,b=3: ②若T(m,n川=0m≠-2 则m= 2n+39 ③若T(m,n=0,则m,n有且仅有2组整数解： ④若无论k取何值时，T(x,)的值均不变，则y= 2 ⑤若T(kx,y)=T(ky,x对任意有理数x,y都成立，则k=0. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 48.对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by,x©y=ax-by,其中a,b是常数，已 知1#1=1,3⊕2=8. (1)求a,b的值； x#y=4-m。 (2)若关于x,y的方程组 的解x,y互为相反数，求m的值： x⊕y=5m 题型14.数论新定义阅读理解压轴题 49.我们规定，一个四位正整数M=abcd,若满足a+2b=￡+d,则称这个四位数为倍分 2 数”，例如：四位数5228，因为5+2×2=2+8，所以5228是“倍分数”.按照这个规定，最 2 大的“倍分数”是·一个“倍分数”M=abcd将其千位数字与十位数字调换位置，百位 试卷第1页，共3页 专题04二元一次方程组专项训练（不含应用） 题型01.二元一次方程定义及解 题型02.二元一次方程组定义及解 题型03.由二元一次方程组的解求参数 题型04.代入消元法 题型05.加减消元法 题型06.二元一次方程组特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.新定义运算 题型14.数论新定义阅读理解压轴题 解答题9题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02:代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 知识点03:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 知识点04:核心结论与拓展 1. 解的情况（期中拓展） 对于方程组 ： 若 ，则有唯一解； 若 ，则无解； 若 ，则有无数组解。 知识点05.三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 题型01.二元一次方程定义及解 1．已知是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程未知数的次数是1求解即可． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ， 解得． 2．将方程变形为用含y的式子表示x，那么____． 【答案】 【分析】将含x的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． 4．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 5．将方程改写成用含的式子表示的形式，则__________． 【答案】 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．如果是方程的一个解，那么代数式的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：2． 题型02.二元一次方程组定义及解 7．下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键． 8．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组变形为，依此可得，从而求解． 【详解】解：方程组变形为， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得．   故选：B． 9．下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 10．若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：、当，时，x+2y=-9≠-3, 故不是方程x+2y= -3的解，不符合题意； B、当，时，2x-y=2+2≠-3, 故不是方程的解，不符合题意； C、当，时，， 故不是方程的解，不符合题意； D、当和时，方程都成立， 故和是方程的解，故符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 题型03.由二元一次方程组的解求参数 11．若是二元一次方程的解，则的值（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将给定的解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程得， 整理得， 解得． 12．芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 将已知解代入方程求出，再代入求即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，得：， 解得，即； 将，代入，得， ∴， 故选：A． 13．若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 14．已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是______．（填写符合题意方程的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得， 所以这个方程组的解为． ①将代入得：，故①不符合题意 ②将代入得：，故②不符合题意； ③将代入得：，故③符合题意； ④将代入得：，故④符合题意； 故答案为：③④． 题型04.代入消元法 15．已知二元一次方程组，把①代入②消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需将①中的表达式代入②，展开化简即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ∴ 将①代入②，把替换为，得， 去括号得 ． 16．用代入法解方程组时，有以下过程： （1）由①，得③． （2）将③代入②，得． （3）去括号，得，解得． （4）将代入③，得． 所以原方程组的解是 其中开始出现错误的一步是________．（请填写序号） 【答案】（3） 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：， （1）由①，得③． （2）将③代入②，得． （3）去括号，得，解得． （4）将代入③，得． 所以原方程组的解是 则开始出现错误的一步是（3）． 故答案为：（3）． 17．如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 【答案】 【分析】根据表格数据分别得到和时的代数式值，先求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 即的值是． 18．解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【答案】B 【分析】利用代入消元法和加减消元法的运算规则，判断各选项的做法是否正确即可； 【详解】解：∵方程①已经将表示为含的代数式， ∴将①代入②，可得，消去了，因此A错误，B正确． ∵可得，整理得，无法消去或，因此C，D错误． 题型05.加减消元法 19．已知关于x、y的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】2 【分析】将方程组中两个方程相减即可直接得到所求结果． 【详解】解： 得： 整理得：． 20．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 21．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________． 【答案】 【分析】将看作已知数求出方程组的解与，代入中计算即可得到的值． 【详解】解：， ①+②得：，即， 将代入①得：，即， 将，代入得： 解得：． 22．对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 题型06.二元一次方程组特殊解法 23．已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值是_______． 【答案】0 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，求出是解题关键．把两个方程相减即可求出，再根据得出，然后进行计算即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 故答案为：0． 24．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 25．已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】利用换元法将待求解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式， 根据已知方程组的解得到关于新未知数的等量关系，求解即可得到结果． 【详解】解：设，，则待求解方程组可化为， 将方程组两边同时除以，得， 已知二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 即， 解得． 题型07.错解复原问题 26．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组．根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意，得：，满足；满足， ∴， ∴， ∴原方程组为：，解得：； 故选：B． 27．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 28．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 题型08.构造方程组求解 29．在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，再使用加减消元法解方程即可． 【详解】解：根据题意可得方程组：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为，即，． 30．若，则的值为_______． 【答案】6 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后代入计算的值． 【详解】解：展开等式左边，得． 由题意得 ． 根据等式两边多项式对应项系数相等，可得． 解得 ， 将代入，得． 31．关于、的方程是二元一次方程，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义和解二元一次方程组，两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程，叫做二元一次方程，根据题意可得，，求解可得和的值． 【详解】根据题意可得 解得 所以． 故答案为： 题型09.由方程组解的情况求参数 32．方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意得到x与y的关系，联立不含k的方程求出的值，再代入含k的方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中，x的值比y的值大1， ∴， 联立得， 解得， 把代入中， 得 解得． 33．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出的值． 【详解】解：由题意得， 解得， 根据题意得，把代入方程中， 得 解得． 34．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的个数为（   ） ①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③存在个实数，使得；④当时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先求得方程组的解为，①把代入，即可做出判断；②根据题意得到，代入求出a的值，即可做出判断；③分三种情况讨论，即可做出判断；④根据题中等式计算得到，代入方程组的解求出a的值，即可做出判断． 【详解】解：， 由②得， 代入①得， 解得， 再代入，得， ∴方程组的解为； ①当时，解得：，①说法正确； ②由与互为相反数，得到，即， 解得：，②说法正确； ③∵， 当底数为1时，，解得，此时； 当底数为时，，解得，此时，不成立； 当指数为0时，即，此时，此时， 所以只有和两个解，③说法错误； ④∵， ∴，即， ∴， 代入得，，解得，④说法正确； 综上，①②④正确，共个． 题型10.方程组相同解问题 35．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 36．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 37．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 题型11.三元一次方程组的定义及解 38．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 39．三元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【详解】解：， 可得， 整理得， 得， 得， 得， 因此原方程组的解为． 40．方程组消去字母后得到的二元一次方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 化简得，代入，即可求解． 【详解】， 化简②得， 代入③得，即， 所以方程组消去字母后得到的二元一次方程组为， 故答案为：． 题型12.三元一次方程组的应用 41．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是________． 中 国 我 梦 0 【答案】 【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键． 令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，列出方程组求解即可得到答案． 【详解】解：令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，则 0 则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为， ， 解得 ， ， 则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是， 故答案为：． 42．为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 43．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 题型13.新定义运算 44．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 45．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 46．定义一种新运算：，其中a、b为常数，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解新定义，代数式求值，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 由新定义可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：由新定义可得：， ，得③， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ． 故答案为：． 47．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 48．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 题型14.数论新定义阅读理解压轴题 49．我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是______．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是______． 【答案】 9289 9270 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程的解，数字类规律的探索，首先，根据“倍分数”的定义由得，然后判断出c为偶数，且，取，则，故，取，得；根据题意计算 和 ，代入表达式 ，化简后得到，再分情况当时与时，枚举 和可得所有满足条件的，计算出其和即可解答． 【详解】解：， ， ∵a、b、d均为整数，一定是偶数， ∴一定是整数， ∴c为偶数， ∵， ∴， 当数为最大的“倍分数”时，千位取最大的9， ， ， ， 令，则， ， 取，则，故 ，取最大的时，，得最大的“倍分数”是； 对于满足条件的，有，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ∵被7除余2， 令（为整数）， ， ， 是7倍数， 由可知c为偶数，且， ， 经检验当或时，是7倍数， 当时，有，代入方程中，当，时有最小数， 当时，有，或， 将代入方程中，当，时有最大数； 当时，， ∵被7除余2， 令（为整数）， ， 是7倍数，即是7倍数， 由可知c为偶数，且，， 为偶数， ， 经检验当（是奇数，舍）时，是7倍数， 当时，有，或； 将代入方程中，当，时有最大数， 综上所述，最大数为8129，最小数为1141，和为， 故答案为：9289，． 50．已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】； 【分析】本题考查新定义，理解阅读材料是解题的关键． 最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零，因此，得． 先求出和，根据为整数，推出，进而推出能被13整除．解得可能的值，即可求解． 【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零， ，得． 由“和九数”定义，，且， 故， ， ， 为整数， 能被13整除． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 的最大值为． 故填：和． 51．如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为______；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为______． 【答案】 96 792 【分析】本题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可；根据“和好数”的定义，计算和后求和；设和好数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为，表达和，求，使其为完全平方数，确定的可能值，找出所有符合条件的，再求最大值与最小值的和． 【详解】解：对于，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，， 故； 设三位数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为， ∴有，，，，， 则，令其等于完全平方数， ∴即为完全平方数， ∴必须为形式（为正整数），且， 解得或，即或； 当时，，，，； 当时，，，，或，，，； 所有符合条件的为，，，最大值为，最小值为， 和为． 故答案为：96；792． 52．对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均差数”，对于一个“均差数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：，例如，因为，故：9764是一个“均差数”．所以，，则．则最大的均差数与最小的均差数之差为_____________；若自然数都是“均差数”，其中，(，，，，都是整数)，规定：，当时，求的最大值为_____________． 【答案】 【分析】该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点．根据新定义与已知条件，分别求出，再由自然数，都是“均衡数”可得，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围便可求出k的最值． 【详解】解：根据“均差数”的定义可知最大的均差数是9988，最小的均差数是1122，故最大的均差数与最小的均差数之差为； ∵，(，，，，都是整数)， ∴． ∵自然数P，Q都是“均衡数”， ∴，则． ∴． ∵， ∴． ∴，则． ∴． 当时，则， ∴． ∵，，，， ∴y是奇数， ∴当时，，则， 当时，，则 当时，，则， 则， ∴k的最大值为． 故答案为：；． 解答题 53．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 54．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 55．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 56．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③ 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 ③， ，得 ， 解得， 将代入③，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 57．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 58．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 59．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）先把原方程去括号整理得出，再由题意得出，解方程即可； （2）先整理原方程，再把公共解代入方程，可得出方程的解与a的值无关，即可说明无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【详解】（1）解： 整理得：， 由题意得：， 解得． （2）解：把化为下面的形式：， ∵， ∴，即， ∴当时，二元一次方程的解与a的值无关， ∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 60．解三元一次方程组 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法，根据题意将，解得，代入原方程得到，利用加减消元法求得解即可． 【详解】解：， ，得，则； 那么，， 解这个方程组，得， 因此． 61．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $