专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 例1．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 【变式1-1】（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 例2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 【变式2-1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 例3．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，同类项的合并，多项式项的系数，幂的运算及负整数指数幂的运算．先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据不含项和项这一条件求出m、n的值，最后代入计算结果． 【详解】解：， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川内江·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将、的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）∵，， ， ∵的值与的取值无关， ， 解得：； （3）设，由图可知， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的取值无关， ， ． 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：， ∴ 解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 【变式5-1】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)大长方形面积：；阴影部分的面积： (3)5 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，代入，即可求解． 【详解】（1）解：大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 阴影部分的面积： ； （3）当时， 由（2）得， ∴． 【变式5-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)165 (3)15 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，将，，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【变式5-3】有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，得，由此可得出阴影部分的周长； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的周长； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：． ， ∴， ∴， ． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析； (2)3； (3)或． 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的多项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B．23或 C．5或 D．11或 【答案】D 【分析】根据完全平方式的特点，先确定出平方项，再结合比较系数求解即可．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ， ∴， ∴或， 解得或； 故选：D． 5．（24-25七年级下·山西太原·月考）对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：☆ ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南·月考）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·天津·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，则 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）已知多项式进行配方，然后根据新定义判断即可； （2）把关于x的多项式进行配方，得出其关于对称，从而列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴多项式关于对称， 故答案为：2； （2）∵， ∴关于x的多项式关于对称， 又∵关于x的多项式关于对称， ∴，则． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 【答案】(1)③ (2)，，恒定差值为． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，解题的关键是正确理解题意． （1）两个多项式相减，判断差是否为常数即可； （2）两个多项式作差，令二次项系数和一次项系数为零，求出和的值，代入常数项，计算即可． 【详解】（1）解：∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴①不符合题意， ∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴②不符合题意， ∵，是常数， ∴与互为“恒定差多项式”， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵多项式与多项式（，，为常数）互为恒定差多项式， ， ∴为常数， ∴， 解得，，， ∴， ∴恒定差值为． 答：，，恒定差值为． 14．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm*3x2=6x,得m+2=5, 求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a*2b=6ab,代入a=1、b=2,得结果 12。 例1.(25-26八年级上四川巴中月考)如果y与2 相乘的结果是2 ,那么m=，= 4m+5n=-. 【变式1-l】(24-25七年级下广东河源月考)若-5a“62ab=-10a ,则2m+n=一. 【变式1-2】(2425七年级下-江苏泰州月考)若mr2)=-8x ,则m+k= 【变式1-3】(2425八年级上润南开封月考》已知单项式3与2矿的积为少，则m-n 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x+)=2x2+6x,对比得 2a=6,求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b+c)-2ab=ac,代入=2、c=5,直接得2×5=10。 例2.(25-26八年级上江西赣州月考)关于x的代数式a2x+-2r-3 的化简结果中不含x的二次项， 则a的值为一 【变式2-1】(25-26七年级上·上海浦东新期中)关于x的整式ar与3x+b≠0) 的乘积中所有项的系数 恰巧都是l,则a+b=一 【变式2-2】(25-26八年级上·全国周测)一个多项式4ry-M因武分解得到的结果是4-y+例 则M表示的式子是 【变式2-3】(2425七年级下安徽准北期中)如果r-x+xx-2到 的展开式中不含有x这一项，那么 a的值为 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1.合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x+)c+ 2)=x2+(a+2)r+2a,不含一次项则a+2-0,得a=-2。 2.通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x+m)x-3)不含常数项，常数项 3m=0,得m=0。 例3.(25-26七年级上江西景德镇期中)已知关于x的多项式+与m+r- 的乘积展开式中不含 顶和r顶，求n-川的值 【变式3-1】(2526八年级上广东广州：期中)若关于x的代数式3x+a川x-2)计算后不含x的一次项。 (1)当a=1时，化简原代数式： (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(25-26八年级上·四川资阳·期中)若 ++r-3+ 的展开式中不含x和x的项. (1)求P、9的值： 2求代数式-2pg°+6pg+pg的值 【变式3-3】(25-26八年级上·四川内江·月考)【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值. 通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以 含x项的系数为0.具体解题过程是： 原式(a+3列x-6y+5 ·代数式的值与x的取值无关， ∴.a+3=0,解得a=-3, 【理解应用】 (1)若关于不的多项式m(2x-3列+2m2-4 的值与x的取值无关，求”的值： （2)已知4=(2m+2m-2-mmx+,B=-2+x-,且4-2B的值与m的取值无关，求的值. 【能力提升】 (3)如图1，小长方形的长为a，宽为b,7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两 个部分都是长方形.设右上角的面积为S,左下角的面积为S,当AB的长变化时，)一S的值始终保持 不变，求a与b的等量关系. S 图1 图2 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x2+ar+9为完全平方式，因9=32，故a=±2·x·3,得a=士6，利用中间 项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x2+2x+m是完全平方式，配方为(x+1)2+(m-1),需m-1=0,即m=1。 例4。(2425八年级上吉林期末)若式子r+红+16 是一个完全平方式，则k=一· 【变式41】(2425八年级上吉林松原期未)若-12x+无 是一个完全平方式，则常数k的值为一 【变式42】如果关于的多项式r+m++4是完全平方式，那么m的值为一 6x2+M+1 【变式4-3】(24-25八年级上·重庆万州期中)已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某 个多项式的平方，则M为一· 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如 某面积式为x2+(a-2)y+3,与y无关则a-2=0,得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x+m)(x+2)=x2 (m+2)x+2m,与x无关则m+2=0,得m=-2。 4a+3b 3a+4b) 例5.如图，某城市广场是一个长方形，长为 米，宽为 米.为了丰富市民文化生活，政 府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽 度分别为a米、b米（如图所示）. 4a+3b b a 3a+4b 音乐喷泉 b (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含a,b的式子表示）· 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若a,b满足a-3+b-20,求该广场音乐喷泉的面积S. (3)在(2)的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖，若市民活动区域每平米铺设地砖 的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【变式5-1】如图，一个小长方形的长为a+b,宽为b,将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无 重叠)· a+b ()用含a、b的代数式表示大长方形的长x=一，宽y=一：（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） S (3)若b=2a,大长方形面积为S,大长方形中阴影部分为S,求S,的值. 【变式5-2】两个边长分别为口和b的正方形如图放置《图1D,其未叠合部分《阴影)面积为3，若再在 图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积 为 S2 a 6 b b S 6 图1 图2 图3 (I)用含a,b的代数式分别表示 S S2 2若a+b=15,b=20,求5+：的值： )当9+5=30 ，求出图3中阴影部分的面积 【变式5-3】有边长分别为a,b的两种正方形（如图1）卡片若干 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b b 图1 图2 图3 图4 (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a,b的代数式表示阴影 部分（三张卡片都重叠部分）的周长： (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为ca+b>c>0； 的大正方形内，左下角长方形的面 积为S,两张卡片重叠部分的面积为5.若口+6=c,请直接写出5与5的数量关系. 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1.理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b-a2-b,则3*2=32-2=7，用熟悉公式计算。 2.结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b(a+b)(a-b),即平方差，直接用公式简化 运算。 例6.(24-25七年级下·安徽淮准北期末)定义： a,6d是以a,6C为系数的二次多项式，即 |a,bd=ar+br+c,其中a,bC均为实数.例如： [a,b,c=x2+2x+3φ[2,0，-2]=2x2-2 完成下面 的探究： D当x=3时，2-13×-12-2到的值是 （2)若例4，-xm%-2习=+2r-3r-+2,则4p-2g-l2m-n- 的值是。 a b 【变式6-1】(24-25七年级下·陕西西安期中)新定义：cd为二阶行列式，它的运算规则是 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b 135 ad-bc =3×6-5×4=-2 c d 例如：46 100101 ()计算99100的值： n+3n-3 =24 (2)若n-3n+3引 ,求n的值。 【变式6-2】(24-25七年级下广东深圳期中)定义： 4是多项式A化简后的项数，例如多项式 4=+2x-3,则(4=3.一个多项式A乘多顶式B化简得到多项式C(即C=1伙B),如果 L(A≤L(C≤L(A+ 1,则称B是4的“好多项式”，如果（利=(C,则称B是A的“极好多项式”. 例如多项式A=2+2r-3,B=x-1,则C=+-5x+3,则（利=3，C=4,3≤4≤3+1，所以 B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”. (1)若A=x-4,B=x+5均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项 式”？请判断并说明理由； 日若4=3,8=++9均是关于的多项心，且8是4的“极好多顶式，则= 6考4=-+3m,B=r++2m均是关于x的多项式。且B是A的“极好多项式”，求m的值。 【变式6-3】(2425七年级下广东佛山期中)教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种 乘除运算，学会了研究运算的方法.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,C,规定 (a,b)⑧(c,d)=ad-bc (1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2 .例如： 请解答下列问题： 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C D G S b a 图1 图2 图3 (-3,5)⑧(6,2) (1)填空： x+1,x+2)⑧(4，x+1) (2)若 的代数式中不含的一次项时，求”的值： (3)如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，,当四边形ABGF和四边形CDEG都为正 方形时，设正方形ABGF 和正方形CDE 的边长分别为”，b,若BE=9,(a+1,b+)®(-La-)=40 求出阴影部分的面积。 (4)如图2，小长方形长为a,宽为b,用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中1B=5,大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分〉，设左下角长方形的面积为氵，右上 S 角长方形的面积为5，当25-355时，求2a+,)®(-6+3,2a4的)的值. 中w 压轴专练 一、单选题 3 1.(24-25八年级上河南南阳月考)已知单项式6y与y的积为my,则n的值为() A.12 B.9 C.6 D.3 2.(2425八年级上河南周口期中)要使-川r-m+2的展开式中不含的项，则m的值是（) 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.2 C.-2 D.2 3.(25-26七年级下全国单元测试)若5×3x+m-61-2的计算结果中不含项，则m的值为 () A.3 B.-3 C.2 D.0 9x2-2(k+1)x+16 4.(25-26八年级上·重庆·月考)若关于x的多项式 是完全平方式，则k的值为() A.±11 B.23或-25 C.5或-7 D.11或-13 5.（2425七年级下-山西太原月考)对于任意有理数6，现用“安”定义一种运算：”☆=口-》 a,b 根据这个定义，代数式+2列☆-2列可以化简为《) A.82 B.2x2+8y2 C.4 D. 二、填空题 。56阵袋下金国限若，y之.兮rr子小 7.（2425八年级上湖南月考)若严-+4列-)的展开式中不含广项，则k的值是 8.(25-26七年级上·重庆期末)已知 =22+ax-6,B=-x+lC=2x+3x+5.若4：B+C的值与x的 取值无关，则当x=-2时，A的值为一 4x2+kx+9 9.(25-26八年级上·四川眉山月考)已知 是一个完全平方式，那么k的值为一· 已知M是含字母x的单项式，要使多项式16r+M+ 是某个多项式的平方，则M为一 10.(25-26八年级上·天津月考)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多 项式：2-2x+3,由于-2x+3=(-+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-2x+3 即t 的值是相等的例如，当一1=1， 或0时，-2x 3的值均为3：当-1=2，即 或时，-2x+3的值均为6.于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当‘取任意一对 x=3 互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称，例如：x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： 2-4x+6 (1)多项式 关于 对称； 2+2br+3 子3 b= (2)若关于“的多项式 对称，则 三、解答题 11.(24-25七年级下·全国·课后作业)小明计算一道整式乘法题 xy(-2xy)时，由于将第一个 单项式中的3-”抄成了3-”，将第二个单项式中的3m+1抄成了2m+1,结果得到 14x10y4 (I)根据上述信息，分别计算出m,n的值. (2)在(1)的条件下，请你计算出这道题的正确答案. 题多解法(2)由(1)知，m=5,n=1, 所以原式=7xy(-2 =-14x15y-2 12.(25-26八年级上·全国·假期作业)定义：一个多项式A乘一个多项式B,运算结果化简后得到多项式 C,若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是 A的“特别友好多项式”. (1)若A=x+3,B=2x-1,请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由. (2)若1=术-3.B=2+x+9 均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值. 13.(24-25七年级下·江苏扬州期中)我们定义：如果两个多项式M-N的差为常数，则称M与N互为 恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如M=2x2+2x+1与N=2x2+2x+5互为恒定差多项式， 10/11