期中真题专项训练04 复数15大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题专项训练04 复数 【考点一】求复数的实部与虚部 【考点九】复数的坐标表示 【考点二】已知复数的类型求参数 【考点十】在各象限内点对应复数的特征 【考点三】复数加减法的代数运算 【考点十一】判断复数对应的点所在的象限 【考点四】复数代数形式的乘法运算 【考点十二】共轭复数的概念及计算 【考点五】复数的乘方 【考点十三】求复数的模 【考点六】复数范围内方程的根 【考点十四】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【考点七】复数的除法运算 【考点十五】复数的三角形式 【考点八】共轭复数的概念及计算 【考点一】求复数的实部与虚部 1．（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（   ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 3.（24-25高一下·福建宁德·期中）复数的虚部为________. 4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________. 【考点二】已知复数的类型求参数 5.（24-25高一下·河南洛阳·期中）若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 6．（23-24高一下·湖南长沙·期中）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7.（24-25高一下·吉林长春·期中）复数为纯虚数，则实数a的值为________. 8.（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【考点三】复数加减法的代数运算 9.（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 10．设，其中a、b为实数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．计算：（    ） A． B． C． D． 12.（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数满足，则________. 【考点四】复数代数形式的乘法运算 13.（24-25高一下·浙江·期中）复数，，其中是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（   ）象限. A．一. B．二. C．三. D．四. 14．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一下·陕西·期中）复数的虚部为______． 16．若，则__________. 【考点五】复数的乘方 17.（24-25高一下·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·广东佛山·期中）复数（），则“是纯虚数”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19.（23-24高一下·山东菏泽·期中）_______________． 20.（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 【考点六】复数范围内方程的根 21.（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·云南·期中）已知是关于的方程（，）的一个根，则（   ） A．10 B． C．5 D． 23.（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知是关于的方程的一个根，则__________. 24.（24-25高一下·江苏无锡·期中）若复数，为虚数单位． (1)当复数为纯虚数时，求实数的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【考点七】复数的除法运算 25.（24-25高一下·重庆南岸·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·广西·期中）（    ） A． B． C． D． 27.已知复数，则复数___________. 28.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知复数满足为纯虚数 (1)若的实部为2，求； (2)若为实数，且，求的最大值 【考点八】共轭复数的概念及计算 29.（24-25高一下·甘肃武威·期中）设复数，若，则a的值为（   ）. A． B． C． D． 30．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）． A． B． C． D． 31.写出一个同时满足①②的复数________.①；②. 32.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数z和它的共轭复数满足. (1)求复数z； (2)若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理. 【考点九】复数的坐标表示 33.（23-24高一下·云南德宏·期中）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 35.（23-24高一下·广西南宁·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则______． 36.（24-25高一下·福建泉州·期中）已知复数（是虚数单位），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. (2)若，在复平面上对应的向量分别为，，为坐标原点，求与的夹角. 【考点十】在各象限内点对应复数的特征 37.（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（    ） A． B．2 C． D． 38.已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第______象限． 39.（24-25高一下·广东东莞·期中）请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：_____． 40.（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【考点十一】判断复数对应的点所在的象限 41.（24-25高一下·四川眉山·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 42.（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 43.若复数，且为纯虚数，则__________，在复平面内对应的点位于第__________象限． 44.（23-24高一下·湖北荆州·期中）已知复数与互为共轭复数. (1)判断在复平面内对应的点在第几象限，并说明理由； (2)在复数范围内，解关于的一元二次方程. 【考点十二】共轭复数的概念及计算 45.（23-24高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47.已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为________． 48.（24-25高一下·浙江台州·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【考点十三】求复数的模 49.（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A． B． C．2 D． 50．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 51.（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中，为虚数单位））为“等部复数”，则______. 52.（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【考点十四】与复数模相关的轨迹（图形）问题 53.（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 54.．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 55.（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数满足，则的最小值为________． 56.（24-25高一下·河北·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【考点十五】复数的三角形式 57.设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 58．已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 59．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（    ） A．2 B．1 C． D． 60.已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练04 复数 【考点一】求复数的实部与虚部 【考点九】复数的坐标表示 【考点二】已知复数的类型求参数 【考点十】在各象限内点对应复数的特征 【考点三】复数加减法的代数运算 【考点十一】判断复数对应的点所在的象限 【考点四】复数代数形式的乘法运算 【考点十二】共轭复数的概念及计算 【考点五】复数的乘方 【考点十三】求复数的模 【考点六】复数范围内方程的根 【考点十四】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【考点七】复数的除法运算 【考点十五】复数的三角形式 【考点八】共轭复数的概念及计算 【考点一】求复数的实部与虚部 1．（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的概念可判断. 【详解】的实部为虚部为， 故选：C. 2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以的实部与虚部之和为． 故选：B. 3.（24-25高一下·福建宁德·期中）复数的虚部为________. 【答案】 【分析】根据复数的概念判断. 【详解】复数的虚部为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________. 【答案】 【分析】令，由复数相等可求出复数z,从而得到虚部. 【详解】令， 所以，可得 ，其虚部为. 故答案为： 【考点二】已知复数的类型求参数 5.（24-25高一下·河南洛阳·期中）若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念有，求解即可得. 【详解】由题设，可得. 故选：D 6．（23-24高一下·湖南长沙·期中）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 7.（24-25高一下·吉林长春·期中）复数为纯虚数，则实数a的值为________. 【答案】1 【分析】由，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】由，可得，为纯虚数， 所以. 故答案为：1 8.（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据复数相等和纯虚数条件，结合余弦函数性质可得； （2）根据复数相等列方程，消去，利用同角三角函数的平方关系，结合二次函数性质求解可得 【详解】（1）因为，所以， 又为虚数，所以，即，所以. （2），， 消去可得， . 【考点三】复数加减法的代数运算 9.（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 10．设，其中a、b为实数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用复数的加减运算及复数相等的概念计算即可. 【详解】因为a，，，所以，，解得，． 故选：C 11．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的减法法则直接计算可得. 【详解】. 故选：B. 12.（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数满足，则________. 【答案】 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为：. 【考点四】复数代数形式的乘法运算 13.（24-25高一下·浙江·期中）复数，，其中是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（   ）象限. A．一. B．二. C．三. D．四. 【答案】D 【分析】根据计算求复数乘积，然后根据复数的几何意义即得. 【详解】因为. 所以复数在复平面内所对应的点为位于第四象限. 故选：. 14．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：B 15.（24-25高一下·陕西·期中）复数的虚部为______． 【答案】5 【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】因为复数， 所以该复数的虚部为5． 故答案为：5. 16．若，则__________. 【答案】 【分析】先化简已知，然后根据复数相等得出实数的值． 【详解】根据题意，， 即，所以，且， 所以. 故答案为： 【考点五】复数的乘方 17.（24-25高一下·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数乘法计算直接得出结果. 【详解】因为，故. 故选：A. 18．（23-24高一下·广东佛山·期中）复数（），则“是纯虚数”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的运算性质，得到，分类讨论，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由， 当时，可得为纯虚数， 同理可得，当时，可得不是纯虚数， 当时，可得是实数， 所以，当且仅当时，复数是纯虚数. 所以“是纯虚数”是“”的充分必要条件. 故选：C. 19.（23-24高一下·山东菏泽·期中）_______________． 【答案】 【分析】首先计算，再根据指数运算，化简求值. 【详解】，， 即. 故答案为： 20.（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得，即可得到，再根据复数的乘方法则计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是实数，所以，则， 所以或，， 解得或，. （2）当，时， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以； 同理当，时，， 又， 所以当时， 则 ； 当时， 则 ； 故. 【考点六】复数范围内方程的根 21.（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用实系数一元二次方程的复数根公式求解即可. 【详解】方程的复数根为． 故选：A 22．（24-25高一下·云南·期中）已知是关于的方程（，）的一个根，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据虚根成对原理可知是方程的另一个根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程（，）的一个根， 所以关于的方程（，）的另一个根为， 所以，解得． 故选：B 23.（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知是关于的方程的一个根，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解. 【详解】依题意，是关于的方程的另一个根， 因此，解得， 所以. 故答案为： 24.（24-25高一下·江苏无锡·期中）若复数，为虚数单位． (1)当复数为纯虚数时，求实数的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值； （2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. （2）解：当时，可得， 由复数是方程的一个根，则是方程的一个根， 解方程的两个根为和， 则，即，解得. 【考点七】复数的除法运算 25.（24-25高一下·重庆南岸·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法、乘法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：C 26．（24-25高一下·广西·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 27.已知复数，则复数___________. 【答案】 【分析】先利用等比数列的前n项和求出，利用的周期性即可求解. 【详解】 . 因为，而， 所以，所以. 故答案为： 28.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知复数满足为纯虚数 (1)若的实部为2，求； (2)若为实数，且，求的最大值 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据纯虚数概念，设，再化简，根据的实部为2，建立方程，求出得解 （2）由（1）知，化简，根据为实数，建立方程求出，最后运用三角不等式计算即可. 【详解】（1）因为为纯虚数，设（，且） 则， 因为的实部为2，所以，，所以. （2）由（1）知， 所以， 因为为实数，所以，， 所以，， 因为， 所以，即的最大值为. 【考点八】共轭复数的概念及计算 29.（24-25高一下·甘肃武威·期中）设复数，若，则a的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法法则计算可求解. 【详解】因为，所以， 解得，又，所以. 故选：B. 30．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解. 【详解】， 所以的共轭复数为. 故选：. 31.写出一个同时满足①②的复数________.①；②. 【答案】(或) 【分析】根据题意，设，结合条件，列出方程，求解即可. 【详解】因为，不妨设， 由得， 所以，解得，，所以或， 故答案为：或. 32.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数z和它的共轭复数满足. (1)求复数z； (2)若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理. 【答案】(1) (2)方程的另一个根为，验证见解析 【分析】（1）设，再根据复数的加减法运算结合复数相等得定义即可得解； （2）先将代入方程，求出，再因式分解即可求出方程的另一个根，再根据复数的加法个乘法运算即可得及出结论. 【详解】（1）设，则， 由，得，即， 所以，解得， 所以； （2）因为是关于x的方程的一个根， 所以，即， 所以， 则，即， 解得或， 所以方程的另一个根为， 因为, 所以此方程的两个根满足韦达定理. 【考点九】复数的坐标表示 33.（23-24高一下·云南德宏·期中）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出复数即可得解. 【详解】由复数在复平面内所对应点的坐标为，得， 所以. 故选：B 34．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义得，进而利用复数的乘法运算得，最后利用共轭复数的概念及虚部的概念求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：D 35.（23-24高一下·广西南宁·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则______． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到，，再由复数的乘法运算得到的值. 【详解】由图可知，所以，，所以， 所以. 故答案为：. 36.（24-25高一下·福建泉州·期中）已知复数（是虚数单位），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. (2)若，在复平面上对应的向量分别为，，为坐标原点，求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据纯虚数的定义求出的值，再结合复数在复平面内的位置列出不等式组求解的范围； （2）先求出，进而得到、、的坐标，再利用向量的夹角公式计算夹角. 【详解】（1）已知，则其共轭复数. 所以. 因为为纯虚数，所以实部为，虚部不为，即，解得，则. 已知. 因为在复平面内对应的点位于第三象限，所以实部小于，虚部小于，即. 解不等式，得. 解不等式，得. 综合两个不等式的解，可得. 故实数的取值范围是； （2）由，可得 所以，，则. 设与的夹角为，. 根据向量的夹角公式，其中，，. 则. 因为，所以. 与的夹角为. 【考点十】在各象限内点对应复数的特征 37.（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的几何意义求出，再根据复数的乘法运算即可得解. 【详解】因为复数对应的两个点关于虚轴对称，， 所以， 所以. 故选：A. 38.已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第______象限． 【答案】二 【分析】根据复数的几何意义分析即可. 【详解】复数在复平面内复数z对应的点为，位于第二象限. 故答案为：二 39.（24-25高一下·广东东莞·期中）请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据复数的几何意义直接写出. 【详解】根据复数的几何意义可知，复数在复平面内所对应的点的坐标为， 所以第一象限的复数的坐标需满足， 那么满足条件的其中一个复数. 故答案为：（答案不唯一） 40.（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 【考点十一】判断复数对应的点所在的象限 41.（24-25高一下·四川眉山·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数除法，结合复数的几何意义求解判断. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 42.（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，则， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：A. 43.若复数，且为纯虚数，则__________，在复平面内对应的点位于第__________象限． 【答案】 二 【分析】根据纯虚数定义可构造方程求得；由复数乘方运算和几何意义可确定对应点的坐标，由此可得对应点所在象限. 【详解】为纯虚数，，解得：； 对应的点为， 在复平面内对应的点为与第二象限. 故答案为：；二. 44.（23-24高一下·湖北荆州·期中）已知复数与互为共轭复数. (1)判断在复平面内对应的点在第几象限，并说明理由； (2)在复数范围内，解关于的一元二次方程. 【答案】(1)第二象限，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据共轭复数的概念，求出的值，得出，根据复数的几何意义，即可得出答案； （2）根据（1）的结论得出方程为，配方得出，即可解出答案. 【详解】（1）因为复数与互为共轭复数， 所以，， 所以在复平面内对应的点为，在第二象限. （2）由（1）可得，， 则方程为， 即， 所以， 解得，故关于的方程的根为或. 【考点十二】共轭复数的概念及计算 45.（23-24高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】根据题意得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 46．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解. 【详解】由已知复平面内表示复数的点位于四象限， 则，即， 即， 故选：B. 47.已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义求复数的对应点的坐标，由条件列不等式求的取值范围. 【详解】因为， 所以复数在复平面上的对应点的坐标为， 由已知可得，， 由可得， 由可得或， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 48.（24-25高一下·浙江台州·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意得，则，由为纯虚数可得； （2），根据其在复平面对应的点在第一象限可得，进而可得. 【详解】（1）由题意可知，， 故， 由题意，得. （2）由（1）可得， ， 由题意可得得，故实数的取值范围为. 【考点十三】求复数的模 49.（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】应用复数除法求复数，再由即可得. 【详解】由，则. 故选：D 50．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 51.（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中，为虚数单位））为“等部复数”，则______. 【答案】 【分析】由“等部复数”定义得到，解出，进而表示出，从而求出. 【详解】因为是“等部复数”，所以，得，所以，， 从而，， 故答案为：. 52.（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要先计算和，再求它们差的模； （2）设出实根，代入方程，根据复数相等的条件求解. 【详解】（1） （2）设是二次方程的一个实根，将 代入方程得： 由复数相等的意义得：，解得： 所以当时，原方程有一实根 【考点十四】与复数模相关的轨迹（图形）问题 53.（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，化简得到，复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆，得到答案. 【详解】设，则， 所以，故， 所以复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 54.．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 55.（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数满足，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据复数差的模的几何意义可得的最小值， 【详解】因为，故对应的点的轨迹为点和点为端点的线段中垂线， 故对应的点的轨迹方程为直线， 而，故对应的点的轨迹为圆，其圆心为，半径为， 两个轨迹曲线如图所示： 圆心到轨迹直线的距离为， 故圆上的动点到轨迹直线的距离的最小值为， 而的几何意义即为对应的点与对应的点的连线段的长度， 故其最小值即为， 故答案为： 56.（24-25高一下·河北·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）运用纯虚数概念，构造方程计算即可； （2）先化简复数，再根据模长公式计算即可 （3）运用复数模长几何意义计算. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又为纯虚数，所以，解得； （2）， 所以 （3）因为，即，所以对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 表示对应的点到点的距离 又因为圆心到的距离为， 所以最小值为 【考点十五】复数的三角形式 57.设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 【答案】C 【分析】利用复数的三角运算求出，再由虚部为0求解判断. 【详解】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 58．已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 可得 ， 因为，， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限． 故选：B． 59．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模. 【详解】由题设，. 故选：B 60.已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $