小升初思维拓展：工程问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：工程问题 1．甲、乙两个车间织布，原计划每天共织700m，现技术改进，甲车间每天多织布100m，乙车间的日产量提高一倍，这样，两车间一天共织了1020m．甲、乙两车间原计划每天各织布多少米？ 2．某建筑工地有一大一小两个水池，用同样的输水管给两个水池注水，大水池需6小时注满，小水池需4小时注满。现在为了施工的需要，同时往两个水池注水，但在注水的过程中，电路出现问题，两个水池的注水被迫同时停止，经过测量发现大水池剩余的需注水量是小水池需注水量的2倍，你能推测出输水用时多久吗？ 3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ 4．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 5．一件工作，由甲单独做要14小时完成，乙单独做要20小时完成。如果按甲先乙后，每人每次1小时轮流工作，需要多少小时完成任务？ 6．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？ 7．2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的，8个蟹将和10虾兵在同样的时间里就能打扫完全部龙宫，如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多几个？ 8．加工一批零件，甲用15天可以加工完成，乙用20天可以加工完成现两人一起加工这批零件，合作中甲休息了天，乙休息了若干天，这样一共用了12天才加工完毕，问：乙休息了几天？ 9．某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天多加工 6 个零件，这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且多加工了 120 个零件，这个车间实际加工了多少个零件？ 10．一项工程，如果由甲工程队单独施工需要24天完成，由甲、乙两支工程队共同施工需要16天完成，由甲、丙两支工程队共同施工需要15天完成。现在安排甲、乙、丙三支工程队共同施工，需要多少天完成？（不足1天按1天计算，保留整数） 11．甲、乙两队合修一条公路。甲队单独修要15天修完，乙队单独修要20天修完，现在两队同时修了几天后，由甲队单独修了8天修完，求乙队修了几天。 12．一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合作完成这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？ 13．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完．已知乙的工效是甲的，求这批零件共有多少个？ 14．一项工程，甲、乙两队合作12天完成，乙、丙两队合作18天完成，甲、丙两队合作需9天完成，现在三队合作，需多少天完成？ 15．小雅、小贝和小周共从图书馆搬出1110本书，其中小雅工作3小时，小贝工作4小时，小周工作5小时。他们三人的工作效率都不一样，小雅搬5本书所需的时间，小贝只能搬3本书，而小周只能搬2本书。请问小雅一共搬了多少本书？ 16．甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半．问：这批零件共多少个？ 17．师徒两人合作一件工作，要20天完成，如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？ 18．做一批儿童玩具，甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？ 19．有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？ 20．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？ 21．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？ 22．一件工作，甲做了5小时以后由乙来做，3小时可以完成．乙做9小时后由甲来做，也是3小时可以完成，那么甲做1小时后由乙来做，乙多少小时可以完成？ 23．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 24．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 25．一堆煤，原来每天烧 1.8 吨，可以烧 30 天，技术革新后，这堆煤能多烧 6 天，技术革新后每天少烧多少吨煤？ 26．一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做20天可以完成，现在两队合作，期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（不存在两队同一天休息）。问：整个工程共用了多少天？ 27．一项工程，甲、乙合作9天完成，甲、丙合作12天完成，乙、丙合作18天完成，甲、乙、丙合作需要几天完成？ 28．师、徒两人合做 264 个零件，徒弟先做 4 小时后又和师傅合做了 8 小时才完成了任务．已知徒弟每小时比师傅少做 3 个，师傅每小时做多少个？ 29．师、徒两个做零件2300个，师傅先做了5分钟后师徒两人合作10分钟完成．如果师傅每分钟比徒弟多做20个．求师、徒两人每分钟各做多少个？ 30．一件工作，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天，若甲先做若干天后乙接着做，共用了18天完成，求甲工作了多少天。 31．一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要( )天。 32．一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 33．一件工作，甲单独完成需要30小时，乙单独完成，需要20小时，丙单独完成，需要40小时，现在这件工作甲乙合作3小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成，完成这件工作共用了多少小时？ 34．某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 35．生产一批零件，甲每小时做18个，乙单独做要12小时，现在甲、乙两人合做，完成时甲乙生产的零件数量之比为3∶5，甲一共生产零件多少个？ 36．某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？ 37．师傅和徒弟每人加工相同的零件个数。师傅每分钟加工50个零件，徒弟每分钟加工40个。师傅做完了又去帮助徒弟加工了120个，这样徒弟也完成了工作。那么师傅和徒弟原来每人各要加工零件多少个？ 38．某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升．现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完．计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等．那么水池中原有多少水？ 39．一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 40．一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天．现由甲、乙、丙三个合作完成此工程．在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了．问这项工程前后一共用了多少天？ 41．一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？ 42．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成。问甲休息了几天？ 43．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 44．某库房有一批钢材，原计划每天用 12 吨，由于提高技术，实际每天比原计划多用 3 吨，这样比原计划少用 8 天，这批钢材有多少吨？ 45．2个师傅和4个徒弟一天可做完一批零件的，8个师傅和10个徒弟一天就能完成任务，如果这批零件全由徒弟一天完成，需要多少个徒弟？ 46．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？ 47．某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成．那么该工程限期是多少天？ 48．有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 49．甲、乙两队合修一段公路，要12天完成，如果甲队先修8天后，剩下的乙独修，乙还要14天修完，则乙独修这条公路要多少天？ 50．师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟．试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？ 51．师徒两人共同加工一批零件，2天后已加工总数的，这批零件如果全部由师傅单独加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需几天完成？ 52．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成。已知乙的工作效率是丙的3倍。请问：原计划工期是多少天？ 53．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？ 54．A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A、E两人一起干，需要12天完工。那么，若E一人单独干需要几天完工？ 55．单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成，如果甲、乙二人合作两天后，剩下的由乙独做，那么刚好在规定的时间完成，问甲、乙合作需要多少天完成？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．甲：480米  乙：220米 【详解】乙：(1020-100)-700=220（米） 甲：700-220=480（米） 答：甲车间原计划每天织布480米，乙车间原计划每天织布220米． 2．2小时 【分析】可设输水速度为v，输水时间为t小时，根据大水池剩余的需注水量是小水池需注水量的2倍，列出方程计算即可求解。 【详解】解：设输水速度为v，输水时间为t 列方程：6v－vt＝2（4v－vt） 解方程：6－t＝8－2t t＝2 答：测出输水用时为2小时。 3．10名生产螺钉，12名生产螺母 【详解】解：设分配x名工人生产螺钉，那么生产螺母的工人有22-x名，根据题意得： 2×1200x=2000（22-x） 解得，x=10 22-x=22-10=12（名） 答：分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母． 4．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 5．16.4小时 【分析】甲单独做要14小时完成，乙单独做要20小时完成，因此甲的效率为，乙的效率为。按甲先乙后，每人每次1小时轮流工作，因此可以将甲1个小时，乙1个小时看做一个周期，求出一个周期的工作量为：。然后再估算单位“1”中有8个周期，即还剩余的工作量为：。由于，因此剩余的工作量甲单独即可完成，用剩余的工作量除以甲的工作效率，就可以求出剩余需要的时间。再加上8个周期的时间，即可求出总时间。 【详解】一个周期： 8个周期： 余下工作量： 余下所需时间：（小时） 总时间： （小时） 答：需要16.4小时完成任务。 6．24天 【分析】根据三种情况，可以求出甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 ，对于工作效率有（甲，乙）＋（丙，丁）－（乙，丙）＝（甲，丁），求出甲、丁两人的工作效率后，即可求出工作时间。 【详解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是，，； ＋－＝ 甲、丁合作的工作效率为； （天） 答：甲、丁两人合作24天可以完成这件工程。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 7．18个 【分析】我们把打扫完全部龙宫的工作量看作“1”，那么由题目知，2个蟹将和4个虾兵完成，8个蟹将和10个虾兵完成“1”．两相比较可知，当把第一个条件转化成2×4个蟹将和4×4个虾兵完成，就能消去蟹将，得出（4×4－10）个虾兵完成．这既可看作（4×4－10）个虾兵能打扫完全部龙宫的，也可看作（4×4－10）个虾兵占所需虾兵总数的．根据后者就可以比较简捷地求出单让虾兵打扫需要多少个，进而求出单让蟹将打扫需要多少个，使问题得到解决． 【详解】单让虾兵打扫所需要的个数为： 单让蟹将打扫所需要的个数为 所以，虾兵与蟹将要多30－12=18（个）． 8．天 【分析】两人一起加工零件的12天中，甲休息了天，乙休息的天数不知道，我们先假设甲、乙两人都没休息各干了12天，这样算出的甲、乙两人完成的总量必定大于1（把工作总量定为“1”），超出“1”的部分的工作量是由于把甲、乙休息的天数也假定成工作天数造成的，那么减去甲休息天所干的工作量，剩下的那部分工作量除以乙的单位工作量即可得出乙休息的天数。 【详解】假设甲、乙都干了12天，则完成全部零件加工的。 甲天可以完成。 乙休息的天数是（天） 答：乙休息了天。 9．2520个 【详解】如果一样的生产天数（按计划的天数），实际上的零件总数：120+3×56=288（个） 按计划的天数：288÷6=48（天） 实际加工：50×48+120=2520（个） 答：这个车间实际加工了2520个零件。 10． 12天 【分析】将整个工程看作单位“1”，根据工作效率＝总做总量÷工作时间，得出各队单独或合作的工作效率，分别求出甲、乙、丙的工作效率，再求和得到三队合作的总效率，最后用总量除以总效率得出所需天数。 【详解】 （天） 答：需要12天完成。 11．4天 【分析】甲队单独修要15天修完，则甲队的工作效率为。乙队单独修要20天修完，则乙队的工作效率为。现在两队同时修了几天后，由甲队单独修了8天修完，可以先求出甲队8天的工作量即为：，则两队合作的工作量为：。最火再用合作的工作量除以合作效率，即可求出合作的工作时间，即为乙队的工作时间。 【详解】 （天） 答：乙队修了4天。 12．5天 【详解】解法一：假设甲没请假，则甲、乙工作时间相同，共完成这批零件的（1+）． （1+）÷（+）=5（天） 解法二：甲休息一天相当于让乙先做一天，然后两人合做． （1－×1）÷（+）+1=5（天） 答：完成这批零件共用5天． 13．960个 【详解】96÷（1-）×2=960（个） 14．8天 【分析】甲、乙两队合作12天完成，乙、丙两队合作18天完成，甲、丙两队合作需9天完成，因此甲乙的合作效率为，乙丙的合作效率为，甲丙的合作效率为，将这三个效率相加求和再除以2，即可求出甲乙丙三人的合作效率。由此即可求出三队合作需多少天完成。 【详解】 （天） 答：三队合作需8天完成。 15．450本 【分析】先求出小雅、小贝和小周三人的工作效率之比为：，三人的工作效率之比为：，因此三人的工作量之比为：，化简为，最后再按比例分配即可求出小雅搬得书的数量为：（本）。 【详解】三人的工作量之比为： 小雅搬得书的数量为：（本） 答：小雅一共搬了450本书。 16．360个 【详解】甲完成时乙完成了一半，效率比为6：5．所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个．占．所以甲的总任务180个．这批零件为360个． 17．30天 【分析】师徒两人合作一件工作要20天完成，因此师徒的合作效率为。如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，可以看作师徒合作8天，师傅再单独工作：26－8＝18（天），由此即可求出师傅这18天的工作量为：，再用师傅的工作量除以工作时间即可求出师傅的工作效率，由此即可解决。 【详解】 （天） 答：师傅单独做这件工作需要30天完成。 18．4天 【详解】1-（+）×4 =1- = 256÷=960（件） 960÷（960÷10+960÷12+64） =960÷（96+80+64） =960÷240 =4（天） 19．24个 【详解】40分钟＝小时，乙车间一共比甲车间少用了小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－＝3小时，但都完成了120个零件。如果乙和甲的是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷3＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。 甲每小时能加工24个零件。 20．5分钟 【分析】本题所给条件中只给出了每次所开进水阀、出水阀的数量及排完水所需时间，没有给出进水、出水具体的数量，所以可设水池容量为１ ，每个进水阀每分钟进水量为x ，排水阀每分钟排水量为y ，两次排水量是一样的为１ ，由此可列式为　，由此求出一个进水阀和一个出水阀的效率，再据已知条件求出同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水。 【详解】解：设进水阀和排水阀的效率分别为x和y； 将第二个算式乘3； 则30（y＋y）－30x＝3 30x＝60y－3； 将第二个算式代入第一个算式中； 30y－（60y－3）＝1 30y＝2 ； ＝1÷ ＝5（分） 答：单开3个排水阀5分钟能排完水池的水。 【点睛】解答本题的关键是抓住前两次的排水量一致，分别设出排水和进水的效率，列出两个等量关系式，进而求出排水量。 21．7天. 【详解】试题分析：甲队休息了2天，说明甲干了14天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数． 解：[×（16﹣2）+×16﹣1]÷ =[+﹣1]×30 =×30 =7（天） 答；乙队休息了7天． 点评：本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力． 22．15小时 【分析】我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题： 甲5小时的工作量+乙3小时的工作量=“1” （1） 甲3小时的工作量+乙9小时的工作量=“1” （2） 比较（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3倍．因此，甲做了5小时工作后，由乙接做3小时可以完成．可以看作甲单独做6小时完成全部工作，所以甲的工作效率为，那么乙的工作效率为． 【详解】解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是． 所以，乙要完成全部工作还需 解法二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是． 所以，乙要完成全部工作还需． 23．甲分配到300个零件；乙分配到400个零件；丙分配到480个零件。 【分析】根据工作时间×工作效率＝工作总量，加工同样的零件时，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比，根据时间的比，推导出效率的比，再结合工作时间一定，工作效率和工作总量成正比，从而得出三者工作量之比，从而根据工作量比将总1180个零件分配下去即可。 【详解】甲乙丙的时间比＝8∶6∶5 根据工作总量一定，工作效率和工作时间成反比，可得： 甲乙丙的效率比＝15∶20∶24 当时间相同时，工作效率和工作总量成正比 因此，甲乙丙的工作量比＝15∶20∶24 1180÷（15＋20＋24）＝20（个） 甲：20×15＝300（个） 乙：20×20＝400（个） 丙：20×24＝480（个） 答：甲应该分配300个，乙分配400个，丙分配480个。 24．20天 【详解】略 25．0.3吨 【详解】1.8×30=54（吨） 30+6=36（天） 54÷36=1.5（吨） 1.8-1.5=0.3（吨） 答：技术革新后每天少烧0.3吨煤. 26．9天 【分析】现在两队合作，期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（不存在两队同一天休息），可以看作甲队单独工作了5天，乙队单独工作了1天，剩下的任务由两队合作完成；把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷10和1÷20求出甲队和乙队的工作效率，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，分别用5×和1×求出甲队工作5天的工作量、乙队工作1天的工作量，然后用工作总量1减去甲队工作5天的工作量以及乙队工作1天的工作量，即可求出剩余的工作量，最后用剩余工作量除以两队的工作效率和，即可求出合作的天数，再加上1天和5天即可求出完成工程需要的实际天数。 【详解】1÷10＝ 1÷20＝ 甲队单独做5天，乙队单独做1天，共完成工作量： 5×＋1× ＝＋ ＝ 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 （1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝3（天） 3＋5＋1＝ 9（天） 答：整个工程共用了9天。 【点睛】本题考查了工程问题，注意合作问题中，如果有一队休息，证明另一队在单独工作。 27．8天 【详解】工程问题第一步确定三个基本量．题目中只有合作效率，我们可以运用图标法． 甲 乙 丙 工作效率 √ √ √ √ √ √ 2 2 2 所以甲、乙、丙的效率和=÷2=，所以三人合作需要工作1÷=8（天） 28．15个 【详解】3×8=24（个） 264-24=240（个） 徒弟每小时做：240÷（4+8+8）=12（个） 师傅每小时做：12+3=15（个）． 答：师傅每小时做15个． 29．徒弟：80个    师傅：100个 【详解】师傅做：5+10=15（分） 师傅15分比徒弟15分多做：20×15=300（个） 2300-300=2000（个）零件是徒弟：15+10=25（分）做的 徒弟每分钟做：2000÷25=80（个） 师傅每分钟做：80+20=100（个） 30．12天 【分析】甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为。若甲先做若干天后乙接着做，共用了18天完成，可以假设这18天都是乙在工作，则工作量为：，即超额完成的工作量为：。最后再用超额完成的工作量除以甲乙的工作效率之差，即可求出甲的工作天数。 【详解】假设这18天都是乙在工作 （天） 答： 甲工作了12天。 31．40 【分析】设1个人做1天的量为1，设原来的人数是未知数，根据题目的两种情况，表示出总的工程量，根据总工程量相等列方程，求出原来的人数，然后求出工程量是多少，再计算调走2人后所需的时间。 【详解】解：设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程； 解得： 如果调走2人，需要 （天） 所以调走2人后，完成这项工程需要40天。 【点睛】本题考查的是工程问题，列方程求解应用题时要合理设未知数，并找准等量关系。 32．天 【分析】甲队做了8天后，剩下的工程量甲需要做12天，乙需要做15天，可以求出甲和乙的工作效率的关系，然后计算乙单独完成这项工作需要的时间。 【详解】20－8＝12（天） 甲12天工作量等于乙15天工作量； 乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天） 答：乙队单独完成这项工作需25天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出甲和乙的工作效率的关系是求解问题的关键。 33．14小时 【详解】略 34．15辆 【分析】本题考查工程问题，一般将工作总量看为单位1，工作时间×工作效率=工作总量 只要先求出2天后还剩余多少工作量就可以求得还每天至少需要手推车的辆数． 【详解】大卡车工作效率是1÷3÷4= 小卡车工作效率是1÷4÷5= 手推车工作效率是1÷20÷6= 2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天的工作量为： ×2×2+×3×2+×7×2= 那么剩余工作量为1-= 则2天后全部改用手推车运，需要的手推车数量为÷÷2=15（辆） 答：后两天每天至少需要15辆手推车． 35．135个 【详解】甲的工作量与乙的工作量之比是3∶5，那么甲的工作效率：乙的工作效率就是3∶5，即甲的工作效率是乙的工作效率的 甲的工作效率： 甲乙合作的工作效率： 甲乙合作的工作时间： 甲生产的零件数是：18×7.5＝135（个） 答：甲一共生产零件135个。 【点睛】此题是简单的工程问题，考查了正比例知识的应用．此题中，工作时间相同，工作量与工作效率成正比例关系． 36．6天 【分析】我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和。因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍。再由此效果得出天数即可。 【详解】由分析可知，我们有以下公式： （一＋二＋三＋四＋五）×3＝（一＋二＋三）＋（一＋三＋五）＋（二＋四＋五）×2＋（一＋三＋四）。 所以，5支小队效率和为： ＝ ＝ 1÷＝6（天） 答：这五个小队一起合作需要5天才能完成这项工程。 【点睛】解决本题的关键是求出5支小队效率和。 37．师傅1080个；徒弟1080个 【分析】根据题意可知，在相同的时间内师傅比徒弟多加工120×2＝240（个）零件，师傅每分钟比徒弟多加工50－40＝10（个）零件，所以完成工作时师傅和徒弟加工了240÷10＝24（分钟），完成时师傅加工了50×24＝1200（个）零件，再减去帮助徒弟加工的120个，即等于师傅原来要加工的零件个数，也是徒弟原来要加工的零件个数，据此即可解答。 【详解】120×2÷（50－10） ＝240÷10 ＝24（分钟） 50×24－120 ＝1200－120 ＝1080（个） 答：师傅徒弟原来要加工零件1080个，徒弟原来要加工零件1080个。 38．3000 【详解】甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升．因此池中原有水3000升． 39．90天 【详解】略 40．17天 【分析】本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题．我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的工作时间，从而求出这个数． 【详解】把这项工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在总工作量上，看成三人的工作时间与丙相同． 答：完成这项工程前后一共用了17天． 41．15天 【详解】方法一：设工作总量为[24，30]＝120单位，则甲队每天完成240÷24＝5单位，乙队每天完成240÷30＝4单位。前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷6＝8单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷8＝15天。 方法二：甲工作效率为，乙的工作效率为，这样甲乙合作8天完成的工作量为（）×8＝，所以剩下的1－＝，由丙做6天，所以丙的工作效率为÷6＝，所以丙要做15天。 如果从开始让丙队独做，需要15天。 42．天 【分析】在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了27天，可以求出乙完成了多少，剩下的即为甲完成的，用甲完成的工程量除以甲的工作效率，得到甲工作的时间，进而求得甲休息的时间。 【详解】乙完成了全部工程的 还有是甲做的 所以甲干了（天） 休息了（天） 答：甲休息了5天。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以假设甲没有休息，求出甲乙合作27天完成的工程量，求出多完成的部分，除以甲的工作效率，得到甲休息的时间。 43．天 【分析】丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。 【详解】我们可以有： 甲乙，乙丙，丙 不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为， （天） 答：甲、丙合作12天能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。 44．480吨 【详解】12×8÷3×（12+3） =12×8÷3×15 =480（吨） 答：这批钢材有480吨． 45．30个 【详解】设师傅与徒弟的工作效率为x与y， 解得，    所以如果让徒弟一天完成，需要的人数为： 46．48天 【分析】根据题目给出的三种情况，可以分别求出甲、乙，乙、丙，丙、甲的工作效率，观察发现2（甲＋乙＋丙）＝（甲＋乙）＋（乙＋丙）＋（甲＋丙），可以求出甲、乙、丙的工作效率之和，进而求出丙的工作效率，以及丙所需的时间。 【详解】＋＋＝ 甲、乙、丙的工作效率之和为： ÷2＝ 那么丙单独工作的工作效率为： －＝ （天） 答：丙一个人来做，完成这项工作需48天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出丙的工作效率是求解问题的关键。 47．6天 【详解】由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量，所以工程期限为：2×（3÷（3－2））=2×3=6天． 48．12天 【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 49．18天 【分析】把这条公路看作单位“1”，甲、乙两队合修的工作效率为，甲队先修8天，乙再修14天，可以看作甲、乙两队合修8天，乙再修（14－8）天修完这条公路，用1减甲、乙两队合修8天的工作量等于乙修（14－8）天的工作量，再除以（14－8）即等于乙独修的工作效率，用1除以乙独修的工作效率即等于乙独修这条公路需要的天数，据此即可解答。 【详解】（1－×8）÷（14－8） ＝÷6 ＝ 1÷＝18（天） 答：乙独修这条公路要18天。 50．师傅：125个   徒弟：75个 【分析】由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工个零件；徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工个零件．从而师徒二人的工作效率之比为．在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由，所以工作量和工作效率成正比例关系． 【详解】解法一：由于师徒两人工作效率的比是．在本题中，所以他们的工作量之比也是．因此师傅加工的零件个数是，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）． 解法二：设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件．当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得 解法三：因为师傅每分钟加工个零件，徒弟每分钟加工个零件，所以每分钟师徒二人可加工个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是． 师傅每分钟加工个零件，因此最终师傅加工的零件数是，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）． 51．15天 【详解】1÷（÷2-） =1÷（-） =1÷ =15（天） 答：如果全部由徒弟加工需15天完成． 52．30天 【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，依据题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的（﹣）÷4＝需要天，那么乙完成工作总量的就需要÷×＝20天，若甲单独干后面的＋＝就需要20﹣6＝14天，即甲单独完成整个工程就需要14÷＝24天，此时间应该比计划工期提前6天，最后依据计划需要的时间＝甲单干需要的时间＋6天即可解答。 【详解】解：乙完成工作总量的需要的时间： ÷[（﹣）÷4]× ＝6× ＝20（天） 甲单干完成整个工程需要的时间： （20﹣6）÷[＋（﹣）÷4） ＝14÷ ＝24（天） 原计划工期： 24＋6＝30（天） 答：原计划工期是30天。 【点睛】解答本题的关键是求出甲单干完成工期需要的时间。 53．21小时 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，， （小时） 54．48天 【详解】可设工作总量为[6，8，12]＝24单位，则A、B、C、D四人每天完成4单位，B、C、D、E四人完成3单位，表明A每天比E多做1单位；由题意又可知A、E两人一天完成2单位，则A每天完成（2＋1）÷2＝1.5单位，E每天完成（2－1）÷2＝0.5单位。那么，如果由E一人单独做需要24÷0.5＝48天。 如果由E一人单独做需要48天。 55．6天 【分析】把工作总量看做单位“1”，设规定时间为t天，由题意“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成”列出等式，即可算出规定时间；再根据工作效率＝工作总量÷工作时间，算出甲、乙的工作效率；最后根据等量关系：合作时间＝工作总量÷（甲的工作效率＋乙的工作效率），列式解答即可。 【详解】设规定时间为t天，则甲（t－2）天完成，乙（t＋3）天完成。 甲、乙合作2天，剩下乙独作，正好t天完成，在这个过程中，乙做了t天，甲干了2天。即乙三天的工作甲2天完成。 所以，整理得2t＋6＝3t－6，得t＝12（天） 甲的工效为：1÷（12－2）＝ 乙的工效为：1÷（12＋3）＝ 乙合作需要的时间：1÷（＋）＝6（天） 答：甲、乙合作需要6天完成。 【点睛】本题是典型的工程问题，还涉及方程的应用，找出等量关系是解题的关键；牢记工程问题的计算公式：工作总量＝工作效率×工作时间也很关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $